历年数一真题.pdf

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1、1 9 8 7 年全国硕士研究生入学考试数学一试题1987年理工数学一试题一 JK空(本共5个小.每小3分，高分15分，把答案填在题中横线上)(D当=时，函数y=工 2工取得极小值，(2)由曲线y=山工与两直线y=e+l-H&y =0所围成的平面图形的面积是x=1(3)与两直线:y=-1 +，及十=守=气金都平行且过原点的平面方程为z 2+t(4)设 L 为取正向的BI周/+,2=9,则曲线积分 J21xy-2y)dx+(x2-4x)dy=(5)巳知三维向量空间的基底为a1=(1,1,0),a?=(l,0,l),a3=(0,1,1),则向量=(2,0,0)在 此 基 底 下 的 坐 标 是.二

2、、选择(本大共4个小愚,每小3分，就分12分.每小蛤出的四个选项中，只存一项符合目聂求，把所选项的字母填在后的括号内)(1)设lim。)一 个 户=-1,则在工=a处(A)/(x)的导数存在，且，(。)#0 (B)/(x)取得极大值(C)fG)取得极小值(D)z)的导致不存在()(2)设义工)为已知连续函数，1=4,八立川工，其中1 0-0,则I的值J 0(A)依赖于$和(B)依粳于$、和N(C)依赖于人二,不依赖于s(D)依赖于S,不依赖于土()(3)设常数k 0,则 级 数5(-1)-心 产f l,(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)做 散 性 与 为 的 取 值 有 关()(4)

3、设A为n阶方阵，且A的 行 列 式I A 1=aX O,而A 是A的伴随矩阵，则I AI等于(A)a(B)-(C)a-1(D)a()a三、(本高 分10分)设 函 数f (H)在闭区间0,1 上可微，对于0,1 上的每一个H,函 数f(H)的值都在开区间(0.D内，且，(工)X I,证明在(0,1)内有且仅有一个工,使得/(工)=X.四、(本国清分3分)设f、g为连续可微函数,U =/(x,xy),V =g(x+工”,求 言,翁五、(本意於分8分)求微分方程Z +6/+(9+a2)/=1的通解，其 中 常 数a 0.六、(本高 分10分)计算曲面积分I=JJx(8y+l)dydz+2(1-y2

4、)dzdx-A y z d x d y,其 中 Z 是 由 曲 线z=V y-1 1 4 1y3 统y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与,轴正向的夹角恒大X=0丁 2。七、(本洪 分4分)3 0 1设 矩 阵A和B满足关系式AB=A+2B,其 中A=1 1 0,求 矩 阵B.S 1 4J八、(本!分8分)问a、b为何值时，线性方程组Xi+42+工3+=01 2+2X3+2X4=1H?+(a-3)xj 2x4=b3 xi+2x2+/3+H4=-1有唯一解无解，有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.九、填空(本共 3 个小，小 2 分，分6 分)(1)设在一次试验中，事件A 发生 的概 率为 现进

5、行n次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为;而事件A 至 多 发 生 一 次 的 概 率 为.(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2 个箱子有4 个白球,4 个红球.现从第1 个箱子中随机地取1 个球放到第2 个箱子里,再从第2 个箱子中取出1 个球,此球是白 球 的 概 率 为.巳 知 上 述 从 第 2 个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的 球 是 白 球 的 概 率 为.(3)已知连续随机变*X的概率密度函数为/XN)=/e-2*2 k L 则X的数学期望为,X的方差为.十、(本题篇分6 分)设陂机变量X、Y相互独立，其概率密度函数分别为0 4 H&1其它e-

6、/y()=0y 0求 Z=2X+Y 的板率密度函数.1 9 8 8 年全国硕士研究生入学考试数学一试题1988年理工数学一试题一、填空(本国共4个小，每小题3分，高分12分.把答案填在后横线上)(1)若/=+工 严，则/=.(2)设f(工)连续且Tc)dt=工，则/(7)=_.J 0(3)设/(x)是周期为2的周期函数，它在区间(-1,1)上定义为2 1 工&0/()=1 X3 0 N4 1则/(x)的傅里叶(Fourier)级数在x=1处收敛于.(4)设4阶矩阵A=(.a,7i，y3,7,B=氏乃，力，九，其中 0,/(工。)=0,则函数f(z)在点。处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)

