信号与系统 西安邮电 习题答案.pdf

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1、第一次1.1 画出下列各个信号的波形 式中r(/)=佰 为斜升函数知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包 括 和 9)的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。解题方法：首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再 考 虑 与 或 依)结 合时的变化情况；若/)只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用)或H外的性质直接画出f 0或&2 0部分的普通函数的波形；若丁(。是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。(1)/k)=sin(r&(f)(2)/(r)=(sinR)解:0 sin 7 2 7 Vo1 sin 7rt0正弦信号周期7=271(3)

2、/(r)=r(cos?)解：/)=,0 cost 027r正 弦 信 号 周 期7 二千=2万/(左)=(24+1)出)1.2 画出下列各信号的波形 式中）=/（/）为斜升函数知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包 括 和 心）的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。解题 方 法:首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与（/）或 结 合时的变化情况；若/（）只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用（。或（%）的性质直接画出/0 或左之0 部分的普通函数的波形；若/（/）是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。（1）f（t）=3（t+

3、l）-5（t-l）+2（t-2）I/W32-i o24/W32-1 0-2(2)/(z)=r(r-l)f(2-z)n（2 1）4/（0（3）r）=si n（M（r l）（”3）2 7 r解：T=27T（4）左）=（女 +2）（左）一（左 一5）（5）/（左）=2 （4 2）（%）T T T2 3 4i01(女)65432109876543212 3 41.3 写出下图所示各波形的表达式(1)解：f(f)=2|?(f+l)-=2 e +1)(/-1)2 f (f 2)+(f 3)(2)解：7=至=4C O71 0 1，G=n l Oc o s-t2 (2 J/(r)=1 0 c o s f(z

4、+l)-f(r-l)1.4 写出下图所示各序列的闭合形式的表示式(a)_ T T T 1T T T T T J33H01 1 2 3 4 5解：/=(攵+3)(b)卜,)1 幺-I-I _I _I _噌.F 4 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 k解：/伙）=伏一3）伏 8）（课堂已讲）1.5 判别下列各序列是否为周期性的，如果是，确定其周期(1)左)=c o s9解：B弋 =27ix =524:N=5周期序列(2)f(左)=si n3 乃,7 1 k+一4 4(2冗17 1+c o sk+(3 6解:0V2=2犷,，m 取 3,r.N =8 ;3兀32 4A3,=2TTX =3,A1

5、2 万故 N =2 4/(女)=3 c o sZ +2 si n 擀 左2 1X解:1,=2 z rx 1 =2 -,故非周期;故非周期2.7122 万x=4 ,M=4 ;T C已知信号的波形如下图所示，画出下列各函数的波形A/(2-042-0/(l-2 r)1 2dt4-2-11.7 已知序列的图形如图所示，画出下列各序列的图形i.一T3r 21(什-4-3-201 2 3 z5 6左一2）武 女）一（4一4）2(Z-2)321卜 （一 2）住）一（左-4）(2)f(-k +2(-k+l)（左+2）T21-2-2-2J.-24 1 2 3 4M/H +2）3211 2 3 4（k +1）i

6、5 5 5f（一 k +2）（-k+1）321TI41.8 信号/（2-2。的波形图如下所示，试 画 出/和 的 波 形，（2-力）1 -o（-1）解:”(-力 +2)10,J+2)2w(-1)2-101 2,(-1)4/G+2)-I -3 -2 -1 0 1 2(-2)1/(0-4 -3-2 -1 0 12(-2)由图可知：f（t）=-2）-2 8（t+2）,则当/2时,f /(r)d r=f (r)-f(r-2)-2 J(r+2)d rJ 00 J 00=f l d r-2J 002=l d r-2J o=2-2=0（课堂已讲）1.9已知信号的波形如图所示，分别画出了。）和 邛1的波形解:

7、-16-12-8M/(3-2?)-4 C 4 812 16i i/(-2r+3)-16-12-8-4 C 4 8 12 16八/（T+3）-16-12-8-4 C 4 8 12 16”(f +3)-16-12-8-4 C 4 8 12 16J6 -12 A 0 4 8 12 1616-12-8 4 0|_1/44 8 12 16第二次1.10计算下列各题同(a)同 a)I a si n 3)S +g dt解：/“)=J o si n(M 3(t)+S0+；)d r=si n(M b(/)d f +J：s i n(M /+g)d f=si n 矶=o=O(2)J%-2,(r)+2 J(r)J d

