2023年高中理科数学知识点归纳总结.pdf

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1、1/28 一.集合与常用逻辑用语基础知识看一看一、牢记概念与公式1四种命题的相互关系2全称量词与存在量词全称命题p：?xM，p(x)的否定为特称命题綈 p：?x0M，綈 p(x0)；特称命题p：?x0M，p(x0)的否定为全称命题綈 p：?x M，綈 p(x)二、活用定理与结论1运算性质及重要结论(1)AAA，A?A，ABBA.(2)AAA，A?，ABBA.(3)A(?UA)?，A(?UA)U.(4)ABA?A?B，ABA?B?A.2命题 pq 的否定是 綈 p綈 q；命题 pq 的否定是 綈 p綈 q.3“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真

2、”；“非命题”的真假特点是“真假相反”易错易混想一想1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义 抓住集合的代表元素如：x|ylg x 函数的定义域；y|ylg x 函数的值域；(x，y)|y lg x 函数图像上的点集2易混淆0，?，0：0 是一个实数；?是一个集合，它含有0 个元素；0 是以 0 为元素的单元素集合但是0?，而?0 3集合的元素具有确定性、无序性和互异性 在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性4遇到 AB?时，你是否注意到“极端”情况：A?或 B?；同样在应用条件ABB?AB A?A?B 时，不要忽略 A?的情况5注重数形结合在集合问题中的应用列举法常借助Venn 图

3、解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值6“否命题”是对原命题“若p，则 q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的2/28 否定”即：非p，只是否定命题p 的结论7要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出B；而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指A 能推出 B，且 B 不能推出A.保温训练手不凉1已知A x|x23x20，Bx|logx42，则 AB 等于()A 2,1,2B1,2 C2 D 2,2 2“”是“sin sin ”的()A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3命题 p：m7，命题 q：f

4、(x)x2 mx9(m R)有零点，则 p 是 q 的()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知集合A a，b，c 中任意2 个不同元素的和的集合为1,2,3，则集合A 的任意2 个不同元素的差的绝对值的集合是()A 1,2,3 B1,2 C1,0 D0,1,2 5已知集合M x|y1 x，N y|y2x，则 MN_.6.下面四个命题：函数 yloga(x 1)1(a0 且 a1)的图像必过定点(0,1)；已知命题p：?xR，sin x 1，则 綈 p：?xR，sin x1；过点(1,2)且与直线 2x3y40 垂直的直线方程为3x2y1 0；在区间(2,2

5、上随机抽取一个数x，则 ex1 的概率为13.其中所有正确命题的序号是_ 答案：二.函数与导数基础知识看一看一、牢记概念与公式1函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有 f(x)f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(x)f(x)成立，则f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若 f(xT)f(x)(T 0)，则 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期2指数与对数式的运算公式3/28 am anamn；(am)nam n；loga(MN)

6、logaM logaN；logaMN logaM logaN；logaMnnlogaM；alogaNN；logaNlogbNlogba(a0 且 a1，b0 且 b1，M0，N0)3指数函数与对数函数的性质解析式yax(a 0 且 a 1)ylogax(a 0 且 a 1)定义域R(0，)值域(0，)R图像关于直线y x 对称奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0a 1 时，在 R 上是减函数；a1 时，在 R 上是增函数0a1 时，在(0，)上是减函数；a1 时，在(0，)上是增函数4导数公式及运算法则(1)基本导数公式：c 0(c 为常数)；(xm)mxm1(mQ)；(sin x)cos x；(c

7、os x)sin x；(ax)axln a(a0 且 a 1)；(ex)ex；(logax)1xln a(a0 且 a1)；(ln x)1x.(2)导数的四则运算：(u v)u v；(uv)uvuv；uvuvuvv2(v0)5导数与极值、最值(1)函数 f(x)在 x0处的导数 f(x0)0 且 f(x)在 x0附近“左正右负”?f(x)在 x0处取极大值；函数 f(x)在 x0处的导数 f(x0)0 且 f(x)在 x0附近“左负右正”?f(x)在 x0处取极小值(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在

8、此区间上的极值与其端点值中的“最小值”二、活用定理与结论4/28 1抽象函数的周期性与对称性(1)函数的周期性若函数f(x)满足 f(xa)f(xa)，则 f(x)为周期函数，2a 是它的一个周期设 f(x)是 R 上的偶函数，且图像关于直线xa(a 0)对称，则f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期设 f(x)是 R 上的奇函数，且图像关于直线xa(a 0)对称，则f(x)是周期函数，4a 是它的一个周期(2)函数图像的对称性若函数 yf(x)满足 f(ax)f(a x)，即 f(x)f(2a x)，则 f(x)的图像关于直线xa 对称若函数yf(x)满足 f(a x)f(ax)，即 f(

