2023年高考数学压轴题小题.pdf

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1、 第1页（共12页）高考数学压轴题小题 参考答案与试题解析 一选择题（共 6 小题）1已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50 B0 C2 D50【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则 f（x+2）=f（x），则 f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+

2、f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C 2）已知 F1，F2是椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点，A是 C的左顶点，点 P 在过 A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则 C的离心率为（）A B C D【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线 AP的方程为：y=（x+a），由F1F2P=120，|PF2|=|F1F2|=2c，则 P（2c，c），代入直线 AP：c=（2

3、c+a），整理得：a=4c，题意的离心率 e=第2页（共12页）故选：D 3设 D 是函数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A B C D0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1）=，0 时，此时得到的圆心角为，0，然而此时 x=0 或者 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 x=，此时旋转，此时满足一个 x

4、只会对应一个 y，因此答案就选：B 故选：B 4 已知，是平面向量，是单位向量 若非零向量 与 的夹角为，向量 满足4+3=0，则|的最小值是（）A1 B+1 C2 D2【解答】解：由4+3=0，得，（）（），如图，不妨设，第3页（共12页）则 的终点在以（2，0）为圆心，以 1 为半径的圆周上，又非零向量 与 的夹角为，则 的终点在不含端点 O 的两条射线 y=（x0）上 不妨以 y=为例，则|的最小值是（2，0）到直线的距离减 1 即 故选：A 5已知四棱锥 SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点）设 SE与 BC所成的角为 1，SE与平面 ABCD所成

5、的角为 2，二面角 SABC的平面角为 3，则（）A123 B321 C132 D231【解答】解：由题意可知 S 在底面 ABCD的射影为正方形 ABCD的中心 过 E作 EF BC，交 CD于 F，过底面 ABCD的中心 O 作 ONEF交 EF于 N，连接 SN，取 AB中点 M，连接 SM，OM，OE，则 EN=OM，则 1=SEN，2=SEO，3=SMO 显然，1，2，3均为锐角 tan1=，tan3=，SNSO，13，又 sin3=，sin2=，SESM，32 第4页（共12页）故选：D 6函数 y=2|x|sin2x 的图象可能是（）A B C D【解答】解：根据函数的解析式 y

6、=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除 A和 B 当 x=时，函数的值也为 0，故排除 C 故选：D 二填空题（共 9 小题）7在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线 y=x 的距离为c，第5页（共12页）可得：=b=，可得，即 c=2a，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：2 8若函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（x）在 1，1 上的最大值与最小值的和为 3 【解答】解：函数

7、f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa），x（0，+），当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又 f（x）只有一个零点，f（）=+1=0，解得 a=3，f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x 1，1，f（x）0 的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x）min=f（1

8、）=4，f（x）max=f（0）=1，f（x）在 1，1 上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=4+1=3 9已知 a0，函数 f（x）=若关于 x 的方程 f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是（4，8）【解答】解：当 x0 时，由 f（x）=ax 得 x2+2ax+a=ax，第6页（共12页）得 x2+ax+a=0，得 a（x+1）=x2，得 a=，设 g（x）=，则 g（x）=，由 g（x）0 得2x1 或1x0，此时递增，由 g（x）0 得 x2，此时递减，即当 x=2 时，g（x）取得极小值为 g（2）=4，当 x0 时，由 f（x）=ax

9、 得x2+2ax2a=ax，得 x2ax+2a=0，得 a（x2）=x2，当 x=2 时，方程不成立，当 x2 时，a=设 h（x）=，则 h（x）=，由 h（x）0 得 x4，此时递增，由 h（x）0 得 0 x2 或 2x4，此时递减，即当 x=4 时，h（x）取得极小值为 h（4）=8，要使 f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解，则由图象知 4a8，故答案为：（4，8）第7页（共12页）10已知椭圆 M：+=1（ab0），双曲线 N：=1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 2 【

10、解答】解：椭圆 M：+=1（ab0），双曲线 N：=1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得 e=同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为 e=2 故答案为：；2 11已知实数 x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为 +【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由 x12+y12=1，x22+

11、y22=1，x1x2+y1y2=，可得 A，B两点在圆 x2+y2=1 上，且=11cosAOB=，即有AOB=60，第8页（共12页）即三角形 OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点 A，B两点 到直线 x+y1=0 的距离 d1与 d2之和，显然 A，B在第三象限，AB所在直线与直线 x+y=1 平行，可设 AB：x+y+t=0，（t0），由圆心 O 到直线 AB的距离 d=，可得 2=1，解得 t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+12已知常数 a0，函数 f（x）=的图象经过点 P（p，），Q（q，）若 2p+q=36pq，则 a=6 【解答】解：函数 f

12、（x）=的图象经过点 P（p，），Q（q，）则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于 a0，故：a=6 第9页（共12页）故答案为：6 13已知 R，函数 f（x）=，当=2 时，不等式 f（x）0 的解集是 x|1x4 若函数 f（x）恰有 2 个零点，则 的取值范围是（1，3（4，+）【解答】解：当=2 时函数 f（x）=，显然 x2 时，不等式 x40 的解集：x|2x4；x2 时，不等式 f（x）0 化为：x24x+30，解得 1x2，综上，不等式的解集为：x|1x4 函数 f（x）恰有 2 个零点，函数 f（x）=的草图如图：函数

13、 f（x）恰有 2 个零点，则 1 3 或 4 故答案为：x|1x4；（1，3（4，+）14已知点 P（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点 A，B满足=2，则当 m=5 时，点 B横坐标的绝对值最大【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），由 P（0，1），=2，可得x1=2x2，1y1=2（y21），即有 x1=2x2，y1+2y2=3，又 x12+4y12=4m，第10页（共12页）即为 x22+y12=m，x22+4y22=4m，得（y12y2）（y1+2y2）=3m，可得 y12y2=m，解得 y1=，y2=，则 m=x22+（）2，即有 x22=m（）2=，即有 m=5

14、 时，x22有最大值 4，即点 B横坐标的绝对值最大 故答案为：5 15从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数（用数字作答）【解答】解：从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字有种方法，从 2，4，6，0 中任取 2 个数字不含 0 时，有种方法，可以组成=720 个没有重复数字的四位数；含有 0 时，0 不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数 故答案为：1260 三解答题（共 2 小题）16设常数 aR，函数 f（x）=asin2x+2cos2x

15、（1）若 f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若 f（）=+1，求方程 f（x）=1在区间 ，上的解【解答】解：（1）f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）为偶函数，f（x）=f（x），第11页（共12页）asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，2asin2x=0，a=0；（2）f（）=+1，asin+2cos2（）=a+1=+1，a=，f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，f（x）=1，2sin（2x+）+1=1，sin（2x+）=，2x+=+2k，或 2x+=+2k，kZ，x=

16、+k，或 x=+k，kZ，x ，x=或 x=或 x=或 x=17已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（，）（）求 sin（+）的值；（）若角 满足 sin（+）=，求 cos的值【解答】解：（）角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 P（，）x=，y=，r=|OP|=，sin（+）=sin=；（）由 x=，y=，r=|OP|=1，得，又由 sin（+）=，得=，第12页（共12页）则 cos=cos （+）=cos（+）cos+sin（+）sin=，或 cos=cos （+）=cos（+）cos+sin（+）sin=cos的值为或