时间序列模型概述课件.ppt

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1、第五章第五章 时间序列模型时间序列模型 关关于于标标准准回回归归技技术术及及其其预预测测和和检检验验我我们们已已经经在在前前面面的的章章节节讨讨论论过过了了，本本章章着着重重于于时时间间序序列列模模型型的的估估计计和和定定义义，这这些些分分析析均均是是基基于于单单方方程程回回归归方方法法，第第9章章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。这这一一部部分分属属于于动动态态计计量量经经济济学学的的范范畴畴。通通常常是是运运用用时时间间序序列列的的过过去去值值、当当期期值值及及滞滞后后扰扰动动项项的的加加权权和和建立模型，来建立模型，来“解释解释”时间序列的变化规

2、律。时间序列的变化规律。1 在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首先通过讨论先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问题题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动修正扰动项序列

3、的自相关性项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动。进一步讨论时间序列的自回归移动平均模型（平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、模型），并且讨论它们的具体形式、估计及识别方法。估计及识别方法。2 由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳的，因此，由的，因此，由20世纪世纪80年代初年代初Granger提出的协整概提出的协整概念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞速发展。本章还介绍了速发展。本章还介

4、绍了非平稳时间序列的单位根检非平稳时间序列的单位根检验方法、验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本模型的建模方法、协整理论的基本思想及误差修正模型思想及误差修正模型。35.1.15.1.1 序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果 对于线性回归模型对于线性回归模型 (5.1.1)随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (5.1.2)如果扰动项序列如果扰动项序列 ut 表现为：表现为：(5.1.3)即即对对于于不不同同的的样样本本点点，随随机机扰扰动动项项之之间间不不再再是是完完全全相

5、相互互独独立立的的，而而是是存存在在某某种种相相关关性性，则则认认为为出出现现了了序序列列相相关关性性(serial correlation)。5.15.1 序列相关及其检验序列相关及其检验序列相关及其检验序列相关及其检验 4 由由于于通通常常假假设设随随机机扰扰动动项项都都服服从从均均值值为为0，同同方方差差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：的正态分布，则序列相关性也可以表示为：(5.1.4)特别的，如果仅存在特别的，如果仅存在 (5.1.5)称称为为一一一一阶阶阶阶序序序序列列列列相相相相关关关关，这这是是一一种种最最为为常常见见的的序序列列相相关关问问题。题。5 如如果果回回归归方方

6、程程的的扰扰动动项项存存在在序序列列相相关关，那那么么应应用用最最小小二二乘乘法法得得到到的的参参数数估估计计量量的的方方差差将将被被高高估估或或者者低低估估。因因此此，检检验验参参数数显显著著性性水水平平的的 t 统统计计量量将将不不再再可可信信。可以将序列相关可以将序列相关可能引起的后果归纳可能引起的后果归纳为：为：使用使用OLS公式计算出的标准差不正确公式计算出的标准差不正确；回回归归得得到到的的参参数数估估计计量量的的显显著著性性水水平平的的检检验验不不再可信。再可信。在线性估计中在线性估计中OLS估计量不再是有效的；估计量不再是有效的；6 EViews提提供供了了检检测测序序列列相相

7、关关和和估估计计方方法法的的工工具具。但但首首先先必必须须排排除除虚虚假假序序列列相相关关。虚虚虚虚假假假假序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是指指指指模模模模型型型型的的的的序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是由由由由于于于于省省省省略略略略了了了了显显显显著著著著的的的的解解解解释释释释变变变变量量量量而而而而引引引引起起起起的的的的。例例如如，在在生生产产函函数数模模型型中中，如如果果省省略略了了资资本本这这个个重重要要的的解解释释变变量量，资资本本对对产产出出的的影影响响就就被被归归入入随随机机误误差差项项。由由于于资资本本在在时时间间上上的的连连续续性性，以以及及对对产产出出

8、影影响响的的连连续续性性，必必然然导导致致随随机机误误差差项项的的序序列列相相关关。所所以以在在这这种种情情况况下下，要要把把显显著的变量引入到解释变量中。著的变量引入到解释变量中。5.1.25.1.2 序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列相关的检验方法 7 EViews提供了以下提供了以下3种检测序列相关种检测序列相关的方法。的方法。1 1D_WD_W统计量检验统计量检验统计量检验统计量检验 Durbin-Watson 统统计计量量（简简称称D_W统统计计量量）用用于于检检验验一一阶阶序序列列相相关关，还还可可估估算算回回归归模模型型邻邻近近残残差差的的线线性性联联系。