7、某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少()(3)设空间区域 fl1：x2+y2+z2 0,n2：x2+y2+z2 0,y 0,z)0,则(A)U xdv=4 JU dv(B)jj|ydv=4 Jj,ydvai/0i%(C)JJ zdv=4 JU zdv(D)jjj xyzdv=4 jj|xyzdv()(4)设骞级 数 个 a.(H-1)”在 h=-1处收敛，则 此 级 数 在n=2处1(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定()(5)n维向量组5，。2“，4(3 0,证 明：在(a )内存在唯 一 的,使 曲 线y=/(x)与两直线y=/(f),x =a所图平面图形面积S1

8、是 曲 线y=/(x)与 两 直 线,=/(f),x =6所围平面图形面积S2的3倍.五、(本清 分6分)2 万设U =Mf)+H g(j),其中函数f、g具有二阶连续导数，求X+y dx3y-六、(本 4分5分)设E为曲面/+/+/=1的外侧，计算曲面积分1=1 x3dydz+yidzdx+z3dxdy.七、(本题濡分9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为与(A 0为 常 数 为 质 点A与M之r间的距离)，质 点M沿曲线y=/2 x -x2自8(2,0)运 动 到0(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.八、(本，分5分)求 箱 级 数 匕州的收敛城-1 n

9、3九、(本於 分6分)1 0巳 知AP=BP,其 中B=0 00 0十、(本!1分8分)2 0 0,已知矩阵A=0 0 1与8=0 1 x-(1)求x与y.00，求 A,A5.2 0 00 0相似.0 0-1-(2)求一个满足P-lA P =B的可逆阵P.十一、填空(本共3个小，每小 2分，高 分6分)(1)设在三次独立试验中，事 件A出现的柢率相等,若已知A至少出现一次的柢率等于姝 则 事 件A在 一 次 试 验 中 出 现 的 概 率 是.(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件“两数之和小于号”的概率为.(3)设 随 机 变 置X服 从 均 值 为1 0,均 方 差 为0.0 2的

10、正 态 分 布，已 知6(H)=-e-V du,4(2.5)=0.9938,则 X 落在区间(9.95,10.0 5)内的概率为.十二、(本 分6分)设随机变X的概率密度函数为方Q)=八-1-不,求随机变 Y=1-3天的板率密度函数为(”.1 9 8 9 年全国硕士研究生入学考试数学一试题1989年理工数学一试题一、填空(本共5个小.每小3分.於分15分)(1)巳知/(3)=2,则lim S 二4/=.k-*0(2)设/(x)是连续函数，且/(x)=H 则/(X)=_.J0(3)设平面曲线L为下半圆周y=-斤寸，则曲线积分Jj i +丁)心=.(4)向二场。(x,y,z)=xy2:+ye*j+

11、xln(l+z2)k 在点 P(l,l ,0)处的微度 dtvu=r3 o oiri 0 oi(5)设矩阵A=400 1 0，则矩阵(A-2 1)-*=10 03 J10 0 1J二、选择(本共5个小题,每小 3分於分1 5分)(1)当工 0时，曲线y=x sin 1(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有船直渐近线(C)既有水平渐近线，也有船直渐近线(D)既无水平渐近线，也无拓直渐近线)(2)巳知曲面z=4-/一/上 点p处的切平面平行于平面2N+2+Z-1=0,则点P的坐标是(A)(l,-1,2)(B)(-1,1,2)(0(1,1,2)(D)(-1,-1,2)()(3)设线性无关的函数”、及

12、、，3都是二阶非齐次线性方程/+做工”+g(x)y =/(X)的解，C1、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A)cjyj+c2y2+yj(B)ci”+c2y2-(ct+c2)y3(C)ci+c2y3-(1-ct-c2)y3(D)ciyi+c2y2+(1-cx-c2)yj()8(4)设函数/(x)=x2f0(工 V 1,而 S(x)=MsinMz,-00 x +8 其中,ib,-2J/(x)sinnnxdx,n=1,2.3.，则 S(-/)等于(A)-y (B)-/(C)/(D)y ()(5)设A是n阶矩阵，且A的 行 列 式I A 1=0,则A中(A)必有一列元索全为0(B)必有两列元案

