2023年线性代数第六章二次型试卷最新版及超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、线性代数第六章二次型试题及答案 1 第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型就是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x1,x2,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+2a1nx1xn+a22x22+2a23x1x3+2a1nx1xn+annxn2 =212niiiijijiija xa x x、它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵 A nnnnnnnnninjjiijnxxxaaaaaaaaaxxxxxaxxxf21212222111211211121),(),(记TxxxX,21,则 f(x1,x2,xn)=X TAX 称对称阵A为二次型f的矩阵,称对称

2、阵A的秩为二次型f的秩、注意:一个二次型f的矩阵 A必须就是对称矩阵且满足AXXfT,此时二次型的矩阵就是唯一的,即二次型f与它的矩阵 A(A为对称阵)就是一一对应的,因此,也把二次型f称为对称阵 A的二次型。实二次型 如果二次型的系数都就是实数,并且变量 x1,x2,xn的变化范围也限定为实数,则称为实二次型、大纲的要求限于实二次型、标准二次型 只含平方项的二次型,即形如2222211nnxdxdxdf 称为二次型的标准型。规范二次型 形如221221qpppxxxx的二次型,即平方项的系数只 1,-1,0,称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换与矩阵的合同关系 对二次型f(x1,x2,x

3、n)引进新的变量y1,y2,yn,并且把x1,x2,xn表示为它们的齐一次线性函数 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 代入 f(x1,x2,xn)得到 y1,y2,yn的二次型 g(y1,y2,yn)、把上述过程称为对二次型 f(x1,x2,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c11 c12 c1n C=c21 c22 c2n cn1 cn2 cnn 就是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换、下面讲的都就是可逆线性变量替换、变换式可用矩阵乘积写出:CYX YACCYCYACYAXXfTTTT)()()(记ACCBT,则B

4、BT,从而BYYfT。由ACCBT知,两个 n 阶对称矩阵 A与 B合同且 r(A)=r(B)定理 1:二次型AXXfT经可逆线性变换CYX 后,变成新的二次型BYYfT,它的矩阵ACCBT且)()(BrAr 定理 2:两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同、三、正交变换化二次型为标准型 定理 3:对实二次型AXXfT,其中AAT,总有正交变换QYX,使2222211)(nnTTTTyyyYYYAQQYAXXf 其中 n21,为 f 的矩阵 A的特征值。线性代数第六章二次型试题及答案 2 因为Q 就是正交矩阵,则AQQAQQBT1,即经过二次型变换,二次型矩阵不

5、仅合同而且相似。将二次型f用正交变换化为标准形的一般步骤为:(1)写出二次型f的矩阵 A(2)求出 A的全部相异特征值m,21,对每一个特征值求出其线性无关的特征向量,并利用施密特正交化方法将其正交单位化,将上面两两正交的单位向量作为列向量,排成一个n阶方阵Q,则Q为正交阵且AQQAQQT1为对角阵。(3)作正交变换QYX,即可将二次型化为只含平方项的标准型 四、配方法(略,见例)、五、惯性定理与惯性指数 定理 4:若二次型AXXfT经过可逆线性变换化为标准形,则标准型中所含平方项的个数等于二次型的秩。定理 5:一个二次型所化得的标准二次型虽然不就是唯一的,但就是它们的平方项的系数中,正的个数

6、与负的个数就是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数与负惯性指数,这个定理称为惯性定理 一个二次型所化得的规范二次型221221qpppxxxx在形式上就是唯一的,称为其规范形,其中的自然数 p,q 就就是原二次型的正,负惯性指数。性质 1:两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等、(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等、)性质2:由正交变换法瞧出,实对称矩阵A的正(负)惯性指数就就是它的正(负)特征值的个数、六、正定二次型与正定矩阵 定义 1:如果当 x1,x2,xn不全为 0 时,有 f(x1,x2,xn)0,称二

7、次型 f(x1,x2,xn)称为正定二次型 如果实对称矩阵 A 所决定的二次型正定,则称 A 为正定矩阵,于就是 A 为正定矩阵也就就是满足性质:当 X 0 时,一定有 X TAX0,且 A 一定就是就是对称矩阵。二次型的正定性就是在可逆线性变量替换中保持不变的、即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变、(2)性质与判断 实对称矩阵A正定合同于单位矩阵、即存在可逆矩阵Q使TQ AQE,或者存在可逆矩阵P,使得AEPPT 对任意可逆矩阵 C,ACCT正定(即合同的矩阵,有相同的正定性)。A的正惯性指数等于其阶数 n、A的特征值都就是正数、A 的顺序主子式全大于 0、顺序主子式:一个 n 阶矩阵有

