2023年精品讲义01绪论、计数原理、排列组合.pdf

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1、概率与数理统计教案 01 教学对象 管理系 505-13、14、15；经济系 205-1、2 计划学时 2 授课时间 2006 年 2 月 28 日；星期二；12 节 教学内容 一、概率绪论用自制的教学软件进行随机游戏演示 二、计数原理加法原理与乘法原理的复习 三、排列与组合 教学目的 通过教学，使学生能够：1、了解概率统计的发展史，学习内容 2、培养对概率的学习兴趣 3、利用计数原理与排列组合计算完成某件事的方法数；。知 识：1、了解概率的发展简史与研究内容；2、掌握排列与排列数公式；3、掌握组合与组合数公式；4、排列与组合的应用；技能与态度 1、对随机现象有正确的认识；2、用科学态度对待随

2、机现象；3、科学计算的认真态度。教学重点 排列与组合的概念 教学难点 解决实际问题时排列与组合的区别 教学资源 自编软件用于多媒体演示，多种颜色的玻璃球假设干个以备实验 教学后记 培养方案或教学大纲 修改意见 对授课进度计划 修改意见 对本教案的修改意见 概率与数理统计教案 01 教学资源及学时 调整意见 其他 教研室主任：系部主任：绪论15 分钟 概率与数理统计是研究随机现象数量规律性的数学学科，其特点是理论严谨,应用广泛,发展迅速。目前,在全国的各种高等学校中，无论是本科院校还是高职高专，很多专业都开设了这门课程。它也是很多专业的本科生报考研究生的必考内容之一，希望大家能认真学好这门重要课

3、程。概率论是一门研究随机现象的数量规律的学科，它是数学的一个分支。概率(或几率)是随机事件出现的可能性的量度，它起源于对赌博等博弈问题的研究 一、概率的起源 在欧洲文艺复兴时代，15 世纪末的法国和意大利盛行赌博，不仅赌法复杂，而且赌注量大，一些职业赌徒迫切需要计算取胜的时机。比方：一位意大利贵族向天文学家伽利略请教的问题是：“掷 3 颗骰子，出现 9 点与出现10 点均有6 种组合，但经验发现出现10 点的时机要多些，是否符合数学规律？”，伽利略从组合数的角度对问题进行了解释，被认为是概率研究的首次成果。九点126，135，144，225，234，333 十点136，145，226，235，

4、244，334 法国的赌徒麦尔梅耳(Mere)向法国的数学家帕斯卡(Pascal)提出两个问题1将一颗骰子掷 4 次至少出现一个 6 点的时机是否比将两颗骰子掷 4 次至少出现一概率与数理统计教案 01 对 6 点的时机大？著名的梅耳猜想，帕斯卡与费马经过通信讨论，最终解决了这一问题；2“一个赌徒用一颗骰子要在八次投掷中掷出一个六点，他开始三次都未成功，如果放弃第四次，那么赌注中有多大部分应归还给他?”16 世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题。意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，

5、概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。17 世纪中叶,法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题：甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段。每掷一次，假设正面朝上，甲得1 分乙不得分。反之，乙得 1 分，甲不得分。谁先得到规定分数就赢得全部赌注。当进行到甲还差 2 分乙还差 3 分，就分别到达规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去,问如何公平分配赌注？)。1657 年，荷兰著名的天文、物理、数学家惠更斯在解决合理分配赌注问题的后，写成了论随机游戏的计算一书，这就是最早的概率论著作。概率的概念是在 1

6、7 世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题。该问题可以简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；假设反面朝上，乙得一点，先积满 3 点者赢取全部赌注d。假定在甲得 2 点、乙得 1 点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：如果再掷一次，假设甲胜：甲获全部赌注 d；假设乙胜：甲、乙平分赌注d21,概率与数理统计教案 01 上面这两种情况出现的可能性相同，所以，甲应得的赌金为ddd43221，乙应得的赌金为d41。费马：结束赌局至多还要2 局，结果为四种等可能情况：情况：胜者：甲甲 甲乙 乙甲 乙乙 前

