第3章图像变换课件.ppt

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1、第第3章图像变换章图像变换1数字图像处理数字图像处理第第3章图像变换章图像变换2第三章第三章 图像变换图像变换第第3章图像变换章图像变换33.1 3.1 概概 述述第第3章图像变换章图像变换4n图像变换使图像在视觉上失去了原有图像的形态，尽管视觉上不同，但是保留了很多本质特征。第第3章图像变换章图像变换5n一般变换后的图象，大部分能量都分布于低频谱段，这对以后图象的压缩、传输都比较有利。n经过变换后的图像更有利于特征抽取、增强、压缩和图像编码。n应用于图像滤波、图像压缩、图像识别第第3章图像变换章图像变换6采样数减少一半采样数减少一半第第3章图像变换章图像变换7v1、正向变换核、反向变换核v2

2、、可分离的v3、正交变换对2-D的情况，正变换和逆变换分别表示为：A为实矩阵，称A为正交矩阵基础知识基础知识第第3章图像变换章图像变换8v一维离散傅里叶变换v二维离散傅里叶变换v离散余弦变换（DCT）v沃尔什变换和哈达吗变换v霍特林变换v拉东变换第第3章图像变换章图像变换93.2 一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换 第第3章图像变换章图像变换10n一个恰当的比喻是将傅里叶变换比做一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物理仪器，每个成分的颜色由波长(或频率)决定。傅里叶变换可看做“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。当我们考虑光时，讨论它的光谱或频率谱线。同样，傅里叶变换使我们

3、能够通过频率成分来分析一个函数。第第3章图像变换章图像变换11有限长序列有限长序列变换核变换核 定义定义定义定义 第第3章图像变换章图像变换12矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式 第第3章图像变换章图像变换13例例例例第第3章图像变换章图像变换14例例例例第第3章图像变换章图像变换15线性线性线性线性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换16对称性对称性对称性对称性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换17时移性时移性时移性时移性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换18频频频频移性移性移性移性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换19卷积

4、定理卷积定理卷积定理卷积定理 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换203.3 一维快速傅里叶变换一维快速傅里叶变换 第第3章图像变换章图像变换21变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵第第3章图像变换章图像变换22变换矩阵元素变换矩阵元素变换矩阵元素变换矩阵元素对称性 周期性 不必乘第第3章图像变换章图像变换23 由由变变换换矩矩阵阵元元素素可可见见，利利用用矩矩阵阵元元素素的的周周期期性性与与对对称称性性之之后后，变变换换矩矩阵阵中中许许多多元元素素相相同同。变变换换矩矩阵阵与与输输入入信信号号相乘过程中存在着不必要的重复计算。相乘过程中存在着不必要的重复计算。利用变换矩阵元素的周期

5、性与对称性，合理安排（即避免利用变换矩阵元素的周期性与对称性，合理安排（即避免利用变换矩阵元素的周期性与对称性，合理安排（即避免利用变换矩阵元素的周期性与对称性，合理安排（即避免）重复出现的相乘运算，就能显著减少计算工作量。）重复出现的相乘运算，就能显著减少计算工作量。）重复出现的相乘运算，就能显著减少计算工作量。）重复出现的相乘运算，就能显著减少计算工作量。改进改进改进改进DFTDFT的关键的关键的关键的关键第第3章图像变换章图像变换24FFT重要环节 重新安排计算次序重新安排计算次序 矩阵分解矩阵分解 第第3章图像变换章图像变换253.4 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换 第第3章图像

6、变换章图像变换26MM N N图图图图像像像像正变换核正变换核正变换核正变换核反变换核反变换核反变换核反变换核第第3章图像变换章图像变换27F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)幅度谱幅度谱幅度谱幅度谱（频率谱）频率谱）频率谱）频率谱）相位谱相位谱相位谱相位谱功率谱功率谱功率谱功率谱（谱密度谱密度谱密度谱密度)第第3章图像变换章图像变换28n傅里叶级数清楚地表明了信号由哪些 频率分量组成及其所占的比重，因而有利于对信号进行分析与处理。n傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例。n对图像的傅里叶变换：将图像从图像空间转换到频率空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。第第3章图像变换章图像

