2023年相似三角形性质与判定专项练习30题有超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、 第 1 页 共 27 页 相似三角形性质和判定专项练习 30 题（有答案）1已知：如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上，且BAC=DAG，CDG=BAD（1）求证：=；（2）当 GCBC 时，求证：BAC=90 2如图，已知在ABC 中，ACB=90 ，点 D 在边 BC 上，CEAB，CFAD，E、F 分别是垂足（1）求证：AC2=AF AD；（2）联结 EF，求证：AE DB=AD EF 3如图，ABC 中，PC 平分ACB，PB=PC（1）求证：APCACB；（2）若 AP=2，PC=6，求 AC 的长 第 2 页 共 27 页 4如图，在平行四边形 ABCD 中，过 B 作 B

2、ECD，垂足为点 E，连接 AE，F 为 AE 上一点，且BFE=C（1）求证：ABFEAD；（2）若 AB=4，BAE=30，求 AE 的长 5已知：如图，ABC 中，ABC=2C，BD 平分ABC 求证：AB BC=AC CD 6已知ABC，ACB=90 ，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，ECF=45，设ABC 的面积为 S，说明 AF BE=2S的理由 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的

3、猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 3 页 共 27 页 7等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F，连接 AF，BE 相交于点 P（1）若 AE=CF；求证：AF=BE，并求APB 的度数；若 AE=2，试求 AP AF 的值；（2）若 AF=BE，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长 8如图所示，AD，BE 是钝角ABC 的边 BC，AC 上的高，求证：=9已知：如图，在ABC 中，AB=AC，DEBC，点 F 在边 AC 上，DF 与 BE 相交于点 G，且EDF=ABE 求证：（1）DE

4、FBDE；（2）DG DF=DB EF 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 4 页 共 27 页 10如图，ABC、DEF 都是等边三角形，点 D 为 AB 的中点，E 在 BC 上运动，DF 和 EF 分别交 AC 于 G、H两点，BC=2，问 E 在何处时 CH 的长度最大？11如图，AB 和 CD 交于点 O，当A=

5、C 时，求证：OA OB=OC OD 12如图，已知等边三角形AEC，以 AC 为对角线做正方形 ABCD（点 B 在AEC 内，点 D 在AEC 外）连接EB，过 E 作 EFAB，交 AB 的延长线为 F（1）猜测直线 BE 和直线 AC 的位置关系，并证明你的猜想（2）证明：BEFABC，并求出相似比 13已知：如图，ABC 中，点 D、E 是边 AB 上的点，CD 平分ECB，且 BC2=BD BA（1）求证：CEDACD；（2）求证：已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三

6、角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 5 页 共 27 页 14如图，ABC 中，点 D、E 分别在 BC 和 AC 边上，点 G 是 BE 边上一点，且BAD=BGD=C，联结 AG （1）求证：BD BC=BG BE；（2）求证：BGA=BAC 15已知：如图，在ABC 中，点 D 是 BC 中点，点 E 是 AC 中点，且 ADBC，BEAC，BE，AD 相交于点 G，过点 B 作 BFAC 交 AD 的延长线于点 F，DF=6（1）求 AE 的长；（2）求的值 16

7、如图，ABC 中，ACB=90，D 是 AB 上一点，M 是 CD 中点，且AMD=BMD，APCD 交 BC 延长线于 P 点，延长 BM 交 PA 于 N 点，且 PN=AN（1）求证：MN=MA；（2）求证：CDA=2ACD 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 6 页 共 27 页 17已知：如图，在ABC 中，已知

8、点 D 在 BC 上，联结 AD，使得CAD=B，DC=3 且 SACD：SADB12 （1）求 AC 的值；（2）若将ADC 沿着直线 AD 翻折，使点 C 落点 E 处，AE 交边 BC 于点 F，且 ABDE，求的值 18在ABC 中，D 是 BC 的中点，且 AD=AC，DEBC，与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F（1）求证：ABCFCD；（2）若 DE=3，BC=8，求FCD 的面积 19如图，ABC 为等边三角形，D 为 BC 边上一点，以 AD 为边作ADE=60，DE 与ABC 的外角平分线 CE交于点 E（1）求证：BAD=FDE；（2）设 DE 与 AC

9、相交于点 G，连接 AE，若 AB=6，AE=5 时，求线段 AG 的长 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 7 页 共 27 页 20如图所示，ABC 中，B=90，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC边向点 C 以 2cm/s 的速度移动（1）如果 P，Q

