2023年高中数学椭圆超经典知识点归纳总结+典型例题讲解.pdf

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1、 专业整理 WORD 格式 学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间 2014 年 12 月 13 日 第（）次课 共（）次课 课时：课时 教学课题 椭圆 教学目标 教学重点与难点 选修 2-1 椭圆 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 方程 10222222yxyx化简的结果是 2若ABC的两个顶点 4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是 3.已知椭圆22169x

2、y=1上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为3,则 P到另一焦点距离为 知识点二：椭圆的标准方程 1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；专业整理 WORD 格式 注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二利用标准方程确定参数 1.若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数 k 的取值是 .（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（3）表

3、示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 .2.椭 圆22425100 xy的 长 轴 长 等 于 ，短 轴 长 等 于 ,顶 点 坐 标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3椭圆2214xym的焦距为2，则m=。4椭圆5522 kyx的一个焦点是)2,0(，那么k 。讲练结合三待定系数法求椭圆标准方程 1若椭圆经过点(4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为 。2焦点在坐标轴上，且213a，212c 的椭圆的标准方程为 3焦点在x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为 4.已知三点 P（5，2）、1F（6，0）、2F（6，0

4、），求以1F、2F为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；专业整理 WORD 格式 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围 椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b。（3）顶点 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0）

5、，A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。（4）离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。因为 ac0，所以 e 的取值范围是 0e1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因 此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。注意：专业整理 WORD 格式 椭圆的图像中线段的几何

6、特征（如下图）：（1），；（2），；（3）,，；讲练结合四焦点三角形 1椭圆221925xy的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F的弦，则2ABF的周长是 。2设1F，2F为椭圆400251622yx的焦点，P为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？3设点P是椭圆2212516xy上的一点，12,F F是焦点，若12F PF是直角，则12F PF的面积为 。变式：已知椭圆14416922 yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点 若6021PFF，求21FPF的面积 五离心率的有关问题 专业整理 WORD 格式 1.椭圆1422myx的离心率为21，则m 2

7、.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为 3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在ABC中，3,2|,300 ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 讲练结合六.最值问题 1.椭圆2214xy两焦点为 F1、F2，点 P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，最小值为_ 2、椭圆2212516xy两焦点为 F1、F2，A(3，1)点 P 在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_，最

8、小值为 _ 3、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。4.设 F 是椭圆322x242y=1 的右焦点,定点 A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点 P 使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 .知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系 专业整理 WORD 格式 标准方程 图形 性质 焦点，焦距 范围，对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点，轴 长轴长=，短轴长=离心率 准线方程 焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

9、1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。专业整理 WORD 格式 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一

10、个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件 方程 Ax2+By2=C 可化为，即，所以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在 x 轴上；当时，椭圆的焦点在 y 轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方 程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量

11、”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则 c 相同。专业整理 WORD 格式 与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（kb2）。此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的 x 换成x，方程不变，则曲线关于 y 轴对称；若把曲线方程中的 y 换成y，方程不变，则曲线关于 x 轴对称；若把曲线方程中的 x、y 同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何解决与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义

12、及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为 c2=a2b2，ac0，用 a、b 表示为，当越小时，椭圆越扁，e 越大；当越大，椭圆趋近圆，e 越小，并且 0e1。课后作业 1已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为()A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2、椭圆221169xy左右焦点为 F1、F2，CD 为过 F1的弦，则CDF1的周长为_ 3 已知方程2211

13、1xykk表示椭圆，则 k 的取值范围是()A-1k0 C k0 D k1或 k-1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10，短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)5、若ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB 边上的中线长之和为 30，则ABC 的重心 G 的轨迹方程为_ 专业整理 WORD 格式 6.椭圆22221(0)xyabab 的左右焦点分别是 F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。若F1PF2=60，则椭圆的离心率为_ 7、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点

14、，且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _.8 已知椭圆的方程为22143xy，P 点是椭圆上的点且1260F PF,求12PF F的面积 9.若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为 10.椭圆13610022yx上的点 P到它的左焦点的距离是 12，那么点 P到它的右焦点的距离是 11已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦 AB过点1F，则2ABF的周长 12.在椭圆252x+92y=1 上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍 13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为

15、4x,那么这个椭圆的方程为 。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=_.15、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别为 10 和 14,则椭圆方程为 _.16.已知 P 是椭圆90025922yx上的点,若 P 到椭圆右准线的距离为 8.5,则 P 到左焦点的距离为_.17椭圆1162522yx内有两点2,2A，0,3B，P为椭圆上一点，若使53PAPB最小，则最小值为 18、椭圆32x22y=1 与椭圆22x32y=(0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 19、椭圆192522yx与125922yx（0k9）的关系为 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴 20、椭圆12622yx上一点 P到左准线的距离为 2，则点 P到右准线的距离为 21、点P为椭圆1162522yx上的动点,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF 的最小值为_,此时点P的坐标为_.