离散傅里叶变换-PPT.ppt
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1、离散傅里叶变换傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列,还有一种更为重要的数学变换,即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)。DFT之所以更为重要,是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样,从而实现了频域离散化,使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行,这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是,DFT有多种快速算法,统称为快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT),从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。因此,时域离散系统的研究与应用在许多方面取代了传统的连续时
2、间系统。所以说,DFT不仅在理论上有重要意义,而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。本章主要讨论本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性的定义、物理意义、基本性质以及频域采样和质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。的应用举例等内容。3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的定义及物理意义3.1.1 DFT的定义的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为(3.1.1)X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT)为式中,N称为DFT变换区间长度,NM。通常称(3.1.1)式和(3
3、.1.2)式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁,常常用DFTx(n)N和IDFTX(k)N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。下面证明IDFTX(k)的唯一性。(3.1.2)把(3.1.1)式代入(3.1.2)式,有由于所以,在变换区间上满足下式:IDFTX(k)N=x(n)0nN-1由此可见,(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。【例例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。解解设变换区间N=4,则 设变换区间N=8,则 由此例可见,x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨
4、论后,上述问题就会得到解释。大家有疑问的,可以询问和交流大家有疑问的,可以询问和交流可以互相讨论下,但要小声点可以互相讨论下,但要小声点可以互相讨论下,但要小声点可以互相讨论下,但要小声点 3.1.2 DFT与傅里叶变换和与傅里叶变换和Z变换的关系变换的关系 设序列x(n)的长度为M,其Z变换和N(NM)点DFT分别为比较上面二式可得关系式(3.1.3)或(3.1.4)(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0,2上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见,DFT的变
5、换区间长度N不同,表示对X(ej)在区间0,2上的采样间隔和采样点数不同,所以DFT的变换结果不同。上例中,x(n)=R4(n),DFT变换区间长度N分别取8、16时,X(ej)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFTx(n)4=4(k),这一特殊的结果在下面将得到进一步解释。图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系 3.1.3 DFT的隐含周期性的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长序列,但由于的周期性,使(3.1.1)和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性,且周期均为N。对任意整
6、数m,总有所以(3.1.1)式中,X(k)满足:实际上,任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列,而x(n)则是 的一个周期,即上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。一般称周期序列中从n=0到N1的第一个周期为的主值区间,而主值区间上的序列称为的主值序列。因此x(n)与的上述关系可叙述为:是x(n)的周期延拓序列,x(n)是的主值序列。(3.1.5)(3.1.6)为了以后叙述简洁,当N大于等于序列x(n)的长度时,将(3.1.5)式用如下形式表示:(3.1.7)式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列,(n)N表示模N对n求余,即如果n=MN+n
7、1 0n1N1,M为整数则(n)N=n1 例如,,则有所得结果符合图3.1.2(a)和(b)所示的周期延拓规律。图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列应当说明,若x(n)实际长度为M,延拓周期为N,则当NM时,(3.1.5)式仍表示以N为周期的周期序列,但(3.1.6)和(3.1.7)式仅对NM时成立。图3.1.2(a)中x(n)实际长度M=6,当延拓周期N=4时,如图3.1.2(c)所示。如果x(n)的长度为M,且,NM,则可写出的离散傅里叶级数表示式(3.1.8)(3.1.9)式中即X(k)为的主值序列。将(3.1.8)和(3.1.9)式与DFT的定义(3.1.1)和(3.1.2)式相比较
8、可知,有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x(n)N的离散傅里叶级数系数的主值序列,即。后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系的理解。我们知道,周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数确定,因此,X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x(n)N的频谱特性,这就是N点DFT的第二种物理解释(物理意义)。(3.1.10)现在解释DFTR4(n)4=4(k)。根据DFT第二种物理解释可知,DFTR4(n)4表示R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4(n)4的频谱特性,因为R4(n)4是一个直流序列,只有直流成分(即零频率成分)。3.1.4 用用MATLAB
9、计算序列的计算序列的DFTMATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT(算法见第4章介绍)计算DFT的函数fft,其调用格式如下:Xk=fft(xn,N);调用参数xn为被变换的时域序列向量,N是DFT变换区间长度,当N大于xn的长度时,fft函数自动在xn后面补零。函数返回xn的N点DFT变换结果向量Xk。当N小于xn的长度时,fft函数计算xn的前面N个元素构成的N长序列的N点DFT,忽略xn后面的元素。Ifft函数计算IDFT,其调用格式与fft函数相同,可参考help文件。【例例3.1.2】设x(n)=R4(n),X(ej)=FTx(n)。分别计算X(ej)在频率区间0,2上的16点和