8、 f解：f)=J：e&+2 b(f)d t=J：S。)+2 2%(。5=J：+2 e-2 1=。b +2 5 业=J：(f)+2 b )+2 b(t)d f=0+4=4 匚,+3 a+3)”解：匚“i n图,+3)出二2耐用|一=(-3 y+(-si n 平)=9-si n 4=9.立2 j (2-x)(x)d x解：L(2-x W(x)d r=L 1 2 今(x)+b(x)d r=2。今(x)d x +J/(x)d x=2 5(。+(。(6-/)6(。+2 6(2/+4)山解：J：(6-尸)b(f)+2 b(2/+4)d f=J：(6-/)6 山+2,；(6-/)3 +4)山=6ko+2L(

9、6T2；S(r+2)d r=6 +J：(6-，)b(f+2)d t=6+(6-修/=6 +2=8(6)(r2+2)J(2-r)d r解：=(T2+2)-(r-2)d r=(r2+2)2=(4 +2)2)=6 e(Z -2)；(3 (4-2。山解：3）/4 2r）dr0=-6e（。（课堂已讲）1.1 1 设系统的初始状态为x（O）,激励为了），各系统的全响应y（）与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。根据线性系统的定义，依次判断系统是否具有分解特性、零输入线性、零状态线性 Taxfx（）+a2f2（小 血 工（）+a2TM（川（1）（/）=e-2/x（0）+cos 7rxf（x）

10、dr解：”,（。=小（0）%）=J：COS4V（X）（k y（/）=L（r）+”,。）满足可分解性%）=4/5（0）。%（，）=。2小2 /.（，）+a2yzi2（。-（0）+cx2e2tx2（0）=e21 axxx（0）+cr2x2（0）线性/(f)=a J；co s 万比(x)dr。2%2 (，)=。2 J；co s兀对(%)近%以2(，)=/J：co s;r V；(元)dx+%J：co s 乃虎(x)dx=J：co s G a/(x)+a 2(x)线性 y优)=(0.5 广 x(O)+/(&-l)/仅一2)解：%(。=(。.5 广、(0)%伙)=/(0 1)/(2).0=%伍)+%(左)

11、满足可分解性4%(4)=4(0.5 广 石(0)。%2(左)=%(。.5 广 虫 0)%(左)+a 2yzi 2(左)=/(0.5)“X j(0)+a2(0.5)*+l x2(0)=(0.5)A+l(0)+a2x2(0)J线性%(&)=4工(左T)见工仅一 2)(&)=aJ i(k -1)%$(左 一 2)，%1(%)+”3 2的=，/(%-1)。/(2)+%人 仕-1)。2人 仕-2)式必工仅_ 1)+%力(k _ 1)a 仕 _ 2)+%力 仕 _ 2)非线性，系统非线性(课堂已讲)1.12下列微分或差分方程所描述的系统，是线性的还是非线性的？是时变的还是不变的？y(0+3X(r)+2y(

12、r)=r(r)-2/(r)解：常系数、线性、微分方程故为，线性时不变系统 2y伏)+(0l)y(1)=/化1)解：变系数、线性、差分方程故为，线性时变系统1.13设激励为了(),下列等式是各系统的零状态响应(),判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？（1）为 ）=的）+1|解：冲 二,3=|4（，）+1,例2s2（。=廊（。+1|,叽 1。）+例/）=防（O+l+l就（+1|。跖（。+非线性时不变当r 0,有 闻=。,则%（。=|/（。+1|=1,非因果若/（f）o o,贝电式。8,.,.稳定 以 =/（2 7）解：%（r）=a/（2 T）4%2（，）=%4（2T）%（。+%2（。

13、=（2。+%力（2-。，线性%（r）=/2-L（2 T+）若延迟输入为了（），则系统输出为/（2-力），/（2f+勿），时变若fM，有/）=0若%）=/（2 7）=0,则 2-/与=2-，非因果若|/（/）|8,则|%（/）|=|/（2-胃0 0,.,.稳定。解：%（，）=/仅 一 1）/斤仅）。2%2 =a j（左-1）4 人（k）4%1）+。2%2（，）=%工（1）%工（&）+。2/（1）。2力（左）。因工伏T+火力（l）a/仕）+。2力非线性T O J仅一砥）=/仅 一 砥-1）/（阳）=%,（左一砥），.时不变若kk。,有左)=0,y M =f(k-l)f(k)=O,因果若|/(%)|

