线性代数习题集(带答案).pdf

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1、第 一 部 分 专 项 同 步 练 习 第 一 章 行 列 式 一、单 项 选 择 题 1.下 列 排 列 是 5 阶 偶 排 列 的 是(A)24315(B)14325).(Q41523(D)243512.如 果 阶 排 列 必 I”的 逆 序 数 是“，则 排 列 的 逆 序 数 是().(A)An,(C)万 一 女(D)1)心(B)一 女 23.阶 行 列 式 的 展 开 式 中 含 的 项 共 有()项，(A)0(B)n-2(C)(-2)!(D)(-1)!0 0 0 14.0 0 10 1 000=().1 0 0(A)00(B)-l(C)1(D)20 0 1 05.0 1 00 0

2、001=().1 0 0(A)002x(B)-lx-1 1(C)1(D)26.在 函 数/(x)=-13-X 12-x23中 X3项 的 系 数 是().(A)0|o0 0(B)-l1(C)1(D)27.若 D=a23.(A)48.若(A)如 2 a”出 g，则 D,=2a2i a2i(B)-42。31 433(C)2a,则).2。2*21 2(D)一 2(B)-%(C)k2a(D)-4 2a).9.已 知 4 阶 行 列 式 中 第 1 行 元 依 次 是-4,0,1,3,第 3 行 元 的 余 子 式 依 次 为-2,5,1,尤，则 X=().(A)0(B)-3(C)3(D)2-8 7 4

3、 36-2 3-11 0.若。=1 1 1I,则。中 第 一 行 元 的 代 数 余 子 式 的 和 为（）4 3-7 5(A)-l(B)-2(C)-3(D)03 0 4 01 1.若。=1 1 1 1,则。中 第 四 行 元 的 余 子 式 的 和 为（）.0-1 0 05 3-2 2(A)-l(B)-2(C)-3(D)012.k 等 于 下 列 选 项 中 哪 个 值 时,)X+优=0齐 次 线 性 方 程 组 卜+H 2+/=0 有 非 零 解 3+%3=0(A)-l(B)-2(C)-3(D)0二 填 空 题1.2 阶 排 列 24(2)13(2“-1)的 逆 序 数 是.2.在 六 阶

4、 行 列 式 中 项 a32a54a41a65“3a26所 带 的 符 号 是.3.四 阶 行 列 式 中 包 含 生 2a43且 带 正 号 的 项 是.4.若 一 个 阶 行 列 式 中 至 少 有 一”+1个 元 素 等 于 0,则 这 个 行 列 式 的 值 等 于 1 1 1 0,一 1 0 15.行 列 式 0 1 1 10 0 1 00 1 0 00 0 2 06.行 列 式.0 0 0 n-1 0 0 09.已 知 某 5 阶 行 列 式 的 值 为 5,将 其 第 一 行 与 第 5 行 交 换 并 转 置，再 用 2 乘 所 有 元 素，则 所 得 的 新 行 列 式 的

5、值 为10.行 列 式 111x+1-1-1%1-11x+111x-1-1-1-1 阶 行 列 式 1+A11 1+A 111 1+A.12.已 知 三 阶 行 列 式 中 第 二 列 元 素 依 次 为 1,2,3,其 对 应 的 余 子 式 依 次 为 3,2,1,则 该 行 列 式 的 值 为 1 3.设 行 列 式。1548263737264815，A4 j(j=1,2,3,4)为 D 中 第 四 行 元 的 代 数 余 子 式,则 4 A4I+3 A42+2 A43+A=1 4.已 知。=acbbbah,D 中 第 四 列 元 的 代 数 余 子 式 的 和 为 acb1 5.设 行

6、 列 式。1311235134624472 6，A j为%(/=L 2,3,4)的 代 数 余 子 式,则 4+A 4 2=A 4 3+A 4 4=16.已 知 行 列 式。=11113 5 2 0 0 3 0 0 2 n-l00n，D 中 第 一 行 元 的 代 数 余 子 式 的 和 为 17.齐 次 线 性 方 程 组 kx+2X2+x34-kx2=0=0仅 有 零 解 的 充 要 条 件 是 _18.若 齐 次 线 性 方 程 4组.一+元 3X j+2X22X2=0+x3=0+5刍=0 有 非 零 解，则 左=1.三 计 算 题 a ba2 b2/护-3%-2X2+例=c dc2 d