13、对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向十是其余列向量的线性组合()三、(本於 分15分.每小 5分)(1)设 n=2H-y)+g(z,磔)，其中函教/()二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导数，求焉,(2)设曲线积分 产2tLe+w(x)dy与路径无关，其中中(工)具有连续的导致，且 近0)=0,计算。0严2dH+件(工)d y的值.(3)计 算 三 重 积 分)(工+z)d v,其 中。是 由 曲 面z=V x2+y2与z=a71-xa-y2所图成的区域.四，本 分6分)将 函数/(x)=arctan台 手 展 为 工 的事级数.五、(本於 分7分)设/(幻=而

14、工一|；(工-)/(。13其中/为连续函数,求/(工).六(本清 分7分)证明方程Inx=-/I -cosZxdx在区间(0,+8)内有且仅有两个不同实根.e Jo七、(本法 分6分)问A为何值时，线性方程组a +x3=A 0)上，问 当R为何值时，球 面S在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空(本港 分6分，每小 2分)(1)已知fit机 事 件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B I A)=0.8,则和事件 A U B 的概率P(A U B)=.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命 中，则 它 是 甲

15、 射 中 的 概 率 为.(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程/+8+1=o有实根的概率是十一、(本题潴分6分)设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标 准 差(均 方 差)为&的 正 态 分 布，而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z=2X-丫+3的概率密度函数.1 9 9 0 年全国硕士研究生入学考试数学一试题19901年理工数学一试题,了 .，4,i.;一、填空(本分15分;每小3分)f X=-+2(1)过点M(l,2,-1)且与直线、y=3-4垂 直 的 平 面 方 程 是.=f-1(2)设a为非等常数，则E m 5)=_ l.一 a/1 I X K 1(3)设函数/(

16、工)=1(4)积分gdx j e-dy的值等于(5)已知向量组 i-=(1,2,3.4).a2=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6),a,=(4,5,6,7),则 该 向 量 组 的 秩 是.二、填空(本潴分15分，每小 3分)(1)设f(工)是连续函数，且F(x)=/dt,则r(x)等于(A)-e-V(e-x)-/(x)(B)-e-V C e-*)+/(x)-(C)e-V(e-*)-/(x)(D)e-y(e-x)+/(x)()(2)巳知函数/(x)具有任意阶导数，且f (工”=/(工)尸,则当为大于2的正整数时,/(幻 的n阶导数上)(工)是(A)nl(y(x)?*1(B)n(/(x

17、)+1.(C)(/(x)2 ,(D)nl(y(x)2-*()(3)设a为常数，则级数f l期浮-之1(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收 敛 性 与a的取值有关()(4)巳知工)在工=0的某个邻域内连续，且/XO)=0,则 户 之 士 =2,则在点工=0 A t/(x)f 产 力.；：(A)不可导 (B)可导，且，(0)X 0(C)取得极大值(D)取得极小值()(5)已 知 为、鱼是非齐次线性方程殖AX.甫 个 不 同 的 解，是对应齐次线性方 程 组AX=0的基础解系，时,跖 为任意常数，则 方 程 组A X:6的通解(一般意)必是(A)41a1+财(。1 +“)+.我 和。1 +

18、坛(。1 -S)+；(C)M0i+的(81+，2)+优 国 大r(D)Ai+k2(fti-fit)+-；()三、(本清 分15分每小 5分)，求1:船瞰-.(2)设z=y(2x-,ysinH).,其 中/(,v)具有连续的工阶偏导数，求 导 言.(3)求微分方程 4+4)+4y=e-的通解(一般解).四、(本於 分6分)，-t.f V,-求寿 级 数(2 n+1)工-的收敛域,并求其和函数.，.%,、.0-I S五、(本清 分8分),.，t 求曲面积分I=jjyedrdi+2dxd .s其 中S是球面上2+寸+j =4外 网 在N 0的部分.六、(本清 分7分)设不但为常数的函数/(工)在闭区

19、间a,乃 上 连 续，在开区间(a,6)内可导，且/(a)=f(b).证明在(a )内至少存在一点1使 得/CW)0.七、(本 分6分)设四阶矩阵fl -1 0|0 1-1B =0 0 1,0 0 00,0.C=-12 1 3 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2.且 矩阵A满足关系式A(E-C-1J 3K C=E其 中E为四阶单位矩阵,C-1表 示C的逆等阵，C表示C的转置矩阵.将上述关系式化磨并求矩阵A.八、(本圈淘分8分)求一个正交变换化二次型f=+4据+4 3-4工1工2+4工1工3-8N2H3成标准形.九、(本修潴分8分)质点尸沿着以A B为直径的半圆周，从 点A(l,2)运