9、对于扰动项系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：建立一阶自回归方程：(5.1.6)D_W统计量检验的统计量检验的原假设：原假设：原假设：原假设：=0=0，备选假设是，备选假设是，备选假设是，备选假设是 0 0。8 如果序列不相关，如果序列不相关，如果序列不相关，如果序列不相关，D.W.D.W.值在值在值在值在2 2附近。附近。附近。附近。如果存在正序列相关，如果存在正序列相关，如果存在正序列相关，如果存在正序列相关，D.W.D.W.值将小于值将小于值将小于值将小于2 2。如果存在负序列相关，如果存在负序列相关，如果存在负序列相关，如果存在负序列相关，D.W.D.W.值将在值将在值将在值将在

10、2 24 4之间。之间。之间。之间。正正序序列列相相关关最最为为普普遍遍，根根据据经经验验，对对于于有有大大于于50个个观观测测值值和和较较少少解解释释变变量量的的方方程程，D.W.值值小小于于1.5的的情情况况，说说明明残残差差序列存在强的正一阶序列相关。序列存在强的正一阶序列相关。9 Dubin-WastonDubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：1D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2回回归归方方程程右右边边如如果果存存

11、在在滞滞后后因因变变量量，D-W检检验验不不再有效。再有效。3仅仅检验是否存在一阶序列相关。仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：相关图和其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、统计量、Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数检验克服了上述不足，应用于大多数场合。场合。10 2.2.相关图和相关图和相关图和相关图和Q Q-统计量统计量统计量统计量 1.1.自相关系数自相关系数自相关系数自相关系数 我我们们还还可可以以应应用用所所估估计计回回归归方方程程残残差差序序列列的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数来来检检验验序序列列相相关

12、关。时时间间序序列列 ut 滞滞后后 k 阶阶的的自相关系数由下式估计自相关系数由下式估计 （5.2.26）其其中中 是是序序列列的的样样本本均均值值，这这是是相相距距 k 期期值值的的相相关关系系数数。称称 rk 为为时时间间序序列列 ut 的的自自相相关关系系数数，自自相相关关系系数数可可以以部部分分的的刻刻画画一一个个随随机机过过程程的的性性质质。它它告告诉诉我我们们在在序序列列 ut 的的邻邻近近数数据据之间存在多大程度的相关性之间存在多大程度的相关性。11 2 2偏自相关系数偏自相关系数偏自相关系数偏自相关系数 偏偏自自相相关关系系数数是是指指在在给给定定ut-1，ut-2，ut-k

13、-1的的条条件件下下，ut 与与ut-k 之之间间的的条条件件相相关关性性。其其相相关关程程度度用用偏偏自自相相关关系系数数 k,k 度量。在度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下 （5.2.27）其中：其中：rk 是在是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。阶滞后时的自相关系数估计值。（5.2.28）这是偏自相关系数的一致估计。这是偏自相关系数的一致估计。12 要得到要得到 k,k的更确切的估计，需要进行回归的更确切的估计，需要进行回归 t=1,2,T （5.2.29）因此，滞后因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当阶的偏自相关系数是当 ut

14、对对 ut-1，ut-k 作回归时作回归时 ut-k 的系数。称之为的系数。称之为偏相关是因为它度量了偏相关是因为它度量了k 期期间距的相关而不考虑间距的相关而不考虑 k-1 期的相关期的相关。13 我我们们还还可可以以应应用用所所估估计计回回归归方方程程残残差差序序列列的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关系系数数，以以及及Ljung-Box Q-统统计计量量来来检检验验序序列列相关。相关。Q-统计量的表达式为：统计量的表达式为：(5.1.7)其中：其中：rj 是残差序列的是残差序列的 j 阶自相关系数，阶自相关系数，T 是观测值的个是观测值的个数，数，p是设定的滞后阶数是设定的滞后阶数。14