8、 n 个顺序主子式,第 r 个(或称 r 阶)顺序主子式即A的左上角的 r 阶矩阵Ar的行列式|Ar|、判断正定性的常用方法:顺序主子式法,特征值法,定义法、0AA不可逆 nAr)(Ax=0 有非零解 0 就是 A 的特征值 A 的列(行)向量组线性相关 A就是n阶可逆矩阵:个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了线性变量替换如果其中的系数矩阵就是线性代数第六章二次

9、型试题及答案 3 0A(就是非奇异矩阵);()r An(就是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组0Ax 只有零解;nbR,Axb总有唯一解;A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为 0;TA A就是正定矩阵;可由 1,2,n惟一线性表示 =x1a1+x22+xnn Ax=有惟一解 x=(x1,x2,xn)T,A=(1,2,n)r(A)=r(AM)=n|A|0 Ax=0 只有零解 =0 不就是 A 的特征值 AB=0A(b1,b2,bs)=0,B=(b1,b2,bs)Abj=0,j=1,2,s b1,b2,bs均为 Ax=0 的解(r(A)+r(B)n)若 bj0

10、 且 A 为 n 阶方阵时,bj为对应特征值 j=0 的特征向量 A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关。AB=CA(b1,b2,br)=(C1,C2,Cr)Abj=Cj,j=1,2,r bj为 Ax=Cj的解、C1,C2,Cr可由 A 的列向量组 1,2,s线性表示、r(C)=r(AB)r(A)或 r(B)C 的行向量组可由 B 的行向量组线性表示。例 题 一、概念型题 1、写出二次型32312221321622),(xxxxxxxxxxf的矩阵 031311110232313322212312121xxxxxxxxxxxxxxxA 2 题答案:0000031001220021 2、

11、二次型322123222143212432),(xxxxxxxxxxxf的矩阵就是_。3、矩阵314122421A对应的二次型就是_。答案:32312123222128432xxxxxxxxx、4、已知二次型323121322221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换 x=Py 可化成标准型216yf,则 a=解:aaaA 60063a 5、已知二次型3231212322212225xbxxxxaxxxxAxxT的秩为 2,(2,1,2)T就是 A 的特征向量,那么经正交变换后二次型的标准型就是 解:二次型对应的矩阵 A 为:005011115112ababaabbaa

12、A baAr2 因为(2,1,2)T就是 A 的特征向量,所以21221211511aaaa,2,3 a 036EA6,3,0321,222163yyf 二、化二次型为标准型 1、用配方法将下列二次型化为标准形,并判断正、负惯性指数的个数,然后写出其规范形。个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了线性变量替换如果其中的系数矩阵就是线性代数第六章二次型试题及答案 4(

13、1)323121232221321222),(xxxxxxxxxxxxf 解:先集中含有 x1的项,凑成一个完全平方,再集中含有 x2的项,凑成完全平方 3223223121213212)22(),(xxxxxxxxxxxxf=322322322322232122xxxxxxxxxxx 22232232122xxxxxx 设32332211322321321yyxyxyyxyxyxxyxxx,321321110100011yyyxxx,Qyx 标准型:23222122yyyf,正惯性指数:2p,负惯性指数:1q 规范性:232221zzzf(2)f(x1,x2,x3)=x12+2x22+2x1

14、x2-2x1x3+2x2x3、解:f(x1,x2,x3)=(x12+2x1x2-2x1x3)+2x22+2x2x3=23232232152xxxxxx 设3323213212yxyxxyxxx,Cyx,标准型:2322215yyyf 正惯性指数:2p,负惯性指数:1q,规范性:232221zzzf (3)f(x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3、解:像这种不含平方项的二次型,应先做线性变换:33212211yxyyxyyx,CyX,100011011C,2322231222yyyyf 设:3322311,yzyzyyz,zzCy1000101012 标准型:23222122

15、2zzzf,规范性:232221zzzf 2、设二次型 f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b0),其中 A 的特征值之与 为 1,特征值之积为-12、(1)求 a,b、(2)用正交变换化 f(x1,x2,x3)为标准型。解:二次型的矩阵:200200bbaA,因为122a,212242bbaA(2)3,20323212EA T0,1,0211 T1,0,22 T2,0,1333 因为它们已经两两正交,所以只需要单位化。TTT2,0,1511,0,25110,0321 321,Q 2332222111yyyAQQAQQT 3、已知二次型 f(x1,

16、x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为 2、(1)求 a、(2)求作正交变换 X=QY,把 f(x1,x2,x3)化为标准形、(3)求方程 f(x1,x2,x3)=0 的解、解:本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个知识点,特别就是第三部分比较新颖。个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了