7、变换29 fft fft函数函数函数函数 一维一维一维一维DFTDFT fft2 fft2函数函数函数函数 二维二维二维二维DFTDFT fftn fftn函数函数函数函数 N N维维维维DFTDFT ifft ifft函数函数函数函数 一维一维一维一维IDFTIDFT ifft2 ifft2函数函数函数函数 二维二维二维二维IDFTIDFT ifftn ifftn函数函数函数函数 N N维维维维IDFTIDFT 快速傅里叶变换函数快速傅里叶变换函数第第3章图像变换章图像变换30 例例简单图像简单图像简单图像简单图像傅里叶变换谱傅里叶变换谱傅里叶变换谱傅里叶变换谱对数对数对数对数傅里叶变换谱傅

8、里叶变换谱傅里叶变换谱傅里叶变换谱傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换中心谱中心谱中心谱中心谱第第3章图像变换章图像变换31nd=zeros(32,32);nd(13:20,13:20)=1;nfigure(1);nimshow(d,notruesize);nD=fft2(d);nfigure(2);nimshow(abs(D),-1 5,notruesize);n%imshow(log(abs(D),-1 5,notruesize);n%DF=fftshift(D);n%imshow(log(abs(DF),-1 5,notruesize);第第3章图像变换章图像变换32在图(b)中u方

9、向谱的零点分隔恰好是v方向零点分隔的两倍。这却相反地符合图像中1：2的矩形尺寸比例。图(a)显示了在512512像素尺寸的黑色背景上叠加一个2040像素尺寸的白色矩形。第第3章图像变换章图像变换33 例例风景图像风景图像风景图像风景图像傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换中心谱中心谱中心谱中心谱第第3章图像变换章图像变换34第第3章图像变换章图像变换35第第3章图像变换章图像变换36第第3章图像变换章图像变换37图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚第第3章图像变换章图像变换38第第3章图像变换章图像变换39n二维离散傅里叶变换是可分离变换中的一个特例。n具有可分离变换核的二维变换的重要特点

10、就是可以分成两个步骤计算，每个步骤用一个一维变换来实现。n离散余弦变换n沃尔什变换n哈达吗变换第第3章图像变换章图像变换403.5 离散余弦变换离散余弦变换 第第3章图像变换章图像变换41原图余弦变换将大部分信息滤掉重构图像第第3章图像变换章图像变换42n余弦变换是傅里叶变换的一种特殊情况。在傅里叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，那么，其傅里叶级数中只包含余弦项，再将其离散化由此可导出余弦变换，或称之为离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）。第第3章图像变换章图像变换43第第3章图像变换章图像变换44由于二维离散余弦变换的可分离性，二维由于二维离散

11、余弦变换的可分离性，二维由于二维离散余弦变换的可分离性，二维由于二维离散余弦变换的可分离性，二维DCTDCTDCTDCT可以用一维可以用一维可以用一维可以用一维DCTDCTDCTDCT来实现来实现来实现来实现 第第3章图像变换章图像变换45RGB=imread(image2.jpg);%RGB=imread(image2.jpg);%装入真彩图像装入真彩图像装入真彩图像装入真彩图像figure(1);figure(1);imshow(RGB);imshow(RGB);%显示彩色图像显示彩色图像显示彩色图像显示彩色图像GRAY=rgb2gray(RGB);%GRAY=rgb2gray(RGB);

12、%将真彩图像转换为灰度图像将真彩图像转换为灰度图像将真彩图像转换为灰度图像将真彩图像转换为灰度图像figure(2);figure(2);imshow(GRAY);%imshow(GRAY);%显示灰度图像显示灰度图像显示灰度图像显示灰度图像DCT=dct2(GRAY);%DCT=dct2(GRAY);%进行余弦变换进行余弦变换进行余弦变换进行余弦变换figure(3);figure(3);imshow(log(abs(DCT),);%imshow(log(abs(DCT),);%显示余弦变换显示余弦变换显示余弦变换显示余弦变换 例例第第3章图像变换章图像变换46 a a a a原图像原图像原