15、 p 阶阶滞滞后后的的Q-统统计计量量的的原原原原假假假假设设设设是是是是：序序序序列列列列不不不不存存存存在在在在 p p阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在 p p 阶自相关阶自相关阶自相关阶自相关。如如果果Q-统统计计量量在在某某一一滞滞后后阶阶数数显显著著不不为为零零，则则说说明明序序列列存存在在某某种种程程度度上上的的序序列列相相关关。在在实实际际的的检检验验中中，通通常常会会计计算算出出不不同同滞滞后后阶阶数数的的Q-统统计计量量、自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数。如如果果，各各阶阶

16、Q-统统计计量量都都没没有有超超过过由由设设定定的的显显著著性性水水平平决决定定的的临临界界值值，则则接接受受原原假假设设，即即不不存存在在序序列列相相关关，并并且且此此时时，各各阶阶的的自自相相关关和和偏偏自自相相关系数都接近于关系数都接近于0。15 反反之之，如如果果，在在某某一一滞滞后后阶阶数数 p，Q-统统计计量量超超过过设设定定的的显显著著性性水水平平的的临临界界值值，则则拒拒绝绝原原假假设设，说说明明残残差差序序列列存存在在 p 阶阶自自相相关关。由由于于Q-统统计计量量的的 P 值值要要根根据据自自由由度度 p 来来估估算算，因因此此，一一个个较较大大的的样样本本容容量量是是保保

17、证证Q-统统计计量量有有效效的的重要因素。重要因素。在在在在EViewsEViews软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：在在方方程程工工具具栏栏选选择择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics。EViews将将显显示示残残差差的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关函函数数以以及及对对应应于于高高阶阶序序列列相相关关的的Ljung-Box Q统统计计量量。如如如如果果果果残残残残差差差差不不不不存存存存在在在在序序序序列列列列相相相相关关关关，在在在在各各各各阶阶阶阶滞滞滞滞后后后后的的的的自自自自相相相相关关关关

18、和和和和偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关值值值值都都都都接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的Q-Q-统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的 P P 值值值值。16例例例例5.1:5.1:利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性 考虑美国的一个投资方程。美国的考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投和国内私人总投资资INV是单位为是单位为10亿美元的名义值，价格指数亿美元的名义值，价格指数P为为GNP的平的平减指数减指数（

19、1972=100），），利息率利息率R为半年期商业票据利息。回为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是通和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值表示。实际利息率的近似值 r 则是通过贴现率则是通过贴现率R减去价格减去价格指数变化率指数变化率 p 得到的。样本区间：得到的。样本区间：1963年年1984年，建立年，建立如下线性回归方程：如下线性回归方程：t=1,2,T 17应用最小二乘法得到的估计方程如下应用最小二乘法得到的估计

20、方程如下：t=（-1.32）（154.25）R2=0.80 D.W.=0.94 18 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显的情形下与零没有显著区别。著区别。本例本例 1 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在存在1阶序列相关阶序列相关。1 阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的 P 值很小值很小，拒绝原假设，残差序，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。列存在一阶序列

21、相关。选择选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：会产生如下结果：193.3.序列相关的序列相关的序列相关的序列相关的LMLM检验检验检验检验 与与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，Breush-Godfrey LM检验（检验（Lagrange multiplier，即拉格，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况

22、下，况下，LM检验仍然有效。检验仍然有效。LMLM检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到 p p 阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，p p 为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在 p p 阶自相关。阶自相关。阶自相关。阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。检验统计量由如下辅助回归计算。20 （1）估计回归方程，并求出残差）估计回归方程，并求出残差et (5.1.8)（2）检验统计量可以基于如下回归得到

23、）检验统计量可以基于如下回归得到 (5.1.9)这是对原始回归因子这是对原始回归因子Xt 和直到和直到 p 阶的滞后残差的回归。阶的滞后残差的回归。LMLM检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：F F 统计量和统计量和统计量和统计量和 T T R R2 2 统计量统计量统计量统计量。F统计量是对式（统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检）所有滞后残差联合显著性的一种检验。验。TR2统计量是统计量是LM检验统计量，是观测值个数检验统计量，是观测值个数 T 乘以回乘以回归方程（归方程（5.1.9）的）的 R2。一般情况下，

24、。一般情况下，TR2统计量服从渐进统计量服从渐进的的 2(p)分布。分布。21 在在给给定定的的显显著著性性水水平平下下，如如果果这这两两个个统统计计量量小小于于设设定定显显著著性性水水平平下下的的临临界界值值，说说明明序序列列在在设设定定的的显显著著性性水水平平下下不不存存在在序序列列相相关关；反反之之，如如果果这这两两个个统统计计量量大大于于设设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。在在在在E EViewView软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：选选择择View/Residual Tests

