2023年高中所有数学公式经典全面汇总归纳.pdf

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1、 第 1 页 共 20 页 高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:UxAxC A,UxC AxA.AA 2 集合12,na aa的子集个数共有2n 个；真子集有21n个；非空子集有21n个；非空的真子集有22n个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)hf xaakx;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k时，设为此式）(3)零点式12()()()(0)f xa xxxax；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为12(,0),(,0)xx时，设为此式）（4）切线式：02()()(),0 xkxdf xa xa。（当已知抛物线与

2、直线ykxd相切且切点的横坐标为0 x时，设为此式）4 真值表：同真且真，同假或假 5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（1n）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（1n）个 对所有x，成立 存在某x，不成立 p或q p且q 对任何x，不成立 存在某x，成立 p且q p或q 6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题 若则 若则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非则非 互逆

3、 若非则非 充要条件：(1)、pq，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件；（2）、pq，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3)、p p，且qp，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2）、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的1212,x xDxx且，都有 12()()f xf x成立，则就叫 f（x）在 xD 上是增函数。D 则就是 f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。第

4、 2 页 共 20 页（2）、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的1212,x xDxx且，都有 12()()f xf x成立，则就叫 f（x）在 xD 上是减函数。D 则就是 f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数 单调 单调性 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：(1)设 1212,x xa bxx那么 1212()()()0 xxf xf x

5、 baxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf x baxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.8 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0fxf xfxf x 或，则 f（x）就是奇函数。性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在 x0 和 x0 和 x0 上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数偶函数=奇函数；

6、（2）、奇函数奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数偶函数=偶函数；(4)、奇函数奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）(5)、偶函数偶函数=偶函数；(6)、奇函数偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 9 函数的周期性：定义：对函数 f（x），若存在 T0，使得 f（x+T）=f（x），则就叫 f（x）是周期函数，其中，T 是 f（x）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1)、f（x+T）=-f（x），此时周期为 2T；第 3 页 共 2

7、0 页（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为 2mn；(3)、1()()f xmf x，此时周期为 2m 。10 常见函数的图像：k0y=kx+boyx a0y=ax2+bx+coyx 0a11y=axoyx 0a11y=logaxoyx 11 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.12 分数指数幂与根式的性质：(1)mnmnaa（0,am nN，且1n）.（2）11mnmnmnaaa（0,am nN，且1n）.（3）()nnaa.（4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数

8、时，,0|,0nna aaaa a.13 指数式与对数式的互化式:logbaNbaN(0,1,0)aaN.指数性质：(1)1、1ppaa ；（2）、01a（0a）；(3)、()mnmnaa(4)、(0,)rsr saaaar sQ ；(5)、mnmnaa ；指数函数：(1)、(1)xyaa在定义域内是单调递增函数；（2）、(01)xyaa 在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质：(1)、logloglog()aaaMNMN；（2）、logloglogaaaMMNN；(3)、loglogmaabmb ；(4)、loglogmnaanbbm ；(5)、log 10a(

9、6)、log1aa ；(7)、l o gabab 对数函数：(1)、log(1)ayx a 在定义域内是单调递增函数；第 4 页 共 20 页（2）、log(01)ayxa 在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点（1，0）(3)、lo g0,(0,1),(1,axa xa x 或(4)、log0(0,1)(1,)axax 则 或(1,)(0,1)ax则 14 对数的换底公式 :logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).对数恒等式：logaNaN(0a,且1a,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0N).15 对数的四则运算法则:若 a

10、0，a1，M 0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR;(4)loglog(,)mnaanNN n mRm。16 平均增长率的问题（负增长时0p）：如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.17 等差数列：通项公式：（1）1(1)naand ，其中1a为首项，d 为公差，n 为项数，na为末项。（2）推广：()nkaank d （3）1(2)nnnaSSn （注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1）1()2nnn aaS；其中1a为首项，n 为项数