20、动到点B(3,4)的过程中受变力F作用(见图.的大小等于点尸与原点O之间的距离，其方向垂直于线段O P且与y轴正向的夹角小于百.求变力F对 质 点P所作的功.十、填空题(本题旖分6分.每小题2分)(1)巳知随机变量X的概率密度函数/(x)=ye l al,-g 了 +8则X的概率分布函数F(1)(2)设随机事件A.B及其和事件A U B的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B对立率件，那 么 积 事 件 屈 的 概 率P(Q)=.(3)已知离散暨随机变量X服从参数为2的泊松(PM m)分布，即P|X=M=密*=0,1,2,，则随机变量Z=3 X-2的数学期望E(Z)=.十一、(本清 分6

21、分)设二维随机变(X,Y)在区域D：0 V n)在点(1,0,-1)处的全微分dz=.(3)已知两条直线的方程是人：气 力=上/=三；%：三/=N/=李 则过h且平行于12的平面方程是.(4)巳知当工-0时，(1+心：2 6-1与8：-1是等价无穷小,则常数。=.5 2 02 1 0(5)设4阶方阵A=0 0 1,0 0 10、0，则A的逆阵A-1-2二、选撵(本，分15分，每小 3分)(1)曲线,=1-eX(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有船亶渐近线()(2)若连续函数/(z)满足关系式f i x)=。弓 川+皿 则 人 公 等 于(A)exln

22、2(B)/ln2(C)ex+ln2(D)e+ln2()(3)巳知级数(-1)*%.=2,a2.,x=5,则 级 数I a”等于1 11(A)3(B)7(C)8(D)9()(4)设D是3平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,。是。在第一象限的部分.，则。(xy+co8xmny)dxdy等于D(A)2J cosxsindxdy(B)2 jj,xydxdy0,(C)4。(xy+cosHsiny)业 dy(D)0()(5)设n阶方阵A、B、C濡足关系式ABC=E,其中E是”阶单位阵,则必有(A)ACB=E (B)CBA=E(OBAC=E(D)BCA=E()三、(本分15分

23、，小 5分)(1)求 lim(COB/x)2.(2)设n是曲面2 i +3y2+/=6在点P(l,l,l)处的指向外侧的法向量,求函数u=6百亚 在点P处沿方向；的方向导致fy2=2x(x2+/+z)dv,其中D是由曲线/绕r轴旋转一周而成的曲面与平。=0面z=4所图成的立体.四、(本分6分)在过点0(0,0)和A(r,0)的曲线族y=0)中，求一条曲线L,使沿该曲线从。到A的积分1(1+y3)dx+(2工+y)d y的值小.五、(本於分8分)将 函 数 幻=2+1 H I (-1 4工4 1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级利的1Mft.六、(本海分7分)设函数工)在0,1 上连续，

24、(0,1)内可导，且3/人N)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点 c,使，(c)=0.七、(本JH篇分8 分)巳知=(1,0,2,3),=(1,1.3,5),=(1，一 +2,1),。4=(1,2,4,0+8)及B=(1,1,6+3,5).(l)a.A 为何值时邛不能表示成相，2，。3，。4的线性组合？(2)a,b为何值时，?有。1,。2争3，人的唯一的线性表示式?并写出该表示式.八、(本国篇分6 分)设 A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵，证明A +E的行列式大于1.九、(本)分 8 分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段P Q长

25、度的倒数(Q 是法线与工轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空J1(本意，分 6 分.小 3 分)(1)若随机变量X服从均值为2、方差为1的正态分布，且P2 X 4|=0.3,则P|X 0|=.(2)随机地向半圆0 y 0 00其它求随机变量Z=X+2 Y 的分布函数.1 9 9 2 年全国硕士研究生入学考试数学一试题1992年理工数学一试题一、填空(本共5小，每小3分，值 分15分.把答案填在中演线上)设 函 数y=y(x)由 方 程 尸，+8(刊)=0确定，则 空=(2)函数 u=ln(i+丁+z2)在点 M(l,2,-2)处的梯度 gradu IM.-1*/&0(

