正方形的性质与判定（知识解读）.pdf

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1、专 题 1.3正 方 形 的 性 质 与 判 定（知 识 解 读）【直 击 考 点】【学 刃 目 标】1.理 解 正 方 形 的 概 念；2.探 索 并 证 明 正 方 形 的 性 质 定 理 和 判 定 定 理，并 能 运 用 它 们 进 行 证 明 和 计 算；3.通 过 经 历 正 方 形 的 性 质 定 理 和 判 定 定 理 的 探 索 过 程，丰 富 学 生 的 数 学 活 动 经 验 和 体 验，进 一 步 培 养 和 发 展 学 生 的 合 情 推 理 能 力；4.通 过 正 方 形 的 性 质 定 理 和 判 定 定 理 以 及 相 关 问 题 的 证 明 和 计 算，进 一

2、 步 培 养 和 发 展 学 生 的 演 绎 推 理 能 力.【知 佣 支 梳 理】考 点 1 正 方 形 的 概 念 与 性 质：正 方 形 的 定 义：一 组 邻 边 相 等 的 矩 形 叫 做 正 方 形。正 方 形 的 性 质：正 方 形 具 有 平 行 四 边 形、矩 形、菱 形 的 一 切 性 质。（正 方 形 是 轴 对 称 图 形，有 两 条 对 称 轴）考 点 3 正 方 形 的 判 定：正 方 形 常 用 的 判 定：有 一 个 内 角 是 直 角 的 菱 形 是 正 方 形；邻 边 相 等 的 矩 形 是 正 方 形；对 角 线 相 等 的 菱 形 是 正 方 形；对 角

3、 线 互 相 垂 直 的 矩 形 是 正 方 形.注 意：正 方 形、矩 形、菱 形 和 平 行 边 形 四 者 之 间 的 关 系（如 图 3 所 示）:图 3K鹿 翎 争 漏】【考 点 1正 方 形 的 性 质】【典 例 1】（2022春 淑 浦 县 期 中）一 个 正 方 形 的 面 积 为 8加，则 它 的 对 角 线 长 为（）A.1cm B.2y 2cm C.4cm D.3cm【变 式 1-1（2021秋 简 阳 市 期 中）正 方 形 ABC。的 一 条 对 角 线 长 为 2,则 正 方 形 ABC。的 周 长 为（）A.4 B.8 C.2&D.472【变 式 1-2（2020

4、秋 武 功 县 期 末）如 图，在 正 方 形 4 B C D 中，AB=2,P 是 A。边 上 的 动【变 式 1-3（2022榆 林 模 拟）如 图，正 方 形 A B C C 中，对 角 线 AC,B。相 交 于 点 O,H为 C。边 中 点，正 方 形 ABCZ）的 周 长 为 8,则 O H 的 长 为（）A.4 B.3 C.2 D.1【典 例 2】（2020秋 莲 湖 区 期 中）如 图，正 方 形 ABC。中，在 8 A 延 长 线 上 取 一 点，使 BE=B D,连 接 Q E,则 N E D 4 的 度 数 为（）C.30 D.22.5【变 式 2-1（2010秋 金 口

5、河 区 期 末）如 图，在 正 方 形 A8C。中，E 是。C 上 一 点，F 为 B C 延 长 线 上 一 点，NBEC=70,且 BCE丝 OCF.连 接 E凡 则 的 度 数 是（）A.10 B.15 C.20 D.25【变 式 2-2（2021春 永 嘉 县 校 级 期 末）如 图，正 方 形 4 8 c o 中，点 E 是 对 角 线 A C 上 的 一 点，且 A E=A B,连 接 BE,D E,则 N C D E 的 度 数 为（）A.20 B.22.5 C.25 D.30【变 式 2-3（2021秋 文 山 市 期 末）如 图，正 方 形 ABC。外 侧 作 等 边 三 角