11、，na为末项。（2）1(1)2nn nSnad（3）1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数列都适用）（4）12nnSaaa （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若 m+n=p+q，则有 mnpqaaaa；注：若,mnpaaa是的等差中项，则有 2mnpaaan、m、p 成等差。（2）、若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列。（3）、na为等差数列，nS为其前 n 项和，则232,mmmmmSSSSS也成等差数列。（4）、,0pqpqaqapa则；（5）1+2+3+n=2)1(nn 等比数列：第 5 页 共 20 页 通项公式：（1）1*11()nnnaaa qqnNq，

12、其中1a为首项，n 为项数，q 为公比。（2）推广：n knkaaq （3）1(2)nnnaSSn （注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1）1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数列都适用）（2）12nnSaaa （注：该公式对任意数列都适用）（3）11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq 常用性质：（1）、若 m+n=p+q，则有 mnpqaaaa ；注：若,mnpaaa是的等比中项，则有 2mnpaaa n、m、p 成等比。（2）、若na、nb为等比数列，则nnab为等比数列。18 分期付款(按揭贷款)：每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率

13、为b).19 三角不等式：（1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.20 同角三角函数的基本关系式：22sincos1，tan=cossin，21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.sincosab=22sin()ab (辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba).23 二倍角公式及降幂公式 sin 2sincos22tan1tan.2222cos 2cossi

14、n2cos112sin 221tan1tan.22tantan 21tan.sin21 cos 2tan1cos 2sin2 第 6 页 共 20 页 221cos 21cos 2sin,cos22 24 三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0)的周期2|T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0)的周期|T.三角函数的图像：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2oyx-11y=cosx-2 23/2/2-3/2-/2oyx 25 正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆的半径）.2 si

15、n,2 sin,2 sinaRA bRB cRC:sin:sin:sina b cABC 26 余弦定理：2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.27 面积定理：（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(|)()2OABSOAOBOA OB.2,2abcSrrabc 斜边内切圆直角 内切圆 28 三角形内角和定理：在ABC中，有()ABCCAB 222CAB 222()CAB.29 实数与向量的积的运算律:设、为实数，那么：(1)结合

16、律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.30a与b的数量积(或内积)：ab=|a|b|cos。31 平面向量的坐标运算：(1)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.(2)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设a=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ab=1212()x xy y.32 两向量的夹角公式：1212222

17、21122cos|x xy ya babxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy).33 平面两点间的距离公式：,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).第 7 页 共 20 页 34 向量的平行与垂直：设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0，则：a|bb=a 12210 x yx y.（交叉相乘差为零）ab(a0)ab=012120 x xy y.（对应相乘和为零）35 线段的定比分公式：设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则121211xx

18、xyyy121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP（11t）.36 三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.37 三角形五“心”向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA.（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.38 常用不等式：（1）,a

19、 bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc （4）bababa.（5）22222ababababab(当且仅当 ab 时取“=”号)。39 极值定理:已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s.（3）已知,a b x yR，若1axby则有 21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy 。（4）已知,a b x yR，若1abxy 则有 2()()2()a

20、baybxxyxyababababxyxy 40 一元二次不等式20(0)axbxc 或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：第 8 页 共 20 页 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或.41 含有绝对值的不等式 ：当 a 0 时，有 22xaxaaxa .22xaxaxa 或xa.42 斜率公式：2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.43 直线的五种方程：（1）点斜式 11()yyk

21、xx (直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(1212,xxyy).两点式的推广：211211()()()()0 xxyyyyxx（无任何限制条件！）(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，00ab、)（5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).直线0AxByC 的法向量：(,)lA B，方向向量：(,)lBA 44 夹角公式：(1)212 1tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:l

22、yk xb,121k k )(2)12211212tan|ABA BAAB B.(1111:0l Ax By C,2222:0lAx B y C,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2.45 1l到2l的角公式：(1)212 1tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k )(2)12211212tanABA BAAB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1到 l2的角是2.46 点到直线的距离：0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0