9、x)f(2a x)，则 f(x)的图像关于点(a,0)对称若函数yf(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图像关于直线xab2对称2函数图像平移变换的相关结论(1)把 yf(x)的图像沿x 轴左右平移|c|个单位(c0 时向左移，c 0 时向右移)得到函数 yf(x c)的图像(c 为常数)(2)把 yf(x)的图像沿 y 轴上下平移|b|个单位(b0 时向上移，b0 时向下移)得到函数 yf(x)b 的图像(b 为常数)3函数图像伸缩变换的相关结论(1)把 yf(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0 a1)到原来的 a 倍，而横坐标不变，得到函数yaf(x)(a 0)的

10、图像(2)把 yf(x)的图像上各点的横坐标伸长(0 b1)或缩短(b1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数yf(bx)(b 0)的图像4确定函数零点的三种常用方法(1)解方程判定法若方程易解时用此法(2)零点定理法 根据连续函数yf(x)满足 f(a)f(b)0，a1)的单调性忽视字母 a 的取值讨论，忽视ax0；对数函数ylogax(a0，a1)忽视真数与底数的限制条件6易混淆函数的零点和函数图像与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化7不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0)既在切线上，又在函数图像上，导致某些求导数的问题不能正确解出

11、8考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f(x0)0 是函数 yf(x)在 x x0处有极值的充分条件保温训练手不凉1下列函数中，满足“对任意的x1，x2(0，)，当 x1 f(x2)”的是()A f(x)1xBf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x 1)2直线 ykxb 与曲线 yx3ax1 相切于点(2,3)，则 b 的值为()A 3 B9 C15 D 7 3若函数 f(x)x2 bx(b R)，则下列结论正确的是()A?bR，f(x)在(0，)上是增函数B?bR，f(x)在(0，)上是减函数C?bR，f(x)为奇函数D?bR，f(x)为偶函数4函数 f(x)12x2，x0，

12、x1，x0的所有零点的和等于()A 2 B 1 C0 D 1 5已知 a1223，b243，c1213，则下列关系式中正确的是()A cabBbacCacbDab0，b0)(4)abab22(a，bR)(5)a2b22ab2ab(a0，b0)2可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域3一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a 0)恒成立的条件是a0，0.(2)ax2bxc0(a 0)恒成立的条件是a0，0.易错易混想一想 1不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错2

13、解形如一元二次不等式ax2 bxc0 时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a0，a0 进行讨论3应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x0 直接转化为f(x)g(x)0，而忽视 g(x)0.4容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数 f(x)x221x22的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数 yx3x(x0)时应先转化为正数再求解8/28 5解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解6求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y2x2是指已知区域内的点(x，

14、y)与点(2,2)连线的斜率，而(x1)2(y1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等保温训练手不凉 1已知 1aa3aB aa2a3C a3a2aD a2a a32直线 2xy 100 与不等式组x0，y0，xy 2，4x 3y20表示的平面区域的公共点有()A 0 个B 1 个C2 个D无数个3已知 a，bR，且 ab50，则|a 2b|的最小值是()A 20 B150 C75 D 15 10 4已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0 x2，y2，x2y，确定若 M(x，y)为 D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则 zOMuuuu rOAuuu r的

15、最大值为()A 3 B4 C32 D 42 5已知 yf(x)是偶函数，当x0 时，f(x)(x1)2，若当 x 2，12时，nf(x)m 恒成立，则 mn 的最小值为()A 1 B.12C.13D.346不等式2x21x1 的解集是 _7已知 x0，y0，lg 2x lg 8ylg 2，则1x13y的最小值为 _ 答案：4 8若函数f(x)(a24a5)x24(a 1)x 3 的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是_ 答案：1,19)四三角函数与平面向量基础知识看一看 9/28 一、牢记概念与公式1同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin cos tan (k 2，kZ)；(2)平方关

16、系：sin2 cos2 1(R)2三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限其中，“奇、偶”是指“k2 (k Z)”中 k 的奇偶性；“符号”是把任意角 看作锐角时，原函数值的符号3三种函数的性质函数ysin x ycos x ytan x图像单调性在 2 2k，22k(k Z)上单调递增；在22k，322k(kZ)上单调递减在 2k，2k(kZ)上单调递增；在 2k，2k(kZ)上单调递减在 2k，2k(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：x2k(kZ)对称中心：2k，0(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：k2，0(k Z)4三角恒等变换的主要公

