离散时间信号处理(英文版)chp4-第1讲课件.ppt

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1、 数字信号处理64学时 4学分主讲教师：唐斌 博士后 教授 博士生导师（20学时）于雪莲 博士后 副教授 硕士生导师（44学时）考试方式：平时（考勤+期中+作业）15%期末（闭卷）85%教材：A.V.Oppenheim,et al,Discrete time signal processing,2ed,Prentice-hall，1999.References1.A.V.Oppenheim et al,Discrete time signal processing,1st ed，Prentice-Hall，1980.2.邹理和，数字信号处理，高等教育出版社，1986.3.程佩清，数字信号处理教

2、程，清华大学出版社，1999.4.J.G.Proakis et al,Digital signal processing principle,algorthm and application,电子工业出版社，2005.5.数字信号处理，图书馆Studies of signal processingTheory Basic advancedApplication All fields(comm.,Radar,Sonar,)Implement software hardware Signal processingAnalogy signal processingDigital signal pro

3、cessingAnalogy circuitR,L,CDigital circuitCPLD,FPGA,DSPFFTFFTFFTFFTChapter 3Z transformZ变换及其收敛域 序列的序列的Z Z变换定义变换定义双双边边Z Z变变换换n n单单边边Z Z变变换换 n n因果序列的因果序列的Z Z变换变换:单单边边Z Z变换可以看成因变换可以看成因果序列情况下的双边果序列情况下的双边Z Z变换变换 Z平面与单位圆n n 变量z的极坐标形式 n nZ平面:Z Z变换定义变换定义式中z所在的复平面，z是一个连续复变量，具有实部和虚部n n 单位圆:n n在在Z Z平面上平面上|z z|

4、=1|=1为半径的圆为半径的圆n n单位圆上的参数可表示为单位圆上的参数可表示为 序列序列 的的Z Z变换。变换。解：序列解：序列x x(n n)是因果序列，根据是因果序列，根据Z Z变换的定义变换的定义 分析收敛性：分析收敛性：X X(z z)是无穷项幂级数。是无穷项幂级数。n nX(z)X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为可用封闭形式，即解析函数形式表示为 n n当当|z|a|z|a时级数发散，当时级数发散，当|z|z|a|a|时级数收敛。时级数收敛。n n根据级数理论，收敛的充分根据级数理论，收敛的充分必要条件是满足绝对可和条必要条件是满足绝对可和条件，即件，即n n收敛域:对于给

5、定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。n n 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域 n n收敛半径收敛半径R Rx x-可以小到可以小到0 0，R Rx x+可以大到可以大到 n n收敛域以原点为中心，收敛域以原点为中心，R Rx x-和和R Rx x+为半径的环域为半径的环域 几种序列的Z变换及其收敛域 序列序列x x(n n)的性质决定了的性质决定了X X(z z)的收敛域，不同的收敛域，不同形式的序列其收敛域不同形式的序列其收敛域不同。n n 有限长序列：有限长序列：00|z|z|+或 0|z|+n n 右边序列：右边序列

6、：R Rx-x-|z|z|+n n 左边序列：左边序列：0 0|z|z|R Rx x+n n 双边序列：双边序列：R Rx-x-|z|z|R Rx x+有限长序列只在有限区间有限长序列只在有限区间n n1 1 n n n n2 2内具有非零内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零的有限值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 要求：在有限区间内级数的每一项都有界，要求：在有限区间内级数的每一项都有界，则有限项的和有界，级数就收敛。则有限项的和有界，级数就收敛。x(n)有界开域n n 边界讨论：边界讨论：z=0z=0及及z=z=两点是否也收敛与两点是否也收敛与n n1 1、n

7、 n2 2取值情况有关。取值情况有关。序列序列 的的Z Z变换。变换。讨论：n n 假设假设|a|a|是有限值，且是有限值，且|a|a|1 1。n n X(z)X(z)有一个有一个z=az=a的极点，但也有一个的极点，但也有一个z=az=a的的零点，将零极点对消。零点，将零极点对消。n n 收敛域为收敛域为0 0|z|+|z|+。解：根据根据Z Z变换的定义变换的定义 右边序列只在有限区间右边序列只在有限区间n n n n1 1 内具有非零的有限内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 假设在某个圆假设在某个圆|z z|=|=|z z

