挑战2023年中考数学压轴题08二次函数与矩形存在性问题（含答案解析）.pdf

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1、专题7 二次函数与菱形存在性问题考法综述“我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是四边都相等的四边形是菱形；两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式,其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两

2、动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.典例剖析.I1 例1 (2 0 2 0雁塔区校级模拟)在平面直角坐标系x O y中,抛物线y=/+6 x+c (a#0)的对称轴为直线x=4,抛物线与x轴相交于A (2,0),8两点，与)，轴交于点C (0,6),点E为抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；(2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点“旋 转1 8 0 ,点C、E的对应点分别是点C、E,当 以C、E、。、E为顶点的四边形是菱形时，求 点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，【例2】(2 0 2 1齐齐哈尔三模)如图

3、，在平面直角坐标系中,抛物线丫=-+。(“W 0)与x轴交于点A、B 2x+43 x52x两 点(点A在 点3左 侧)，与)，轴交于点C.。4、0 8的长是不等式组I 2 的整数解(O A V O 8),点O (2,m)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式及，”的值；(2)y轴上的点E使A E和DE的值最小，则OE=；(3)将抛物线向上平移，使 点C落在点F处.当A O 网 时，抛物线向上平移了 个单位；(4)点M在 在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点4、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标.【例3】(2022烟台)如图，已知直线 =3 x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C

4、,抛物线y=a +bx+c经过A,C两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1.(1)求抛物线的表达式；(2)3是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为凡求四边形A8CD面积S的最大值及此时。点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以A C为对角线的菱形？若存在，请 求 出 两 点 的 坐 标；若不存在,请说明理由.例4(2022武昌区模拟)如图，直线y=-2x+8分别交x轴,y轴于点B,C,抛物线y=-x1+bx+c 过 两点，其顶点为M对称轴M N与直线B C交于点N.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如 图1,点P是线

5、段BC上一动点，过点P作 尸。，x轴于点/),交抛物线于点。，问：是否存在点P,使四边形M N P。为菱形？并说明理由；(3)如图2,点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作E/B C,直线E F与抛物线交于点E,F,与直线y=-J _1_1 _4x交于点”,若 而 F G不正,求点G的坐标.图 图满分训练X _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/v=_ 3 x+91.(2 02 2蒲城县一模)如图，已知直线 2 2与x轴、y轴分别交于8、C两点,抛物线丫=-+3%+。经过8、C两点，与x轴的另一个交点为A,点E的坐标为(，如).(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E,F关于抛物

6、线的对称轴直线/对称,0点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P,使得以E、F、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.2.(2 02 2抚顺县二模)如图,抛物线y=o?+f e r+6 (a#0)与x轴交于A (-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C,顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段B C上存在一点M 使得N B M O=4 5 ,过 点 0 作 OHLOM交B C的延长线于点H,求点M的坐标；（3）点 P是），轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P,Q,使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；

7、若不存在,请说明理由.备用图3.（2 02 2 历下区三模）如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=-7+6 x+c 的图象交x 轴于A、B两点，与 y轴交于点C,08=3 04=3,点P是抛物线上一动点.（1）求抛物线的解析式及点C 坐标；（2）如 图 1,若点尸在第一象限内，过点P作 x 轴的平行线,交直线BC 于点E,求线段PE的最大值及此时点 P的坐标；（3）如图2,过点P作 x 轴的垂线交x 轴于点0,交直线B C 于 一 点、仞,在），轴上是否存在点G,使得以M,P,C,G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直 接 写 出 所 有 满 足 条 件 的 点 G 坐 标；若不存在，请说明理4

8、.（2 02 2 碑林区校级三模）如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线L i：y=-/+版+c 经过点A （2,2）,抛物线的对称轴是直线x=l,顶点为点B.(1)求这条抛物线的解析式；(2)将抛物线L平移到抛物线上,抛物线Li的顶点记为。，它的对称轴与x 轴的交点记为E.已知点C(2,-1),若以A、C、。、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线上的顶点坐标.5.(2 02 2 佛山校级三 模)如图,抛物线y=/+x+c 与 x 轴交于(-1,0)两点，与 y 轴交于点C,直线A C2的解析式为y 3x-2.(1)求抛物线的解析式：(2)已知人为正数，当0 x l+k时j 的最大值和最小值分

