概率论区间估计-PPT.ppt

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1、区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。引例 设某厂生产的灯泡使用寿命XN（，1002），现随机抽取5 只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为2可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4 个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？如果要求有95%的把握判断 在1473.4 左右，则由U 统计量可知由查表得 3置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果由样本（X1，X2，Xn）确定两个统计量 1（X1，X2，Xn

2、），2（X1，X2，Xn），使得P 1 2=1-，则称随机区间（1，2）为参数 的置信度（或置信水平）为1-的置信区间。1置信下限 2置信上限4几点说明 1、参数 的置信水平为1-的置信区间（1，2）表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数 的真值。2、不同的置信水平，参数 的置信区间不同。3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1-大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。5正态总体方差已知，对均

3、值的区间估计 如果总体XN（，2），其中2已知，未知，则取U-统计量，对 做区间估计。对给定的置信水平1-，由确定临界值（X 的双侧 分位数）得 的置信区间为将观测值 代入，则可得具体的区间。6例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6 个，测得直径为（单位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径EX 的点估计；（2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX 的置信 区间：=0.05；=0.01。解（1）由矩法估计得EX 的点估计值为 7续解（2）由题设知XN（，0.06）构造U-统计

4、量，得EX 的置信区间为 当=0.05 时，而 所以，EX 的置信区间为（14.754，15.146）当=0.01 时，所以，EX 的置信区间为（14.692，15.208）置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点9例2 假定某地一旅游者的消费额X 服从正态分布N（，2），且标准差=12 元，今要对该地旅游者的平均消费额EX 加以估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2 元，问至少要调查多少人？解 由题意知：消费额XN（，122），设要调查n 人。由 即 得 查表得 而 解得 至少要调查139 人1

5、0正态总体方差未知，对均值的区间估计 如果总体XN（，2），其中，均未知 由 构造T-统计量 当置信水平为1-时，由 查t-分布表确定 从而得 的置信水平为1-的置信区间为 11例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X 被认为服从正态分布，今随机抽取9 个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。解 由题设可知：口杯的重量XN（，2）由抽取的9 个样本，可得 由 得 查表得 全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）12P127 例5 与P126 例3 的比较：解 由

6、题设可知：平均消费额XN（，2）平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536）由 得 查表得 估计误差为 精确度降低 原因：样本容量减少 在实际应用中，方差未知的均值的区间估计较有应用价值。13练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X 服从正态分布，经调查100 家住户，得出每户每月平均需求量为10 公斤，方差为9，如果某商店供应10000 户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？解 由题设可知：平均需求量XN（，2）平均消费额的置信区间为（9.229，10.771）由 查表得 14续解 要以99%的

7、概率满足10000 户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为（公斤）最多准备（公斤）15正态总体均值已知，对方差的区间估计 如果总体XN（，2），其中 已知，2未知 由 构造2-统计量 查2-分布表，确定双侧分位数 从而得2的置信水平为1-的置信区间为 16例题已知某种果树产量服从（218，2），随机抽取6 棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以95%的置信水平估计产量的方差。解 计算 查表 果树方差的置信区间为 17正态总体均值未知，对方差的区间估计 如果总体XN（，2），其中2未知 由 构造2-统计量 当置信水平为1-时，由 查2-分布表，确定双侧

8、分位数 从而得2的置信水平为1-的置信区间为 18例4 设某灯泡的寿命XN（，2），2未知，现从中任取5 个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为90%的2的区间估计。解 样本方差及均值分别为 2的置信区间为（0.4195，5.5977）由 得 查表得 19小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（1）方差已知，对均值的区间估计 假设置信水平为1-构造U-统计量，反查标准正态分布表，确定U 的双侧分位数 得EX 的区间估计为 20小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（2）方差未知，对均值的区间估计 假设置信水平为1

9、-构造T-统计量，查t-分布临界值表，确定T 的双侧分位数 得EX 的区间估计为 21小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（3）均值已知，对方差的区间估计 假设置信水平为1-构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数 得2的区间估计为 22小 结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（4）均值未知，对方差的区间估计 假设置信水平为1-构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数 得2的区间估计为 23（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U 统计量（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T 统计量 总体服从正态分布的对均值的区间估计 区间估计 24（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量 总体服从正态分布的对方差的区间估计 区间估计 25作业 P131 5，7，8，9，14，15*预习 第10 章 15 节