矩阵的对角化及其应用(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵的对角化及其应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名： 学 号：专 业： 数学与应用数学 指导老师：A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2021Diagonalization of the Matrix and

2、its ApplicationsStudent Name Student No.:Specialty:Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘 要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关

3、系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear

4、 equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is conven

5、ient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symm

6、etric matrix，idempotent matrix，involutorymatrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomialII目 录摘要I AbstractII 绪言1 课题背景1 目的和意义 1 国内外概况 1 预备知识2 相关概念2 矩阵的对角化4 特殊矩阵的对角化 14 矩阵对角化的应用 22 总结 24 致谢 25 参考文献 26 独创声明 28III1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课

7、题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的高等代数一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量

8、空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研

9、究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善. 12 预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解.定义1 常以Pmn表示数域P上mn矩阵的全体，用E表示单位矩阵.定义2 n阶方阵A与B是相似的，如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵TPnn，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根据定义我们容

10、易知道相似为矩阵间的一个等价关系：反身性：A=E-1AE； 对称性：若A相似于B，则B相似于A； 传递性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定义3 n阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵TPnn，使得B=TTAT或者A=TTBT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：反身性：A=ETAE；对称性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；传递性：由A1=T1AT1和A2=T2TA1T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).b10 0b2 定义4 式为 00 的m阶方阵叫对角矩阵，这里bi是数bm000T（i=1,2,m).定义5 方阵APnn，若A=

11、T-1BT，T非奇异，B是对角阵，则称A可相似对角化.定义6 方阵APnn，若A=TTBT，T非奇异，B是对角阵，则称A可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：互换矩阵的第i行(列)于j行(列)； 用非零数cP乘以矩阵第i行(列)；把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三 2种初等矩阵：单位矩阵经过初等变换得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j)；单位矩阵经过初等变换得P(i(t)且P(i(t)-1=P(i(1/t)；单位矩阵经过初等变换得P(i,j(t)且P(i,j(t)-1=P(i,j(-t).定义9 设方阵BPnn，若

12、B2=E，就称B为对合矩阵.定义10 设方阵APnn，若Am=A，就称A为幂幺矩阵.定义 11 设方阵CPnn，若C2=C，就称C为幂等矩阵.定义 12 设方阵APnn，P，若存在向量，满足Al=X，我们就称是A的特征值，X是A属于特征值的特征向量.定义13 APnn，定义mA()为矩阵A的最小多项式 ，mA()的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，mA()首项系数是1.33 矩阵的对角化本章介绍数域P上n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果1，k是矩阵Q的不同的特征值，而i1,，iri是属于特征值i的线性无关的特征向量，i=1,2,

13、k，那么11,1r，,k1，kr也线性无1k关.证明：假设t1111+t1212+t1r11r1+tk1k1+tkrkkrk=0，令ti1i1+tijP，+tikiiki=i，则Qi=ii（i=1,2,k）， 且 1+2+k=0 （1）分别用E,Q,Q2,Qk-1左乘以（1）两端，再由引理4得：Qmi=ii，（m=1,2.k-1;i=1,.,t),由此有k=0,1+2+.+.=0,Kk112222211+22+.Kk=0,.k-1k-1k-1+.1122kk=0.该线性方程组的系数矩阵为1111 2kD= 1，D为范德蒙行列式，又由i(i=1,2.k)互异有D0. k-1k-1k-1 2 k1

14、根据克拉默法则就有i=0，即ti1i1+tikiiki=0，再由i1,.,iri线性无关得：ti1=ti2=.=tiki=0(i=1,2.k) ，故11,.,1r1.,iri.,krk线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 QPnn与对角阵相似Q有n个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q可以对角化存在可逆矩阵T=(T1,T2，Tn)使得40011 22T-1QT= QT=T，即 0 nn0(QT1,QT2,QTn)=（T1,T2,Tn).因此Q可以对角化存在Ti（i=1,2,n）P使得QTi=iTi，也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角

15、化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵QPnn有n个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化.注意：该推论为对角化的充分条件.定理2 1,2,.,t（互不相同）是BPnn的特征值，iP(i=1,2,.,t)， B可对角化r(iE-B)=(t-1)n （r表示矩阵的秩）.i=1t证明：(iE-B)X=0的基础解系的一组基向量的个数为：n-r(iE-B)，我们可以得到关于i的线性无关的特征向量的个数是n