26、3)设工)=，则其以2*为周期的傅里叶级数在点h =处1+x1 0 0)I n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与Q有关()(3)在 曲 线 工=r,y=-t2,z=r的所有切线中，与平面工+2y+z=4平行的切线(A)只 有1条(B)只 有2条(C)至 少 有3条、(D)不存在()(4)设/(x)=313+/工，则 使/.)(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)l(C)2(D)3()要 使&=都是线性方程组A X=0的解，只要系数矩阵A为(A)(-2 1 2)f-1 0 2 I(C)0 1-1J(2 0-1(B)lO 1 1 J0 1-1,(D)4-2 -2)三、(本共3小，

27、每小5分，清 分15分)求lim立普(2)设z=f(esiny,x2+9),其 中/具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，求差.1+i N&0 设 工)=0求(1-2)dx.四、(本清 分6分)求微分方程/+2y-3y=e 3的通邮.五、(本鹿 港 分8分)1 t计算曲面积分(/+azdydz+(/+ax2)dzdx+(x3+。/纭 工 打,其 中S为上半球 面Z=-3?_ J的上侧.六、(本履篇分7分)设产(工)0,x2 0,有/(X,+工2)a3*a4线性无关，问：(D a1能否由a 2,线性表出？证 明 你 的 结 论:(2)a4能否由f l l,a2,a3线性表出？证明你的结论.九、(本

28、清分7 分)设3 阶矩阵A 的特征值为h=1,A2=2,刖=3,对应的特征向量依次为(1)将 N用&，&，&线性表出.(2)求 A予(”为自然数).十、埴空融(1)已知 P(A)=P(B)=P(C)=j,P(A B)=O,P(AC)=P(B C)=看,则事件A、B、C 全 不 发 生 的 概 率 为.(2)设随机变量X服从参数为1 的指数分布，则数学期柒EX+eX|=.十一、(本法分6 分)设随机变量x 与y 独立,x 服从正态分布N(“2),丫服从 _*,内上的均匀分布，试求2=X+Y 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数力表示，其 中 4(工)=1 9 9 3 年全国硕士研究生入学考

29、试数学一试题1993年理工数学一试一、填空(本共5小，每小3分,11分15分.把答案填在中战线上)(1)Aft F(x)(x 0)的单i i减少区间为(3x2+2y2=12(2)由 曲 线 绕,轴 旋 转 一 周 得 到 的 旋 转 面 在 点(0,6,4)处的指向lx=0外侧的单位法向为.(3)设 函 数/(x)=m+x2(-r x IT)的傅里叶级数展开式为号+(aNco8nx/1+b.sinnx),则 其中系数b3的值为.(4)设数量场 u=In Ja?+y2+，,则 dw(gradu)=.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为”-1,则线性方程组AX=0的通解为.二、选择(

30、本共5小.每小3分.看 分15分,在每小蛤出的四个选项中,只有一项是符合目要求的,把所选项蕾的字母填在后的括号内)faiax 设 /(工)=sm(t2)dt,g(x)=x3+N”，则当 N 0 时 J(H)是 g(z)的Jo(A)等价无穷小(B)同阶但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小(2)双 纽 线(/+/)2 =/_,2所围成的区域面积可用定积分表示为(A)21862ede(B)4pcoa2 =丁,满足初始条件,|x=1=1的特解.四、(本於分6分)计算 g 2xxdydz+yzdzda:-z2dxdy,M 41 X 是由曲面 z=y/x2+y2 与 n =72-x2-/所围立

31、体的表面外侧.五、(本满分7分)求 级 数S(一 D二(或 一 门+1)的和.六、(本共2小，每小5分，高分10分)(1)设在 0,+8)上函数/(工)有连续导数，且，(工)为0,/(0)a e,证明 ab ba.七、(本题清分8分)已知二次型f(xi，x2,x3)=2xi +3x1+3=；+2ax2x3(a 0)通过正交变换化成标准形/=才+2yl+5/,求叁数a及所用的正交变换矩阵.八、(本 分6分)设A是n X m矩阵,B是加X”矩阵，其 中n m,1是n阶单位矩阵，若AB=，证明B的列向量组线性无关.九、(本法分6分)设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B

32、从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2”,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.十、填空J 8(本共2小，每小3分，洪分6分,把答案埴在中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则 第 二 次 抽 出 的 是 次 品 的 概 率 为.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=.十一、(本意篇分6分)设随机变量X的概率分布密度为工)=短-巴-8 工+8.(1)求X的数学期望EX和方差DX.(2)求X与I X I的协方差，并问X与I X I是否不相