7、 3 种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的43，乙得赌金的41。帕斯卡与费马各自用不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确地定义概率的概念，但是，他们定义了使赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。二、概率论在实践中曲折发展：对客观世界中随机现象的分析产生了概率论，使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在 17 世纪微积分学说建立以后。在概率问题的早期研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要的概念以及它们的基本性质。后来许多社会问题

8、和工程技术问题如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等的提出，都促进了概率论的发展，从 17 世纪到 19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的奉献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。其中最值得一提的是法国数学家拉普拉斯，他发表了 概率的分析理论和 概率的哲学探讨，对概率的发展方向，当时他作出的预言是：“从考虑赌博问题而引起的一门学科，将会成为人类知识宝库里最重要的主题”，但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率概率与数理统计

9、教案 01 定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20 世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。三、概率论理论基础的建立：经过二十多年的艰难研究，雅各贝努利在 1713 年出版了概率论的第一本专著推测术，书中表述并证明了著名的大数定律。所谓大数定律，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛的应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。为概率论确定严密的理论基础的是数

10、学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化的结构，明确了概率论的基本框架。这是概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。四、概率论的应用：20 世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验、公用事业、保险业、航海业等随机风险性问题等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有

11、力工具。五、软件演示：演示摸球游戏和社会福利彩票双色球的仿真过程 教学活动流程 教学步骤、教学内容、时间分配 教学目标 教学方法 概率与数理统计教案 01 一、复习导入新课 复习内容：10 分钟 中学阶段的计数原理是以后学习概率的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关。在日常工作和生活中，只要涉及到很多方案的选择问题，都可以应用它们来解决。加法原理：做一件事，完成它可以有几类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有 m2种不同的方法，在第 n 类方法中有 mn种不同的方法 那么，完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法 问题 1：从甲地到乙地，可以乘火车，也

12、可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有 4 个班次，汽车有 2 个班次，轮船有 3 个班次那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第n 步有 mn种不同的方法那么，完成这件事共有 N=m1 m2 mn种不同的方法 问题 2：从甲地到乙地，可以骑自行车，也可以 理解用途 明确加法原理的具体内容 明确乘法原理的具体内容 实例说明 讲解 学生答复 学生答复 概率与数理统计教案 01 骑摩托车，还可以乘汽车。从乙地到丙地，可以乘座飞机，也可以乘轮船。从甲地到丙地，共有多少种不同

13、的走法？教师归纳：3 分钟 进行分类时，要求各类方法彼此之间是相互排斥的，不管哪一类方法中的哪一种方法，都能单独完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有 m 种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理 导入新课：2 分钟 计数原理能在很多情况下，求得完成某件事的方法总数。但对有些问题来说，如果都用计数原理来求解，则显得过于烦琐，为了简化求解方法，我们还要学习排列与组合的概念及方法这是今天要学习的内容。使学生在

14、应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质 引出学习排列与组合的目的 在学生对问题的分析不很清楚时，教师及时地进行归纳和小结 二、明确学习目标 1正确理解排列、组合的意义 2掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论 方法的理解 3培养学生的概括能力和逻辑思维能力。三、知识学习 概率与数理统计教案 01 1、排列8 分钟 例北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制 2 种飞机票，假设起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制 2 种飞机票；假设起

15、点站是广州，终点站是北京或上海，又需要 2 种飞机票，共需要 2+2+2=6种飞机票 师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题 能否用乘法原理来设计方案呢？生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有 3 种方法即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有 3 2=6 种 定义：从 n 个不同元素中，任取 mm n个元素，按照一定顺序排成的一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 排列数计算公式由乘

16、法原理求得 Amn=n(n-1)(n-m+1)排列说明：取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”，找学生用加法原理求解 找学生用乘法原理求解 理解并掌握排列的概念 掌握计算公式 明确相同排列的含义 逐步引导 逐步引导 老 师 点评，得出结论：乙的方法更简洁。由此引出排列概念 逐步推导 概率与数理统计教案 01 只要交换位置，就是不同的排列如飞机票、通信封数、减法与除法运算的结果都属于这一类。2、组合10 分钟 下面考虑另一类问题：取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的情况，如飞机的票价，打 的次数、加法与乘法的运算结果都属于这一类 定义：从 n 个不同元素中，任取 mm n个元素并