6、 形 A O E,则/AE8的 度 数 为（）A.30 B.20 C.15 D.10【变 式 2-4（2022兴 宁 区 校 级 模 拟）如 图，A（0,2）,D（1,0）,以 为 边 作 正 方 形 A B C Q,则 点 C 的 坐 标 为（）A.（3,1）B.（3,2）C.（2,1）D.（1,3）【典 例 3（2 0 2 0秋 杏 花 岭 区 校 级 月 考）如 图，将 正 方 形。放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中,。为 原 点，点 A 的 坐 标 为（2,遥），则 点 C 的 坐 标 为（）A.（-5,2）B.（-Vs,1）C.（-2,遥）D.（-2,-遥）【变 式 3 1】（2

7、021春 泗 水 县 期 末）如 图，在 正 方 形 OABC中，点 A 的 坐 标 是（-3,1）,(2,3)C.(3,2)D.(3,1)【变 式 3-2（2019海 口 二 模）如 图，将 边 长 为 2cm的 正 方 形 0 4 8 c放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，。是 原 点，点 4 的 横 坐 标 为 1,则 点 C 的 坐 标 为（)C.(1,-V3)D.(-1,V3)【典 例 4】（2020秋 城 关 区 校 级 期 中）如 图，在 正 方 形 ABC。中,点 E、F 分 别 在 BC,CD上，AEF是 等 边 三 角 形，连 接 A C 交 E F 于 点 G,下 列

8、 结 论：B E=D F；N D 4 F=15；4 c 垂 直 平 分 EF-.B E+D F=E F；&XCEF=2SAABE.其 中 正 确 的 结 论 有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【变 式 4-1（2020秋 台 州 期 中）如 图，在 正 方 形 A 8 C Q 中，边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 AEF的 顶 点 E、F 分 别 在 3 c 和 CZ）上，下 列 结 论：C E=C F；=E F；正 方 形 对 角 线 AC=1+J,其 中 正 确 的 序 号 是（/AEB=75；BE+DF)C.D.【变 式 4-2（2020春 老 城 区 校 级 月

9、考）如 图，点 P 是 正 方 形 A 8 C Q 的 对 角 线 3。上 一 点,P E L B C 于 点、E,PF_LC 于 点 F,连 接 E F 给 出 下 列 四 个 结 论：A P=E F；APA.EF；AP。一 定 是 等 腰 三 角 形；N P F E=N B A P.其 中 正 确 结 论 个 数 是（）DC.3 D.4【变 式 4-3（2019秋 巴 州 区 校 级 期 中）如 图，点 P 是 正 方 形 ABC。的 对 角 线 上 一 点,PEJ_BC于 E,PF，C 于 F,连 接 EF,给 出 下 列 四 个 结 论，其 中 正 确 结 论 的 序 号 是（）A P

10、=E F N P F E=N B A P APO 一 定 是 等 腰 三 角 形 P D=6 E CA.B.C.D.【考 点 2 正 方 形 的 判 定】【典 例 5】（2021秋 南 海 区 月 考）如 图，点 B 在 上，过 A B的 中 点。作 M N的 平 行 线,分 别 交 的 平 分 线 和 NABN的 平 分 线 于 点 C、D.（1）试 判 断 四 边 形 AC8O的 形 状，并 证 明 你 的 结 论.(2)当 CB。满 足 什 么 条 件 时，四 边 形 ACB。是 正 方 形？并 给 出 证 明.【变 式 5-1(2021春 昆 明 期 末)如 图，在 ABC中，/4CB

11、=90,N B N A,点、D 为 边 A B 的 中 点，DE BC交 A C 于 点、E,C尸 A B 交。E 的 延 长 线 于 点 尸.(1)求 证：D E=E F；(2)当 RtZVlBC满 足 什 么 条 件 时，四 边 形 AZ5CF是 正 方 形？请 证 明 你 的 结 论.【变 式 5-2(2021平 凉 模 拟)如 图，在 矩 形 A8CZ)中，M、N 分 别 是 边 A。、B C 的 中 点,E、尸 分 别 是 线 段 8 M、C M 的 中 点.(1)求 证：BM=CM.(2)当 AB：A Q 的 值 为 多 少 时，四 边 形 M E N F 是 正 方 形？请 说