9、别为机,，且机+=T，求k的值；(3)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q,使得以点A,C,P,Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.备用图6.(2 02 2 邵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=-7+b x+c 与 x 轴分别交于点A (-1,0)和点8,与 y 轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若N B P O=90 ,求点P的坐标；(3)点 M 是抛物线上一动点，点 N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在,求出点N的坐标；

10、若不存在,请说明理由.7.（2 02 2九龙坡区模拟）如 图1,抛物线y=/+法+c与x轴相交于点8、C（点B在 点C左侧），与y轴相交于点A.已知点8坐标为B （1,0）,B C=3,A 4 B C面积为6.（1）求抛物线的解析式；（2）如 图1,点P为直线A C下方抛物线上一动点，过点P作P O 4 B,交线段A C于点D.求P。长度的最大值及此时P点的坐标；7 _（3）如图2,将抛物线向左平移引个单位长度得到新的抛物线,M为新抛物线对称轴I上一点,N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程.图1图28.（2 02 2

11、恩施市模拟）如图，已知直线y=-?1-3与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线的顶点 是（2月1-1），且与x轴交于C Q两点，与y轴交于点E,P是抛物线上一个动点，过点P作PGVA.B于点 G.(1)求 氏 c 的值；(2)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N,使得以点C,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由.(3)当点尸运动到何处时，线段PG的长最小？最小值为多少？9.(2 02 0秋沙坪坝区校级期末)如图,在平面直角坐标系中，抛 物 线 尸-%2-U v+2 交 x 轴于点A、B,交y 轴于点C.(1)求 A B C

12、的面积；(2)如图，过 点 C 作射线C M交 x 轴的负半轴于点M且/O C M=/O A C,点 P为线段AC 上方抛物线上的一点，过 点P作A C的垂线交C M于点G,求线段P G的最大值及点P的坐标；(3)将该抛物线沿射线AC 方向平移/百个单位后得到的新抛物线为,与直线BC相交于点瓦当D E：A E=4：5时，求ta n ZD AB的值；(3)点尸是直线B C上一点，在平面内是否存在点。，使以点P,Q,CA为顶点的四边形是菱形？若存在，直14.(2020师宗县一模)如图,直线产-x+3与x轴、y轴分别交于点反点C,经过反C两点的抛物线y=+6x+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P点M

13、为抛物线的对称轴上的一个动点.(1)求该抛物线的解析式；(2)当点M在x轴的上方时，求四边形CQ4M周长的最小值；(3)在平面直角坐标系内是否存在点N,使 以C,P,何,N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由.15.(2021 两江新区模拟)如图,抛物线yno?+fct+cCa#。)交x轴于A,B两点，交y轴于点C.其中点4(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，连接 AC、BC.(1)求抛物线的解析式；(2)如 图1,在抛物线上B,C两点间有一动点P(点P不与B、C两点重合)，过 点P作A C的平行线，交B C于点G,求P G的最大值及此时点

14、P的坐标；(3)如 图2,将抛物线y=ax1+bx+c(aW O)沿射线C B方向平移个单位长度得到新抛物线y,点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A,C,M,N为顶点的四边形是以A C为边的菱形,若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在,请说明理由.16.(2021 淮安区一模)如图1,在平面直角坐标系中，已知矩形ABC。的三个顶点A(-3,4)、B(-3,0)、C(-1,0).以D为顶点的抛物线y=ax1+bx+c过点B.动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿D C边向点C运动,运动的时间为f秒.过点P作P E 1 C D交B D于点E,