17、式sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos?sin sin ；tan()tan tan 1?tan tan；sin 2 2sin cos ；cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2；tan 2 2tan 1tan2.5平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：ab?a b.两个非零向量垂直的充要条件：ab?a b0?|a b|a b|.(2)若 a(x，y)，则|a|a ax2y2.(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|ABuuu r|x2 x12 y2y12.10/28(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为

18、 a 与 b 的夹角，则 cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22 y22.二、活用定理与结论1三角函数的两种常见变换(1)ysin x 向左 0 或向右 0，0)(2)ysin x1横坐标变为原来的倍纵坐标不变ysin 向左 0 或向右 0，0)2正、余弦定理(1)正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin Aa2R，sin B b2R，sin C c2R；abc sin Asin B sin C.注：R 是三角形的外接圆半径(2)余弦定理cos A b2c2a22bc，cos B a2c2b22ac，cos C a2b2c22ab.b2 c2 a

19、22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c2 2abcos C.3三点共线的判定三个点 A，B，C 共线?ABuuu r，ACuuu r共线；向量PAuuu r，PBuuu r，PCuuu r中三终点A，B，C 共线?存在实数，使得PAuuu rPBuuu rPCuuu r，且 1.易错易混想一想1注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为xx2k 2，kZ，也可以表示为xx2k 32，kZ.11/28 2三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角 的终边位置决定3在解决三角问题时，应明确正切函数

20、的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性4求 yAsin()的单调区间时，要注意，A 的符号 B?sin Asin B.7要特别注意零向量带来的问题：0 的模是 0，方向任意，并不是没有方向；0 与任意非零向量平行；00(R)，而不是等于0；0 与任意向量的数量积等于0，即 0 a0；但不说 0 与任意非零向量垂直8当 a b0 时，不一定得到ab，当 ab 时，a b 0；a bc b，不能得到ac，消去律不成立；(a b)c 与 a(b c)不一定相等；(a b)c 与 c 平行，而a(b c)与 a 平行9两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0 不等价保温训练手不凉 1已

21、知 cos 2 14，则 sin2()A.12B.34C.58D.382已知锐角 ABC 的面积为 33，BC 4，CA3，则角 C 的大小为()A 75B60C45D 303已知角 的终边上一点的坐标为sin 56，cos 56，则角 的最小正值为()A.56B.23C.53D.11 64设点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在直线 AB 上，且|ABuuu r|2|APuuu r|，则点 P 的坐标为()A(3,1)B(1，1)C(3,1)或(1，1)D无数多个5若函数f(x)12sin2x8sin 2x 4，则 f(x)图像的一个对称中心的坐标为()A.2，0B.3，0C.4，0D

22、.6，06若函数 ytan 4(0)的图像向右平移6个单位后，与函数 ytan 6的图像12/28 重合，则的最小值为()A.16B.14C.13D.127在 ABC 中，三个内角A，B，C 所对的边为a，b，c，且 b2a2acc2，CA90，则 cos Acos C()A.14B.24C14D248非零向量a(sin ，2)，b(cos ，1)，若 a 与 b 共线，则tan 4_.9若 3cos 2 cos()0，则 cos2 12sin 2的值是 _10关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若 a ba c，则 bc；若 a(1，k)，b(2,6)，a b，则 k 3；非零向量a和

23、b 满足|a|b|a b|，则 a 与 ab 的夹角为 60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)五数_列基础知识看一看 一、牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式ana1(n 1)d ana1qn1(q0)前 n 项和Snn a1an2na1n n12d(1)q 1，Sna11qn1qa1anq1q(2)q 1，Snna1二、活用定理与结论1等差等比数列 an 的常用性质等差数列等比数列性质(1)若 m，n，p，qN*，且 mn pq，则 amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2m Sm，S3m S2m，仍成等差数列(1)若 m，n，p，qN*，且

24、mnpq，则 am anap aq(2)anamqnm(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)2判断等差数列的常用方法(1)定义法：13/28 an1an d(常数)(nN*)?an是等差数列(2)通项公式法：anpnq(p，q 为常数，n N*)?an 是等差数列(3)中项公式法：2an1anan2(nN*)?an 是等差数列(4)前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A，B 为常数，nN*)?an 是等差数列3判断等比数列的三种常用方法(1)定义法：an1anq(q 是不为 0 的常数，nN*)?an 是等比数列(2)通项公式法：ancqn(c，q 均是不为 0 的常数，