8、1 1|上绝对收敛上绝对收敛假设假设z z是圆外任意一点，即是圆外任意一点，即|z z|z z1 1|n n 当当n n1 100时，序列为因果序列时，序列为因果序列 n n 显然，级数显然，级数X X(z z)收敛。收敛。n n 讨论：级数讨论：级数X X(z z)中没有正幂中没有正幂项，项，|z z|=+|=+时级数收敛，因此时级数收敛，因此收敛域包括收敛域包括 点，即为点，即为RxRx-|z z|+|+n n 当当n n1 1 0 0时，序列为非因果序列时，序列为非因果序列 n n 显然，当显然，当z z取有限值时，级数取有限值时，级数X X1 1(z z)的值有限，的值有限，而级数而级

9、数X X2 2(z z)收敛。所以，级数收敛。所以，级数X X(z z)的收敛域是的收敛域是以以R Rx x-为半径的圆的外部区域，即为半径的圆的外部区域，即R Rx x-|z z|+左边序列只在有限区间左边序列只在有限区间n n n n2 2内具有非零的有限内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 假设级数在某个圆假设级数在某个圆|z z|=|=|z z2 2|上绝对收敛上绝对收敛左边序列（逆因果）的收敛域假设假设z z是圆内任意一点，即是圆内任意一点，即|z z|z z2 2|n n 当当n n2 2 0 0时，序列为逆因果序列时

10、，序列为逆因果序列 n n 显然，级数显然，级数X X(z z)收敛。收敛。n n 讨论：级数讨论：级数X X(z z)中没有负幂中没有负幂项，项，|z z|=0|=0时级数收敛，因此收时级数收敛，因此收敛域包括敛域包括0 0点，即为点，即为0|0|z z|R Rx x+n n 当当n n2 20 0时，序列为非因果序列时，序列为非因果序列 n n 显然，当显然，当z z取取0 0外的有限值时，级数外的有限值时，级数X X2 2(z z)的值的值有限，而级数有限，而级数X X1 1(z z)收敛。所以，级数收敛。所以，级数X X(z z)的收的收敛域是以敛域是以R Rx x+为半径的圆的内部区

11、域，即为半径的圆的内部区域，即0 0|z z|R Rx+x+序列序列 的的Z Z变换。变换。解：解：讨论：n n 当当|az|az|1 1，即，即|z|z|1/|a|1/|a|时，级数收敛。时，级数收敛。X(z)X(z)可用封闭形式表示可用封闭形式表示n n X(z)X(z)有一个有一个z=1/az=1/a的极点，但也有一个的极点，但也有一个z=0z=0的零点的零点 。双边序列指双边序列指n n从从-到到+都具有非零的有限值，都具有非零的有限值，可看成右边序列和左边序列的和可看成右边序列和左边序列的和 n n Z Z变换变换 n n 讨论：讨论：X X1 1(z z)收敛域为收敛域为0 0|z

12、|z|RxRx+；X X2 2(z z)收收敛域为敛域为R Rx x-|z z|+。双边序列。双边序列Z Z变换的收敛域是公变换的收敛域是公共部分。共部分。n n 如果满足如果满足R Rx x-RxRx+，则，则X X(z z)的收敛域为环状区域，的收敛域为环状区域，即即R Rx x-|z|z|RxRx+；n n如果满足如果满足R Rx x-RxRx+，则，则X X(z z)无收敛域。无收敛域。序列序列讨论：讨论：n n 极点为极点为z z1 1=a=a和和z z2 2=b=bn n 零点为零点为z z1 1=0=0和和z z2 2=(a+b)/2=(a+b)/2n n 收敛域为环域收敛域为环