15、过点E作EF AD于点F,交抛物线于点G.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接8G,求 B GD的面积最大值；(3)如图2,在点尸运动的同时，点Q从点8出发，沿3 4边以每秒1个单位的速度向点A运 动.动 点P、Q运动的过程中，在矩形A B C。内(包括其边界)是否存在点使以用Q,E,H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出，的值：t=.J-1 7.(2 0 2 1渝中区校级一模)如图,在平面直角坐标系中，已 知 抛 物 线 产-51一+4什2与x轴相交于4,8两点，与y轴交于点C.(1)求8、C两点的坐标；(2)点P为直线B C上方抛物线上的任意一点，过P作PF/x轴

16、交直线B C于点F,过P作PE/y轴交直线8 c于点求线段E F的最大值及此时P点坐标；V5(3)将该抛物线沿着射线A C方向平移可个单位得到新抛物线y ,N是新抛物线对称轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点。，使以点8、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在,请直接写出点Q点的坐标；若不存在,请说明理由.1 8.(2 0 2 2岳池县模拟)如图1,一 次 函 数 丫=-4百的图象分别与犬轴)轴交于8,。两点,二次函数g=%-J 3 1+c 的图象过B,C两点，且与x轴交于另一点4.(1)求二次函数的表达式；(2)点尸是二次函数图象的一个动点,设点尸的横坐标为相，若N A 8 C=2 N A

17、 8 P.求相的值；(3)如 图 2,过 点C作CD/X轴交抛物线于点D 点M是直线B C上一动点，在坐标平面内是否存在点1 9.(2 0 2 1 罗湖区校级模拟)如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中,抛 物 线 与 x轴相交于A、3两点，与 y轴相交于点C(0,3).且点A的坐标为(-1,0),点 3的坐标为(3,0)，点 P是抛物线上第一象限内的一个点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)连 P O、P 8,如果把 P 0 8沿 翻 转，所得四边形P OP 8 恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点。，使 Q A B 与 P OB 相似？若存在求出点。的坐标；若不存在，说明理由；(3

18、)若(2)中点。存在，指出 Q A B 与 P OB 是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标.2 0.(2 0 2 1 秋九龙坡区校级月考)如图,抛物线y=/+x+3 交 x轴于点A (-1,0)和点8(3,0)，与 y轴交于点C,连接B C,交对称轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线B C上方的抛物线上一点，连接PC,PD.求A P C D的面积的最大值以及此时点P的坐标：(3)将抛物线)，=/+公+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点瓦点尸是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点.当以。、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点尸的坐

19、标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程.备用图2 1.(2 0 2 1 诸城市三模)如图，抛物线 =/+法+4经过点A(-2,0)，点B(4,0)，与y轴交于点C,过 点C(1)求抛物线的函数表达式,并用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)E是抛物线上的点,求满足/E C )=/AC。的点E的坐标；(3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线B C上，点P为直线B C上方抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.422.(20 21 鞍山一模)如图，在平面直角坐标系x O y中，直线y=-同+4与x轴、)，轴分别交于A、C两点,1抛物线y=-可，+f c v+c经过

20、A、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点B为y轴上一点，点P为直线A B上一点，过P作PQ/BC交x轴于点。，当四边形B C P Q为菱形时,请直接写出8点坐标；1(3)在(2)的条件下，且点B在线段0 C上时，将抛物线y=-5 l/+f c r+c向上平移1个单位，平移后的抛物线与直线A B交于点。(点 在第二象限)，点N为x轴上一点，若NQ NB=9 0 ,且符合条件的点N恰23.(20 22巨野县一模)如图，抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于C (0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线B C上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t,P到B C的距离为，

21、求 力与f的函数关系式,并求出的最大值；(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中,存在点N,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形,直接写出所有符合条件的点N坐标.24.(20 21 洛阳一模)如图，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于8、C两点,抛物线y=9 7+6 x+c,经过8、C,且与x轴另一交点为4,连接AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点 E 在抛物线上，连接EC,当NEC8+NACO=45时，求点E 的横坐标；(3)点 M 从点A 出发,沿线段A B由A 向 B 运动,同时点N从点C出发沿线段C 4由 C 向A运动,M,N的运动速度都是每秒1 个单位长度，当N 点到达A