14、8，则 艮 =/仅T).f 8，稳定。(4)%d)+*k)解：/()=期(1-4)+水)，“伉()=侠(1一2)+第)aTft(.)+”&()=凶(1 一 切+优(1 一劝+2式外WO+侠()=期(1一k)+侯(1一 人)+*)，.非线性 0 ,%-阳)卜/(1 一左一的)+原)&)=/(1-左+的)+*-的)，二时变若左%,有/(&)=0,则 4式1)=f(l-&)+b(&)=0,l T M，且女人0,非因果若f(4)8,则 以=|/(1 劝+况 以(r)，%1)=2%(。+2%(51)1.15某一阶LTI离散系统，其初始状态为x(0),已知当激励为攵)时，其全响应 为y(k)=2(A);若

15、 初 始 状 态 不 变，当 激 励 为-左)时，其全响应为2伙)=2(0.5)*-“(4);若初始状态为2X(0),当激励为3/(女)时，求其全响应。%()+%=2化)解.02.2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0+值y(0+)和y(0+)。解：利用微分方程两端各奇异函数项的系数相平衡的方法，判断是否发生跃变，并从()_70+积分，求得0+时刻的初始值 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t),y(0_)=l,/(0_)=-1,f(t)=(t)解：当/)=(/)时，方程右端不含有冲激项，则y)及其各阶导数不发生跃变，则y(O+)=y(o.)=iy(o+)=y(o_)=-i(

16、2)/(/)+4y(/)+3 M =f(t)+/(r),y(0-)=3,烟)=T 加)=兆)解：当/(r)=M)时，代入方 程 得/。+4必)+3/)=&(，)+即)令 ,)(%)=/(f),设其冲激响应t为九(f);系统的冲激响应为/1(/)=2向心)(/)，在带入公式g)=j h(T)dT,求出阶跃响应式。解法 1：选新变量.匕(，)，则 y(r)+4：(r)+3x(r)=/t)当 y(f)=b0时，（0_）=（0_）=0特 征 方 程 为：A2+4A+3=0,4=T，4 =3,=（q +。20-）（，），4”)=(：e -g e3t)(。，Mf)=2%(t)=(e-广)(。解 法2:当/

17、=5(。时，系统的零状态响应%(。=的),。+4/。+3的）=2必）力（O_）=M。一）=0设（f）=ab（t）+W（f）,从一8 /积分（1）/&）=4 ）（2）的）=4（r），%（，），小），不 含 必）及其各阶导数，则 a S（f）+莅）+4 4 ）+3 弓（f）=2 b（f）,:.a=2 ,对从0_ 0,积分，（0+）/i （0_）=2。g m+=:.h/（0+）=2,对从o _ 。+积分，M oJ-力（。一）=（凶=0,，（。+）=0，当 f 0 时，/?w（r）+4/7,（O+3/?0=O,=-1,=-3,./j（t）=cle-,+c2e-3,t 0h（0+）=c,+c2=0,/z

18、/（0+）=ct 3 c 2 =2,q =l,c2=1,h（t）=（er e 3）（f）,8 卜）=（,（7 就=（e-e-3,）（t itJ00=e-e3）d tJo2.4 信号力和力的波形如下图所示，设/（。=/（。*人 ）,求/（5）。解：/（，）=工（。*力（。=力（，）*.力（。=力（r）工（，一 T）d 7 5）=匚 力 工（5T）d r =0（上课已讲）2.5 各函数波形如图所示，图（a）、（b）、（c）、（d）中均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。心-2-1 0(1)(1)(b)5”)(1)(1)2-1 0(c)0 2(d)：!（-1）知识要点：本题主要考查卷积的基本

19、性质：结合律、分配律、时移性质。解题方法：利用卷积的基本性质，代入公式求解。（1）而*力（。解：工(。*力(。=/3*俗(/+2)+兆-2)=川-2)+9+2)=g r(/-2+2)-r(f-2)+卜(r-2-2)+卜(r+2+2)-+2)+(f+2-2)=g rG)_ r(-2)+gr(f_4)+gr(f+4)_r(r+2)+；力)=力)-2)-r(Z+2)+1 r(/-4)+1 9+4)(2)（/）=e R d -l）.（r）（3）工（f）=（f+l）,&（=（4）解：工（，）*人（r）=（/+l）*（r-4）=e（f）*b（f +1）*e（/）*-4）=（/）*5（r+1）*6,_ 4）