10、 分别从 A，B 同时出发，经几秒，使PBQ 的面积等于 8cm2？（2）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C 后又继续在 CA 边上前进，经过几秒，使PCQ 的面积等于 12.6cm2？21已知：如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的点，将 DB 绕点 D 顺时针旋转 60 得到线段 DE，延长 ED交 AC 于点 F，连接 DC、AE（1）求证：ADEDFC；（2）过点 E 作 EHDC 交 DB 于点 G，交 BC 于点 H，连接 AH求AHE 的度数；（3）若 BG=，CH=2，求 BC 的长 22如图，在ABC 中

11、，CD 平分ACB，BEBC 交 AC 于点 E（1）求证：AE BC=AC CE；（2）若 SADE：SCDE=4：3.5，BC=15，求 CE 的长 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 8 页 共 27 页 23如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADC=ACB=90 ，E 为 AB 的中点，（1）求证：AC

12、2=AB AD；（2）求证：CEAD；（3）若 AD=4，AB=6，求的值 24在ABC 中，CAB=90 ，ADBC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上（1）如图 1，AC：AB=1：2，EFCB，求证：EF=CD（2）如图 2，AC：AB=1：，EFCE，求 EF：EG 的值 25如图，M、N、P 分别为ABC 三边 AB、BC、CA 的中点，BP 与 MN、AN 分别交于 E、F（1）求证：BF=2FP；（2）设ABC 的面积为 S，求NEF 的面积 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点

13、连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 9 页 共 27 页 26在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，E、F 分别是 AC，BC 边上一点，且 CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求EDF 的度数 27如图，ABC 是等边三角形，且 ABCE（1）求证：ABDCED；（2）若 AB=6，AD=2CD，求 E 到 BC 的距离 EH 的长 求 BE 的长 28如图，RtAB C 是由 R

14、tABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连接 CC 交斜边于点 E，CC 的延长线交 BB 于点 F （1）若 AC=3，AB=4，求；（2）证明：ACEFBE；（3）设ABC=，CAC=，试探索 、满足什么关系时，ACE 与FBE 是全等三角形，并说明理由 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 10 页 共 27 页 29如

15、图，ABC 是等边三角形，DAE=120，求证：（1）ABDECA；（2）BC2=DB CE 30如图，在 RtABC 中，C=90，且 AC=CD=，又 E，D 为 CB 的三等分点 （1）证明：ADEBDA；（2）证明：ADC=AEC+B；（3）若点 P 为线段 AB 上一动点，连接 PE，则使得线段 PE 的长度为整数的点 P 的个数有几个？请说明理由 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证

16、明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 11 页 共 27 页 相似三角形性质和判定专项练习 30 题参考答案：1解：（1）ADC=B+BAD，且CDG=BAD，ADG=B；BAC=DAG，ABCADG，=（2）BAC=DAG，BAD=CAG；又CDG=BAD，CDG=CAG，A、D、C、G 四点共圆，DAG+DCG=180；GCBC，DCG=90，DAG=90 ，BAC=DAG=90 2解：（1）如图，ACB=90，CFAD，ACD=AFC，而CAD=FAC，ACDAFC，AC2=AF AD（2）如图，CEAB，CFAD，AEC=AFC=90，A、E、F、C

17、 四点共圆，AFE=ACE；而ACE+CAE=CAE+B，ACE=B，AFE=B；FAE=BAD，AEFADB，AE：AD=BD：EF，AE DB=AD EF 3解：（1）PB=PC，B=PCB；PC 平分ACB，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 12 页 共 27 页 ACP=PCB，B=ACP，A=A，APCACB（

18、2）APCACB，AP=2，PC=6，AB=8，AC=4 AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，该题无解 4（1）证明：ADBC，C+ADE=180，BFE=C，AFB=EDA，ABDC，BAE=AED，ABFEAD；（2）解：ABCD，BECD，ABE=90，AB=4，BAE=30，AE=2BE，由勾股定理可求得 AE=5证明：ABC=2C，BD 平分ABC，ABD=DBC=C，BD=CD，在ABD 和ACB 中，ABDACB，=，即 AB BC=AC BD，AB BC=AC CD 6证明：AC=BC，A=B，ACB=90，A=B=45，ECF=45，ECF=B=4