22、 点时,M,N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点。，使M,N运动过程中的某些时刻f,以A,。,为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出f 的值；若不存在，说如图,抛物线产-a 2+a+引 与 X轴交于A,B两 点(点 A 在点B的左侧)，顶点为。.点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为九直线A D交 y 轴于点C,过点P作 P尸AD,交 x 轴于点F,PE/x轴,交直线A D于点E,交直线D F于点M.(1)求 直 线 的 表 达 式 及 点 C 的坐标；(2)当四边形A F P E的面积与40户的面积相等时，求m的值；(3)试探究点P在运动过程中，是否存在肛使四边形A F P E是

23、菱形，若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由.如 图 1,已知抛物线经过原点。和 x 轴上一点4(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x 轴交于点 ,直线y=-2 x-1经过抛物线上一点B(-2,机)且与)，轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.(1)求机的值及该抛物线的解析式；(2)P(x,y)是抛物线上的一点，若4。尸与AZ)C的面积相等,求出所有符合条件的点尸的坐标.(3)点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为，秒，是否能使以Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能,请直接写出点M 的运动时间f

24、 的值；若不能，请说明理由.图1备用图典例剖析_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Z【例1】(20 20雁塔区校级模拟)在平面直角坐标系xO y中,抛物线y=a x2+/；x+c SW0)的对称轴为直线x=4,抛物线与x轴相交于A(2,0),8两点，与y轴交于点C (0,6),点E为抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；(2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋 转18 0 ,点C、E的对应点分别是点C、E,当以C、E、C、E为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，【分析】(1)山抛物线的对称性可求点B坐标，设抛物线的解析式为：=(x-2)(

25、x-6)，将点C坐标代入，可求解；(2)设点M(;n,0)，由中心对称的性质可求点心(2m,-6)，点E (2/n -4,2)，由菱形的性质和两点距离公式可求m的值，即可求解.【解答】解:：抛物线y=/+f e r+c(a W O)的对称轴为直线x=4,抛物线与x轴相交于A(2,0 ),B两点，；.点 B(6,0),设抛物线的解析式为：y=a (x-2)(x-6),.抛物线图象过点C (0,6),：.6=a(0-2)(0 -6),J,.a=2,抛物线的解析式为：y=2(x-2)(x-6)=2p-4 x+6,y=21/-4 x+6=2(x-4)2-2,二顶点E坐 标 为(4,-2)；(2)将该抛

26、物线的图象绕x轴上一点M旋 转18 0 ,点C、E的对应点分别是点C、E；：.CM=CM,E M=E：M,四边形C E C E是平行四边形，设点用(见0),.点 C(0,6)，点 E(4,-2),CM=CM,E M=E M,点 C (2 m,-6)，点 E (2 m-4,2),.以C、E、。、E为顶点的四边形是菱形，向：.CE=CE,/.Q(4-0)2+(-2-6)2=Q(2m-4)2+(-6+2),-2J2=6,.点 M(-2,0)或(6,0),当 M (-2,0)时，点 E(-8,2),旋转后的抛物线解析式为：尸-切(x+8)2+2；当 M(6,0)时，点 E (8,2),1二旋转后的抛物

27、线解析式为：y=-5 l (x-8)2+2；j,1综上所述：点 M(-2,0)或(6,0)旋转后的抛物线解析式为：尸-2 G+8)2+2或 y=-切(x-8)2+2.【例 2】(20 21齐齐哈尔三模)如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=o?-x+c (#0)与 x轴交于2x+43x5 2x点 4、B两 点(点 A 在点8 左 侧)，与y轴交于点C.O A、O B的长是不等式组I 2 的 整数 解(。4轴上的点E使A E和D E的值最小，则 O E=2 ；(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处.当 AZ)F B 时，抛物线向上平移了 个单位；(4)点例在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N 使

28、以点A、B、M、N 为顶点的四边形为菱形,请直接写出点N 的坐标.【分析】(1)求出不等式组的解集，确定A、B两点的坐标，用待定系数法即可求二次函数的解析式；将点。的横、纵坐标代入解析式，可求，的值；向(2)连 接 交 y 轴于点E,求出直线A D 的解析式就可以求点E 的坐标，进而求出0E；(3)因为AOF8,可用相似三角形的性质求出OF的长度，进而求出点C 移动的单位长度;(4)利用菱形的性质，分类讨论，针对不同的情况，分别求出点N 的坐标.【解答】解：(1)所给不等式组的解集为2Wx4,其整数解为2,3,04、0 8 的长是所给不等式组的整数解，且。4Q=4-8=8,：.Q(-2,V).