25、nN*)?an 是等比数列(3)中项公式法：a2n1an an2(an an1 an20，nN*)?an 是等比数列易错易混想一想 1已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n1 的情形，直接用 Sn Sn1表示事实上，当n1 时，a1S1；当 n2 时，an Sn Sn1.2易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b 的等比中项是 ab.3等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算如等差数列 an)与bn 的前 n 项和分别为Sn和 Tn，已知SnTnn12n3，求anbn时，无法正确赋值求解4易忽视等比数列中公比q0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同

26、造成增解5运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论一定分 q1 和 q1 两种情况进行讨论6对于通项公式中含有(1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知 an1an1d 或an1an1q(n 2)，求 an 的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论7数列相关问题中，切忌忽视公式中n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性如数列 an 的通项公式ann2n，求最小值，既要考虑函数f(x)x2x(x0)的单调性，又要注意 n 的取值限制条件8求等差数列 an 前 n 项和 Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件保温训练手不凉14/28 1若等差数列 an 的前 n

27、项和为 Sn，且 a2 a36，则 S4的值为()A 12B11 C 10 D9 2设 an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列 an 是递增数列”的()A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知 an 为等比数列，Sn是它的前n 项和 若 a2 a32a1，且 a4与 2a7的等差中项为54，则 S5()A 35 B33 C31 D 29 4 记 Sn是等差数列 an 的前 n 项的和，Tn是等比数列 bn 的前 n 项的积，设等差数列 an的公差 d0，若对小于 2 012 的正整数 n，都有 SnS2 012n，则推导出 a1 006 a1 007

28、0，设等比数列 bn 的公比 q1，若对于小于24 的正整数 n，都有 TnT24n，则()A b11b121 Bb12b131 Cb11b121 Db12b131 5已知 an 是等差数列，a4a66，其前 5 项和 S510，则其公差d_.6(2013 合肥质检)已知数列 an 中，a112，an111an(n2)，则 a2 014_.7设 a1，d 为实数，首项为a1，公差为d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6150，则 d 的取值范围是 _ 8将全体正整数排成一个三角形数阵：1 23 456 78910 1112131415 根据上述排列规律，数阵中第n(n3)

29、行从左至右的第3 个数是 _ 六立体几何基础知识看一看一、牢记概念与公式1简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧c h(c 为底面的周长，h 为高)(2)S正棱锥侧12ch(c 为底面周长，h为斜高)(3)S正棱台侧12(cc)h(c 与 c分别为上、下底面周长，h为斜高)(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式15/28 S圆柱侧2 rl(r 为底面半径，l 为母线)，S圆锥侧 rl(同上)，S圆台侧(r r)l(r、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)(5)体积公式V柱S h(S 为底面面积，h 为高)，V锥13S h(S 为底面面积，h 为高)，V台13(SSS S)h(S、S为上、下底面

30、面积，h 为高)(6)球的表面积和体积S球4 R2，V球43 R3.2“向量法”求解“空间角”的公式(1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b 的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则 cos|cosa，b|a b|a|b|.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则 sin|cos n，a|n a|n|a|.(3)向量法求二面角求出二面角-l-的两个半平面 与 的法向量 n1，n2，若二面角 -l-所成的角 为锐角，则 cos|cosn1，n2|n1 n2|n1|n2|；若二面角-l-所成的角 为钝角，则cos|cosn1，n2|n1 n2

31、|n1|n2|.二、活用定理与结论1把握两个规则(1)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧一样高(2)画直观图的规则画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x 轴、z 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度为原来的一半2线、面位置关系判定的六种方法16/28(1)线面平行abb?a?a ，a?a，aa?a .(2)线线平行aa?b?ab，a b?a b，a b?ab，abac?cb.(3)面面平行a?，b?abOa

32、，b?，aa?，?.(4)线线垂直ab?ab.(5)线面垂直a?，b?abOla，lb?l，la?，al?a，a?a，aba?b.(6)面面垂直a?a?，aa?.易错易混想一想 1混淆“点 A 在直线 a 上”与“直线 a 在平面 内”的数学符号关系，应表示为 Aa，a?.2在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主3易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底17/28 面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公