23、AxByC).47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程 cossinxarybr .（4）圆的直径式方程 1212()()()()0 x x x xy y y y (圆的直径的端点是11(,)Ax y、22(,)B x y).48 点与圆的位置关系：点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：若2200()()daxby，则dr 点P在圆外;第 9 页 共 20 页 ddd相离外切相交内切内含r1+r2r2-r1oddr 点P在圆上;dr 点P在圆内.49 直线与圆的

24、位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad):0相离rd;0相切rd;0相交rd.50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21，则：条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.51 椭圆22221(0)xyabab 的参数方程是cossinxayb.离心率221cbeaa，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离(焦准距)2bpc。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22ba.52 椭圆22

25、221(0)xyabab 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:21()aPFe xaexc，22()aPFexaexc；1221|tan2F PFPF PFSc yb。53 椭圆的的内外部:（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的外部2200221xyab.54 椭圆的切线方程:(1)椭圆22221(0)xyabab 上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过椭圆22221xyab 外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是0022

26、1x xy yab.（3）椭圆22221(0)xyabab 与直线0AxByC 相切的条件是22222A aB bc.55 双曲线22221(0,0)xyabab的离心率221cbeaa，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离(焦准距)2bpc。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22ba.焦半径公式21|()|aPFe xaexc，22|()|aPFexaexc，两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2F PFF PFSb。第 10 页 共 20 页 56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyab xaby.(2

27、)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.(4)焦点到渐近线的距离总是b。57 双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.(2)过双曲线22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab.（3）双曲线22221xyab与直线0AxByC 相切的条件是22222A aB bc.58 抛物线pxy22的焦半径公式:抛物线22(0)y

28、px p焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122.59 二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa (0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方程是2414acbya.60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy 或222221211212(1)()4|1tan|1tABkxxxxxxyyco （弦端点 A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy 消去y 得到02cbxax 0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，2121212|()

29、4xxxxx x.61 证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.62 证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63 证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3)转化为两平面的法向量平行。第 11 页 共 20 页 64 向量的直角坐标运算：设a123(,)a aa，b123(,)b b b则：(1)ab112233(,)ab a

30、b ab；(2)ab112233(,)ab ab ab；(3)a123(,)aaa (R)；(4)ab1 1223 3a ba ba b；65 夹角公式：设a123(,)a aa，b123(,)b b b，则1 1223 3222222123123cos,a ba ba ba baaabbb.66 异面直线间的距离 ：|CD ndn(12,l l是两异面直线，其公垂向量为n，CD、是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离).67 点B到平面的距离：|AB ndn（n为平面的法向量，A，AB是的一条斜线段）.68 球的半径是 R，则其体积343VR,其表面积24SR 69 球的组合体：(

31、1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a(正四面体高63a的14),外接球的半径为64a(正四面体高63a的34).70 分类计数原理（加法原理）：12nNmmm.分步计数原理（乘法原理）：12nNmmm.71 排列数公式：mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn)规定1!0.72 组合数公式：mnC=mnmmAA=mmnnn21)

32、1()1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn).组合数的两个性质:(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1.规定10nC.73 二项式定理 nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(;二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，.2012()()nnnf xaxbaa xa xa x 的展开式的系数关系：012(1)naaaaf ；012(1)(1)nnaaaaf ；0(0)af。74 互斥事件 A，B分别发生的概率的和：P(AB)=P(A)P(B)n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(A

33、n)75 独立事件 A，B同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).n 个独立事件同时发生的概率：P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率：()(1).kkn knnP kC PP 77 数学期望：1 122nnEx Px Px P 第 12 页 共 20 页 数学期望的性质（1）()()E abaEb.（2）若(,)B n p,则Enp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，则1Ep.78 方差：2221122nnDxEpxEpxEp 标准差：=D.方差的性质：(1)2D aba D；(2）若(,)B