25、/Serial correlation LM Test，一一般般地地对对高高阶阶的的，含含有有ARMA误误差差项项的的情情况况执执行行Breush-Godfrey LM。在在滞滞后后定定义义对对话话框框，输输入入要要检检验验序列的最高阶数。序列的最高阶数。22 LM统计量显统计量显示，在示，在5%的显的显著性水平拒绝原著性水平拒绝原假设，回归方程假设，回归方程的残差序列存在的残差序列存在序列相关性。因序列相关性。因此，回归方程的此，回归方程的估计结果不再有估计结果不再有效，必须采取相效，必须采取相应的方式修正残应的方式修正残差的自相关性。差的自相关性。例例例例5.15.1(续续续续)序列相关序

26、列相关序列相关序列相关LMLM检验检验检验检验23 例例例例5.2:5.2:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验 考考虑虑美美国国消消费费CS 和和GDP及及前前期期消消费费之之间间的的关关系系，数数据据期期间间：1947年年第第1季季度度1995年年第第1季季度度，数数据据中中已已消消除除了了季节要素，建立如下线性回归方程：季节要素，建立如下线性回归方程：t=1,2,T 应用最小二乘法得到的估计方程如下：应用最小二乘法得到的估计方程如下：t=(1.93)(3.2

27、3)(41.24)R2=0.999 D.W.=1.605 24 如如果果单单纯纯从从显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度及及D.W.值值来来看看，这这个个模模型型是是一一个个很很理理想想的的模模型型。但但是是，由由于于方方程程的的解解释释变变量量存存在在被被解解释释变变量量的的一一阶阶滞滞后后项项，那那么么 D.W.值值就就不不能能作作为为判判断断回回归归方方程程的的残残差差是是否否存存在在序序列列相相关关的的标标准准，如如果果残残差差序序列列存存在在序序列列相相关关，那那么么，显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度和和F统统计计量量将将不不再再可可信信。所所以以，必必须须采采取取本本节节中

28、中介介绍绍的的其其他他检检验验序序列列相相关关的的方方法法检检验验残残差差序序列列的的自自相相关关性性。这这里采用里采用 LM 统计量进行检验统计量进行检验(p=2)，得到结果如下得到结果如下：LM统统计计量量显显示示，回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列相关性。列相关性。25 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：本例本例13阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。阶序列相关。各阶滞后的各阶滞后的Q-统计量的统计量的P值都小于值都小于1%，说明在，

29、说明在1%的显著性水平下，的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。拒绝原假设，残差序列存在序列相关。26 5.1.3 5.1.3 扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的 线性回归方程的修正与估计线性回归方程的修正与估计线性回归方程的修正与估计线性回归方程的修正与估计 线线性性回回归归模模型型扰扰动动项项序序列列相相关关的的存存在在，会会导导致致模模型型估估计计结结果果的的失失真真。因因此此，必必须须对对扰扰动动项项序序列列的的结结构构给给予予正正确确的的描描述述，以以期期消消除除序序列列相相关关对对模模型型估估计计结结果果带带来来的的不不利影

30、响。利影响。通通常常可可以以用用AR(p)模模型型来来描描述述一一个个平平稳稳序序列列的的自自相相关的结构，定义如下：关的结构，定义如下：(5.1.10)(5.1.11)27 其其中中：ut 是是无无条条件件扰扰动动项项，它它是是回回归归方方程程（5.1.10）的的扰扰动动项项，参参数数 0，1，2，k 是是回回归归模模型型的的系系数数。式式（5.1.11）是是扰扰动动项项 ut 的的 p 阶阶自自回回归归模模型型，参参数数 1，2，p 是是 p 阶阶自自回回归归模模型型的的系系数数，t 是是无无条条件件扰扰动动项项ut自自回回归归模模型型的的误误差差项项，并并且且是是均均值值为为0，方方差差