20、=/（/）*3（/-3）=（r-3）f（r-3）（4）工 ）=/）,力（f）=）4）解：力 t）*力（。=攻）*E。-.-4）=以，）*9）-佰（0*（，-4）=g/（f）T（0*（f）*加 一 4）=g/（/）一（/（/）*优 -4）=；r （f）_g（f-4）%（r 4）(5)工(。=6。(/+2),&0 =(/-3)解：f(f)*力 t)=e。曲+2)*(t-3)=e 山+2)*(f)*-3)=e2Ts(r+2)-f(f-r)d r*t-3)J 00=j-2/dr-+2)*必_ 3)=-6 2；+2)*b(r-3)=+2)*(/)+2 b(/)力 (0 _)=/?(0 _ )=0 h +

21、3乂(。+2%=6(f)右 仅14 (0 _)=(0.)=0方程右端含有5 1).,利用系数平衡法可知，1(f)中含有5 ),/(/)中含有(/),则在，=0处不连续，即(0+卜；(0 _);在 f=0 处连续，匕(0+)=%(0 _)=0又 J：K(3+J：3%曲+J；2%(r)dz =J；b(r)dz%(0+)*(0 _ )卜 3 V)-4 (0 _)+2 J；4 dr =1.(。+)=1+4 (0-)=1对 空 0时，有九+故冲激响应为其次解分+3 2 +2 =0,A,=-1,4=一 2,h y()=cxel+c2e2t4 (。+)=q+G =。q=1(/)+t (z -1)+6.-1)

22、*-1)=M)+必 _ 1)+即-2)州=)阳*%(。=瞬+b(r -1)+8(t-2)*/-s(t-2)=(7)*修4)+1)+8 t -2)*(。8(t -2)=)*除(。+6(/_ 1)+b -2)bQ-2)-b0 -3)b0 -4)=(/)*3(f)+1)3)3(t-4)=)+火-1)-(t-3)-式t -4)3.1 求 下 面 差 分 方 程 y(k)-y(k-l)-2 y(k-2)=f(k),/(&)=(一 1)7(左),y(-1)=3,y(-2)=0 所描述的L TI 离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。知识要点：本题主要考查系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和，则有y

23、/)=y式k)+y式k);零状态响应%(女)=0,(0 ,则有%(女)=乂左)，左 0。解题方法：由差分方程得到系统的齐次方程，求得含有待定系数的零输入响应，由初始值求得待定系数，对于零状态响应，由心,(%)=0,%(-2)=。特征方程：A2 A-2-0 ,-1,/-2,;.%(%)=q(_】y+。2(2),代入初始值：yzj(-1)=c,(-1)+c2-=-c,+c2=3,为(一2)=G (1 尸+。2 =G +；。2 =0G =1,。2=4,为=(-1 X-1/+4-2A,Z:0 =(-1 7+1+2-2,k 0;对于零状态响应有出 一%仅 一 1)一2%(02)=/1%(-1)=%(-2

24、)=0初始值：y 0)=%(1)+2%(-2)+/(0)=(-1)7(0)=1乃(1)=%(0)+2%(-1)+/=i+(i)Z =ii =o特征方程：下_丸-2 =0,4 =-1,4 =2,其特解为：仍左+片X-碟=力(6代入式得(PA+批-1 丫 -4-1)+即(-1)1 -2 雄-2)+瑁(-1 尸=(_1)7 的，尸=；，y G)=C|(-i)+。2 2,+(；Z+B)(T),y M =+c2+PQ=l,y 式l）=q+2 c 2+q J =O,.仇+4=/，c2=1,%（劝=、（一球+3.（一 I）”,%N O；全响应：此）=%（4）+以 外=一：（一 1 丫 +1 2 +：M-,Z

25、 2 03.2 求差分方程）+3 y 伙-1）=/伏）-/仅-1）所描述的离散系统的单位序列响应。解：当只有5（%）作用时，系统的单位序列响应为4（%）4（Z）+3 4 （%7）=&（T）=0特征方程为：2 +3 =0,2 =-3,.4（&）=/（一 3）一女N0初始值 4（0）=3 4（1）+5（0）=,.（3）=1,与=1,.4亿）=（_3）”仪。.,.-4 （左 一 1）=（一 3 1 （%）-（一 3 广 住 一 1）3.3 求下图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。y任）知识要点：本题主要考查对于一阶差分方程所描述的LT I 离散系统有（-1）=0,g g=人 价,依）和 g k）分别