29、例 4 (2 02 2 武昌区模拟)如图，直 线 y=-2 x+8分别交x轴,y轴于点B,C,抛物线y=-x+hx+c过 8,C两点，其顶点为M对称轴M N与直线B C交于点N.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如 图 1,点尸是线段BC上一动点，过点P作尸轴于点。，交抛物线于点。,问：是否存在点 P,使四边形M N P Q为菱形？并说明理由；(3)如图2,点 G 为 y轴负半轴上的一动点，过点G 作 EFBC,直线E F 与抛物线交于点E,F,与直_1_ _ 1 二 1线 y=-4x 交于点，若 EG FG H G,求点G 的坐标.图(1)图(2)【分析】(1)根据直线B C 的解析式可求

30、得8(4.0),C(0,8)，代入抛物线y=-J?+C即可求得答案；(2)设 P(r,-2 f+8),则 Q(r,-P+2 f+8),根据 PQ MN、P Q=M N M 得 f=3,即 P(3,2),Q(3,5),由两点间距离公式可得尸N=2 L由于P N K M N,故四边形M N P Q不能为菱形.(3)连接M G,过 点”、E、b分别作)，轴的垂线，垂足依次为K、L、7,设 G (0 即)，由 E尸BC,宜线B C：y=-2 r+8,可得直线E F的解析式为)=-Z r+也通过联立方程组可得H (-,V5|进而求得H G=-2 I风根据直线EF：y=-2x+m与抛物线交于点瓦F,可得7

31、-4x+m -8=0,运向EL用根与系数关系可得：XE+XF=4KQF=L 8,利用三角函数定义可得：EG=sinNEGL=5XFFT 返 J j J j J j-网E,FG=sin/FGT|=5 再由而I-而I=前，建立方程求解即可得出答案.【解答】解：(1).直线y=-2 x+8分别交x轴,y轴于点8,C,：.B(4,0),C(0,8),抛物线y-j +bx+c过B,C两点，f-16+4b+c=0：.c=8,f b=2解得：l c=8,抛物线的解析式为y=-/+2 x+8；(2)不存在点P,使四边形M N P。为菱形.理由如下:设 P(t,-2 r+8),*Hx 轴，二尸加y轴，即PQ/y

32、 f t,则 Q (t,-?+2 r+8),；.PQ=-?+2 r+8-(-2 r+8)=-?+4f,；y=-/+2 x+8=-(x -1)2+9,抛物线的顶点为M(1,9),对称轴为直线x=l,：.N(1,6),；.M N=9-6=3,M N y 轴，/.PQ/MN,要使四边形M NP Q为菱形，必须P Q=M N=P N,由-?+4r=3,解得：r=l或r=3,当r=l时，点户与点N重合，点Q与点M重合,舍去；当 f=3 时，尸(3,2),Q(3,5),.。=5-2=3,向PQ=MN,PQ/MN,J四边形MNPQ是平行四边形，/wA(3-1)2 +(2-6)2=2西,:.PNWMN,故四边

33、形MNPQ不能为菱形.(3)如图(2)，连接M G,过点H、E、F 分别作y 轴的垂线，垂足依次为K、L、设 G(0,m),/BC,直线 BC-y=-2 x+8,二直线EF的解析式为y=-2x+m,直线E尸与直线y=-4x交于点H.y=-4x(l y=-2 x+m,f 1XR解得：|y=2 m ,_ 1:.HK=2m,GK=-m,在Rt/GHK中,即亚/用 排/多 产+口=.当 见直线EF与抛物线交于点E,F,-/+2 r+8=-2x+m,整理得：x2-Ax+m-8=0,XE+XF-4 CEXFm-8,在 RtA BOC 中,OB=4,OC=8,BC=V 0 B2+0 C2|=V 42+82=