33、式中的系数13.4不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由 ，l，m l，易误得出 m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?的限制条件5注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系6几种角的范围两条异面直线所成的角0 90直线与平面所成的角0 90斜线与平面所成的角0 90二面角 0 180两条相交直线所成的角(夹角)0 90直线的倾斜角0 180两个向量的夹角0 180锐角 0 0)(3)圆的直径式方程：(

34、xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)4圆锥曲线定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y2 2px(p0)图形几何性质轴长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b20/28 离心率eca1b2a2(0 e1)e1 渐近线ybax 二、活用定理与结论1直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 的位置关系(1)平行?A1B2A2B10(斜率相等)且 B1C2B2C10(在 y 轴上截距不相等)；(

35、2)相交?A1B2A2B10；(3)重合?A1B2A2B10 且 B1C2B2C10；(4)垂直?A1A2B1B20.2直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0?相交，0?相离，0?相切(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr?相离，d r?相切(主要掌握几何方法)3圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为 r1，r2，则(1)当|O1O2|r1r2时，两圆外离；(2)当|O1O2|r1r2时，两圆外切；(3)当|r1r2|O1O2|r1r2时，两圆相交；(4)当|O1O2|r1r2|时

36、，两圆内切；(5)当 0|O1O2|r1r2|时，两圆内含易错易混想一想1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0 的情况，直接设为xaya1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为yy0k(xx0)等3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中一般提到的两条直线可

37、理解为它们不重合5求解两条平行线之间的距离时，考生易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式21/28|C1C2|A2B2，导致错解6圆的标准方程中考生误把r2当成 r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件7易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解8满足|PF1|PF2|2a 的点 P 的轨迹不一定是椭圆当2a|F1F2|时，点 P 的轨迹是椭圆；当 2a|F1F2|时，点 P 的轨迹是线段F1F2；当 2a0”下进行保温训练手不凉1已知直线l：ax y2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数a 的值是()A 1B 1 C 2 或1 D 2 或 1 2圆 O1：x2y22x0 和

38、圆 O2：x2y24y0 的位置关系是()A 相离B相交C外切D内切3已知曲线x2k1y23k1(kR)表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是()A k3 B1k1 Dk0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.32B2 C.52D 3 5(2013 河南安阳一模)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，1)，C(2，3)两点，D 点在直线 3xy10 上移动，则B 点的轨迹方程为()A 3xy20 0 B3xy100 C3xy90 D 3xy 120 6 已知双曲线的渐近线方程为y 3x，焦点坐标为(4,0)，(4,0)，

39、则双曲线方程为()A.x28y2241 B.x212y2141 C.x224y281 D.x24y2121 7 已知 A，B 为抛物线C：y24x 上的不同两点，F 为抛物线 C 的焦点，若FAuu u r 4FBuuu r，则直线 AB 的斜率为()22/28 A 23B32C34D438 已知 F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆x2a2y2b21 的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF1|PF2|4，则椭圆的离心率e_.9已知圆C：(x3)2(y4)24，直线 l 过定点 A(1,0)，且与圆相切，则直线l 的方程为_ 10直线 yx 3 与抛物线 y2 4x 交于 A，B 两点，过A，

40、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_八概率与统计基础知识看一看一、牢记概念与公式1概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)事件A包含的基本事件数 m基本事件总数 n；(2)互斥事件的概率计算公式P(A B)P(A)P(B)；(3)对立事件的概率计算公式P(A)1P(A)；(4)几何概型的概率计算公式P(A)构成事件 A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样(1)从容量为 N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体

41、数占总体的比确定各层应抽取的样本容量3统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x 1n(x1x2xn)23/28(4)方差与标准差方差：s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2标准差：s1n x1 x2 x2 x2 xn x2.4排列、组合数公式(1)排列数公式Amnn(n 1)(nm1)n！nm！.(2)组合数公式CmnAmnAmmn n1 nm1m！n！m！nm！.5八组公式(1)离散型随机变量的分布

42、列的两个性质pi0(i1,2，n)；p1p2 pn 1.(2)数学期望公式E(X)x1p1 x2p2 xnpn.(3)数学期望的性质E(aX b)aE(X)b；若 XB(n，p)，则 E(X)np；若 X 服从两点分布，则E(X)p.(4)方差公式D(X)(x1E(X)2 p1(x2E(X)2 p2(xnE(X)2 pn，标准差D X.(5)方差的性质D(aXb)a2D(X)；若 XB(n，p)，则 D(X)np(1 p)；若 X 服从两点分布，则D(X)p(1 p)(6)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(7)独立重复试验的概率计算公式Pn(k)Cknpk(1p)nk.