10、32点等间隔采样,并绘制X(ej)采样的幅频特性图和相频特性图。解解 由DFT与傅里叶变换的关系知道,X(ej)在频率区间0,2上的16点和32点等间隔采样,分别是x(n)的16点和32点DFT。调用fft函数求解本例的程序ep312.m如下:%例3.1.2程序ep312.m%DFT的MATLB计算xn=1 1 1 1;%输入时域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn,16);%计算xn的16点DFTXk32=fft(xn,32);%计算xn的32点DFT%以下为绘图部分(省略,程序集中有)程序运行结果如图3.1.3所示。图3.1.3 程序ep312.m 运行结果 3.2 离散傅里叶变
11、换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3.2.1 线性性质线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列,长度分别为N1和N2,且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中,a、b为常数,取N=maxN1,N2,则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFTy(n)N=aX1(k)+bX2(k)0kN1 (3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。3.2.2 循环移位性质循环移位性质1序列的循环移位序列的循环移位 设x(n)为有限长序列,长度为M,MN,则x(n)的循环移位定义为y(n)=x(n+m)NRN(n)(3.2.2)(3.2.2)式表明,将x(n)以N
12、为周期进行周期延拓得到,再将左移m得到,最后取的主值序列则得到有限长序列x(n)的循环移位序列y(n)。M=6,N=8,m=2时,x(n)及其循环移位过程如图3.2.1所示。显然,y(n)是长度为N的有限长序列。观察图3.2.1可见,循环移位的实质是将x(n)左移m位,而移出主值区(0nN-1)的序列值又依次从右侧进入主值区。“循环移位”就是由此得名的。由循环移位的定义可知,对同一序列x(n)和相同的位移m,当延拓周期N不同时,y(n)=x(n+m)NRn(n)则不同。请读者画出N=M=6,m=2时,x(n)的循环移位序列y(n)波形图。图3.2.1 x(n)及其循环移位过程2 时域循环移位定
13、理时域循环移位定理 设x(n)是长度为M(MN)的有限长序列,y(n)为x(n)的循环移位,即则(3.2.3)其中证明证明令n+m=n,则有由于上式中求和项以N为周期,因此对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区,则得3 频域循环移位定理频域循环移位定理如果X(k)=DFTx(n)N 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则(3.2.4)(3.2.4)式的证明方法与时域循环移位定理类似,直接对Y(k)=X(k+l)NRN(k)进行IDFT即得证。3.2.3 循环卷积定理循环卷积定理 时域循环卷积定理是DFT中最重要的定理,具有很强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲
14、响应,计算系统的输出,以及FIR滤波器用FFT实现等,都是基于该定理的。下面首先介绍循环卷积的概念和计算循环卷积的方法,然后介绍循环卷积定理。1 两个有限长序列的循环卷积两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为(3.2.5)式中,L称为循环卷积区间长度,LmaxN,M。上式显然与第1章介绍的线性卷积不同,为了区别线性卷积,用 表示循环卷积,用表示L点循环卷积,即yc(n)=h(n)x(n)。观察(3.2.5)式,x(nm)L是以L为周期的周期信号,n和m的变化区间均是0,L-1,因此直接计算该式比较麻烦。计算机中采用矩阵相乘或快
15、速傅里叶变换(FFT)的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵计算循环卷积的公式。当n=0,1,2,L1时,由x(n)形成的序列为:x(0),x(1),x(L1)。令n=0,m=0,1,L1,由式(3.2.5)中x(n-m)L形成x(n)的循环倒相序列为与序列x(n)进行对比,相当于将第一个序列值x(0)不动,将后面的序列反转180再放在 x(0)的后面。这样形成的序列称为x(n)的循环倒相序列。令n=1,m=0,1,L-1,由式(3.2.5)中x(n-m)L形成的序列为观察上式等号右端序列,它相当于x(n)的循环倒相序列向右循环移一位,即向右移1位,移出区间0,L1的序列值再从左边移进。再令n=2
16、,m=0,1,L-1,此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位。依次类推,当n和m均从0变化到L-1时,得到一个关于x(nm)L的矩阵如下:(3.2.6)上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”,其特点是:(1)第1行是序列x(0),x(1),x(L1)的循环倒相序列。注意,如果注意,如果x(n)的长度的长度ML,则需要在,则需要在x(n)末末尾补尾补LM个零后,再形成第一行的循环倒相序列。个零后,再形成第一行的循环倒相序列。(2)第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。(3)矩阵的各主对角线上的序列值均相等。有了上面介绍的循环卷积矩阵,就可以写出式(3.2.5)的矩阵形式如下:(
17、3.2.7)按照上式,可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积,这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果如果h(n)的长度的长度NL,则需要在,则需要在h(n)末尾补末尾补L-N个零。个零。【例例3.2.1】计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。解解 按照式(3.2.21)写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为h(n)和x(n)及其4点和8点循环卷积结果分别如图3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。请读者计算验证本例的8点循环卷积结果等于h(n)与x(n)的线性卷积结果。后面将证明,当循环卷
18、积区间长度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的长度时,循环卷积结果就等于线性卷积。图3.2.2 序列及其循环卷积波形2.环卷积定理环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2,N=maxN1,N2,x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为则x(n)的N点DFT为其中N(3.2.9)(3.2.8)证明证明 直接对(3.2.8)式两边进行DFT,则有令n-m=n,则有因为上式中是以N为周期的,所以对其在任一个周期上求和的结果不变。因此由于,因此即循环卷积亦满足交换律。作为习题请读者证明以下频域循环卷积定理:如果x(n)=x1(n)x2(n),则(3.2.10a)N 或(3.