16、-r(iE-B)（i=1,2,.,t)，再由引理1推出矩阵B有(n-r(iE-B)个线性无关的特征向量.i=1t根据定理1就有：n阶方阵B可对角化B有n个线性无关的特征向量 (n-r(E-B)=n， ii=1ttr(E-B)=(t-1)n. ii=1定理3 QPnn与对角矩阵相似的充要条件：iP(i=1,2.,t)且n-(iE-Q)=ri (ri表示i的代数重数).证明：设i的线性无关的特征向量为i1,i2,.,iri，由引理1有：511,12,.,1r,.,ir,.,tr线性无关. 1it若r1+r2+.+rt=n，那么Q就有n个线性无关的特征向量Q可以对角化. 若Q与对角矩阵相似，则Q的属

17、于不同特征值的特征向量总数一定为n. 否则根据定理1就可以推出1,2,.,t线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n阶方阵A,BPnn，则有r(A+B)r(A)+r(B).证明：先证rankA,Brank(A)+rank(B)(2). 根据矩阵秩的定义有rA,Bn2n阶矩阵A,B的线性无关的行数方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数r(A)+r(B).E对方阵矩阵B+A=B,A，由(2)式有r(B+A)rA,B，所以Er(A+B)r(A)+

18、r(B).引理3 对于n阶方阵C,D有r(AB)r(A)+r(B)-n.COCT证明：先证r(C)+r(D)=r ODr OD（3），其中T为任意n阶方阵.显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设r(C)=p,r(D)=q，则C有p阶子式M10，D有q阶子式M20.CT于是 OD有p+q阶子式 M1*=M1M20, OM2CT因此r ODp+q=r(C)+r(D). 要证r(AB)r(A)+r(B)-n，只需证明：运用分块矩阵的初等变换有：6 r(AB)+nr(A)+r(B)En OOEn ABAOEn ABA-B-BEn O， OA有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：-BEn r(AB)

19、+n=r r(A)+r(B). OAEp另证：令r(A)=p，则存在可逆矩阵C,D使得CAD= OOO-1O-1 D ，若令C OOEn-p=H,则r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1. 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)r(AB)+r(H)r(AB)+n-p.引理3的一般形式：（Syl希尔维斯特不等式）设A，B，CPnn分别为ij,jk,kt矩阵，则r(ABC)r(AB)+r(BC)-r(B).证明：要证r(ABC)r(AB)+r(BC)-r(B)只需证明r(ABC)

20、+r(B)r(AB)+r(BC),因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而OEAABCOEOOEAB = OE O -CE EO B-BC， B也即ABABOABCOABCABO ， O BOB-BCBB-BC再有定理(3)就得OABCOAB rank =rankrank(AB)+rank(BC). O BB-BC推论3设B1,B2,.,Bt为数域P上的n阶方阵，则r(B1)+r(B2)+.+r(Bt)(t-1)n+r(B1B2.Bt).定理4 设n阶方阵QPnn，12，且(1E-Q)(2E-Q)=0，则Q可对角化. 7证明：由12，(1E-Q)(2E-Q)=0有矩阵Q的特征值为1或2，根据

21、引理2，引理3得：r(1E-Q)+r(2E-Q)=n，从而Q的特征向量(线性无关)共有n-r(1E-Q)+n-r(2E-Q)=n个.由定理1即得矩阵Q可对角化.定理4 设n阶方阵QPnn,1,2,.,t两两互不相等，若(1E-Q)(2E-Q)(t-1E-Q)(tE-Q)=0则Q与对角阵相似.r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)(t-1)n,从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(1E-Q)+n-r(2E-Q)+.+n-r(tE-Q)=tn-(r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)tn-(t-1)n=n.又因为r(Q)n，故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n，由

22、此矩阵Q可对角化.推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5 设1,2,.,t（互不相同）是QPnn的的特征值，重数分别为s1,s2,.,st且s1+s2+.+st=n，Q可对角化(E-Q)=0. ii=1t证明：先证明必要性1 Q与V= 2相似，则存在非奇异矩阵T满足 T8 1E1Q=TVT-1=T 2E2T-1，tEt其中Ei(i=1,2,.t)为si阶单位矩阵，于是(iE-Q)=T(iE