17、成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。一定要认真体会排列与组合的区别在于与顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径 和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念一个组合不是一个数，而是具体的一件事 组合数公式将排列数的计算分成两步：由 Amn=CmnAmm得 Cmn=mmmnAA=!)1()1(mmnnn 理解并掌握组合的概念 明确相同组合的含义 掌握计算公式 四、技能学习 20 分钟 排列与组合的应用

18、1、有条件限制的排列问题 概率与数理统计教案 01 例 1、5 个不同的元素 a，b，c，d，e 每次取全排列 1a，e 必须排在首位或末位，有多少种排法？2a，e 既不在首位也不在末位，有多少种排法？3a，e 排在一起有多少种排法？4a，e 不相邻有多少种排法？5a 在 e 的左边可不相邻有多少种排法？教师出题后向学生提出要求；开动脑筋，积极思维，畅所欲言，鼓励提出不同解法，包括错误的解法 教师小结：排列应用题是实际问题的一种，解应用问题的指导思想，弄清题意、联系实际、合理设计调动相关的知识和方法是合理设计的基础例 1 是排列的典型问题，解题方法可借鉴排列问题思考起来比较抽象，“具体排”是一

19、种把抽象转化具体的好方法 例 2、同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则 4 张贺年卡不同的分配方式有 A6 种B9 种C11 种D23 种 先让学生独立作，教师巡视，然后归纳不同的解法 二有条件限制的组合问题 例 3、已知集合 A=1，2，3，4，5，6，7，8，9，求含有 5 个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数 三排列组合混合问题 例 4、从 6 名男同学和 4 名女同学中，选出 3 名男同学和 2 名女同学分别承担 A，B，C，D，E 这五项工作，一共有多少种分配方案 掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力 通过对典型

20、错误的剖析，使学生克 服 解 题 中 的“重复”与“遗漏”等常见错误 五、态度养成 培养思维的深刻性与批判性品质 错误分析 六、实际解题训练 10 分钟 1设有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，每次取出 4个球，取 1 个红球记 2 分，取 1 个白球记 1 分，使得总分不大于 5 分的取球方法数为 2由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，通过实际训练，使学生掌握解排列组合问题基本思想和基本方法 学生练习老 师 巡视，解答问题 概率与数理统计教案 01 其中小于 50 000 的偶数共有 A60 个 B48 个 C36 个 C24 个 七、课堂小结2 分钟 解排列组合应用问

21、题，首先要抓典型问题如例 1 是排列常见的典型问题，例 3 是组合问题，例 4 是排列组合混合问题通过典型问题掌握基本方法，这是解排列组合应用问题首先要做到的 排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一“具体排”可以帮助思考，可以找出重复、遗漏的原因有同学总结解排列组合应用题的方法是：“想透、排够不重不漏，”是很有道理的 解排列组合应用题最重要的是，通过分析设想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体、直接法与间接法、全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用 概括总结，帮助学生构建知识体系、明确排列组合的解题目标和对态

22、度的要求。简要概括本节内容 八、布置作业 1空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？5 个 2用 0，2，3，5 可以组成多少个数字不重复且被 5 整除的三位数？10 个 3同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？9 种 43 个人坐在一排 9 个座位上，每人左、右两边都有空位子，这样的排法有_种 5将 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组、每组至少 1人的分配方案有_种 6预习第一章第一节 要求：1、了解随机现象的规律性 2、了解随机试验与随机事件的概念 3、了解基本领件与样本空间的概念 4、了解随机事件发生的含义 书面作业说明：1、纸张要求：16K 白纸 2、写清题号，并抄题，解题步骤全面 3、写清班级、学号 4、时间要求：下次上课前交到办公室，以便课上订正讲解 5、作业要清楚工整，仔细认真。6、作业质量，占平时成绩的 50%稳固所学的知识和方法，培养锻炼分析问题、解决问题的能力，预习新课，培养学生的自学能力 提出要求适当引导 概率与数理统计教案 01 培养做事认真的态度和习惯