31、为为常常数数的的白白噪噪声声序序列列，它它是是因因变变量量真真实实值值和和以以解解释释变变量量及及以以前前预预测测误差为基础的预测值之差。误差为基础的预测值之差。下下面面将将讨讨论论如如何何利利用用AR(p)模模型型修修正正扰扰动动项项的的序序列列相相关关，以以及及用用什什么么方方法法来来估估计计消消除除扰扰动动项项后后方方程程的的未未知知参数。参数。28 1 1修正一阶序列相关修正一阶序列相关修正一阶序列相关修正一阶序列相关 最最简简单单且且最最常常用用的的序序列列相相关关模模型型是是一一阶阶自自回回归归AR(1)模模型型。为为了了便便于于理理解解，先先讨讨论论一一元元线线性性回回归归模模型

32、型，并并且且具具有有一一阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p=1的情形：的情形：(5.1.12)(5.1.13)把式（把式（5.1.13）带入式（）带入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14)29然而，由式（然而，由式（5.1.12）可得）可得 (5.1.15)再把式（再把式（5.1.15）代入式（）代入式（5.1.14）中，）中，并整理并整理 (5.1.16)令令 ，代入式（，代入式（5.1.16）中有）中有 (5.1.17)如如果果已已知知 的的具具体体值值，可可以以直直接接使使用用OLS方方法法进进行行估估计计。如如果果 的的值值未未知知，通通常常可可以以采采用用Gaus

33、sNewton迭迭代代法法求求解解，同时得到同时得到 ，0，1的估计量。的估计量。30 2 2修正高阶序列相关修正高阶序列相关修正高阶序列相关修正高阶序列相关 通通常常如如果果残残差差序序列列存存在在 p 阶阶序序列列相相关关，误误差差形形式式可可以以由由AR(p)过过程程给给出出。对对于于高高阶阶自自回回归归过过程程，可可以以采采取取与与一一阶阶序序列列相相关关类类似似的的方方法法，把把滞滞后后误误差差逐逐项项代代入入，最最终终得得到到一一个个误误差差项项为为白白噪噪声声序序列列，参参数数为为非非线线性性的的回回归归方方程程，并并且采用且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的

34、参数。迭代法求得非线性回归方程的参数。例例如如，仍仍讨讨论论一一元元线线性性回回归归模模型型，并并且且扰扰动动项项序序列列具具有有3阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p=3的情形：的情形：31(5.1.18)(5.1.19)按按照照上上面面处处理理AR(1)的的方方法法，把把扰扰动动项项的的滞滞后后项项代代入入原原方程中去，得到如下表达式：方程中去，得到如下表达式：(5.1.20)通通过过一一系系列列的的化化简简后后，仍仍然然可可以以得得到到参参数数为为非非线线性性，误误差差项项 t 为为白白噪噪声声序序列列的的回回归归方方程程。运运用用非非线线性性最最小小二二乘乘法法，可以估计出回归方

35、程的未知参数可以估计出回归方程的未知参数 0,1,1,2,3。32 我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线性形式为性形式为 f(xt,)的非线性模型，的非线性模型，xt=1,x1t,x2t,xkt，=0,1,k，若扰动项序列存在，若扰动项序列存在p阶序列相关，阶序列相关，(5.1.21)(5.1.22)也也可可用用类类似似方方法法转转换换成成误误差差项项 t为为白白噪噪声声序序列列的的非非线线性回归方程，以性回归方程，以p=1为例，为例，(5.1.23)使用使用Gauss-Newton算法来估计参数。算法来估计参数。33 3.3.在在在在E

36、viewsEviews中的操作：中的操作：中的操作：中的操作：打打开开一一个个方方程程估估计计窗窗口口，输输入入方方程程变变量量，最最后后输输入入ar(1)ar(2)ar(3)。针对例。针对例5.2定义方程为：定义方程为：34 需需要要注注意意的的是是，输输入入的的ar(1)ar(2)ar(3)分分别别代代表表3个个滞滞后后项项的的系系数数，因因此此，如如果果我我们们认认为为扰扰动动项项仅仅仅仅在在滞滞后后2阶和滞后阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即则估计时应输入：则估计时应输入：cs c gdp cs(-1)ar(2)ar(4)EVie