26、为单位序列响应和阶跃响应；延迟器的输入为/=-0 0M k）,则输出为x（z-i）。解题方法：根据系统框图列写差分方程，求解系统单位序列响应M%）,再代入公式g（A）=NM。求阶跃响应。Z=-00解：y（z）=/（z）-：y（%i）+；y（%2）,丁 伍）+（乂左一1），（%-2）=/仕），对 于 单 位 序 列 响 应，令/（%）=6k），则/业）+工力（1）-,（攵 2）=员左），且4 8A（-l）=A（-2）=0,初始值：/?(0)=-/-1)+-h(-2)+J(0)=1,/(1)=-/(0)+-/(-1)+J(l)=,4 8 4 8 4特征方程为：+A 0,2,A(A:)=+c2 0(

27、o)=q+Q=i,(i)=；q_gc 2 =；，,q =!。2 =g，i i 7 i单位序列响应为：M&)=(；)*+(力 任)；对 于 阶 跃 响 应，令/k)=g(k),则 g(Z)+：g(Z-l)-：gk-2)=(A),且4 8g(-l)=g(2)=0,初始值：g(O)=-；g(-l)+：g(-2)+(0)=1,g(l)=g(0)+1g(-1)+(1)=1,4 o 4 o 4特征方程为：H A,=0,r.4=,4=,4 8 1 4 匕 21 1 O令特解为：g p(k)=p,则1尸=1,.=,二 g(%)=q(；)，+。2(-；)+：,2 0,g(o)=q+。2+：=1,g(i)=；q

28、_ J c 2+：=，1 1 1 5 1 2+，2=，旷斗=-数，=一 产=阶跃响应为：g(z)=泊 戈+1(一 g y+伍)，另解：+Q 0g k)=之 M。i=-域5+/T3 j=o 4 3,=0 Z9 9 4 9 9 2 r1,1、女 2 .1 k=(-)+-()9 4 9 2+副 传）其黑八=24碗）=g（%）-g（l）=-冲+*乎+飘 劝-尺）心乎+|（-效阚-躬）。+黑钞+土贵皿）)=-2 _=-2 14 32,+鸿产+飘1)如(。一说助y z y)-1)第五次3.4 各序列的图形如下图所示，求下列各式卷积和。“工(女)2-2-1 0 2 k4人(女)2.I?!-3-2-1 04人

29、 化)2”_ I-2-1 0 2 3 k12(a)(b)(c)知 识 要 点：本 题 主 要 考 查/*5=/),f(k)*次k _ k、)=f(k _ k j,于(k kJ*5(k k?)=f(k-k-k2)o解题方法：由各序列的波形图容易得出各序列的表示式，利用卷积的基本性质代入公式求解。(1)解：工信)*力伍)=+D+2况后)+6*一 1)同%+2)+3伙-1)+B也-1)=6(%+3)+%(+2)+6(3+1)+6(1)+26(左 一 1)+3(左 一 2)+6(左 一 1)+23(左 一2)+6(/:3)=3(.k+3)+2S,k+2)+3k+1)+6k)+38k-1)+38k-2)

30、+Sk-3)（2）力（。一/G）*力卜）解：人。)一 k)*/k)=b(A +2)+b1-l)+b6-2)-/后+1)-2b(3 一，6 一 1)*26(k-V)+6(k-2)=b伏+2)-3(k+1)-2b +3(k-2)*2b(Z-1)+B(k-2)=28(k+1)-23(女)-4b(Z-1)+2b(k 3)+S(Z)8k-1)-2b(k-2)+S(k-4)=2B(k+1)-b(k)-56(%-1)-28(k-2)+2/k-3)+8(k-4)从力-/；的 3”2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 二 ,-4-3-2-1 0 2 3 4 5 T-1-2-3-4-5”3.5 已知

31、系统的激励/(Z)和单位序列响应化)如下，求系统的零状态响应久,(女)。(1)/伙)=伙)=伏一1)一(左 4)解：式左)=/(%)*(%)，(攵)*(左)=(攵+1)(攵)九,(%)=/住)*M 女)=(攵_ 1)_(攵_ 4)*(攵_ 1)_(攵_ 4)=(A)*b(A-l)-b(Z-4)*(Z)*b(Z-l)-b(A-4)=(后+1)仅)*/攵-2)-/5)-6(左-5)+3 0 +8)=(%+)(%)*%2)2/%5)+5(%+8)=传 _ )(%_ 2)_2(%_4)仕 _ 5)+仕 _ 7)(8)(2)/(。=(0.5)%(左)，hk)=(k)-k-3)解：%（%）=/（%）*破）

