湖北省天门市2023届高三5月适应性考试数学试题含答案.pdf

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1、湖北省天门市湖北省天门市2023 年普通高等学校招生全国统一考试（适应性考试）参考答案选择题题号123456789101112答案ABCDADBCACADBCCD填空题题号13141516答案354 397423417在锐角ABC中，,a b c分别为内角,A B C的对边，已知22 cos,bcaC求：（1）A 的大小；（2）abc的取值范围.解（1）由22 cos,bcaC得2sinsin2sincos,BCAC在ABC 中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,将上式代入并化简得sinC(2cosA-1)=0,又 sinC0,则 cosA=,又 A(0,2),故

2、得 A=3。（2）由正弦定理可得，331cossinsinsinsinsin()222sinsinsinCCabABAACcCCC33cos13 1cos13122sin22sin222tan2CCCCC因为ABC 为锐角三角形，C(6,2),从而1(,),(1,23)212 4tan2CC所以13(,23)2abc。18.解（1）由211nnban，得21nna bn，由1nnnbab，得21nnna bb，22nbn，因为 nb是正项数列，nbn，211nnnanbn；（2）14,1111112121,211nnnaannnnnnnnn ，则当2n时，234 25 27 2212nnSn

3、，所以3412165 27 2212nnSn ，两式相减得341122222212nnnSn 3112221222121 2241 2nnnnn，即121 24nnSn，因为18S 满足121 24nnSn，所以121 24nnSn.19.如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，且60ABC，2ABPC，2PAPB.M是棱 PD 上的点，且四面体MPBC的体积为36(1)证明：PMMD；(2)若过点 C，M 的平面与 BD 平行，且交 PA 于点 Q，求平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值.解（1）解法一：如图 1，取 AB 中点 O，连接 PO，CO.因为2PAPB，2AB，所以POAB，1

4、PO，1BO.又因为ABCD是菱形，60ABC，所以COAB，3CO.因为2PC，所以222PCPOCO，所以POCO.又因为AB平面ABCD，CO 平面 ABCD，ABCOO，所以PO平面ABCD.因为/AD BC，BC平面 PBC，AD 平面 PBC，所以/AD平面 PBC，所以1133143343D PBCA PBCP ABCABCVSVVPO.因为3162MPBCD PBCVV，所以点 M 到平面 PBC 的距离是点 D 到平面 PBC 的距离的12，所以PMMD.解法二：如图 2，取 AB 中点 O，连接 PO，CO，因为2PAPB，2AB，所以POAB，1PO，1BO，又因为ABC

5、D是菱形，60ABC，所以COAB，3CO.因为2PC，所以222PCPOCO，所以POCO.因为AB平面 PAB，PO平面 PAB，ABPOO，所以CO 平面 PAB.所以，11133223323A PBCC ABPABPSVVCO.过 M 作/MN AD交 AP 于点 N，/AD BC，所以/MN BC.又BC平面 PBC，MN 平面 PBC，所以/MN平面 PBC，所以1336MPBCN PBCC NBBPPNVVVCO S.因为13AABPPCBVCO S，13NNBPPCBVCO S，所以ABPNBPSS，所以 N 是 PA 的中点，所以 M 是 PD 的中点，所以PMMD.（2）解

6、法一：由（1）知，BOCO，POBO，POCO.如图 3，以 O 为坐标原点，OC，OB，OP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则0,1,0A，0,1,0B，3,0,0C，3,2,0D，0,0,1P，所以31,1,22M，3,1,0AC，3,1,0BC ，3,3,0BD ，0,1,1AP ，31,1,22CM .因为QAP，设0,AQAP ，则3,1,CQAQAC ，因为/BD，Q，C，M，故存在实数 a，b，使得CQaCMbBD ，所以3332312ababa ，解得431323ab，所以1 23,3 3CQ .设平面BCQ的法向量为1,nx y z，则1100

7、n CQn BC ，即2303330yzxxy，取1x，得到平面BCQ的一个法向量11,3,2 3n.设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为20,0,1n 是平面ABCD的一个法向量，则1212123coscos,2n nn nn n .所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32.解法二：由（1）知，BOCO，POBO，POCO，如图 3，以 O 为坐标原点，OC，OB，OP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则0,1,0A，0,1,0B，3,0,0C，3,2,0D，0,0,1P，所以31,1,22M，3,1,0AC，3,1,0BC ，3,3,0BD ，0,1

8、,1AP ，31,1,22CM .设平面的法向量为,nx y z，则00n BDn CM ，即33031022xyxyz.取1y，得到平面的一个法向量3,1,5n.因为QAP，设0,AQAP ，则3,1,CQAQAC ，因为31 50n CQ ，所以23，所以1 23,3 3CQ 设平面BCQ的法向量为1111,nx y z，则1100n CQn BC ，即111112303330yzxxy.取11x，得到平面BCQ的一个法向量11,3,2 3n.设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为20,0,1n 是平面ABCD的一个法向量，则1212123coscos,2n nn nn n .所以平面B