19、5，ECF+1=B+1，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 13 页 共 27 页 BCE=ECF+1，2=B+1；BCE=2，A=B，ACFBEC，AC BC=BE AF，SABC=AC BC=BE AF，AF BE=2S 7（1）证明：ABC 为等边三角形，AB=AC，C=CAB=60，又AE=CF，在ABE 和CAF

20、 中，ABECAF（SAS），AF=BE，ABE=CAF 又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60 APB=180 APE=120 C=APE=60，PAE=CAF，APEACF，即，所以 AP AF=12 （2）若 AF=BE，有 AE=BF 或 AE=CF 两种情况 当 AE=CF 时，点 P 的路径是一段弧，由题目不难看出当 E 为 AC 的中点的时候，点 P 经过弧 AB 的中点，此时ABP 为等腰三角形，且ABP=BAP=30，AOB=120 ，又AB=6，OA=，点 P 的路径是 当 AE=BF 时，点 P 的路径就是过点 C 向 AB 作的垂线段的长度；因为

21、等边三角形 ABC 的边长为 6，所以点 P的路径为：所以，点 P 经过的路径长为或 3 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 14 页 共 27 页 8证明：AD，BE 是钝角ABC 的边 BC，AC 上的高，D=E=90，ACD=BCE，ACDBCE，=9证明：（1）AB=AC，ABC=ACB，DEBC，ABC+BDE=

22、180，ACB+CED=180 BDE=CED，EDF=ABE，DEFBDE；（2）由DEFBDE，得 DE2=DB EF，由DEFBDE，得BED=DFE GDE=EDF，GDEEDF，DE2=DG DF，DG DF=DB EF 10解：设 EC=x，CH=y，则 BE=2x，ABC、DEF 都是等边三角形，B=DEF=60，B+BDE=DEF+HEC，BDE=HEC，BEDCHE，AB=BC=2，点 D 为 AB 的中点，BD=1，即：y=x2+2x=（x1）2+1 当 x=1 时，y 最大此时，E 在 BC 中点 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为

23、在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 15 页 共 27 页 11解：A=C，AOD=BOC，OADOCB，=，OA OB=OC OD 12解：（1）猜测 BE 和直线 AC 垂直 证明：AEC 是等边三角形，AE=CE，四边形 ABCD 是正方形，AB=CB，BE=BE，AEBCEB（SSS）AEB=CEB，AE=CE，BEAC；（2）AEC 是等边三角形，EAC=AEC=60，BEAC，BEA

24、=AEC=30，四边形 ABCD 是正方形，BAC=45，BAE=15，EBF=45，EFBF，F=90，EBF=BAC，F=ABC，BEFACB，延长 EB 交 AC 于 G，设 AC 为 2a，则 BG=a，EB=aa，相似比是：=13证明：（1）BC2=BD BA，BD：BC=BC：BA，B 是公共角，BCDBAC，BCD=A，CD 平分ECB，ECD=BCD，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你

25、的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 16 页 共 27 页 ECD=A，EDC=CDA，CEDACD；（2）BCDBAC，CEDACD，=，=，14证明：（1）DBG=EBC，BGD=C，BDGBEC，=，则 BD BC=BG BE；（2）DBA=ABC，BAD=C，DBAABC，=，即 AB2=BD BC，BD BC=BG BE，AB2=BG BE，即=，GBA=ABE，GBAABE，BGA=BAC 15解：（1）在ABC 中，点 D 是 BC 中点，点 E 是 AC 中点，且 ADBC，BEAC，AC=AB=BC，ABC 是等边三角形，C=60

26、，BFAC，CBF=C=60，ADBC，FDB=90，F=30，DF=6，BD=2，AE=EC=BD=DC，AE=2；（2）BDF=90，F=30，BD=2，BF=2DB=4，ACBF，AEGFBG，=（）2=已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 17 页 共 27 页 16证明：（1）APCD，AMD=MAN，BMD=MN

27、A，AMD=BMD，MAN=MNA，MN=MA （2）如图，连接 NC，APCD，且 PN=AN=，MC=MD，CN 为直角ACP 斜边 AP 的中线，CN=NA，NCA=NAC，APCD，NAC=ACD，NCM=2 ACD，CMN=DMB，DMA=BMD，CMD=DMA，在CMN 和DMA 中，CMN DMA（SAS），ADM=NCM=2 ACD即：CDA=2ACD 17解：（1）SACD：SADB1：2，BD=2CD，DC=3，BD=2 3=6，BC=BD+DC=6+3=9，CAD=B，C=C，ABCDAC，=，即=，解得 AC=3；（2）由翻折的性质得，E=C，DE=CD=3，ABDE，