43、(8)条件概率公式P(B|A)P ABP A.二、活用定理与结论24/28 1直方图的三个结论(1)小长方形的面积组距频率组距频率(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高频率组距，所有小长方形高的和为1组距.2线性回归方程y bxa一定过样本点的中心(x，y)3 利用随机变量K2n adbc2abcdacbd来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验如果K2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越小4二项式定理的四个基本问题(1)二项式定理(ab)nC0nanb0C1nan1b Crnanrbr Cnnbn.(2)通项与二项式系数Tr1Crnanrbr，其中 C

44、rn(r0,1,2，n)叫做二项式系数(3)各二项式系数之和C0nC1nC2n Cnn2n.C1nC3n C0n C2n 2n1.(4)二项式系数的性质CrnCnrn，CrnCr1nCrn1.二项式系数最值问题当 n 为偶数时，中间一项即第n21 项的二项式系数C2nn最大；当n 为奇数时，中间两项即第n12，n 32项的二项式系数C12nn，C12nn相等且最大5如果随机变量X 服从正态分布，则记为XN(，2)满足正态分布的三个基本概率的值是：P(X )0.682 6；P(2 X 2)0.954 4；P(3 4，nN*，都有 f(n)n4，当 n 4 时，2f(n)3，则不同的函数f 的个数

45、为 _ 26/28 8某人随机地将编号为1,2,3,4 的四个小球放入编号为1,2,3,4 的四个盒子中，每个盒子中放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则就叫放错了设放对的个数为 ，则 的期望 E()_.9某单位200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40 名职工作样本用系统抽样的方法，将全体职工按1200 随机编号，并按编号顺序平均分为40 组(1 5 号，610号，196 200 号)若第 5 组抽出的号码为22，则第 8 组抽出的号码就是_ 若用分层抽样的方法，则40 岁以下年龄段应抽取_ 人10某超市为了了解热茶的销售量y(单位：杯)与气温x(单位：)之间的关系，

46、随机统计了某 4 天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温1813101 杯数24343864 由表中数据算得线性回归方程ybxa中的 b 2，预测当气温为5时，热茶销售量为_ 杯(已知回归系数bi1nxiyin xyi1nx2in x2，a y bx)九复数、算法、推理与证明基础知识看一看一、牢记概念与公式1复数的四则运算法则(abi)(cdi)(a c)(b d)i(abi)(cdi)(ac bd)(bcad)i(abi)(cdi)acbdc2d2bc adc2 d2i(a，b，c，dR，cdi0)2算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示27/28(2)条件结构：如

47、图(2)和图(3)所示(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示二、活用定理与结论1复数的几个常见结论(1)(1i)2 2i；(2)1i1ii，1i1i i；(3)i4n1，i4n1i，i4n2 1，i4n3 i，i4ni4n1i4n2i4n30(n Z)；(4)1232i，且 01，2，31,1 20.2合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察猜测一般性结论概括、推广(2)类比推理的思维过程：实验、观察联想、类推猜测新的结论易错易混想一想 1复数 z 为纯虚数的充要条件是a0 且 b0(zabi(a，bR)还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧2类比推理易盲目机械类比，不要被表

48、面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比用数学归纳法证明时，易盲目认为n0的起始取值 n01，另外注意证明传递性时，必须用 nk 成立的归纳假设3在循环体结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果保温训练手不凉 1已知 m R，复数mi1i12的实部和虚部相等，则实数m 的值为()A.12B2 C 1 D 2 2观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的28/28 函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)()A f(x)Bf(x)C g(x)D g(x)3执行如图所示的程序框图，输出

49、的S 和 n 的值分别是()A 11,3B 11,4 C9,3D9,4 4在等腰直角三角形ABC 中，设腰长为a，则斜边上的高为22a，类比上述结论，那么在三棱锥A-BCD 中，AB，AC，AD 两两垂直且相等，设长度均为a，则斜面 BCD 上的高 AE 的长度为 _ 解析：如图(1)所示，由S ABC12AB AC12BC AD 得 ADAB ACBCa a2a22a.由此类比到空间中，作AE 平面 BCD交平面BCD 于点 E，即 AE 为四棱锥A-BCD 的高(1)如图(2)所示，可知 BCD 为等边三角形，边长为2a，则由等体(2)积法可得 VA-BCDVD-ABC，即13S BCD AE1312 AB AC AD，所以 AE16a313342a233a.答案：33a