33、关？(3)问X与I X I是否相互独立？为什么？1 9 9 4 年全国硕士研究生入学考试数学一试题1994年理工数学一试题一、埴空(本共5小，每小3分,II分15分)射85(而-)=(2)曲 面 N -广+2灯=3在点(1,2,0)处的切平面方程为 设u=e-、in手，则 磊 在 点 5)处的值为.(4)设区域 D 为工2+/&R 2,则 J i,+方)dazd*=.已 知a=1,2,3/=A=ad其 中a 是a的 转 量，则A =二、选择(本共5小，小 3分，,分15分)(1)设 M=4 2cosxdx,N=1 式sin3H+co84x)dx,P=s(x2sr?x-cox)dx,则有(A)N

34、 P M(B)M P N(C)N M P(D)P M 0,且 级 数 a：收 敛,则 级 数S(-1)。(A)发散(C)给对收敛(B)条件收敛(D)收敛性与A有关)(4)iim 0tMi工 +“1 3r=2,其中 a1+1 W 0,则必有I cln(l-2 x)+d(l-e-x)(A)d=4d(B)6=-4 d(C)a=4c (D)a=-4c()(5)巳知向量组5，。2，。4线性无关，则向组(A)a|+2，。2+。3，。3+al 线性无关(B)1 。2，2。3，。3-。4，。4 L线性无关(C)。+a 2，。2+。3，。3+。4，。4-线性无关(D)。+。2，。2+0 3，。3 一 4，4-线

35、性无关()三、(本共3小,小 5分,1分15分)X=cos(产)设1 N 1，求 史、芸在的值y=rco8(t2)-I f c o s u d u 业/Y 2Ji 2，u(2)将 函 数f(h)=4*In;三 三+yarctana:一 x展开成工的特级数.(3)求j ain(2x)-2ainx,四、(本 分6分)计算曲面积分也 普挈 其 中S是 由 曲 面/+丁=R2及两平面工=R.z=-R(R 0)所图成立体表面的外侧.五、(本值 分9分)设 了(工)具 有 二 阶 连 续 导 数J(0)=0,/(0)=1,且(耳(工+“一 /(x)y)d x +(Z(x)+N2sdy=o为一全微分方程，求

36、f (工)及此全微分方程的通解.六、(本,分8分)设f(工)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导致，且回修=。，证明级数(工)绝对收敛.1 H七、（本 於 分6分）已 知 点A与B的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线 段A B绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求 由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.八、（本 融 清 分8分）N+=0设四元线性齐次方程组（I）为，又已知某线性齐次方程组（n）的通解为工2 44=0*1（0,1,1,0）+k2（-1.2,2,1）.1）求线性方程组（Q 的基础解系；2）间线性方程组（D和（n）是否有非零公共刑?若有，则求出所有的非零公共解.若没

37、有，则说明理由.九、（本法 分6分）设A为n阶非零方阵.A是A的伴随矩阵,A 是A的转量矩阵，当A.=A 时，证明 I A 1#0.十、填空（本共2小,每小 3分，於 分6分）（1）巳 知A、B两 个 事 件 满 足 条 件P（AB）=P（A B）,且P（A）=。，则P（B）=（2）设相互独立的两个随机 变 量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z=maxlX；Y I的分布律为.十一、（本清 分6分）已知随机 变 量x和丫分别服从正态分加N（I,32）和N（o d）,且x与y的相关系数七（1）求Z的数学期里EZ和方差DZ;（2）求X与Z的相关系数p=；（3）问X与Z是否相互独立?为什

38、么？1 9 9 5 年全国硕士研究生入学考试数学一试题1995年理工数学一试题一、填空(本共5小，每小3分,篇分15分)(1)lim(l+3工)去=.-3 f产 血/市=-(3)设(QX b)c=2,则(a+b)X(6+c)J (c+a)=(4)寿 级 数S 的收敛半径R=.-i 2+(-3)-(5)设三阶方阵A、B满足关系式:A-iBA=6A+BA,J 0 0且从=0 J 0,则8=0 0 y二、选择Ji（本共5个小，每小3分，送分15分）N+3y+2z+l=0（1）设有直线L：及平面不：4工-2,+工-2=0,则直线1L2x-y-10z+3=0.（A）平行于“（B）在a上.（C）垂直于贯（