13、域a a|z z|b b 解：解：如果如果0 0a ab b，求其，求其Z Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。2.2.3 逆Z变换 逆逆Z Z变换变换 由由X X(z z)及其收敛域求序列及其收敛域求序列x x(n n)的变换。的变换。求逆求逆Z Z变换方法变换方法 幂级数幂级数法法(长除法长除法)部分分式部分分式展开法展开法 围围线积分线积分法法 幂级数法(长除法)Z Z变换的定义可知变换的定义可知:X X(z z)是复变量是复变量z z-1-1的幂级的幂级数，其系数是序列数，其系数是序列x x(n n)的值的值 n n显见显见:只要在给定的收敛域内，把只要在给定的收敛域内，把X X(z z

14、)展开展开成幂级数，则级数的系数就是序列成幂级数，则级数的系数就是序列x x(n n)n nX X(z z)展开成幂级数的方法展开成幂级数的方法 n nloglog，sinsin，coscos等函数等函数:利用幂级数公式利用幂级数公式n n有理分式有理分式:直接用长除法直接用长除法 求求 ，|a|a|z z|的逆的逆Z Z变换。变换。展开展开X X(z z)得得 解：利用解：利用ln(1+ln(1+x x)，且，且|x x|1 1的幂级数公式的幂级数公式 由收敛域由收敛域|a|a|z|z|知知x x(n n)为右边序列为右边序列 注注:X X(z z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定的闭合形

15、式加上收敛域，才能唯一确定x x(n n)。使用前判定对应x(n)类型:由收敛域确定右边序列(或因果序列)左边序列(或逆因果序列)。n 根据x(n)类型展开X(z)n右边序列:X(z)展成负幂级数，分子分母应按z的降幂排列n左边序列:X(z)展成正幂级数，分子分母应按z的升幂排列。求求 ，|z z|3 3的逆的逆Z Z变换。变换。解：收敛域是圆外部，对应右边序列。当解：收敛域是圆外部，对应右边序列。当z z时，时，X X(z z)趋近于有限值趋近于有限值0 0，说明，说明收敛域包括收敛域包括 点，因此是因果序列。把点，因此是因果序列。把X X(z z)的分子分母按的分子分母按z z的降幂排列的

16、降幂排列 长除运算，得长除运算，得由此得到由此得到求求 ，|z z|3 3的逆的逆Z Z变换。变换。解：收敛域是圆内部，对应左边序列。当解：收敛域是圆内部，对应左边序列。当z z=0=0时，时，X X(z z)趋近于有限值趋近于有限值0 0，说明，说明收敛域包括收敛域包括0 0点，因此是逆因果序列。把点，因此是逆因果序列。把X X(z z)的分子分母按的分子分母按z z的升幂排列的升幂排列 长除运算，得长除运算，得由此得到由此得到部分分式展开法 方法：如果有理分式方法：如果有理分式X X(z z)是两个实系数是两个实系数多项式多项式B B(z z)和和A A(z z)的比，展开成部分分式，求各

17、简单分式的逆的比，展开成部分分式，求各简单分式的逆Z Z变换，再相加得到变换，再相加得到x x(n n)。n n式中，式中，n nc ck k是是X X(z z)的非零零点，的非零零点，d dk k是是X X(z z)的非零极点的非零极点n nB B(z z)和和A A(z z)的阶次分别为的阶次分别为MM和和N N。部分分式系数计算n n当当MMN N且且X X(z z)只有一阶极点时，则只有一阶极点时，则 n n由留数定理由留数定理n n当当MM N N且且X X(z z)除有一阶极点外，在除有一阶极点外，在z z=d di i处还具有处还具有s s阶极点，则阶极点，则 n n式中，式中，

18、B Br r用长除法得到，系数用长除法得到，系数c cmm计算如下计算如下用用部分分式法求逆部分分式法求逆Z Z变换。变换。求得系数为求得系数为 解：解：收敛域为圆外，右边序列。收敛域为圆外，右边序列。z z时，时，X X(z z)趋近于有限值趋近于有限值1 1，确定是，确定是因果序列。因果序列。X X(z z)有两个一阶极点：有两个一阶极点：z z1 1=2=2和和z z2 2=0.5=0.5 查表可得查表可得Z变换的性质和定理 线性线性(叠加原理叠加原理)Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)，R-|z|R+求序列求序列x x(n n)=)=u u(n n)-)-u u(n n-