34、4V 5l,OB I 4 V s：.sinZBCO=C=45=5|,:EFBC、IBZ FGT=Z EGL=Z BCO,V5.,.sinZFGT=sinZEGL=sinZBCO=5|,ELEG=sin/EGL=-XE逅5=FT尸 G=sin/FGT=XF至5=&1.EGFG-EGl、GF+XE)-5XEXF=-5(m-8),4炳1VEG=1二2 m解得：m=-8,IBC/点G的坐标为(0,-8).图(2)图满分训练._ 3 9V=Y+1.（20 22蒲城县一模）如图，已 知 直 线,2 2 与x 轴、y 轴分别交于8、C 两点,抛物线y=/+3 x+c经过8、C 两点，与 x 轴的另一个交点为

35、A,点 E的坐标为（，V 3）.（1）求抛物线的函数表达式;（2）点E,F关于抛物线的对称轴直线/对称点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P,使得以E、F、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在,请说明理由.v=Y4*一【分析】（1）由y2 X 2,可 得B（3,0）c （0,0），用待定系数法得抛物线的函数表达式是y3 9=-2/+3 x+2(2)y=111-2 f+3 1+2=-2（X-1）2+6,得抛物线的对称轴是直线x=l,关键E （0,丁目）尸关向3 9于抛物线的对称轴直线x=l 对称，得F(2,向 1),设。(I J),P(W,-可/+3卅+可)，分 3

36、种情况：0+2=1+m-V3/s=t 当EF,PQ是对角线时，所的中点即是P Q的中点,1 3 2,得7=1,又EQ0+l=2+m=FQ,故P(1,6)；当E Q、F P为对角线时,EQ,”的中点重合，的十得p(-1,0),Q(1,0)，又尸Q=2=P。，故P(-1,0)；当E P,F Q为对角线,E P,F 0 的中点重合,0+m=1+2V 3-012+3111+-=1-32 2，可得 p(3,0).=_3_+9 9【解答】解：在了一工中，令 x=0 得 尸 也 令 y=0 得 x=3,9：.B(3,0),C(0,可)，9把 8(3,0),C(0现 代入 y=o?+3x+c 得：9a+9+c

37、=0|解得l 2 I,3l 9.抛物线的函数表达式是y=-E/+3 x+5 l；(2)在抛物线上存在点P,使得以E、F、P、。为顶点的四边形是菱形，理由如下:3 9 3_Vy=-2 x+3x+2=-2(x-I)2+6,.抛物线的对称轴是直线x=l,：E(0.J H)厂关于抛物线的对称轴直线x=l 对称,：.F(2,V 3|),3|9设 Q(l,r),P(皿-2?+36+2),当EF,PQ是对角线时，所的中点即是P Q的中点，如图:向解得，=1,V (O.J Eb ,F关于抛物线的对称轴直线x=l对称,：.EQ=FQ,.以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，：.P(1,6)；当EQ,FP为对角线

38、时,E。,尸P的中点重合,如图：|m二-l解得t=o ,：.P C-1,0),Q(1,0),而 F(2,V 3 l),IB；F Q=2=PQ,以E、F、P、。为顶点的四边形是菱形，：.P(-1,0)；当E P,F Q为对角线,E R b Q的中点重合,如图:：.P(3,0),2 (1,0),而 尸(2,V s l),:F P=QP=2,以E、F、P、。为顶点的四边形是菱形，：.P(3,0),综上所述，尸的坐标是(1.6)或(-1,0)或(3,0).2.(2 0 2 2抚顺县二模)如图抛物线y=o?+b x+6 (a r 0)与x轴交于4(-1,0),8(3,0)两点，与y轴交于点C,顶点为。.