17、线性变量替换如果其中的系数矩阵就是线性代数第六章二次型试题及答案 5 二次型的矩阵 A 为:200011011aaaaA,0200011011aaaaA得 a=0 这里200011011A,可求出其特征值为0,2321 解 0)2(xAE,得特征向量为:1,0,0,0,1,121 解 0)0(xAE,得特征向量为:0,1,13 由于21,3已经正交,直接将21,3单位化,得:0,1,121,1,0,0,0,1,121321 令321Q,即为所求的正交变换矩阵,由 x=Qy,可化原二次型为标准形:),(321xxxf=.222221yy (III)由),(321xxxf=222122yy0,得k

18、yyy321,0,0(k 为任意常数)、从而所求解为:x=Qy=0003321cckk,其中 c 为任意常数。4、设二次型 2221231231 323,122f x x xaxaxaxx xx x ()求二次型f的矩阵的所有特征值;()若二次型f的规范形为2212yy,求a的值。)若规范形为2212yy,说明有两个特征值为正,一个为 0。则 若10a,则 220 ,31,不符题意 若20,即2a,则120,330,符合 若30,即1a ,则110 ,230 ,不符题意 综上所述,故2a 5、已知向量T)0 ,1 ,1(就是二次型3231212321321222),(xbxxxxxxaxAxx

19、xxxfT的矩阵A 的特征向量,求正交变换化该二次型为标准型。解:110111bbaA,又因为T)0 ,1 ,1(就是 A 的特征向量,设所对应的特征值为,有A。个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了线性变量替换如果其中的系数矩阵就是线性代数第六章二次型试题及答案 6 即011011110111bba,0111ba,即0111ba。101ba,则111101110

20、A。计 算A的 特 征 多 项 式)3)(1(2AE,则A的 特 征 值 为11,32,33,其基础解系为T)31 ,1 ,1(T)31 ,1 ,1(。因为、已经正交,所以只需要把它们单位化。令TP,3263132631032613261213261326121,则 P 为正交矩阵,作正交变换pyx,得)()(pyApyAxxfTTyAppyTT)(=23222133yyy。6、解:3412aa 10101301111113112bbbbbbbA,因为 3 个向量已经正交,只需要将其单位化 三、关于正定的判断 1、判断 3 元二次型3221232221445xxxxxxxf的正定性 解:120

21、252021A,用顺序主子式判断大于 0,所以就是正定的。2、当_时,实二次型3231212322213214225),(xxxxxtxxxxxxxf就是正定的、解:5212111ttA,01112ttt,所以 1|t 且 05452121112tttt,054,0452ttt 所以,当 054t时,二次型就是正定的、3、设 n 阶实对称矩阵 A特征值分别为 1,2,n,则当 t _时,AtE 就是正定个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二

22、次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了线性变量替换如果其中的系数矩阵就是线性代数第六章二次型试题及答案 7 的、解:AtE 的特征值为nttt,2,1、若AtE 就是正定的,则 0,02,01nttt 4、设 A 就是 3 阶实对称矩阵,满足022 AA,并且 r(A)=2、(1)求 A 的特征值、(2)当实数 k 满足什么条件时EkA正定?解:2,002022AAAA 因为,2Ar所以特征值为0,-2,-2 (2)EkA的特征值为 1,1-2k,21021kk 5、23212322321321)3()32()2(),(axxxxxxaxxxxxf 已知

23、上述二次型正定,则 a 的取值为 解:),(321xxxf当321,xxx不全为 0 时,二次型正定。02321xaxx,03232 xx,03321axxx 若321,xxx同时全为 0,即齐次线性方程组只有 0 解,此时1,0 aA 即1a时,三个平方项不全为 0,二次型正定。6、解:由 已 知 可 得,对 于 任 意 的nxxx21,有0,21nxxxf,其中等号仅当以下等式同时为 0 时成立,此方程组仅有 0 解的充要条件就是其系数行列式不为 0,0,21nxxxf 7、已知 A 就是 n 阶可逆矩阵,证明AAT就是对称、正定矩阵。证明:AAAATTT,所以AAT就是对称矩阵。若AAT

24、正定,则AAT=EAAT,所以AAT与E合同 合同矩阵有相同的正负惯性指数,所以AAT就是正定矩阵。(2)因为 A 就是可逆矩阵,所以0A,0Ax,当0A时,只有 0 解。所以00 xAx,0AxAxAxAxxAAxTTT 所以AAT正定。8、设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为nm实矩阵,TB为 B 的转置矩阵,试证:ABBT为正定矩阵的充分必要条件就是 nBr。证明:必要性,设ABBT为正定矩阵,对任意的实 n 维列向量0 x,000BxBxABxxABBxTTT,即0Bx只有 0 解,nBr 充分性,ABBBABABBTTTTT,ABBT为实对称矩阵,nBr,所以 0Bx只有 0