19、3)-3)的的Z Z变换。变换。n n由于出现零极点抵消，收敛域增大了。由于出现零极点抵消，收敛域增大了。n n由于由于x x(n n)是是n n00的有限长序列，收敛域是除的有限长序列，收敛域是除|z|=|z|=0 0之外的全部之外的全部z z平平面。面。序列的序列的移位移位证明证明n n乘以指数序列乘以指数序列 证明证明序列线性序列线性加权加权 证明证明n n序列折叠序列折叠 证明证明初值定理初值定理 若x(n)是因果序列，即x(n)=0，n0，则证明：证明：x x(n n)是因果序列，有是因果序列，有 显然显然 若若x x(n n)是逆因果序列，即是逆因果序列，即x x(n n)=0)=

20、0，n n0 0，有，有 终值定理终值定理 若x(n)是因果序列，且X(z)的全部极点，除在z=1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则 证明：由移位性质可得证明：由移位性质可得 x(n)是因果序列，则 有有 序列的卷积序列的卷积 WW(z z)=Z)=Zx x(n n)*)*y y(n n)=)=X X(z z)Y Y(z z)，R-R-|z|z|R+R+证明证明交换求和次序，并代入交换求和次序，并代入mm=n n-k k得得X X(z z)和和H H(z z)收敛域分别为收敛域分别为|z z|a a和和|z z|b b，所以，所以解解：查表得 由收敛域知由收敛域知y y(n n)是因

21、果序列是因果序列 讨论讨论：在在z=az=a处，处，X X(z z)的极点被的极点被H H(z z)的零点所抵消，如果的零点所抵消，如果|b b|a a|，则，则Y Y(z z)的收敛域比的收敛域比X X(z z)与与H H(z z)收敛域的重叠部分要大，如图所示。收敛域的重叠部分要大，如图所示。利用Z变换求解差分方程 N阶线性常系数差分方程 n n时域求解时域求解 Z变换移位性质 n nZ Z变换求解变换求解 差分方程代数方程Z变换式输出序列逆Z变换解方程已知已知一个线性时不变系统的差分方程一个线性时不变系统的差分方程y y(n n)=)=ayay(n n-1)+-1)+x x(n n)，设

22、初始条件，设初始条件y y(-1)=2(-1)=2，输入，输入 时系统的输出时系统的输出序列。序列。解解：于是于是 零输入解和零状态解分别为零输入解和零状态解分别为 Ch4.Sampling of Continuous-Time SignalsMain contentsnPeriodic samplingnReconstruction of a bandlimited signalnDiscrete-time processing of continuous-time signalsnContinuous-time processing of discrete-time signalsnCha

23、nging the sampling rate using discrete-time processingnMultirate signal processingnAntialiasing filter4.0 IntroductionnWhat conditions under which a continuous-time signal can be reconstructed accuratelyreconstructed accurately from its discrete-time samples?nWhat happened in time and frequencytime

24、and frequency domaindomain in the process of periodic sampling?in the process of periodic sampling?4.1 Periodic samplingn ideal continuous-to-discrete-time(C/D)convertern periodic sampling:l T:sampling period(s)l :sampling frequency,radians/s(radians/s(弧度弧度弧度弧度/秒秒秒秒)l fs=1/T:sampling frequency,sampl

25、es/s(samples/s(Hz)Hz)n The practical sampling is implemented by an analog-to-digital converter(ADC)Mathematical representation of periodic sampling冲击串调制器冲击串调制器 +序列转换器序列转换器Note:It is strictly a mathematical representation that is convenient for gaining insight into sampling in both the time-domain an