28、B=EDF，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 18 页 共 27 页 CAD=B，EDF=CAD，EFDADC，=（）2=（）2=18（1）证明：D 是 BC 的中点，DEBC，BE=CE，B=DCF，AD=AC，FDC=ACB，ABCFCD；（2）解：过 A 作 AGCD，垂足为 G AD=AC，DG=CG，BD：BG

29、=2：3，EDBC，EDAG，BDEBGA，ED：AG=BD：BG=2：3，DE=3，AG=，ABCFCD，BC=2CD，=（）2=SABC=BC AG=8=18，SFCD=SABC=19（1）证明：ABC 为等边三角形，B=60，由三角形的外角性质得，ADE+FDE=BAD+B，ADE=60，BAD=FDE；（2）解：如图，过点 D 作 DHAC 交 AB 于 H，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你

30、的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 19 页 共 27 页 ABC 为等边三角形，BDH 是等边三角形，BHD=60，BD=BH，AHD=180 60=120，CE 是ABC 的外角平分线，ACE=（180 60）=60，DCE=60+60=120，AHD=DCE=120，又AH=AB BH，CD=BC BD，AH=CD，在AHD 和DCE 中，AHDDCE（ASA），AD=DE，ADE=60，ADE 是等边三角形，DAE=DEA=60，AE=AD=5，BAD=BACCAD=60 CAD，EAG=DAECAD=60 CAD，BAD=EAG，ABDA

31、EG，=，即=，解得 AG=20解：（1）设 x 秒时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使PBQ 面积为 8cm2，由题意得（6x）2x=8，解之，得 x1=2，x2=4，经过 2 秒时，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处；或经 4 秒，点 P 到距离 B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处，PBQ 的面积为 8cm2，综上所述，经过 2 秒或 4 秒，PBQ 的面积为 8cm2；（2）当 P 在 AB 上时，经 x 秒，PCQ 的面积为：PB CQ=（6x）（82x）=12.6，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由

32、第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 20 页 共 27 页 解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经 x 秒，点 P 移动到 BC 上，且有 CP=（14x）cm，点 Q 移动到 CA 上，且使 CQ=（2x8）cm，过 Q 作 QDCB，垂足为 D，由CQDCAB 得，即 QD=，由题意得（14x）=12.6，解之得 x1=7，x2=11 经 7 秒，点 P 在 BC

33、 上距离 C 点 7cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处，使PCQ 的面积等于 12.6cm2 经 11 秒，点 P 在 BC 上距离 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 14cm 处，1410，点 Q 已超出 CA 的范围，此解不存在 综上所述，经过 7 秒和秒时PCQ 的面积等于 12.6cm2 21（1）证明：如图，线段 DB 顺时针旋转 60 得线段 DE，EDB=60，DE=DB ABC 是等边三角形，B=ACB=60 EDB=B EFBC DB=FC，ADF=AFD=60 DE=DB=FC，ADE=DFC=120，ADF 是等边三角形 AD=DF

34、 ADEDFC （2）解：由ADEDFC，得 AE=DC，1=2 EDBC，EHDC，四边形 EHCD 是平行四边形 EH=DC，3=4 AE=EH AEH=1+3=2+4=ACB=60 AEH 是等边三角形 AHE=60 （3）解：设 BH=x，则 AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形 EHCD 是平行四边形，ED=HC DE=DB=HC=FC=2 EHDC，BGHBDC 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线

35、的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 21 页 共 27 页 即 解得 x=1 BC=3 22（1）证明：DEBC，ADE=B，AEC=ACB，ADEABC，=，DEBC，EDC=BCD，CD 平分ACB，BCD=DCE，DCE=EDC，DE=CE，=，即 AE BC=AC CE；（2）SADE：SCDE=4：3.5，AE：CE=4：3.5，=，由（1）知=，=，解得 DE=6，DE=CE，CE=8 23 （1）证明：AC 平分DAB，DAC=CAB，ADC=ACB=90 ，ADCACB，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的

36、理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 22 页 共 27 页 AD：AC=AC：AB，AC2=AB AD；（2）证明：E 为 AB 的中点，CE=AB=AE，EAC=ECA，DAC=CAB，DAC=ECA，CEAD；（3）解：CEAD，AFDCFE，AD：CE=AF：CF，CE=AB，CE=6=3，AD=4，24（1）证明：如图 1，在ABC 中，CAB=90 ，AD