34、 n p，则(1)Dnpp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，则2qDp.方差与期望的关系：22DEE.79 正态分布密度函数：22261,2 6xfxex ，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于2(,)N，取值小于 x 的概率：xF x.12201xxPxxPxxxP 80)(xf在0 x处的导数（或变化率）：000000()()()limlimx xxxf xxf xyfxyxx .瞬时速度：00()()()limlimttss tts ts ttt .瞬时加速度：00()()()limlimttvv ttv tav ttt .81 函数)(

35、xfy 在点0 x处的导数的几何意义：函数)(xfy 在点0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy.82 几种常见函数的导数：(1)0C（C为常数）.(2)1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(cos.(5)xx1)(ln；1(log)logaaxex.(6)xxee)(;aaaxxln)(.83 导数的运算法则：（1）()uvuv.（2）()uvuvuv.（3）2()(0)uuvuvvvv.84 判别)(0 xf是极大（小）值的方法：当函数)(xf在点0 x处连续时，（1）

36、如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值.85 复数的相等：,abicdiac bd .（,a b c dR）86 复数zabi 的模（或绝对值）|z=|abi=22ab.第 13 页 共 20 页 87 复平面上的两点间的距离公式：22122121|()()dzzxxyy（111zxy i，222zxy i）.88 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20axbxc，若240bac,则21,242bbacxa;若240bac,则122bxxa;若240bac，它在实数集R内没

37、有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca .高中数学公式提升 一、集合、简易逻辑、函数 1 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);已知集合 A=x,xy,lgxy,集合B=0,x,y,且 A=B,则 x+y=2 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合 M=yy=x2,x R,N=y y=x2+1,x R,求 M N；与集合 M=（x,y）y=x2,x R,N=(x,y)y=x2+1,x R求 M N的区别。3 集合 A、B，BA时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集BA 时是否忘记.例如：012

38、222xaxa对一切Rx恒成立，求 a 的取植范围，你讨论了 a2 的情况了吗？4 对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12 n，12 n.22 n如满足条件 4,3,2,1 1M的集合M共有多少个 5 解集合问题的基本工具是韦恩图;某文艺小组共有 10 名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7 人会唱歌跳舞 5 人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？6 两集合之间的关系。,14,12ZkkxxNZkkxxM 7(CUA)(CU B)=CU(AB)(CUA)(CUB)=CU(AB)

39、；BBAAB；8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p、q 形式的复合命题的真值表:（真且真，同假或假）p q P且 q P或 q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 第 14 页 共 20 页 9、命题的四种形式及其相互关系:互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射 f：AB中，A中元素的任意性和 B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？11、函数的几个重要性质：如果函数 xfy 对于一切Rx，都有 xafxaf

40、或 f（2a-x）=f（x），那么函数 xfy 的图象关于直线ax 对称.函数 xfy 与函数 xfy的图象关于直线0 x对称；函数 xfy 与函数 xfy的图象关于直线0y对称；函数 xfy 与函数 xfy的图象关于坐标原点对称.若奇函数 xfy 在区间,0上是递增函数，则 xfy 在区间0,上也是递增函数 若偶函数 xfy 在区间,0上是递增函数，则 xfy 在区间0,上是递减函数 函数 axfy)0(a的图象是把函数 xfy 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的；函数 axfy()0(a的图象是把函数 xfy 的图象沿 x 轴向右平移a个单位得到的；函数 xfy+a)0(a的图象是

41、把函数 xfy 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的;函数 xfy+a)0(a的图象是把函数 xfy 助图象沿 y 轴向下平移a个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数 y=2)3lg()4(xxx的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(xf的定义域是0,1,求)(log5.0 xf的定义域.函数)(xf的定义域是ba,0 ab 求函数)()()(xfxfxF的定义域 14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶

42、函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值,作差,判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。16、函数0axaxy的单调区间吗？（该函数在a,和,a上单调递增；在0,a 和a,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于 1）字母底数还需讨论呀.18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？（bbabbanaccanloglog,logloglog）19、你还记得对数恒等式吗？（babalog）20、“实系数一元二次方程02cb

43、xax有实数解”转化为“042acb”，你是否注意到必须0a；当 a=0 时，“方程有解”不能转化为042acb若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若则q 逆否命题 若则 第 15 页 共 20 页 二、三角、不等式 21、三角公式记住了吗？两角和与差的公式_；二倍角公式:_；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是

44、否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？23、在三角中，你知道 1 等于什么吗？（xxxx2222tanseccossin1 0cos2sin4tancottanxx这些统称为 1 的代换)常数“1”的种种代换有着广泛的应用（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）24、在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换（如,)(,)(222等）25、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）26、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角

45、化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？（41518sin,42615cos75sin,42675cos15sin）28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lrSrl21,扇形)29、辅助角公式：xbaxbxasincossin22(其中角所在的象限由 a,b 的符号确定，角的值由abtan确定)在求最值、化简时起着重要作用.30、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 kZ）三角

46、函数性质要记牢。函数 y=)sin(xAk 的图象及性质：振幅|A|，周期 T=2,若 x=x0为此函数的对称轴，则 x0是使 y 取到最值的点，反之亦然，使 y 取到最值的 x 的集合为 ，当0,0 A时函数的增区间为 ，减区间为 ；当0时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论。五点作图法：令x依次为2,23,20 求出 x 与 y，依点 yx,作图 31、三角函数图像变换还记得吗？平 移 公（1）如 果 点 P（x，y）按 向 量 kha,平 移 至 P（x ，y ），则 .,kyyhxx （2）曲线 f（x，y）=0 沿向量 kha,平移后的方程为 f（x-h，y-k）=0 32、有

47、关斜三角形的几个结论：(1)正弦定理:(2)余弦定理:(3)面积公式 33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是,0,2,0,2,0.第 16 页 共 20 页 直线的倾斜角、1l到2l的角、1l与2l的夹角的取值范围依次是2,0(),0),0 34、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）35、分式不等式 0 aaxgxf的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回）36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是

48、根据定义分类讨论)37、利用重要不等式abba2 以及变式22 baab等求函数的最值时，你是否注意到 a，bR（或 a，b 非负），且“等号成立”时的条件，积 ab 或和 ab 其中之一应是定值？(一正二定三相等)38、)Rb ,(a ,ba2ab2222abbaba(当且仅当cba时，取等号）；a、b、cR，cabcabcba222（当且仅当cba时，取等号）；39、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10a或1a）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是 40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”41、对于不等式恒成立问

49、题，常用的处理方式？（转化为最值问题）三、数列 42、等 差 数 列 中 的 重 要 性 质：（1）若qpnm，则qpnmaaaa；（2）仍成等差数列数列ka,a,n2n12ban；仍成等差数列n23nn2nnSS ,SS ,S（3）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a-d23、a-d21、a+d21、a+d23；（4）在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 0,d0,解不等式组 an 0 an+1 0 可得 Sn 达最大值时的n

50、的值;当a1 0,解不等式组 an 0 an+1 0 可得Sn 达最小值时的n的值;（5）若an,bn 是等差数列,Sn,Tn 分别为an,bn 的前n项和,则1m21m2mmTSba。.（6）.若na是等差数列，则naa是等比数列，若na是等比数列且0na，则naalog是等差数列.43、等比数列中的重要性质：（1）若qpnm，则qpnmaaaa；（2）kS，kkSS2，kkSS23成等比数列 44、你是否注意到在应用等比数列求前 n 项和时，需要分类讨论（1q时，1naSn；1q时，qqaSnn1)1(1）45、等比数列的一个求和公式：设等比数列na的前 n 项和为nS，公比为q,则 nm