37、ws在在消消除除序序列列相相关关时时给给予予很很大大灵灵活活性性，可可以以输输入入模模型型中中想想包包括括的的各各个个自自回回归归项项。例例如如，如如果果有有季季度度数数据据而而且且想想用用一一个个单单项项来来消消除除季季节节自自回回归归，可可以以输输入入：cs c gdp cs(-1)ar(4)。35 例例例例5.3 5.3 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（1 1）例例5.1中中检检验验到到美美国国投投资资方方程程的的残残差差序序列列存存在在一一阶阶序序列列相相

38、关。这里将采用关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：模型来修正投资方程的自相关性：t=1,2,T 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下：t=(1.79)（55.36）t=(4.45)R2=0.86 D.W.=1.47 36 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行LM检验检验(p=2)，最终得到的检验，最终得到的检验结果如下：结果如下：检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。归方程的估计结果是有效的

39、。37例例例例5.4 5.4 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关 例例5.2中中检检验验到到带带有有滞滞后后因因变变量量的的回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列列自自相相关关。而而且且从从相相关关图图看看到到，可可以以采采用用AR(3)模型来修正回归方程的自相关性。模型来修正回归方程的自相关性。回归估计的结果如下：回归估计的结果如下：38 模型建立如下：模型建立如下：t=(-3.9)(7.29)（13.54）t=(4.85)(3.07)（3.03）

40、R2=0.999 D.W=1.94 39 再对新的残差序列再对新的残差序列 进行进行LM检验，最终得到的检验结果如下：检验，最终得到的检验结果如下：给出纠正后的残差序列的给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。40含有含有含有含有ARAR项模型的估计输出项模型的估计输出项模型的估计输出项模型的估计输出 当当估估计计某某个个含含有有AR项项的的模模型型时时，在在解解释释结结果果时时一一定定要要小小心心。在在用用通通常常的的方方法法解解释释估估计计系系数数、

41、系系数数标标准准误误差差和和t-统统计计量量时时，涉涉及及残残差差的的结结果果会会不不同同于于OLS的的估估计计结果。结果。要要理理解解这这些些差差别别，记记住住一一个个含含有有AR项项的的模模型型有有两两种残差：种残差：第一种是第一种是无条件残差无条件残差无条件残差无条件残差 通过原始变量以及估计参数通过原始变量以及估计参数 算出。在用同期信息对算出。在用同期信息对 yt 值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但要忽值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但要忽略滞后残差中包含的信息。略滞后残差中包含的信息。41 第第二二种种残残差差是是估估计计的的一一一一期期期期向向向向前前前前预预

42、预预测测测测误误误误差差差差 。如如名所示，这种残差代表预测误差。名所示，这种残差代表预测误差。对对于于含含有有AR项项的的模模型型，基基于于残残差差的的回回归归统统计计量量，如如R2(回回归归标标准准误误差差)和和D-W值值都都是是以以一一期期向向前前预预测测误误差差 为为基基础础的的。含含有有AR项项的的模模型型独独有有的的统统计量是估计的计量是估计的AR系数系数 。42 对对于于简简单单AR(1)模模型型，是是无无条条件件残残差差 t 的的序序列列相相关关系系数数。对对于于平平稳稳AR(1)模模型型，1 在在-1（极极端端负负序序列列相相关关）和和+1（极极端端正正序序列列相相关关）之之

43、间间。一一一一般般般般AR(AR(p p)平稳条件是：滞后算子的特征多项式平稳条件是：滞后算子的特征多项式平稳条件是：滞后算子的特征多项式平稳条件是：滞后算子的特征多项式的根全部落在单位圆之外，即根的倒数在单位圆内。的根全部落在单位圆之外，即根的倒数在单位圆内。的根全部落在单位圆之外，即根的倒数在单位圆内。的根全部落在单位圆之外，即根的倒数在单位圆内。EViews在在回回归归输输出出的的底底部部给给出出这这些些根根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于。如果存在虚根，根的模应该小于1。43 另另外外：EViews可可以以估估计计带带有有AR误误差差项项的的非非非非线

44、线线线性性性性回回回回归模型归模型归模型归模型。例例如如：将将例例5.4中中的的模模型型变变为为如如下下的的非非线线性性模模型型，估估计如下带有附加修正项计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：的非线性方程：用公式法输入：用公式法输入：cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ar(1)=c(4),ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)ar(3)=c(6)44 输出结果显示为：输出结果显示为：45 3 3.单整单整单整单整 像像前前述述 yt 这这种种非非平平稳稳序序列列，可可以以通通过过差差分分运运算算，得得到平稳性的序列称为

