2023年线性代数练习题及超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、线性代数练习题及答案 1/7 线性代数期中练习 一、单项选择题。1.12021kk的充分必要条件就是()。(A)1k (B)3k (C)1k 且3k (D)1k 或3k 2.若 ABAC,当()时,有 BC。(A)A 为 n 阶方阵 (B)A 为可逆矩阵(C)A 为任意矩阵 (D)A 为对称矩阵 3.若三阶行列式Maaaaaaaaa333231232221131211,则333231232221131211222222222aaaaaaaaa()。(A)6M (B)6M (C)8M (D)8M 4.齐次线性方程组123123123000axxxxaxxxxx 有非零解,则a应满足()。(A)0

2、a;(B)0a;(C)1a;(D)1a.5.设12,就是Axb的两个不同的解,12,就是0Ax的基础解系,则Axb 的通解就是()。(A)11212121()()2cc (B)11212121()()2cc (C)11212121()()2cc (D)11212121()()2cc 二.填空题。6.A=(1,2,3,4),B=(1,-1,3,5),则 ABT=。7.已知 A、B 为 4 阶方阵,且A2,B3,则|5AB|=。|(AB)-1|=。8、在分块矩阵 A=BOOC中,已知1B、1C存在,而O就是零矩阵,则 1A 。线性代数练习题及答案 2/7 9.设D=7345327254321111

3、,则44434241AAAA 。10.设矩阵 A=123235471,则 A 的秩 R(A)=。三.计算题(要求写清计算过程)11、设111111111A,123124051B,求32ABA。12.计算行列式 121212123xnxnDxnxLLLM M M OML。13.解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0 xxxxxxxxxxxx。14.解矩阵方程AXBX,其中01011111,2010153AB。15.a取何值时,线性方程组12312312311xxxaaxxxxxax 有解,并求其解。四.证明题(每题 5 分,共 10 分)16、设向量组321,线性无关

4、,证明以下向量组线性无关:112 ,322,313。17.设n阶矩阵A满足224AAIO、证明:A可逆并求1A。线性代数参考答案 一、单项选择题。1.12021kk的充分必要条件就是(C )。通解就是二填空题则已知为阶方阵且则在分块矩阵中已知存在而就是零矩阵则线性代数练习题及答案设则设设矩阵则题分共分有解并求其解设向量组线性无关证明以下向量组线性无关设阶矩阵满足证明可逆并求线性代数参考答案一单三阶行列式则齐次线性方程组有非零解则应满足设就是的两个不同的解就是的基础解系则的通解就是二填空题则已知线性代数练习题及答案 3/7 (A)1k (B)3k (C)1k 且3k (D)1k 或3k 2.若

5、ABAC,当(B )时,有 BC。(A)A 为 n 阶方阵 (B)A 为可逆矩阵(C)A 为任意矩阵 (D)A 为对称矩阵 3.若三阶行列式Maaaaaaaaa333231232221131211,则333231232221131211222222222aaaaaaaaa(D )。(A)6M (B)6M (C)8M (D)8M 4.齐次线性方程组123123123000axxxxaxxxxx 有非零解,则a应满足(D )。(A)0a;(B)0a;(C)1a;(D)1a.5.设12,就是Axb的两个不同的解,12,就是0Ax的基础解系,则Axb的通解就是(A )。(A)11212121()()2

6、cc (B)11212121()()2cc (C)11212121()()2cc (D)11212121()()2cc 二.填空题。6.A=(1,2,3,4),B=(1,-1,3,5),则 ABT=28。7.已知 A、B 为 4 阶方阵,且A2,B3,则|5AB|=-3750 。|(AB)-1|=-1/6 。(答对其中一空给 2 分)8、在分块矩阵 A=BOOC中,已知1B、1C存在,而O就是零矩阵,则 1A 11BOOC 。9.设D=7345327254321111,则44434241AAAA 0 。通解就是二填空题则已知为阶方阵且则在分块矩阵中已知存在而就是零矩阵则线性代数练习题及答案设则

7、设设矩阵则题分共分有解并求其解设向量组线性无关证明以下向量组线性无关设阶矩阵满足证明可逆并求线性代数参考答案一单三阶行列式则齐次线性方程组有非零解则应满足设就是的两个不同的解就是的基础解系则的通解就是二填空题则已知线性代数练习题及答案 4/7 10.设矩阵 A=123235471,则 A 的秩 R(A)=2 。三.计算题(要求写清计算过程)11、设111111111A,123124051B,求32ABA。解:1111230152433 111124015181110516270AB 0152422232015 182226270222ABA =21322217204292。12.计算行列式 1