39、(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段B C上 存 在 一 点 使 得/8M O=45，过 点O作交B C的延长线于点H,求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点尸,。,使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在,请说明理由.向备用图f a_b+6=0 f a=_2【分析】(1)把 点A (-1,0).8(3,0)代入抛物线解析式得l9a+3b+6=0,解得i b=4，即可得出结论；(2)由待定系数法得直线B C的解析式为y=-2r+6,设点M的坐标为(皿-2w+6)(0/3),过点M作M N L y轴于点N,过点H作H K

40、L y轴于点K,证 O M N四H O K(A A S),得M N=O K,O N=H K.贝IH (-2?+6,-加，再由点 H(-2加+6,-m)在直线 y=-2A+6 上，得-2(-2w+6)反=-?,解得，=5，即可解决问题：(3)分两种情况讨论，当C D为菱形的边时，当C D为菱形的对角线时，分别求出点。的坐标即可.【解答】解：(1).抛物线旷=小+公区经过点A (-1,0),B(3,0)两点，f a-b+6=0.19a+3b+6=0,fa=-2解得：I b=4,抛物线的解析式为y=-2?+4x+6；(2)由(1)得，点 C (0,6),设直线B C的解析式为y=kx+c,；直线 经

41、过点 B (3,0),C (0,6),f3k+c=0.,.I C=6 ,(k=-2解得：I c=6直线B C的解析式为y=-2r+6,IB设点M的坐标为(w,-2/n+6)(0加 3),如图1,过点M 作MNy轴于点N,过点”作HKVy轴于点K,则 NMNO=NOKH=90。，OHLOM.：.ZMOH=90,VZOMB=45,丛MOH是等腰直角三角形，OM=OH.；NMON+NKOH=90,NOHK+NKOH=90,：.ZMON=ZOHK,:OMN/HOK(4A S),1MN=OK,ON=HK.:H(-2m+6,团),:点、H(-2加+6,-加 在直线y=-2x+6上，.,.-2(-2/?+6

42、)=-m,6解得：?=5,6 1%把 m=5 代入 y=-2x+6 得：y=5 I,6.殁.当NOWB=45。时，点M的坐标为(5 5)；(3)存在，理由如下：.抛物线的解析式为y=-2X2+4X+6=-2(x-1)?+8,顶点为D.点。的坐标为(1,8),分两种情况讨论：当CD为菱形的边时，如图2,过C 作CELDQ于EVC(0,6),D(1,8),CD=V(1-0)2+(8-6)2=V5,/.DC=CD=V5|,Q点的坐标为(1,8-V 5|)或(1,8+愿1)；IB 当CD为菱形的对角线时，如图 3,设点 Q(1,/n),P(0,n),VC(0,6),D(1,8),.?+=6+8=14,

43、n=14-m,：.P(0,14-W ,PC=14-加-6=8-m,二 C Q=d(1-0)：+(m-6)2=1+(m-6)21LPC=CQ98 -/n=V 1+(m-6)2|,27|解得：271，点。的坐标为(1,丁);图21,8-V 5 l)或(1,8+代1)或(1,V).3.(2022历下区三模)如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=-7+b x+c,的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C,O 8=3 O A=3,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式及点C坐标；(2)如 图1,若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线,交直线B C于点E,求线段P E的最大值及此时点P的坐标；(3

44、)如图2,过点P作x轴的垂线交x轴于点。，交直线B C于点M在y轴上是否存在点G,使得以M,P,C,G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在,请 说 明 理由,图1 图2 备用图【分析】(1)山0 8=3 0 4=3可得点B.A坐标，再通过待定系数法求解.(2)由点B,C坐标求出直线B C解析式，作轴交B C于点F,设点P坐 标 为-序+2?+3),由P尸与P E的关系求解.(3)分类讨论点P在不同位置，结合图象，根据菱形的性质求解.【解答】解：(1):08=3 04=3,：.B(3,0),A (-1,0),0=-9+3 b+c将(3,0),(-1,0)代入)