45、到平稳性的序列称为单整单整单整单整(integration)(integration)序列序列序列序列。定义如下：。定义如下：定定定定义义义义：如如果果序序列列 yt，通通过过 d 次次差差分分成成为为一一个个平平稳稳序序列列，而而这这个个序序列列差差分分 d 1 次次时时却却不不平平稳稳，那那么么称称序序列列 yt为为 d 阶阶单单整整序序列列，记记为为 yt I(d)。特特别别地地，如如果果序序列列 yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt I(0)。46 单单整整阶阶数数是是使使序序列列平平稳稳而而差差分分的的次次数数。对对于于上上面面的的随随机

46、机游游走走过过程程，有有一一个个单单位位根根，所所以以是是I(1)，同同样样，平平稳稳序序列列是是I(0)。一一般般而而言言，表表示示存存量量的的数数据据，如如以以不不变变价价格格资资产产总总值值、储储蓄蓄余余额额等等存存量量数数据据经经常常表表现现为为2阶阶单单整整I(2)；以以不不变变价价格格表表示示的的消消费费额额、收收入入等等流流量量数数据据经经常常表表现现为为1阶阶单单整整I(1)；而而像像利利率率、收收益益率率等等变变化化率率的数据则经常表现为的数据则经常表现为0阶单整阶单整I(0)。47 5.3.25.3.2 非平稳序列的单位根检验非平稳序列的单位根检验非平稳序列的单位根检验非平

47、稳序列的单位根检验 检检查查序序列列平平稳稳性性的的标标准准方方法法是是单单位位根根检检验验。有有6种种单单位位根根检检验验方方法法：ADF检检验验、DFGLS检检验验、PP检检验验、KPSS检检验验、ERS检检验验和和NP检检验验，本本节节将将介介绍绍DF检检验验、ADF检验。检验。ADF检检验验和和PP检检验验方方法法出出现现的的比比较较早早，在在实实际际应应用用中中较较为为常常见见，但但是是，由由于于这这2种种方方法法均均需需要要对对被被检检验验序序列列作作可可能能包包含含常常数数项项和和趋趋势势变变量量项项的的假假设设，因因此此，应应用用起起来来带带有有一一定定的的不不便便；其其它它几

48、几种种方方法法克克服服了了前前2种种方方法法带带来来的的不不便便，在在剔剔除除原原序序列列趋趋势势的的基基础础上上，构构造造统统计计量量检检验验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。序列是否存在单位根，应用起来较为方便。48 其中其中 a 是常数，是常数，t 是线性趋势函数，是线性趋势函数，ut i.i.d.N(0,2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)1.DF1.DF检验检验检验检验 为说明为说明DF检验的使用，先考虑检验的使用，先考虑3种形式的回归模型种形式的回归模型 49 (1)如果如果-1 1，则，则 yt 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。(2)如果如果 =1，yt

49、序列是非平稳序列。序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：式可写成：显然显然 yt 的差分序列是平稳的。的差分序列是平稳的。(3)如如果果 的的绝绝对对值值大大于于1，序序列列发发散散，且且其其差差分分序序列列是非平稳的。是非平稳的。50 因因此此，判判断断一一个个序序列列是是否否平平稳稳，可可以以通通过过检检验验 是是否严格小于否严格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说：原假设原假设原假设原假设HH0 0：=1=1，备选假设，备选假设，备选假设，备选假设HH1 1：1 1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)从方程两边同时减去从方程两边同时减去 yt-1 得得，其中其中：=-

50、1。51 其中：其中：=-1-1，所以原假设和备选假设可以改写为，所以原假设和备选假设可以改写为 可可以以通通过过最最小小二二乘乘法法得得到到 的的估估计计值值 ，并并对对其其进进行行显著性检验的方法，构造检验显著性检验的方法，构造检验 显著性的显著性的 t 统计量。统计量。但但是是，Dickey-Fuller研研究究了了这这个个t 统统计计量量在在原原假假设设下下已已经经不不再再服服从从 t 分分布布，它它依依赖赖于于回回回回归归归归的的的的形形形形式式式式(是是是是否否否否引引引引进进进进了了了了常数项和趋势项常数项和趋势项常数项和趋势项常数项和趋势项)和样本长度和样本长度和样本长度和样本