13、图像原图像 b b b b余弦变换余弦变换余弦变换余弦变换 例例图图b左上角对应低频分量，图左上角对应低频分量，图a中的大部分能量在低频部分。中的大部分能量在低频部分。第第3章图像变换章图像变换47n两图给出离散余弦变换的一个示例，其中左图是一幅原始图象，右图是对左图的离散余弦变换结果（变换幅值）。右图左上角对应低频分量，由图可见，左图中的大部分能量在低频部分。第第3章图像变换章图像变换48离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用例如，在JPEG图像压缩算法中，首先将输入图像划分为8

14、8的方块，然后对每一个方块执行二维离散余弦变换，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。在接收端，将量化的DCT系数进行解码，并对每个88方块进行二维IDCT，最后将操作完成后的块组合成一幅完整的图像。第第3章图像变换章图像变换493.6 沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 第第3章图像变换章图像变换50沃尔什变换具有某种能量集中。而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。v沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什(Walsh)提出的。v由于沃尔什变换核矩阵中只有+1和-1两种元素，

15、v因而在计算沃尔什变换过程中只有加减运算而没有乘法运算，v从而大大提高了运算速度。这一点对图像处理来说至关重要，v特别是在实时处理大量数据时，沃尔什变换更加显示出其优越性。第第3章图像变换章图像变换51n1-D沃尔什变换n1-D的沃尔什正变换和反变换只差一个常数项1/N第第3章图像变换章图像变换52N值值N=2p=1N=4p=2N=8p=3x值值01012301234567x二进二进制制0100011011000001010011100101110111b0(x)01010101010101b1(x)001100110011b2(x)00001111第第3章图像变换章图像变换53nN=2,4,

16、8时的沃尔什变换核时的沃尔什变换核NN=2p=1N=4 p=2N=8 p=3xu010123012345670+1+-+-+-2+-+-+-+-3+-+-+4+-+-+-+-5+-+-+-+6+-+-+7+-+-+-第第3章图像变换章图像变换54n例：求例：求N=4时沃尔什变换。时沃尔什变换。第第3章图像变换章图像变换55n二维离散沃尔什变换是一维离散沃尔什变换的推广（略）第第3章图像变换章图像变换56第第3章图像变换章图像变换57n哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换；变换；n其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行的次其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行

17、的次序不同；序不同；n哈达玛变换最大优点在于变换核矩阵具有简哈达玛变换最大优点在于变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低阶转换矩阵构成。阶转换矩阵构成。（略）（略）第第3章图像变换章图像变换583.7 霍特林变换霍特林变换 第第3章图像变换章图像变换59第第3章图像变换章图像变换60 霍特林（Hotelling）变换是一种基于图像统计特性的变换霍特林变换可直接用于对数字图像的变换它在连续域对应的变换是KL（Karhunen-Loeve）变换霍特林变换：特征值变换、主分量变换、离散KL变换 第第3章图像变换章图像变换61n这种变换用于图像压缩

18、、滤波和特征抽取时在均方误差意义下是最优的。但在实际应用中往往不能获得真正协方差矩阵，所以不一定有最优效果。它的运算较复杂且没有统一的快速算法。第第3章图像变换章图像变换623.8 RadonRadon变换变换 第第3章图像变换章图像变换63Radon变换是计算图像在某一指定角度射线方向上投影的变换方法二维函数的投影就是其在指定方向上的线积分二维函数的投影就是其在指定方向上的线积分二维函数的投影就是其在指定方向上的线积分二维函数的投影就是其在指定方向上的线积分 在垂直方向上的二维线积分就是在x轴上的投影 在水平方向上的二维线积分就是在y轴上的投影第第3章图像变换章图像变换64第第3章图像变换章

19、图像变换65第第3章图像变换章图像变换66 R,xp=radon(I,theta)R,xp=radon(I,theta)计算图像在指定角度上的计算图像在指定角度上的计算图像在指定角度上的计算图像在指定角度上的radonradon变换变换变换变换 I表示需要变换的图像 Theta表示变换的角度 R的各行返回theta中各方向上的radon变换值 xp表示向量沿轴相应的坐标轴IR=iradon(R,theta)IR=iradon(R,theta)radonradon逆变换函数逆变换函数逆变换函数逆变换函数radon逆变换可以根据投影数据重建图像,在X射线断层摄影分析中常常使用第第3章图像变换章图像