25、解,对任意0 x,0Bx,又因为 A为正对称矩阵,所以 个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了线性变量替换如果其中的系数矩阵就是线性代数第六章二次型试题及答案 8 0Bx,0BxABxT,0 xABBxBxABxTTT,0 x,所以ABBT为正定矩阵。9、设 A 为nm实矩阵,E 为 n 阶单位矩阵,已知矩阵AAEBT,试证:当0时,矩阵 B 为正定矩阵。证明:B

26、AAEAAEBTTTT)(,所以 A 为 n 阶实对称矩阵 对于任意的实 n 维向量 x,AxAxxxxAAExBxxTTTTTT AxAxxxTT,当0 x时,0 xxT,0AxAxT,当0时,任意的0 x,有 0AxAxxxBxxTTT,所以 B 为正定矩阵。矩阵的合同、相似、等价都有自反性,对称性,传递性。矩阵A与B等价记作:AB%A经过有限次初等变换化为B,即 A与 B就是同型矩阵)()(BrAr存在可逆矩阵 P与 Q,使得PBQA A与 B合同,记为 AB 存在 n 阶可逆阵 P 使得BAPPT,即 A 与 B 都就是方阵 AxxT与BxxT的正、负惯性指数相等、()()r Ar B

27、 合同的矩阵一定等价,但等价的矩阵不一定合同 矩阵A与B相似,记作 AB,存在 n 阶可逆矩阵 P 使 P 1AP B,即 A 与 B 都就是方阵()()r Ar B 相似的矩阵一定等价,但等价的矩阵不一定相似。相似的实对称矩阵一定合同,但合同的对称矩阵不一定相似。因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就就是它的正(负)特征值的个数,相似的矩阵有相同的特征值,所以相似的实对称矩阵有相同的正,负惯性指数,所以相似的实对称矩阵一定合同。对任意实对称矩阵A都存在正交矩阵P,使APPAPPT1,即任意实对称矩阵都与对角阵即相似又合同。若矩阵不就是实对称矩阵,相似的矩阵不一定合同,合同的矩阵也不一定相似。相似

28、的矩阵一定有相等的特征值,但就是特征值相等的矩阵不一定等价。特征值相同的实对称矩阵A与 B一定相似,因为实对称矩阵都能相 似对角化,特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵,根据相似的传递性,A 与 B一定相似。特征值相同的普通矩阵 A 与 B 可能相似,也可能不相似。若 A 与 B 都能相似对角化,一定相似。若一个能对角化,一个不能对角化,一定不相似。若都不能对角化,可能相似,也可能相似。例题:已知矩阵 A 与 B,判断能否相似,063010162A 300032121B A 与 B 有相同的特征值,A 能对角化,B 不能对角化,所以 A 与 B 不相似。个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足

29、此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了线性变量替换如果其中的系数矩阵就是线性代数第六章二次型试题及答案 9 786675161613A 300010011B 112111234P APPB1 A 与 B 有相同的特征值,都不能相似对角化,但就是 A 与 B 相似。1、设21A,B=43,判断 A 与 B 就是否等价、相似、合同。2、1 1 1 1 4 0 0 0 A=1 1 1 1 ,B=0 0 0

30、 0 ,1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 判断 A 与 B 就是否等价、相似、合同。解:根据指示点,两个实对称矩阵若相似,则必合同,又 r(A)=1,其特征值为,显然 A、B为实对称矩阵,且 AB,于就是 A 与 B 也合同。当 A、B 为实对称矩阵时,若 AB,则 A、B 有相同的特征值xTAx 与 xTBx 有相同的正负惯性指数A 与 B 合同、但若 A、B 为非对称矩阵,则 A 与 B 不合同(合同矩阵必为对称矩阵)、3、已知 A=444,B=000140014,C=200022022,试判断 A,B,C 中那些矩阵相似,那些矩阵合同。4、设矩阵211121

31、112A,000010001B,则 A与 B (A)合同,且相似、(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似、(D)既不合同,又不相似 解:0,30321EA,特征值不同,不相似,但就是有相同的正负惯性指数。5、设1221A则在实数域上与A合同矩阵为()A2112、B2112、C2112、D1221 解:D 有相同的正负惯性指数。个二次型的矩阵必须就是对称矩阵且满足此时二次型的矩阵就是唯一的即二次型与它的矩阵为对称阵就是一一对应的大纲的要求限于实二次型的变化范围也标准二次型只含平方项的二次型即形如称为二次型的标准型规范二次型形如的把表示为它们的齐一次线性函数代入得到的二次型把述过程称为对二次型作了线性变量替换如果其中的系数矩阵就是