12、明 理 由.【考 点 3 正 方 形 的 性 质 与 判 定】【典 例 6】(2022春 覃 塘 区 期 中)如 图，已 知 点 E,F,G,，分 别 在 正 方 形 4 8 8 的 四 条 边 上，S.A E=B F=C G=D H,连 接 EF,FG,GH,HE.(1)求 证：四 边 形 E F G H 是 正 方 形；(2)若 A8=7,A E=3,求 四 边 形 E F G H 的 周 长.【变 式 6-1(2022龙 岗 区 模 拟)如 图，在 ABC中，NBAC=90,/8 4 C 的 平 分 线 交 BC 于 点、D,DE/AB,DF/AC.(1)求 证：四 边 形 A F D

13、E 为 正 方 形；(2)若 4 9=2 后，求 四 边 形 A F Q E 的 面 积.A【变 式 6-2(2022惠 城 区 一 模)如 图，正 方 形 4BC。中，A B=6,点 E 是 对 角 线 A C 上 的 一 点，连 接 O E.过 点 E 作 EF_LED交 B C 于 点 尸，以。E、E尸 为 邻 边 作 矩 形 连 接 CM.(1)求 证：矩 形 O E F M 是 正 方 形；(2)求 C E+C M 的 值.专 题 1.3正 方 形 的 性 质 与 判 定(知 识 解 读)【直 击 考 X【老 司 目 标】1.理 解 正 方 形 的 概 念；2.探 索 并 证 明 正

14、 方 形 的 性 质 定 理 和 判 定 定 理，并 能 运 用 它 们 进 行 证 明 和 计 算；3.通 过 经 历 正 方 形 的 性 质 定 理 和 判 定 定 理 的 探 索 过 程，丰 富 学 生 的 数 学 活 动 经 验 和 体 验，进 一 步 培 养 和 发 展 学 生 的 合 情 推 理 能 力；4.通 过 正 方 形 的 性 质 定 理 和 判 定 定 理 以 及 相 关 问 题 的 证 明 和 计 算，进 一 步 培 养 和 发 展 学 生 的 演 绎 推 理 能 力.【笈 钠 直 梳 理】考 点 1 正 方 形 的 概 念 与 性 质：正 方 形 的 定 义：一 组

15、邻 边 相 等 的 矩 形 叫 做 正 方 形。正 方 形 的 性 质：正 方 形 具 有 平 行 四 边 形、矩 形、菱 形 的 一 切 性 质。（正 方 形 是 轴 对 称 图 形，有 两 条 对 称 轴）考 点 3 正 方 形 的 判 定：正 方 形 常 用 的 判 定：有 一 个 内 角 是 直 角 的 菱 形 是 正 方 形；邻 边 相 等 的 矩 形 是 正 方 形；对 角 线 相 等 的 菱 形 是 正 方 形；对 角 线 互 相 垂 直 的 矩 形 是 正 方 形。注 意：正 方 形、矩 形、菱 形 和 平 行 边 形 四 者 之 间 的 关 系（如 图 3 所 示）:图 3K

16、鹿 翎 争 漏】【考 点 1正 方 形 的 性 质】【典 例 1】（2022春 淑 浦 县 期 中）一 个 正 方 形 的 面 积 为 8加，则 它 的 对 角 线 长 为（）A.1cm B.2y 2cm C.4cm D.3cm【答 案】C【解 答】解：正 方 形 的 面 积 为 8cm2,.,.正 方 形 的 边 长 为=2&（cm）,正 方 形 的 对 角 线 长 为 2&X a=4（cm）,故 选：C.【变 式 1-1（2021秋 简 阳 市 期 中）正 方 形 ABCQ的 一 条 对 角 线 长 为 2,则 正 方 形 ABCQ的 周 长 为（）A.4 B.8 C.2&D.4A/2【答