32、=（%）*（%）（%3）/1 k=彳 伍）*k）*双女）S 任一3）=式.（，1）（J）*区（劝-6 伍一3）=Z（g 仕）*同%）-*%-3）=12 出）*固）.3）1 23.6 如图所示的复合系统由三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为：%（%）=（左-1）,用（攵）=化-4）,求复合系统的单位序列响应。解：令/（%）=/%）,则加法器输出为y（%）=/（左）*（女）+/（%）-/（%）*%（%）=5（攵）*（左_ 1）+5（）_5（攵）*（%_ 4）=（1）+5（左）一（4）y（%）=y（%）*4（左）=2（%-1）+5（&）_（%_4）*（左_1）=（A _1）*（%-1）+S（%）

33、*（&-4）*2（女1）=（女）*（2）*5（女-2）+（女-1）-（%）*（女）*6（攵-5）=（2+1）（攵）*5（女一2）+（左一1）一（女 +1）（%）*3（&-5）=（攵-1）（左-2）+（&-1）一（女一4）（女一5）第六次4.1 判断下列信号是否为周期信号，若是，求其基波角频率。和周期T知识要点：本题主要考查T=2。Q解题方法：周期信号的基波角频率。为信号中各频率成分中频率最小的信号的频率，且其余信号的角频率均为此角频率的整数倍，周期由公式7=言 求 得。(1)c os(m)+si n 2f解：.不与2 不是整数倍关系，.为非周期信号。si n 利 T27 r=8(s),-.T

34、=8(s)on44.2 周 期 信 号 的 双 边 频 谱 工如图所示，求其三角函数表达式。知识要点：本题主要考查/(f)=ZE/m ,居=闿 ”,=0,1,2,.；n=oo=y +c os(Q r)+bn si n(Q r)=?+4,c os(Q r+/),乙 n=1 乙/=l其中 4 =2|工|,4=4 c os(pn=工+F _“,bn=-A,s i n%,=j(Fn+F)解题方法：根据频谱图列出各频率分量，带入三角函数表达式中即可求解。解：由图可知C =l,与=0,J=1U,用=l-e”,F3=l-eA,.4=0,4=2 园=2,4=2 闻=2,0 0，/（f）=ZA“c os（Q f

35、 +9“）n=4 c oO r+e ）+A3 c os（3 6+/）=2 c os，+2c os（37 +）4.3用直接计算傅里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。2 Lan c os(Cf)d，,=0,1,2,2 Tbn=J-/(/)si n(/i Q r)d r,7 2=1,2,1 2工=匕d f,f =0,l,2,T 2解：由图可知,T=6,。=4 J j2 r/“)CO S(7 Q)山1 2(.n/i.=sin 4-sin n7i 3 3)2%_ 2万 万不一丁一5=si n ,n =0,1,2,n九 3争 图,“0,1 2=V2 r-(，)s in,g

36、)d、f1 21 (nil n/c=-cos-cos n7c 3 3)=0,n=1,2,-2 j sin2n7i-=si nf=0,l,2,nrc 1 3 J4.4利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。知识要点：本题主要考查4 J若，(f)=/(T)，则 有%=下，2/(f)c os(0 f)d f，a =0,n =0,1,2.;4 J若/=一/(一。，则有 an=0 也=P/(Z)si n(n f i 0 d r,/?=0,1,2,.：T*of(t)-+,则有4 =%=%=.=6 2 =4=。6=0，只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。解题方法：根据已知信号波形找出/(

37、f)满足的关系，即可找出其傅里叶级数中所含有的频率分量。解：(a)由工(。的波形可知)=/)=一 力 0/.a4-n=f(z)c os(/?f l z n =0,1,2,bn=0,a0=a2=/?2=b4=0,工。)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波;(b)由人(。的波形可知力)=一力卜二.%=C l)=。4=4=仇=0.人(。的傅里叶级数中含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。4.5 已知信号 x(f)=16 co s 120加+6 co s(30加+看)+4co s 140加+y j(1)求该周期信号的周期T和基波角频率Q,指出其谐波次数；(2)画出双边幅度谱和相位谱图；(3)计算信号的

38、功率。知识要点：本题主要考查 了 =二；/1)=&+A.co s(Q f+)；P,=-A”/%;Q 2 =2+00p=Z闻。ZJ=-00解题方法：利用已知条件观察求出Q,并带入公式计算求出谐波分量；根据4、%值，带入公式求出工，并计算信号的功率。解：(1)加)吟+斗 C O S(HQZ+%)=16 co s 1 20m +6 co s(30 +看)+4C O S(40R+。.Q =10万，7=臼27r=左27r=1，谐波次数为二次，三次，四次；O 10 万 5IT 7T TC(2)由题可知A 2=16,/=丁，4=6,0 3=7，4=4,/=;,4 6 3.工.理2 1 =8,|工3=3,同/