8、21212123xnxnDxnxLLLM M M OML。解:1(1)122121(1)2122121(1)221231(1)232xn nnxnxn nxnxnDxnxn nxnxxn nxLLLLLLM M M OMMM M OMLL 112121(1)122123nxnxn nxnx LLLM M M OML 通解就是二填空题则已知为阶方阵且则在分块矩阵中已知存在而就是零矩阵则线性代数练习题及答案设则设设矩阵则题分共分有解并求其解设向量组线性无关证明以下向量组线性无关设阶矩阵满足证明可逆并求线性代数参考答案一单三阶行列式则齐次线性方程组有非零解则应满足设就是的两个不同的解就是的基础解系则

9、的通解就是二填空题则已知线性代数练习题及答案 5/7 11201001(1)01202011nxxn nxxn LLLMMMOML=1(1)(1)(2)()2xn nxxxnL。13.解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0 xxxxxxxxxxxx 解:先给出系数矩阵并对其做初等行变换 115111233181A31012701220000 得出原方程组的同解方程组 1342343 027 202xxxxxx 设314212,xc xc c c为任意常数.得到方程组的全部解为 123412123 7(,)(,1,0)(1,2,0,1),2 2 TTTx xx xcc

10、c c 为任意常数。14.解矩阵方程AXBX,其中01011111,2010153AB。解:由AXBX 得()IA XB。因为0IA 所以1()XIAB。1111002/31/3()10112/31/310201/31/3IA 通解就是二填空题则已知为阶方阵且则在分块矩阵中已知存在而就是零矩阵则线性代数练习题及答案设则设设矩阵则题分共分有解并求其解设向量组线性无关证明以下向量组线性无关设阶矩阵满足证明可逆并求线性代数参考答案一单三阶行列式则齐次线性方程组有非零解则应满足设就是的两个不同的解就是的基础解系则的通解就是二填空题则已知线性代数练习题及答案 6/7 因而102/31/311()12/3

11、1/32001/31/353XIAB =312011 15.a取何值时,线性方程组12312312311xxxaaxxxxxax 有解,并求其解。解:2111111()11 10111111001 1aaAbaaaaaaa 当1231()(|)3,1,2,1;ar Ar A bxxax 时，有唯一解：当1a 时，111 1(|)000 0000 0A b即原方程组与下面方程 1231xxx 同解,其中23,xx就是自由变量、23(,)(0,0)TTxx取得到一个特解为(1,0,0).T 原方程组的导出组与方程123xxx 同解、23(,)(1,0),(0,1)TTTxx分别取得到一个基础解系为

12、:(1,1,0),(1,0,1)TT 因此,当1a 时，方程组的通解为:1212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1),.TTTccc c，为任意常数 四.证明题(每题 5 分,共 10 分)16、设向量组321,线性无关,证明以下向量组线性无关:112 ,322,313。证明:设0332211kkk,所以 131122233()()()0kkkkkk,通解就是二填空题则已知为阶方阵且则在分块矩阵中已知存在而就是零矩阵则线性代数练习题及答案设则设设矩阵则题分共分有解并求其解设向量组线性无关证明以下向量组线性无关设阶矩阵满足证明可逆并求线性代数参考答案一单三阶行列式则齐次线性方程组有非零解则

13、应满足设就是的两个不同的解就是的基础解系则的通解就是二填空题则已知线性代数练习题及答案 7/7 因为321,线性无关,所以131223000kkkkkk,系数行列式1011100011,所以方程只有零解,即0321kkk,故321,无关。17.设n阶矩阵A满足224AAIO、证明:A可逆并求1A。证明:由224AAIO可得 224AAI,进一步(2)/4A AII,因此,A可逆且1(2)/4AAI。通解就是二填空题则已知为阶方阵且则在分块矩阵中已知存在而就是零矩阵则线性代数练习题及答案设则设设矩阵则题分共分有解并求其解设向量组线性无关证明以下向量组线性无关设阶矩阵满足证明可逆并求线性代数参考答案一单三阶行列式则齐次线性方程组有非零解则应满足设就是的两个不同的解就是的基础解系则的通解就是二填空题则已知