17、 案】D【解 答】解：因 为 正 方 形 A 8C O的 一 条 对 角 线 长 为 2,设 正 方 形 的 边 长 为“，根 据 勾 股 定 理，得/+“2=22,解 得=&，所 以 正 方 形 的 边 长 为 北,则 正 方 形 A BC D的 周 长 为 4&.故 选：D.【变 式 1-2（2020秋 武 功 县 期 末）如 图，在 正 方 形 ABC D中，A B=2,P 是 A O边 上 的 动 点，P E L A C于 点 E,P F L B D于 点 F,则 PE+PF的 值 为（）A,PD二 A.4 B.2V 2 C.V 2 D.2【答 案】C【解 答】解：在 正 方 形 AB

18、C。中，OA1OB,/。4。=45,JPELAC,PFLBD,二 四 边 形 0E尸 尸 为 矩 形，A E P是 等 腰 直 角 三 角 形，：.PF=OE,PE=AE,：.PE+PF=AE+OE=OA,正 方 形 A B C D 的 边 长 为 2,故 选：C.【变 式 1-3（2022榆 林 模 拟）如 图，正 方 形 A 8C Q中，对 角 线 AC,8。相 交 于 点。，H为 C Q边 中 点，正 方 形 4B C D的 周 长 为 8,则 O H的 长 为（）【答 案】D【解 答】解：；正 方 形 ABC。的 周 长 为 8,：.BC=2,又 是 正 方 形 对 角 线 的 交 点

19、，.0 是 B D的 中 点，.，是 8 边 的 中 点，是 OBC的 中 位 线,OH=LBC=I.2故 选：D.【典 例 2】（2020秋 莲 湖 区 期 中）如 图，正 方 形 ABCQ中，在 8 4 延 长 线 上 取 一 点，使 BE=B D,连 接 Q E,则/E D 4 的 度 数 为（）EA.10 B.15 C.30 D.22.5【答 案】D【解 答】解：四 边 形 A8C。是 正 方 形，:.NABD=45-ZADB,：BE=BD,:.NBDE=675,：.Z E D A=Z B D E-ZADB=22.5,故 选：D.【变 式 2-1（2010秋 金 口 河 区 期 末）如

20、 图，在 正 方 形 ABC。中，E 是 D C 上 一 点,F 为 8 c 延 长 线 上 一 点，NBEC=70,且 连 接 E凡 则 N E F O的 度 数 是（）A.10 B.15 C.20 D.25【答 案】D【解 答】解：.四 边 形 A 8C O是 正 方 形，.ZBCE=ZDCF=90o；由 旋 转 的 性 质 知：CE=CF,NBEC=NDFC=10；则 a E C F是 等 腰 直 角 三 角 形，得 NEFC=45,：.Z EFD=Z DFC-Z E F C=25.故 选：D.【变 式 2-2（2021春 永 嘉 县 校 级 期 末）如 图，正 方 形 A B C D

21、中，点 E 是 对 角 线 A C 上 的 一 点,且 A E=A B,连 接 BE,D E,则/C D E 的 度 数 为（）口 R CA.20 B.22.5 C.25 D.30【答 案】B【解 答】解：四 边 形 A 8 C O 是 正 方 形，：.AB=AD,ZADC=90,/D 4 c=45,：AE=AB,：.AD=AE,：.Z A D E=ZAED=61.5,；.N C D E=90-67.5=22.5,故 选：B.【变 式 2-3（2021秋 文 山 市 期 末）如 图，正 方 形 ABC。外 侧 作 等 边 三 角 形 ADE,贝 IJN4EB的 度 数 为（）【答 案】C【解

22、答】解：根 据 等 边 三 角 形 和 正 方 形 的 性 质 可 知 AB=AD=4E,ZBAD=90,ZDAE=60。，N8AE=90+60=150,:.NAEB=(180-150)4-2=15.故 选：C.【变 式 2-4(2022兴 宁 区 校 级 模 拟)如 图，A(0,2),D(1,0),以 为 边 作 正 方 形 ABCQ,则 点 C 的 坐 标 为()A.(3,1)B.(3,2)C.(2,1)D.(1,3)【答 案】A【解 答】解：过 点 C 作 轴 于 点”，如 图 所 示：.NOAC+NAOO=90,在 正 方 形 A8CO 中，ADCD,/AC=90,.NAOO+NCO，