39、=2;可画出双边频谱图如下：8765432-40万 一30九 一204一 10 40 10%20乃30乃40万971T12)乃 一 )九 一10乃0n127Cn77131 0 4 2 0 4 3 0%4 0)+力(3)P=Z I工=(6 4+9 +4)x 2=154。n=no4.6根 据 傅 里 叶 变 换 的 对 称 性 求 函 数/(，)31(7-1)T f)S。)不g 2 )，S a 2%(f-1)；万g 2 1 F L a=1 g 4.)e-a1 71 1 71)Z1,-2 71 C O )4+/小 7e4+ja4+加第七次4.8若已知/（。6网/3）,试求下列函数的频谱。知识要点：本

40、题主要考查傅里叶变换的基本性质，包括时移性、微分和积分特性、尺度变换特性等。解题方法：根据已知条件，直接利用傅里叶变换的基本性质求解。（1）旭）解法一：(-j 7)/(Z)一:F(j 7y),Acod。.3/)3 d co k.co1 J.丁)j-F9 d3解法二：./(3/)一网用.川(叼,-m3f)一.f 1/.*(32网闻(2)4t她d t解：时域微分特性：也 一(加)/(加)d t频域微分特性：(-0)也d t d co j-j 7y F(j 7y)=j ；F(j(y)+j警)d t d co|_ d co=-F jco)-(o-F j(o d co4r 7 -4 F(-4 y F(j

41、co)df d。2 /（r）drW-0 0解：令/（r）=/（印7,则 J：5/（r）ir=/（3-）=/（知7。加0）5（3+网 闻J-JO）fl（f+3）/（0后（。）+卜 6网。=才（0后（4+ej3sjO）jC D/13 一 2同0炊 23+/产）V 2）-2jco皿J _dt 4 m解：;/（/）3加尸（加）dt2且 sgn（。j s 一2冗 sgn（69）jt Jsgn（G）加/。一 泊 *4 一/&/（/）.一sgn（y）=dr 4m L 44.9求下列函数的傅里叶逆变换。/（?（加）/也ejx+e-jx.ejx-e-jxcos x=-,sin 1=-22je-63=/（0后（访

42、 _ 网-2,）e-6j（ajJ F（j0）sgn =W F（j（1）F（j69）=2cos（30）+3sin（269）解：/(/)=|2 c o s(3 0)+3 s i n(2(i )ej Md a)=J _eJ +A eJ _ A e-j e”0d 02%人|_ 2 j 2 j=J _ 网臼+/W-3)+2/研 2)_ 2 e T)d 02 j 2 jcl，；(，)=(1/do.-./(r)=(z +3)+(r-3)+(r +2)-J(r-2)2 j 汝)=4 一l)-(o 2)e/解 法 一：，)=(?(网 认=；J：(3 1)(/一2)e-jloejad(o=_L reMTd02万J

43、 i=_ J_ I /MT 12一 2 (1)I=_ _ _ _ 1 /NT-/(T J2乃(1)1 解 法 二：乙)、乙)Sag卜 2 3(0)4.10试用下列方法求如图所示信号的频谱函数。-1-4-3-2-1 0|2 3 t知识要点：本题主要考查傅里叶的线性特性和时移特性；时域积分定理，即若/(。一 网/切，则有-T)一 才(0炉(电+幺3；jOi时域卷积定理，若/一 片(%)，/6 玛(加)，则有(0 r Fj co)-F2(j C O)O解题方法：根据/(r)的波形特征，直接利用傅里叶变换的相关性质求解。(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)。解：令T=2,则 g 2(

44、。2 S a(y)时移特性：g 2(f +3)2 S a 3/3 3 ,g/f _ 2)2 S a(0U”3g 2(f +3)+g 2(f -2)2 S a(0)/3 3 +e-j 2(2)将/(f)看作门函数处。)与冲激函数6。+3)、5(2)的卷积之和。解：f(f)=g 2(f)*%+3)+既5 2),且 g 2 0 c 2 S a,咏)-1时移特性：必+3)一/，咏-2)/./(f)2 S a(0)/3 0+e-j 2 m4.11如下图所示信号，工(。的傅里叶变换(/g)已知，求信号力的傅里叶变换鸟(./3)。解：=/；（，+%）工 耳（汝）（於）工（7 +幻/“3耳（-汝）4.1 2