23、-V)T-1 (i-1)E1=T (i-2)E2-1T，(i-t)Et从而有tt(-1iE-Q)=T(iE-V)Ti=1i=1 (i-1)E1i=T (i-2)E2iT-1.(i-t)Eti由于(i-j)Ej=0(j=1,2,.,t)，因此i(iE-Q)=0. i再证充分性：对于n阶矩阵Q，存在可逆矩阵T，使得 J1Q=TJT-1 J=T 2T-1，JtJi(i=1,2,.,t)是Jordan块，若Jj=jEj(j=1,2,.t)，Q就可以对角化，而(iE-Q)=T(iE-J)T-1 (i-J1)E1=T (Ji-2)E2T-1，(i-Jt)Et9(i-J1)E1 i (E-Q)=Ti i i

24、(ii-J2)E2T-1. (i-Jt)Eti所以，若(iE-Q)=0，则因T可逆有(iEi-Jj)=0(j=1,2,.,t)，又因为当ij时，(ij)0，(iEj-Jj)可逆，所以(jEj-Jj)=0，即jEj=Jj(j=1,2,.,t). 引理4 XPnn,1,2m.是X的关于特征值的特征向量，我们有kiii=1m（ki,i=1,2,.,m不全为0，kiP）也是X的关于的特征向量.证明：已知Xi=i，则kiXi=kii，也即Xkii=kii，因此Xkii=kii，i=1i=1mm又ki不全为0，因此kii0，由特征向量的定义有kii是矩阵X的属于特i=1mmi=1征值得特征向量.定理6 1

25、,2,.,t(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值，它们的代数重数依次是s1,s2,.,st，则方阵Q与对角矩阵相似r(Aj)=sj(j=1,2,.,t),Aj=(iE-Q).ij证明：先证必要性.Q可对角化存在可逆矩阵T使得Q=Tdiag(1,2,.,t)T-1，从而Aj=(iE-Q)ij(i-1)E1 ij =T (iji-2)E2-1T (i-t)Etij10O1 =T (iji-j)Ej-1T， Ot其中Oj为sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j=1,2,.,t). 因T可逆，且ij，所以有r(Aj)=r(i-j)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,.,t).ij再证充分性：用反证

26、法.假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(qE-Q)n-sq，于是当jq时，由引理3有sj=r(iE-Q)r(iE-Q)-(t-2)nijij(n-sj)-(t-2)nij=(t-1)n-(t-2)n-siij=n-(n-sj)=sj.矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.定理7 1,2,.,t(互不相同)是n级方阵QPnn的所有特征根，若对任意mZ+满足r(iE-Q)m=r(iE-Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.证明：设1,2,.,t的重数分别为s1,s2,.,st，由Cayley-Hamilton第三版，高等教育出版社)得： 定理(高等代数(1E-Q)

27、s1(2E-Q)s2.(tE-Q)st=O，再有引理3的推论就有r(1E-Q)s1+r(2E-Q)s2+.+r(tE-Q)st(t-1)n+r(1E-Q)s1.(tE-Q)st)=(t-1)n.11对任意正整数m，有r(iE-Q)m=r(iE-Q)，因此r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)(t-1)n.从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(1E-Q)+n-r(2E-Q)+.+n-r(tE-Q) =tn-r(1E-Q)+r(2E-Q)+.r(tE-Q)tn-(t-1)n=n.又r(Q)n，从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于n，因此Q共有n个线性无关的特征向量，再根

28、据定理1就有矩阵Q与对角矩阵相似. 接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8 n阶方阵Q与对角矩阵相似矩阵Q的最小多项式mQ()无重根. 证明：先证必要性.Q和对角阵相似存在非奇异矩阵TPnn，满足1Q=TVT-1=T2-1T， n从而有T-1QmT=Vm，令1,2,.,t(tn)是方阵Q的互不相同的特征值,记 f()=(-1)(-2).(-t) =t+s1t-1+.+st-1+st. 因为 T-1f(Q)T=T-1(Qt+s1Qt-1+.+.st-1Q+stE)T=T-1QtT+s1T-1Qt-1T+.+st-1T-1QT+stT-1ET=Vt+s1Vt-1+.+st-1V+stE=