39、D）与”斜交（）设 在 0,1 上，（工）0,则，（0）、，、八1）一0）或的大小顺序（A）/（l）/（0）/（1）-/（0）（B）r（i）/（i）-/（o）r（o）（o/（i）-/（o）r（i）r（o）（D）r /（o）-/（i）r（o）(3)设f(工)可导，F(工)=/(x)(l+1 sinx l),J/(O)=0是尸(工)在工=0处可导(A)充分必要条件(B)充分条件但非必饕条件-(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件()设4 =(-1尸ln(l+/),则级数(A)人 与比都收敛 1 1(B)U.与 都发散(c)u”收 敛 而比 发 散 i1 1 *(D)5%发 散 而

40、比 收 敛 (),-1 a*1011al2 设 A=a2i a22031a320 1 0P=1 0 0,22=O O I(A)APiPz=Ba 13%,B=a3302111，则必有a22a12。32+al21 0 00 1 01 0 1(B)AP2P,=Ba231 3*33+013(C)PiP2A=B(D)P2PIA=B)三、(本M共2小，每小5分，高 分10分)(1)设u=f(xty9z)i=sinz,其中八火都具有一阶连续偏导数,且 冷 ，噜：.(2)设函数工)在区间0,1 上连续，并设。(工)L=A,求1 d d，工)f(y)dy.四、(本共2小.每小6分，满 分12分)(D计算曲面积分

41、zdS,其 中E为 锥 面z=/P”在 柱 体1 +工内的部分.（2）将 函 数/（x）=工-1（0 4工4 2）展开成周期为4的余弦级数.五、（本清 分7分）设 曲 线L位于xQy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与，轴总相交，交点记为A.已 知I两1 =1诙I,且L过点（宗，到，求L的方程.六、（本於 分8分）设 函 数Q（x,）在x Q y平面上具有一阶连续编导致，曲线积分 2 w d x +Q（x,y）d与路径无关，并 且 对 任 意2恒有2xydx+Q（x,y）d=2xydx+Q（H,y）dy,求 Q（H,）.J（o.o J（0.0）七、（本设 分8分）假设函数工）和g（工）在

42、*6 上存在二阶导数，并 且g（工）X 0 J（。）=f（b）=g（a）=g（6）,试证：（1）在开区间（a,b）内g（H）HO;（2）在开区间（a,6）内至少存一点已使盟=随.八、（本,分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为入=-1,心=h=1,对 应 于 的 特 征 向 量 为&=01，求 A.1九、（本高 分6分）设A是n阶矩阵，满 足AA=1（1是”阶单位阵,A 是A的转量矩阵），I A 1 0,Y 0|=1,P X 0 =P|Y 0|=yJ Q P|nu(X,Y)0|=-十一，本分6分)设随机变.X的概率需度为fx(工)=.&一 鼻 工x？0，求随机变量Y=eX的概率密0 x 0(”-

43、1 2)，且 (O.y),fflttft E(-D-(um)au-1X!f!(A)绻对收敛(C)发微(B)条件收敛(D)效散性与A有关(4)设/(工)有连续的导数,/(0)-O.r(O)#O,F(x)=(/-/)/(。山，且当工*0。时，F(H)与X4是同阶无穷小，则k等于(A)l(8)2(0 3(b)4ii 00 bt0 a2b2 0(5)四则行列式的值等于0%。3 0b.00 a4(A h im。.-b636364(B)0Q2a3。4+九/力瓦(C)(fl|0是甯数.(2)设工=1 0./“后元(”=1.2.),试证败列I工.1极限存在.并求此极限四、(本共2小,小6分.11分12分)(1

44、)计算曲面次分j(2x x)ddz cdxdy,其中S为有向曲面七工/(0 4 4J s1).其法网与工轴正向的夹角为锐翕.(2)设变换；-工-2 可把方程6注+春-*0化 前 为 弃 =0,求常数a.五(本需分7分)*求 级 数,?I、”的和.六、(本肩分7分)设 对 任 怠 工 0,曲 线y=/(x)上 点(N./(H)处 的 切 线 在y轴上的货距等于IJ*/(*)!,/(x)的一般表达式.七、(本分8分)设人工)在(0,1)上具有二阶导数,且濡足条件I/(工)t)5J1+5x?+cij-2xtxj+6xtx)-6x1X3 的秩为 2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出