45、用 傅 里 叶 变 换 性 质，求 下 图 所 示 函 数 的 傅 里 叶 逆 变 换。知 识 要 点：本 题 主 要 考 查 傅 里 叶 逆 变 换 的 公 式 y p y U；傅里叶变 换 的 对 称 性 和 时 移 特 性。解 题 方 法：由尸（/。）的 幅 频 图 和 相 频 图 可 得 其 闭 合 表 达 式，再利用傅里叶变换的基 本 性 质 求 解。解：由 尸 的 幅 频 图 和 相 频 图 可 得/（邛o）,0,a g W ejM0I%）0,同 W a）oId 。：吟2殍）一 学 石 ，（g S/色 空9 4加式媒网=网汝）,第八次4.13 如图所示信号/(，)的频谱函数为网上明

46、求下列各值。/W知识要点：本题主要考查傅里叶变换定义网派)=/(瑰 小 沙；傅里叶逆变换的定义/(f)=J-J：F(je”“d t；能量等式E =J：/2(f)d r =m-j：户(网 力。解题方法：E(O)=/(r)d f,/(0)=-尸。3 1 0，直接利用这些等式及能量等式求解。(1)0)=网 汝】3=0解：E(O)=M/0)3=o =匚/(%=fd+;l d f =?,+l=g +l =|(2)F(jco coJ-co解：/(O)=/U o=(J：X/&)加，匚/出*=2 4(0)又 /(0)=0,F(jco)ico =0J-X)(3)J j F(/d(y解：t,0 r l.加)斗，l

47、 r 2,0,o t hersr,0 t l.-./2(r)=1,l t 20,o t hers匚I 尸=2万 口 2(他=2城/d f+f l d t =2M3|o+l =y4.1 4 利 用 能 量 等 式 匚/由=(匚 归(网1 2dM计 算 匚(邛j d f解：gr(/)z-S a l L 令T=4,g 4(，)3 4S a(2 0)=4,2a）co；。）3 2 S a（2 o）=吧 ZC D出 詈 2 78 4（。）=万g 4 3）口平）d f =（J;陶4画也$./.4=2 44.1 5 一个周期为T的周期信号/(/),已知其指数形式的傅里叶系数为工，求周期信号/(r)=/(f _

48、f o)+/(r+f o)的傅里叶系数。00解：于（）6 2兀 Fn8CD-nQn=-/Q-o）e。.2万 -Q）=e-jQ,2乃 才 G，。）=2兀 /叫 工 风 啰 n=-o o =-co =co-2 n （/一 。）=咻.2万 工 双。_ 。）=2万 咻 工 双0 _/心）w=-o o =-o o n=-o o工 2万 牛 小 （0-。）+2万 之 尸。居3（0-。）=2%才 工（e“。+产。）3-。）Zl=-X ZJ=co H=.-.工(。的傅里叶系数为工(/3 +)叫)=2 co s(n Q/o)4.1 6稳定的因果LT I系统输入输出关系由下列微分方程确定T+6 叫+8正）=2/（

49、，）at at 求系统的冲击响应M。；(2)求系统的频率响应函数(/&);当 输 入/(f)时，计算输出M。知识要点：本题主要考查系统的频率响应”(_/0)=幺 3，式中丫(/)、F ja)F(j )分别为系统响应与激励的傅里叶变换。解题方法：根据描述系统的微分方程，两边同时进行傅里叶变换，整理求解。解：/(r)+6/(r)+8 y(0 =2/(0(%)2 丫(汝)+6加 丫(%)+8 丫(%)=2 4 法)内 3 1 _苏+6加+8 =2/海，驷_ _ _J_ 7 F(jG 一#+6汝+8 2+jco 4+jco/.A(r)=(e2 t-t，匕2 2(2)H(加)=o-=7-v-7-692+

50、6 jco+8 (4+jco 2 +jco)=加)*班)=M。)*f)=J：-r)d r=-b(7,-2 -(f -7)J r=(e-2 r-e-4r2,+2 rd r=e-2,(l-e-2 r)d r-z=e 叫 决)+；(”_ 1 M。4.1 7 某 LTI系统的频率响应为H(_/7y)=W，若系统输入/(，)=3 co s(4t),求该系统的输出y(r)o解:尸(汝)=3;r b(O+4)+3(G-4)r（j（y）=F（；（y）-/（j（y）=3 乃 5（0 +4）+5（0 -4）=3 万3 乃4 +4 J（6）+4）+4 4/（-4）（4-4J）（4+4J）+（4+4J）（4-4J）=