19、2.10b)式中相对频域循环卷积定理,称(3.2.9)式为时域循环卷积定理。N 3.2.4 复共轭序列的复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列,长度为N,X(k)=DFTx(n)N,则且X(N)=X(0)。证明证明 根据DFT的唯一性,只要证明(3.2.11)式右边等于左边即可。(3.2.11)又由X(k)的隐含周期性,有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明(3.2.12)3.2.5 DFT的共轭对称性的共轭对称性1 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列,下面用xep(n)和xop(n)
20、分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列,则二者满足如下关系式:(3.2.13a)(3.2.13b)当N为偶数时,将上式中的n换成N/2n,可得到:上式更清楚地说明了有限长序列共轭对称序列是关于n=N/2点对称。容易证明,如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样,任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和,即(3.2.14)将上式中的n换成N-n,并取复共轭,再将(3.2.13a)式和(3.2.13b)式代入,得到:(3.2.15)(3.2.14)式分别加减(3.2.15)式,可得(3.2.16a)(3.2.16b)2 DFT的共轭对称性的共轭对称性 (
21、1)如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)(3.2.17)其中那么,由(3.2.11)式和(3.2.16a)式可得(3.2.18)由(3.2.11)式和(3.2.16b)式可得 (3.2.19)由DFT的线性性质即可得 (3.2.20)其中,Xop(k)=DFTxr(n)是X(k)的共轭对称分量,Xop(k)=DFTjxi(n)是X(k)的共轭反对称分量。(2)如果将x(n)表示为(3.2.21)其中,是x(n)的共轭对称分量,是x(n)的共轭反对称分量,那么,由(3.2.12)式可得因此 (3.2.22)其中 综上所述,可总结出综上所述,可总结出DFT的共轭对称性质:如果序的
22、共轭对称性质:如果序列列x(n)的的DFT为为X(k),则,则x(n)的实部和虚部(包括的实部和虚部(包括j)的)的DFT分别为分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量;而的共轭对称分量和共轭反对称分量;而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为分别为X(k)的实部和虚部乘以的实部和虚部乘以j。另外,请读者根据上述共轭对称性证明有限长实序列DFT的共轭对称性(见本章习题题7)。设x(n)是长度为N的实序列,且X(k)=DFTx(n)N,则X(k)满足如下对称性:(1)X(k)共轭对称,即X(k)=X*(N-k)k=0,1,N-1 (3.2.23)
23、(2)如果x(n)是偶对称序列,即x(n)=x(N-n),则X(k)实偶对称,即X(k)=X(N-k)(3.2.24)(3)如果是奇对称序列,即x(n)=-x(N-n),则X(k)纯虚奇对称,即X(k)=-X(N-k)(3.2.25)实际中经常需要对实序列进行DFT,利用上述对称性质,可减少DFT的运算量,提高运算效率。例如,计算实序列的N点DFT时,当N=偶数时,只需计算X(k)的前面N/2+1点,而N=奇数时,只需计算X(k)的前面(N+1)/2点,其他点按照(3.2.23)式即可求得。例如,X(N-1)=X*(1),X(N-2)=X*(2),这样可以减少近一半运算量。【例例3.2.2】利
24、用DFT的共轭对称性,设计一种高效算法,通过计算一个N点DFT,就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。解解构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n),对x(n)进行DFT,得到:由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到:所以,由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT:3.3 频频 率率 域域 采采 样样 时域采样定理告诉我们,在一定条件下,可以由时域离散采样信号恢复原来的连续信号。那么能不能也由频域离散采样恢复原来的信号(或原连续频率函数)?其条件是什么?内插公式又是什么形式?本节就上述问题进行讨论。设任意序列x(n)的Z变换为且
25、X(z)的收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点,得到:显然,(3.3.1)式表示在区间0,2上对x(n)的傅里叶变换X(ej)的N点等间隔采样。将X(k)看做长度为N的有限长序列xN(n)的DFT,即下面推导序列xN(n)与原序列x(n)之间的关系,并导出频域采样定理。(3.3.1)由DFT与DFS的关系可知,X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列,即将(3.3.1)式代入上式得式中-=-=-=-=-=mNknmkNNkmknNkmNWNmxWWmxNnx10)(101)()(1)(因此所以(3.3.3)(3.3.
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