26、d frequency-domain.It is not a close representation of any physical circuits or systems designed to implement the sampling operation.Time-domain analysistime normalization by T Time-domain analysisnxs(t)和和xn的本质差别：的本质差别：lxs(t)是一个连续时间信号是一个连续时间信号(调制脉冲串调制脉冲串)，除，除T的整数倍时刻外其它时间值为的整数倍时刻外其它时间值为0lxn=xc(nT)是一个

27、离散时间信号，是对是一个离散时间信号，是对xs(t)引入引入时间归一化时间归一化的结果的结果4.2 Frequency-domain representation of samplingn Ln LnLet 结论结论：Xs(j)是是Xc(j)以以 为间隔为间隔周期延拓周期延拓，且幅度为原来的且幅度为原来的1/T。Frequency-domain analysisn Lsoor结论结论：只是将只是将Xs(j)做做尺度变换尺度变换()的结果，也可以认的结果，也可以认 为是为是频率归一化频率归一化()Frequency-domain analysisalisasing distortionalisa

28、sing distortionFrequency-domain analysisn n当当当当 时，周期采样后各延拓分量与原谱时，周期采样后各延拓分量与原谱时，周期采样后各延拓分量与原谱时，周期采样后各延拓分量与原谱分量不发生频率上的交叠，可以恢复出原信号分量不发生频率上的交叠，可以恢复出原信号分量不发生频率上的交叠，可以恢复出原信号分量不发生频率上的交叠，可以恢复出原信号n n当当当当 时，各延拓分量产生频谱的交叠，时，各延拓分量产生频谱的交叠，时，各延拓分量产生频谱的交叠，时，各延拓分量产生频谱的交叠，无法恢复出原信号，称为混叠现象无法恢复出原信号，称为混叠现象无法恢复出原信号，称为混叠现

29、象无法恢复出原信号，称为混叠现象 结论结论结论结论：要想抽样后不失真地恢复出原信号，则：要想抽样后不失真地恢复出原信号，则：要想抽样后不失真地恢复出原信号，则：要想抽样后不失真地恢复出原信号，则抽样频率必须大于原信号谱最高频率的两倍，抽样频率必须大于原信号谱最高频率的两倍，抽样频率必须大于原信号谱最高频率的两倍，抽样频率必须大于原信号谱最高频率的两倍，即：即：即：即：Nyquist Sampling Theorem Let xc(t)is a continuous-time bandlimited signal withThen xc(t)is uniquely determined by i

30、ts discrete-time samples xn=xc(nT),if :Nyquist frequency :Nyquist rateSummary of periodic samplingtime normalization by Tfrequency normalization by 1/T4.3 Reconstruction of a bandlimited signal from its samplescutoff frequecny:frequecny response:nWhen ,xc(t)can be recovered from xs(t)with an ideal l

31、owpass filter.4.3 Reconstruction of a bandlimited signal from its samplesnRecover xc(t)from xn:lGiven xn,we can form an impulse train xs(t)lInput xs(t)to an ideal lowpass filter with and ,the output of the filter will beIdeal reconstruction systemFrequency-domain analysisIn general,Then,ThenifTime-d

32、omain analysisIFT interpolating formulainterpolating functionTime-domain analysisn 在在各采样时刻上各采样时刻上，重构信号与原连续信号相等，且重构信号与原连续信号相等，且 与采样周期无关与采样周期无关Time-domain analysisn在相邻采样点之间在相邻采样点之间，所有内插函数都不为，所有内插函数都不为0，重构信，重构信号由全部的序列样本值加权得到：号由全部的序列样本值加权得到：n由频域分析可知，由频域分析可知，当采样无混叠时，加权所得信号当采样无混叠时，加权所得信号与原信号相等。与原信号相等。Summ

33、ary of ReconstructionComparison of Sampling and Reconstructionn C/D converter:n D/C converter:C/D converterD/C converterComparison of Sampling and ReconstructionC/D converterD/C converterComparison of Sampling and ReconstructionClass Test2)Can be recovered form?1)plotSolution:can be recovered from SinceSolution:can not be recovered from Since