37、BC 于点 D，CAD=B=90 ACB AC：AB=1：2，AB=2AC，点 E 为 AB 的中点，AB=2BE，AC=BE 在ACD 与BEF 中，ACDBEF，CD=EF，即 EF=CD；（2）解：如图 2，作 EHAD 于 H，EQBC 于 Q，EHAD，EQBC，ADBC，四边形 EQDH 是矩形，QEH=90，FEQ=GEH=90 QEG，又EQF=EHG=90，EFQEGH，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和

38、直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 23 页 共 27 页 EF：EG=EQ：EH AC：AB=1：，CAB=90 ，B=30 在BEQ 中，BQE=90，sinB=，EQ=BE 在AEH 中，AHE=90，AEH=B=30，cosAEH=，EH=AE 点 E 为 AB 的中点，BE=AE，EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3 25（1）证明：如图 1，连接 PN，N、P 分别为ABC 边 BC、CA 的中点，PNAB，且 ABFNPF，BF=2FP （2）解：如图 2，取 AF 的中点 G，连接 MG，MGEF，A

39、G=GF=FN NEFNMG，SNEF=SMNG=SAMN=SABC=S 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 24 页 共 27 页 26（1）证明：CDAB，CDB=ADC=90 ，ACD+BCD=90 ，ACB=90，A+ACD=90，A=BCD，ADCCDB，=；（2）解：CE=AC，BF=BC，=，又A=BCD，A

40、CD=B，CEDBFD，CDE=BDF，EDF=EDC+CDF=BDF+CDF=CDB=90 27解；（1）ABCE，A=DCE，又ADB=EDC，ABDCED；已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 25 页 共 27 页 （2）过点 E 作 EHBF 于点 H，ABC 是等边三角形，ABDCED，AB=6，AD=2CD，=

41、，A=ACB=60 ，CE=3，ABCE，A=DCE=60，ECH=180 ACBDCE=180 60 60=60，EH=CE sin60=3=；在 RtECH 中，ECH=60，CE=3，CH=CE cos60=3=，BH=BC+CH=6+=，BE=3 28（1）解：AC=AC ，AB=AB ，由旋转可知：CAB=C AB，CAB+EAC=C AB+EAC，即CAC=BAB，又ACB=AC B=90，ACC ABB，AC=3，AB=4，=；（2）证明：RtAB C 是由 RtABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，AC=AC ，AB=AB ，CAB=C AB，（1 分）CAC=BAB，ABB=A

42、B B=ACC=AC C，ACC=ABB，（3 分）又AEC=FEB，ACEFBE（4 分）已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 26 页 共 27 页（3）解：当 =2时，ACEFBE理由：在ACC 中，AC=AC ，ACC=AC C=90 ，（6 分）在 RtABC 中，ACC+BCE=90，即 90 +BCE=90，B

43、CE=90 90+=，ABC=，ABC=BCE，（8 分）CE=BE，由（2）知：ACEFBE，ACEFBE（9 分）29证明：（1）ABC 是等边三角形，DAE=120，DAB+CAE=60，ABC 是ABD 的外角，DAB+D=ABC=60，CAE=D，ABC=ACB=60，ABD=ACE=120，ABDECA；（2）ABDECA，=，即 AB AC=BD CE，AB=AC=BC，BC2=BD CE 30 （1）证明：AC=CD=DE=EB=，又C=90，AD=2，=，=，已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相

44、交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分 第 27 页 共 27 页=，又ADE=BDA，ADEBDA；（2）证明：ADEBDA，DAE=B，又ADC=AEC+DAE，ADC=AEC+B；（3）解：点 P 为线段 AB 上一动点，根据勾股定理得：AE=，BE=，PE 的最大值为 作 EFAB，则 EF=，则 PE 的最小值为 EP，EP 为整数，即 EP=1，2，3，结合图形可知 PE=1 时有两个点，所以 PE 长为整数的点 P 个数为 4 个 已知如图中平分求证已知点在上设的面积为说明的理由第页共页等边三角形的边长为在边上各取一点连接相交于点若在中点在边上与相交于点且求证第页共页如图都是等边三角形点为的中点在上运动和分别交于两点问在何处时的长度线和直线的位置关系并证明你的猜想证明并求出相似比已知如图中点是边上的点平分且求证求证第页共页如图中点分