45、=-x+bx+c 0=-l-b+c ,IBfb=2解得i c=3,.y=-7+2x+3,将 x=0 代入 y=-X2+2X+3 得 y=3,工点C坐 标 为(0,3).(2)设直线8C解析式为丁=依+4将(3,0),(0,3)代入得0=3k+bb=3fk=-l解得i b=3,:OB=OC,/.ZCBO=45,PE五轴，：/PEF=NOBC=45；:,PF=PE,设点P坐 标 为(m,-m2+2m+3)，则点尸坐 标 为(九-m+3).3：.PF=PE=-m2+2+3-(-/n+3)=-m2+3m=-Cm-2)3 9加=/1时,PE的 最 大 值 为 此 时 点P坐标为(O),(3)如图,PM=

46、CM，IB设点 P 坐 标 为(/n,-n r+2 n i+3)，则 M (m,-m+3)，由(2)得 P M-m2+3m,.点C坐 标 为(0,3),CA/=v m2+(-m+3-3)2=五 儿-m2+3m=i n,解得m=0（舍）或/=3-&G C=CM=3 V2|-2,：.O G=O C+C G=3+3 -2=3721+1,.点G坐 标 为（0,3血 也1）.如图,PM=CG时四边形P C G M为平行四边形,PG_LCM时四边形P C G M为菱形,-4+3/n,点 C 坐 标 为(0,3),.点 G 坐 标 为(0,m2-3m+3),作 GN LPM,IB/.ZG P N=ZP M

47、C=ZB N Q=45 ,，G N=/W,即 m=-m2+2 m+3-(m2-3 m+3),解得/=0(舍)或加=2,.点G坐 标 为(0,1).如图,R W=C M,由可得m2-解得，=3+料 P M=C G=C M=3 21+2,.点 G 坐 标 为(0,1-3 21).IB综上所述，点 G坐 标 为(0,3&1+1)或(0,1)或(0,1-3 21).4.(2022 碑林区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L i：y=-+bx+c经过点A (2,2),抛物线的对称轴是直线x=1,顶点为点艮(1)求这条抛物线的解析式；(2)将抛物线L i平移到抛物线上,抛物线L2的顶点记为。，

48、它的对称轴与x轴的交点记为E.已知点C (2,-1)，若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线乙2的顶点坐标.【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)设抛物线上的顶点记为D(?,)，则E(?,0)，如图，根据菱形性质和O E A C,可得出D E=A C=3,再分两种情况:当=3 时,。(w,3),E(团,0),当 n=-3 时,。(w,-3),E(/n,0),分别建立方程求解即可.【解答】解：(D ；抛物线L：y=-/+b x+c 经过点A (2,2)，抛物线的对称轴是直线x=l,-4+2b+c=2.I 2 X(-1)b=2解得：I c=2,/.该抛物线的解析式为y=-

49、7+2 r+2；(2)设抛物线上的顶点记为O(/,)，则 E (m,0)，如图,，O =|,O E y 轴，V A (2,2),C (2,-1),：.AC=2-(-1)=3 4C y 轴，：.AC/DE,又 A D=Y(m-2)2+(n-2)2(ni-2)2+n2,.以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，.3 =A C,即|川=3,IBH=3,当=3 时Q(w,3),E(w,0),；A O=A C=3,.A j u g,即(w-2)2+(3 -2)2=9,解得：阳=2+2的 或2-2例,：.D(2+2 7 2 1,3)或(2-2&3)；当 =-3 时,。(/n,-3),E(m,0),AE=AC

50、=3,；.A E2=9,即(m-2)2+(0-2)2=9,解得：?=2+旧1或2-旧：.D(2+V 5|,-3)或(2-V 5|,-3)；综上所述，点。的坐标为(2+2加1,3)或(2-2 7 2 1,3)或(2+泥 -3)或(2-遥,-3).5.(2 0 2 2佛山校级三模)如图，抛物线y=a +f e v+c与x轴交于(-1,0)两点，与y轴交于点C,2直线A C的解析式为y 3x-2.(1)求抛物线的解析式；(2)已知上为正数，当0 0,：.k+i,.当 O V x V l+Z 时,当 x=l 时,IB2n=3 (1+1)X (1-3)=-3,.?+=3 I,*,*2 =8,2 2 4x