9、CQ与平面ABCD夹角的余弦值是32.解法三：在平面ABCD内，过 C 作/EF BD交 AD 延长线于点 E，交 AB 延长线于点 F，因为ABCD是菱形，所以ADDE.如图 4，在平面 PAD 内，作1/PP AE交 EM 的延长线于点1P，设1EP交 AP 于点 Q.所以，四边形1EDPP是平行四边形，1PPDE，1/PP DE.所以1QPPQAE，所以112PPPQAQAE，所以点 Q 是线段 PA 上靠近 P 的三等分点.如图 5，在平面 PAB 内，作/QT PO，交 AB 于 T，因为PO平面ABCD，所以QT 平面ABCD，所以QTBC，因为1PO，2233QTPO，在平面AB

10、CD内，作TNBC，交 BC 于点 N，连接 QN，过 A 作/AK TN交 BC 于 K，在ABK中，2AB，60ABK，所以332AKAB，所以22333TNAK，因为QTBC，TNBC，QTTTN，且两直线在平面内，所以BC平面QTN，因为QN 平面QTN，所以BCQN.所以QNT是二面角ABCQ的平面角.在Rt QTN中，3tan3QNTQTNT，所以3cos2QNT.所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32.20.人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是 21 世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：

11、首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球乙袋中有 2 个红球和 8 个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.求选到的袋子为甲袋的概率，将首次试验摸出的白球放回

12、原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.解（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件1A，“取到乙袋”为事件2A，“试验结果为红球”为事件1B，“试验结果为白球”为事件2B，（1）111121219121121021020P BP A P B AP AP B A.所以试验一次结果为红球的概率为1120.（2）因为1B，2B是对立事件，219120P BP B，所以2111212221111029920P B A P AP ABP A BP BP B，所以选到的袋子为甲袋的概率为19.由

13、得2212181199P A BP A B ，所以方案一中取到红球的概率为：1121122121982591091018PP A BP B AP A BP B A，方案二中取到红球的概率为：22211121289123791091045PP A BP B AP A BP B A，因为3754518，所以方案二中取到红球的概率更大.21.已知双曲线2222:1xyCab（0a，0b）过12,0P，20,4P，32 10,3P，42 10,3P四个点中的三个点.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且11PAPB，求证：直线l经过一个不在双曲线C上的定点，并求出该定点的坐

14、标.解（1）根据双曲线的对称性可知32 10,3P，42 10,3P关于y轴对称，所以3P，4P必同时在双曲线上，而20,4P不可能在双曲线22221xyab上.则双曲线还经过点12,0P，则22214xyb，将点32 10,3P 代入，可得21b.所以双曲线C的方程为2214xy.（2）()当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，11,A x y，22,B xy，联立2244ykxmxy，整理得，222148440kxkmxm.由222214084 14440kkmkm 得2221 401 40kkm（*），且122814kmxxk，2122441 4mx xk，因为12,0P，所以

15、1112,PAxy，1222,PBxy，因为11PAPB，所以110PA PB ，即1212220 xxy y，所以121212240 x xxxkxmkxm，即2212121240kx xkmxxm，所以2222244812401 41 4mkmkkmmkk，化简得22316200mkmk，即31020mkmk，所以103mk 或2mk，且均满足（*），当2mk 时，直线l的方程为2yk x，直线l过定点2,0，即点1P，不符合题意，舍去；当103mk 时，直线l的方程为103yk x，直线l过定点10,03，符合题意.()当直线l的斜率不存在时，设l的方程为2xn n，由2244xnxy，

16、解得22214ABABxxnnyy，依题意，因为11PAPB，12,0P，所以2Ayn，即222Ayn，所以221444nnn，即2316200nn，解得2n（舍）或103n，所以直线l的方程为103x，直线l过点10,03，综上所述，直线l经过一个不在双曲线C上的定点，定点的坐标为10,03.22.已知函数，函数.(1)当时，求的单调区间；(2)已知，求证：；(3)已知 n 为正整数，求证：.详（1）2221()ln,()aaaxxaf xxaxfxaxxxx，当12a 时，此时21 40a ，则 0fx恒成立，则()f x的减区间为0,，当102a时，令()0fx，解得22114114,2

17、2aaxaa，则()f x的增区间为2211 411 4,22aaaa令 0fx，解得2211 411 40,22aaxaa，则()f x的减区间为2211 411 40,22aaaa ，综上当12a 时，()f x的减区间为0,，无增区间；当102a时，()f x的增区间为2211 411 4,22aaaa，减区间为2211 411 40,22aaaa .（2）欲证2ln2e()2 e10,2xxxag xaxx 需证ln22e02 exxaxxaxx，即需证ln 2 e2e02 exxxaxaxx，令2 extx，即需证ln0atatt，设()lnah ttatt，12 extx，由（1）知当12a 时，()h t的减区间为0,所以()(1)0,h th故()0.g x（3）由（2）知，当11,2ta时，11ln2ttt，令*21Ntnn，则2121122ln 11122222(21)1nnnnnn nnnn即2ln(2)lnnnn所以2ln(3)ln(1)1nnn2ln(4)ln(2)2nnn2ln(5)ln(3)3nnn.ln(21)ln(21)212nnnln(22)l)22n(2nnn以上各式相加得：11111ln(22)ln(21)lnln(1)212212nnnnnnnnn21 2211111112lnln 4ln212212212nnnnnnnn nn