23、=9(T,：.ZDAO=ZCDH,：.NyAD 迫 XHDC(AAS),：.CH=OD,DH=AO,：A(0,2),D(1,0),：.OA=2,OD=,:.DH=2,CH=1,：.C(3,1),故 选：A.【典 例 3(2020秋 杏 花 岭 区 校 级 月 考)如 图，将 正 方 形 OABC放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中,O 为 原 点，点 4 的 坐 标 为（2,辰）,则 点 C 的 坐 标 为（）A.（-V5,2）B.（-V5,1）C.（-2,赤）D.（-2,-遥）【答 案】A【解 答】解：如 图 所 示，作 AD_Lx轴 于。，CE_Lx轴 于 E,则/OEC=/A/）O=9

24、0,的 坐 标 为（2,遥），：.AD=yJs 0D=2,.四 边 形 04BC是 正 方 形，：.OA=OC,ZAOC=90,A Z A O D+ZCOE=90Q,Z A O D Z E C O,在 OCE和 AO。中，Z0EC=ZA D 0 ZEC 0=ZD 0A-0C=0A：.OCE/AOD（A4S）,：.OE=AD=y,CE=0D=2,C（-遥，2）.故 选：A.【变 式 3-1（2021春 泗 水 县 期 末）如 图，在 正 方 形 OABC中，点 A 的 坐 标 是（-3,1）,则 C 点 的 坐 标 是（）D.(3,1)【答 案】A【解 答】解：如 图 所 示：作 COLx轴 于

25、 Q,作 AELx轴 于 E,：.ZOAE+ZAOE=W,四 边 形 OABC是 正 方 形，：.OACO=BA,ZAOC=90,：.ZAOE+ZCOD=90,：.ZOAE=ZCOD,在 aA O E和 OCD中，ZAE0=Z0DCOA=CO：./A O E A O C D(A A S),：.AEOD,OE=CD,1,点 A的 坐 标 是(-3,1),：.OE=3,AE=,：.O D=,CD=3,：.C(1,3),故 选：A.【变 式 3-2（2019海 口 二 模）如 图，将 边 长 为 2c/n的 正 方 形 043C放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，。是 原 点，点 A 的 横 坐

26、 标 为 1,则 点 C 的 坐 标 为（）A.（通，-1）B.（2,-1）C.（1,-V3）D.（-1,V 3）【答 案】A【解 答】解：作 ADLy 轴 于。，作 CE_Ly轴 于 E,如 图 所 示：则 NAQO=NOEC=90,.,.Zl+Z2=90,.点 A 的 坐 标 为（1,遥），：.A D=,0 D=M，.四 边 形 0ABe是 正 方 形，./AOC=90,OC=AO,二/1+/3=90,/.Z3=Z2,在 OCE和 AOQ中，fZOEC=ZADO-Z 3=Z 2 O C=A O：./O C E/AO D（AAS）,：.OE=AD=,C E=O D=M，.,.点 C 的 坐

27、标 为（窝，-1）.故 选：A.【典 例 4】（2020秋 城 关 区 校 级 期 中）如 图，在 正 方 形 ABCD中，点 E、F 分 别 在 BC,CD上，AEF是 等 边 三 角 形，连 接 AC交 E F于 点 G,下 列 结 论：BE=Z）F；ND4F=15；4 c 垂 直 平 分 EF；BE+DF=EFx S&CEF=2S&ABE.其 中 正 确 的 结 论 有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】D【解 答】解：四 边 形 ABCD是 正 方 形，：.A B-B C C D A D,N B=N BCD=N D=N BAD=90.AEF等 边 三 角 形，：.

28、A E E F A F,NE4/=60.ZB AE+ZD A F30.在 RtAABE 和 RtAADF 中，AE=AF,lAB=AD，Rt/ABERtAD F（HL）,：.BE=DF（故 正 确）.ZBAEZD AF,：.ZDAF+ZDAF=30,即 ND4/=15（故 正 确），,:BC=CD,：.BC-BE=CD-D F,即 CE=CF,：AE=AF,垂 直 平 分（故 正 确）.设 E C=x,由 勾 股 定 理，得 EF=y2x，C G=J ix,2.,.AG=AEsin60=EFsin60=2XCGsin60=X A.V,_ 2.C=E r+返 r,2 2：.AB=f+x；2 _.