29、f(V).又 f(V)=Vt+s1Vt-1+.+st-1V+stE1t= t2s11t-1 + t nt-1s12st +.+ t-1 s1nstst121t+s11t-1+.+sk = f(1) = f(2) tt-12+s12+.+sk tt-1n+s1n+.+sk=0. f(n)所以f(Q)=0，于是mQ()f()，然而f()无重根，故mQ()无重根.再证充分性：mQ()的互不相同的根是1,2,.,t，由mQ()无重根就有： mQ()=(-1)(-2).(-t-1)(-t)，于是mQ(Q)=(1E-Q)(2E-Q).(tE-Q)=0.令r(iE-Q)=qi，则i的特征子空间的维数为n-q

30、i，因此Q总共有(n-q1)+(n-q2)+.+.(n-qt)=s个线性无关的特征向量，且sn. 又因为q1+q2+.+qt(t-1)n，故s=(n-q1)+(n-q2)+.+(n-qt)n.从而s=n，也即矩阵Q有n个线性无关的特征向量，由定理1就得Q可以对角化.134某些特殊矩阵的对角化4.1 实对称矩阵的对角化问题实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.引理5 每一个n阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意ACnn，可逆矩阵T，使得*1 2 T-

31、1AT= ，其中1,2,.,n是矩阵A的特征值. n引理6 实对称矩阵的特征值为实数.证明：设0实对称矩阵A的一个特征值，则存在非零向量x1 x= 2， xn满足 A=0.令1 = 2，i称为xi的共轭复数(i=1,2,.n)，则=0. n观察下面式子(A)=A=(A)=(A)， 上式左边等于0，右边等于0，故0=0,又=1x1+.+nxn0，14故0=0，即0是一个实数.引理7 设M,N为nn实方阵，我们有如下结论：M,N在实数域上相似M,N在复数域C上相似.证明：必要性显然，下面证明充分性.M,N在复数域上相似n级可逆复矩阵，使得M=P-1NP.令P=A+iD，A ,DRnn，则(A+iD

32、)M=N(A+iD)AM=NA,DM=ND.所以对任意属于R都有(A+D)=N(A+D) (4)记h(x)=A+D(实数系多项式)，因为h(i)=A+iD=P0，所以h(x)0. 因此，A+D有有限个实数根，则存在属于R，使得A+D0.由(4)式得M=(A+D)-1N(A+D), 也即M,N在实数域上相似.定理9 n级实对称矩阵A的特称根全是实数存在正交矩阵T，满足T-1AT=TAT=D，D是上三角矩阵.A正交且特征值全是实数A是对称矩阵.证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P，使得*1 2P-1AP= . n再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令P=Q

33、T为实矩阵，Q乃正交矩阵，T是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是就有*1 2 Q-1AQ=T(P-1AP)T-1= n由T是上三角矩阵知他的逆T-1也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知Q-1AQ为上三角矩阵.再证充分性：A为n阶实矩阵，且存在正交矩阵Q使得Q-1AQ=QAQ为上三角矩阵，即15*1 2Q-1AQ= =QAQ， n由此易知1,2,.,n为实数且为A的特征根.由容易得到Q-1AQ=QAQ=D为上三角矩阵(Q是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D为正交矩阵. 因而D=D-1，但是D-1是上三角矩阵，而D为下三角矩阵，故D必为对角矩阵.从而A=(QDQ)=Q

34、DQ=QDQ=A，也即A为对称矩阵.引理8 设A是对称变换，V1是A-子空间，则V1的正交补也是A-子空间. 定理10 对任意n级实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得TAT=T-1AT为对角矩阵.证明定义A是与A对应的对称变换，只要证A有一组标准正交基（n个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.当n=1时结论明显成立.假设对n-1结论成立. 对n维欧氏向量空间Rn，1为线性变换A的一个特征向量，对应的特征值是1. 将1单位化，并记为1，再作1的生成向量空间L(1)的正交补，记为V1，由引理8有V1是对称变换A的不变子空间，他的维数为n-1，显然A限制在V1上仍然是对称变换A1，根据假设A1有