20、变换670000方向上的方向上的方向上的方向上的RadonRadonRadonRadon变换变换变换变换原图像原图像原图像原图像45454545方向上的方向上的方向上的方向上的RadonRadonRadonRadon变换变换变换变换第第3章图像变换章图像变换68第第3章图像变换章图像变换69 原图像原图像原图像原图像连续角度的连续角度的连续角度的连续角度的RadonRadonRadonRadon变换变换变换变换第第3章图像变换章图像变换70第第3章图像变换章图像变换71目标识别目标识别第第3章图像变换章图像变换72n小结第第3章图像变换章图像变换73谢谢 谢谢第第3章图像变换章图像变换74一维

21、离散哈达玛变换一维离散哈达玛变换一维离散哈达玛变换一维离散哈达玛变换 一维离散哈达玛反变换一维离散哈达玛反变换一维离散哈达玛反变换一维离散哈达玛反变换 第第3章图像变换章图像变换75第第3章图像变换章图像变换76二维离散哈达玛变换二维离散哈达玛变换二维离散哈达玛变换二维离散哈达玛变换 二维离散哈达玛反变换二维离散哈达玛反变换二维离散哈达玛反变换二维离散哈达玛反变换 第第3章图像变换章图像变换77重新安排计算次序重新安排计算次序重新安排计算次序重新安排计算次序设N=2n，经过n步计算后，其结果为f fn n(k k)=)=F F(l l)其中k k 的二进制表示为第第3章图像变换章图像变换78矩

22、阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解 当N N=2=2n n，将变换矩阵分解成n n个矩阵，使每个矩阵中每一行仅含有两个非零元素。有两种分解方法：一种是按时间分解 一种是按频率分解下面仅介绍按时间分解的下面仅介绍按时间分解的下面仅介绍按时间分解的下面仅介绍按时间分解的FFTFFT算法算法算法算法第第3章图像变换章图像变换79矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解u和x的二进制表示为 第第3章图像变换章图像变换80矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解N=8=23 第第3章图像变换章图像变换81矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解N=8=23 第第3章图像变换章图像变换82矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵表示矩阵

23、表示 第第3章图像变换章图像变换83矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵表示矩阵表示 第第3章图像变换章图像变换84矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵表示矩阵表示 第第3章图像变换章图像变换85FFTFFTFFTFFT流程图流程图流程图流程图N N=8=8时时FFTFFT流程图流程图 第第3章图像变换章图像变换86FFTFFTFFTFFT流程图流程图流程图流程图(1)整个流程需要的计算步数为n=log2N(N=2n)；(2)在第r步计算中，要乘的因子为(3)第r步计算中有2r-1个组，每组有（N/2r-1）个元素，每组的W因子各不相同，且每组只有一种类型的W因子，此因子在组中上一半为正，下一

24、半为负。第第3章图像变换章图像变换87FFTFFTFFTFFT流程图流程图流程图流程图(4)对比DFT与IDFT的定义式，只要将上述FFT算法中W因子用其共轭代替，并将最后结果乘以1/N，就是计算IDFT即离散傅里叶反变换的快速算法。(5)在每步计算中，需要的乘法次数N/2，加法次数为N，因此FFT的总计算量为：乘法次数为 加法次数为 而直接计算DFT的计算量为：乘法次数为N2，加法次数为N(N-1)。当N=2048时，DFT需要4194304次乘法运算，而FFT只需要11264次乘法运算，二者之比为 第第3章图像变换章图像变换88分离性分离性分离性分离性 第第3章图像变换章图像变换89线性线

25、性线性线性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换90周期性与共轭对称性周期性与共轭对称性周期性与共轭对称性周期性与共轭对称性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换91位移性位移性位移性位移性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换92尺度变换尺度变换尺度变换尺度变换 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换93旋转性旋转性旋转性旋转性 如果如果如果如果则则则则第第3章图像变换章图像变换94平均值平均值平均值平均值 u=v=0第第3章图像变换章图像变换95基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散FFTFFTFFTFFT算法可以用算法可以用算法可以用算法可以用两个一维两个一维两个一维两个一维FFTFFTFFTFFT算法来实现算法来实现算法来实现算法来实现 第第3章图像变换章图像变换96第第3章图像变换章图像变换97