29、8 E=愿 x+x-=E x-x2 2:.BE+DF=yfc-x手 心,（故 错 误），工 又 愿 x-x.V 3 x+x=x22:S&CEF=,2SM BE=2 2 2 42：.2S&ABE=SnCKF,（故 正 确）.2综 上 所 述，正 确 的 有 4 个,故 选：D.【变 式 4-1（2020秋 台 州 期 中）如 图，在 正 方 形 4BC。中，边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 AEF的 顶 点 E、尸 分 别 在 B C和 C。上，下 列 结 论：C E=C F；乙 4E8=75；BE+DF=E F；正 方 形 对 角 线 A C=1+J,其 中 正 确 的 序 号 是（）C

30、.D.【答 案】A【解 答】解：四 边 形 A 2C D是 正 方 形,：.AB=AD,A E F是 等 边 三 角 形，：.AE=AF,在 Rt/XABE 和 RtAADF 中，AB=ADlAE=AF，/.R tA/lB E R tA A D F（HL）,：.BE=DF,:BC=DC,:.BC-BE=CD-DF,：.CE=CF,故 正 确；：CE=CF,是 等 腰 直 角 三 角 形，.N C EF=45,尸=60,：.ZAEB=750,故 正 确；如 图，连 接 A C,交 E F于 G 点，J.ACLEF,且 AC 平 分 EF,/尸 W ADAF,J.DFFG,:.BE+DFWEF,故

31、 错 误：A E F是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，ZACD,：.ACLEF,EG=FG,.G=4 E sin60=2 X 返=,CG=EF=1,2 2.4C=A G+C G=J+1；故 正 确.所 以 其 中 正 确 的 序 号 是：.故 选：A.【变 式 4-2（2020春 老 城 区 校 级 月 考）如 图，点 P 是 正 方 形 ABC。的 对 角 线 B O上 一 点,P E L B C 于 点 E,P/U C O 于 点 凡 连 接 所 给 出 下 列 四 个 结 论：A P=E F；AP_LEF；A PQ一 定 是 等 腰 三 角 形；N P F E=N B A P.

32、其 中 正 确 结 论 个 数 是（）DA.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【解 答】解：如 图，连 接 P C,延 长 A P交 E F于 H,延 长 尸 产 交 A B于 G,在 正 方 形 A8C。中，NABP=NCBP=45,AB=CB,.在 A8P 和 C8P 中，AB=CB是 等 腰 三 角 形，故 错 误;PF/BC,./AG尸=N 4 8 C=9 0”,/ZBAP=NPFE,NAPG=NFPH,：.ZA G P=ZAHF=90,：.A P L E F,故 正 确，故 选：c.【变 式 4-3（2019秋 吧 州 区 校 级 期 中）如 图，点。是 正 方 形 A8C。的

33、对 角 线 上 一 点,PE，B C 于 E,PF_L 8 于 凡 连 接 EF,给 出 下 列 四 个 结 论，其 中 正 确 结 论 的 序 号 是（）AP=EF Z P F E=Z B A P APO 一 定 是 等 腰 三 角 形 PD=yp2ECA.B.C.D.【答 案】A【解 答】解：连 接 P C,如 图 所 示：在 正 方 形 ABC。中，/ABP=NCBP=45,AB=CB,AB=CB.在 ABP 和 C8P 中，,ZABP=ZCBP-BP=BP:.AABP 冬/CBP（SAS）,；.AP=PC,NBAP=NBCP,V PE IBC,PF A.CD,四 边 形 PECF是 矩