35、特征向量2,3,.,n做成V1的标准正交基，从而1,.,n使Rn的标准正交基，又是A的n个特征向量.根据归纳假设定理得证.例4.1 已知011-1 10-11 A= ， 1-101 -1110求正交矩阵T使得T-1AT为对角矩阵.解：第一步，求矩阵A的特征值. 由16-1-11-11-1 E-A=-11-11-1-10-1-11-2=0-10-100-1-11-1-111-1-=-(-1)3101011=(-1)3(+3)由此有1（3重），-3为A的特征值.第二步，求特征值1对应的特征向量. 将=1带入下式x1-x2-x3+x4=0,-x1+x2+x3-x4=0,-x1+x2+x （5）3-x

36、4=0,x1-x2-x3+x4=0.得基础解系为1=(1,1,0,0)，2=(1,0,1,0)，3=(-1,0,0,1).将基础解系正交化，得1=(1,1,0,0)，12=(,-122,1,0)，1113=(-3,3,3,1).再将上式单位化，有171=(11,0,0)， 222=(3=(-112,-,0)， 6661113,). .上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为4=(1/2,-1/2,-1/2,1/2).特征向量1,2,3,4构成R4的一组标准交基，所求正交矩阵,2,3,4)， T=(1此时1 1T-1AT= . 1 -34.2幂等

37、矩阵Er定理11幂等矩阵A与对角矩阵 OO相似. O证明：根据A2=A有，矩阵A的最小多项式mA()整除2-. 因2-=0无重根，由引理5 就有mA()无重根，再由定理8就得矩阵A可对角化.4.3对合矩阵定理12对合矩阵A可对角化.证明：A2=EmA()2-1，易知2-1=0无重根，根据引理5得mA()无重根，再根据定理8，A能够对角化.184.4幂幺矩阵引理9 是矩阵X的任一特征根是X的最小多项式的根.证明：用反证法假设0是矩阵X的特征根而不是其最小多项式mX()的根，则有(-0,mX()=1，故存在多项式(),()，使得()(-0)+()mX()=1，将X带入上式有(X)(X-0E)+(X

38、)mX(X)=E，即有 (X)(X-0E)=E.所以X-0E可逆（即X-0E0），与0是矩阵X的特征根矛盾.故假设不成立，定理得证.定理13幂幺矩阵A与对角矩阵相似.证明：因为Am=E，所以矩阵A的最小多项式mA()整除m-1（m为正整数），而m-1无重根，根据引理9就得mA()无重根，再由定理8即得矩阵A与对角矩阵相似.1 2 m注意：幂幺矩阵A与对角矩阵 相似，其中=1(i=1,2,.,n). i n4.5矩阵的逆、伴随矩阵的对角化定理14APnn能够对角化A-1,A*可对角化.证明：(I)根据题设条件，存在非奇异矩阵T满足1 T-1AT= 2 n由矩阵T可逆就有i0(i=1,2,.,n)

39、，从而191-1 T-1A-1T= -12, -1n从而A-1与对角矩阵相似.(II)由A*=AA-1得A/1 T-1A*T=AT-1A-1T= A/2A/2从而A*也与对角矩阵相似.4.6某些正交矩阵的对角化b11b12设A= bb是正交矩阵，根据正交矩阵的性质就有 212222b11+b21=122 ， b12+b22=1bb+bb=011122122从而二阶正交矩阵A有两种形式cosA= sincos 定理15若A= sin-sin-cos 或A= sincossin. cos-sin，则矩阵A与对角矩阵相似. cos证明：A的特征多项式为cos-sin- A-E=sin-cos-=2-2cos+1 由A-E=0得矩阵A的特征值为1=cos+cos2-1,2=cos-cos2-1.当cos2-10时，容易得到12，故正交矩阵A有两个不同的特征值，容易 20看出此时正交矩阵A有两个线性无关的特征向量，由定理1即有正交矩阵A可对角化.10-10当cos2-1=0，即cos=1时，A= 或 ，此时正交矩阵A显然010-1与对角矩阵相似.定理16若 A= -cossinsincos，那么A与对角矩阵相似.该定理的证明与定理类似，在此不做赘述.b110定理17正交矩阵A= 00b22b23可对角化.0b32b33证明：由A是正交矩阵可得，a11=1.