45、方程/(x j.x j.x,)-1衰示何片二次曲0r1+、馔空(本共2小.小3分.分6分)(1)世工厂A和工厂8的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和8的产品分别占60%和40%的一批产品中fit机抽取一件，发现是次品,用嫉次品属A生 产 的 霰 率 给.(2)设f.v是两个相互独立且均服从正毒分布N(0.(2)2)的机变量，则随机变量I ;*2-V的数学期叟E(I e-71)-.+一、(本珑分6分)设 仁7是相互独立且朦从同一分布的两个机变量，已 知的分布律为P =O-j.i 1.2.3.又设 X max(，7)Y-min(f,y).(1)写出二壁机变量(X.Y)的分布律：(2)求机变量

46、X的教学期望E(X).1 9 9 7 年全国硕士研究生入学考试数学一试题1997年数学一试题一、境空意(本共5小勤.小 分,篇 分 分),.13inx 十.七8 一四(I+cosx)ln(l+x).-#(2)设 年级数的 收 敛 半 径 为3.则 不 级 数 生(工】)的收敛区间为 对败螺线。=/在点(p.8)-卜久方)处的切线的直角坐标方程为_ _ _ _ _ _ _ _.1 2-Z(4)设4 I 3,8为三防非零矩阵.且.48=0,则，一 _ _ _ _ _ _ _ _.3 1 1 .(5)袋中有50个乒乓球.苴中20个是黄球.30个是白球.今有两人依次R8机地从袋中各取一球,取后不放回,

47、则第二个人取得黄球的慨率是_ _ _ _ _ _ _ _.二、烧撵(本共S小建,小3分，春 分15分)，*(0.0)(1)二元函数/C r.y)-1才+V.在点(0.0)处八 Cr.y)(00)u(A)连续，偏号数俘在(H)连续.偏导致不存在(C)不连续,他导数存在 D)不连续,偏导数不存在()(2)设在 区 间 上 /(x O.r(a)0.令5,=/(x)dx,St flb)(b ,则(A)St St St B)S,StS,5,(D)S,S,5,()(3)设 Z c-irudz.H F(x)A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数()a(x+b,y+0.apr+bty+Q=0.a

48、,JT+61y+c 0(其 中/+员 工 0工=1,2,3)交于一点的充要条件是(A)/,，.与线性相关(B%.%.如线性无关：)秩，(，4.。力=佚，)(D)%,如必蝮性相关.用线性无关()设两个相互独立的机变量X 和 丫的方差分别为4 和 2,则随机变量3X-2y 的方差是(A)8(B)16(C)28)+(4-yh k,其中c 是曲线rz*+y*-1.0.求I).Q.(本履共 2 小.第(1)小 6 分,第(2)小 7 分,海分13分)(1)设克纹生平面”上，前平面”与曲面*尸 十 式 相切于点(x+a y 3=0(1.-2.5),求 之值-(2)设函数/X)具有二阶连续导数,而z=e、i

49、nW播足方型富+=求”0).五.(本通清分6 分)设/(了)连埃必工)=1/5)也.且1 淅起-A(八为常效).求，(外并的母外工)在工。处的连续性六、本*需 分 8 分）设 a,.2,a.+i=-|-l*+1 2.1E明（1）hma.存在 1 级 数（公 一 1）收敛七、（本共 2 小，第（1）分.箓（2）6 分,K分 1!分）（D 设 8 是稼为 2 的 5 X 4 矩阵.1.1.2.3 T.a,-1.1.4.-lT.a-5.-1,-8.97.是齐次线性方程组Bx=0 的修向量.求Bx=0 的解空间的一个标症正交基.*1 2 -1 2,（2）巳知点=1是矩阵A-5 Q 3 的一个特征向量.

50、-1.1 b-2（i）区 确 定 参 数 及 特 征 向 量所对应的特征值（ii）问A能否相似于对布阵？说明理由.八.（本HU分 分）设 A 是”阶可逆方降,将A的第i行和第j行对接后得到的矩阵记为B.（1）证 明B可逆（2）求 A B九、（本!1分 7 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的.并且概率都是上&X为途中遇到红灯的次札 求 随机受 X 的分布律、分布函数和数学期望十、（本於分5 分）设总体X 的概率密度为J S+l)x*.O T -1 是未知参数.X,.X|.X.是来自息体X 的一个容量为”的BJ的防机样本,分别用矩估计法和极大似