34、 形，：.PC=EF,ZBCP=ZPFE,：.AP=EF,N P F E=/B A P,故 正 确；：PF LCD,Z B D C=45,，/PDF是 等 腰 直 角 三 角 形，:.PD=4 QPF,.,矩 形 的 对 边 PF=EC,:.PD=M EC,故 正 确；只 有 点 P 为 8。的 中 点 或 尸 O=A 力 时，AP。是 等 腰 三 角 形，故 错 误；综 上 所 述，正 确 的 结 论 有，故 选：A.【考 点 2 正 方 形 的 判 定】【典 例 5】(2021秋 南 海 区 月 考)如 图，点 B在 M N上，过 的 中 点。作 M N的 平 行 线,分 别 交 NABM

35、的 平 分 线 和 乙 4BN的 平 分 线 于 点 C、D.(1)试 判 断 四 边 形 AC8。的 形 状，并 证 明 你 的 结 论.(2)当 CBO满 足 什 么 条 件 时，四 边 形 ACB。是 正 方 形？并 给 出 证 明.【答 案】(1)四 边 形 ACB。是 矩 形(2)C8D满 足 C 8=8 D时，四 边 形 ACBD是 正 方 形【解 答】解：(1)四 边 形 4CBD是 矩 形，证 明：平 行:.NOCB=NCBM,平 分/A S M,：.ZO B C=ZC BM,：.2 0 C B=N 0 B C,：.OC=OB,同 理 可 证：OB=OD,.*.OA=OB=OC

36、=OC,：CD=OC+OD,AB=OA+OB,：.AB=CD,四 边 形 ACBO是 矩 形：(2)CBC满 足 C 8=B O时，四 边 形 AC8D是 正 方 形,证 明：由(1)得 四 边 形 4CBO是 矩 形，,:CB=BD,二 四 边 形 ACBO是 正 方 形.DM B N【变 式 5-1（2021春 昆 明 期 末）如 图，在 a A B C中，/A C B=90,Z B N A,点 D 为 边 A B的 中 点，OE 8 C交 A C于 点 E,CF A B交。E 的 延 长 线 于 点 F.（1）求 证：DE=EF；（2）当 RtZABC满 足 什 么 条 件 时，四 边

37、形 AOCF是 正 方 形？请 证 明 你 的 结 论.【答 案】（1）略（2）【解 答】证 明：（1）D E/B C,CF/AB,四 边 形 OBCF为 平 行 四 边 形，：.DF=BC,为 边 A 8的 中 点，DE/BC,：.D E=B C,2:.E F=D F-DE=BC-X c B=C B,2 2：.DE=EF；（2）解：当 ABC满 足 N8AC=45,四 边 形 AOCF是 正 方 形,证 明：四 边 形 DBCF为 平 行 四 边 形，：.BD=CF,；NACB=90,。为 边 A 8的 中 点，：.AD=BD=CD,：.AD=CF,：AD/CF,，四 边 形 ADCF是 平

38、 行 四 边 形，；N8AC=45,.NBAC=NOC4=45,：.ZADC=90,，四 边 形 AOCF是 正 方 形.【变 式 5-2(2021平 凉 模 拟)如 图，在 矩 形 48C D中，M、N 分 别 是 边 4 0、BC的 中 点,E、尸 分 别 是 线 段 8例、C M的 中 点.(1)求 证：BM=CM.(2)当 AB：A O的 值 为 多 少 时，四 边 形 MENF是 正 方 形？请 说 明 理 由.,A/nE MB N C【答 案】(1)略(2)当 A8：A D=：2 时，四 边 形 MENF是 正 方 形【解 答】(1)证 明：四 边 形 A8CO是 矩 形，：.AB

39、=DC,/A=/O=9 0,M 为 中 点,：.AM=DM,在 A 8M和 OCM中，AI=DM(Z A=Z D AB=DC(S A S),(2)解：当 AB：A D=：2 时，四 边 形 MENF是 正 方 形，理 由 如 下：,:N、E、尸 分 别 是 8C、BM、C M的 中 点，：.NE/CM,NE=LC M,2：M F=C M,2：.NE=FM,：NE/FM,四 边 形 MENF是 平 行 四 边 形，由（1）知 ABM丝 QCM,:E、/分 别 是 BM、CM的 中 点，：.ME=M F,平 行 四 边 形 MENF是 菱 形；M 为 4。中 点,：.AD=2AM,：AB：4 0=

40、1：2,：.AD=2AB,：.AM=AB,；乙 4=90,：.ZA BM=ZAMB=45,同 理/O M C=45,/.ZM F=180-45-45=90,四 边 形 例 ENF是 菱 形，菱 形 MEN尸 是 正 方 形.【考 点 3 正 方 形 的 性 质 与 判 定】【典 例 6】（2022春 覃 塘 区 期 中）如 图，已 知 点 E,F,G,H 分 别 在 正 方 形 ABC。的 四 条 边 上，S.A E B F C G=D H,连 接 EF,FG,GH,HE.（1）求 证：四 边 形 EFG”是 正 方 形；（2）若 A8=7,A E=3,求 四 边 形 EFG”的 周 长.【解

41、 答】（1）证 明：四 边 形 A8CO是 正 方 形,：.A B=B C C D A D,/A=/B=N C=/。=90,:A E=BF=C G=D H,：.AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,:.BE=C F=D G=AH,在 AAEH,ABF E,ACGF,O”G 中，AE=BF=CG=DH NA 二 NB=Nc 二 NDAH=BE=CF=DG:A E H g A B F E-C G F 乌 dD H G(S A S),:EH=EF=FG=G H,N A E H=N B F E,N A H E=N B E F,J 四 边 形 EFG”是 菱 形，NAEH+NBEF=NAHE+

42、NBFE,V ZAEH+ZAH E=90，：.ZAEH+ZBEF=90,：.Z F E H=180-90=90,四 边 形 EFG”是 正 方 形；(2)解：V A B=7,A E=3f：.BE=A H=A B-AE=1-3=4,H=V AH2+A E2=V32+42=5;:四 边 形 EFG”是 正 方 形，二 四 边 形 EFG”的 周 长=5 X 4=2 0.【变 式 6-1(2022龙 岗 区 模 拟)如 图，在 a A B C 中，ZBA C=90BC 于 点 D,D E/AB,D F/AC.(1)求 证：四 边 形 AFZJE为 正 方 形；(2)若 4。=2&,求 四 边 形 A

43、尸。E 的 面 积.A B A C的 平 分 线 交【解 答】（1）证 明：；O A8,D F/AC,：.四 边 形 AFD E是 平 行 四 边 形.平 分 N8AC,：.ZFAD=ZEAD.DE/AB,：.ZEDAZFAD.：.ZEDA=ZEAD.：.AE=DE.四 边 形 AFDE是 菱 形.VZBAC=90,四 边 形 AFDE是 正 方 形.(2)解：四 边 形 AFQE是 正 方 形，4=2后,四 边 形 A F D E 的 面 积 为 2X2=4.【变 式 6-2(2022惠 城 区 一 模)如 图，正 方 形 4BC。中，AB=6,点 E 是 对 角 线 A C 上 的 一 点

44、，连 接。E.过 点 E 作 EELE。交 BC 于 点 凡 以 DE、EF为 邻 边 作 矩 形。EFM,连 接 CM.(1)求 证：矩 形 OEFM 是 正 方 形：(2)求 CE+CM的 值.【解 答】解：(1)如 图，作 EG_LCO于 G,E H L B C 于 H,.四 边 形 4 8 8 是 正 方 形,，Z A C B=ZACD.:EG L C D,EH 工 BC,:.EG=EH,：NE G C=NE H C=NBCD=90,四 边 形 EGC77是 矩 形，：.Z G E H=90.四 边 形 QEFM 是 矩 形，:N D E F=9C.:N D EG=N FEH.:NEGD=NEHF=90Q,:.丛 EGD经 丛 EHF(A S A),：.ED=EF.矩 形 DEFM 是 正 方 形；(2),四 边 形 是 正 方 形，四 边 形 A8CO是 正 方 形,:,DE=DM,AD=CD,ZA D C=ZED M=90.J N A D E=/C D M.：./A D E A C D M(SAS),：.AE=CM.CE+CM=CE+AE=AC=y/AD 2 C D 2=