7、2c3 d30；2.犬 yy x+yx+yX；b+c+d a+c+d a+b-d a+b+cx+y xy0 1 x 11 0 1 x3.解 方 程=0 x 1 1 01 x 1 0 x a a2 an_2 14 x a2 an_2 14.4 Q,X a a2 a3 x 1I 2 4,%1111(。产 1,j=O,l,1 1 13-b 11 1 2-b1 1 1111(n-V)-b1 1 1 1a%q a,7.“b2 a2 a2b b2 b341+x；玉 z-9.x2xt1+宕 X2xnX,X|3 2.1+片 2 1 0 0 01 2 1 0 010.0 1 2 0 00 0 0 2 10 0

8、0 1 21-a-111.D=000a 0 01-a a 0-1 1-a a0-1 1-a0 0-1000a1-a四、证 明 题 1.设.abed=1,证 明:q+byx axx+仄 2.a2+b2x a2x+b2q+b3x a3x+b31 1 1 1a b e d3，o o 2 2a b c d a4 b4 c4 小 IX-a11-11-c1.aoc.1-2a1Fl-2C1b2+c2+2+i 瓦 G=(1-X2)4Z2 b2 c23 b3 C 3=o=Zq Ff(%-)./=15.设 a设,c两 两 不 等,1 1 1a b c=0 的 充 要 条 件 是 a+8+c=0.a3 b3 c3参

9、 考 答 案 单 项 选 择 题 A D A C C D A B C D B B二.填 空 题 1.n;2.;3.q 4a 2 2 a 3 1 a 43;4.0;5.0;6.(-I)-1 nl;n(zi-l)7.(1)丁 日 第 2(-1)%；8.-3M;9.-160;10.x4;11.(A+n)Z-;12.-2;113.0;14.0；15.12,-9;I6.n!(l-Y-);17/H-2,3;18=7三.计 算 题 1.(a+Z?+c+d)S a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d-c)；2.2(x+y3)；3.x=-2,0,1;/15.n(%D(I+Z：)；t=o 4=0 ak-

10、17.(-1)由-4)；k=l9.l+x*;k=11.(l-fl)(l+a2+a4).四.证 明 题(略)4-f j U-a Jk=T6,一(2+加(1一 人)(一 2)。)8.(x+z%)n(x-%)；左=1 k=l10.n+1;第 二 章 矩 阵 一、单 项 选 择 题 1.A、B 为 n 阶 方 阵，则 下 列 各 式 中 成 立 的 是()。(a)|A2|=|A|2(b)4 序=(A 3)(A+3)(c)(A-B)A A2-AB(d)(AB)T=ArBr2.设 方 阵 A、B、C 满 足 AB=AC,当 A 满 足()时，B=C。(a)AB=BA(b)网。0(c)方 程 组 AX=O有

11、 非 零 解(d)B、C 可 逆 3.若 A为 n 阶 方 阵,k为 非 零 常 数,则 冏=()o(a)4H(b)网 网(c)(d)即 A|4.设 A为 n 阶 方 阵,且 同=0,则()o(a)A 中 两 行(列)对 应 元 素 成 比 例(c)A 中 至 少 有 一 行 元 素 全 为 零(b)(d)A 中 任 意 一 行 为 其 它 行 的 线 性 组 合 A 中 必 有 一 行 为 其 它 行 的 线 性 组 合 5.设 A,8 为 n 阶 可 逆 矩 阵，下 面 各 式 恒 正 确 的 是()0(a)|(A+B)-|=|A-1|+|5-|(b)|(四)=山 恸(c)|(A-+B)r

12、|=|A-|+|B|(d)(A+BY=A-+B6.设 A为 n 阶 方 阵，A*为 A 的 伴 随 矩 阵,则()o(a)(a)|A*|=|A-|(b)R=同(c),=同+1(d)=7.设 A 为 3 阶 方 阵，行 列 式 网=1,A*为 A 的 伴 随 矩 阵，则 行 列 式|(2A)-1-2A)o(a)-T T8.设 A,B 为 n 阶 方 矩 阵，1=8 2,则 下 列 各 式 成 立 的 是（）。(a)A=B(b)A=-B(c)网=同(d)|A|2=B9.设 A,B 均 为 n 阶 方 矩 阵，则 必 有()o(a)同+1=网+同(b)AB=BA(c)陷=四(d)|A|2=|fi|2

13、10.设 A 为 阶 可 逆 矩 阵，则 下 面 各 式 恒 正 确 的 是()o(a)12Al=2川(b)(2A)-1=2A(c)(4。-甲=4)丁(d)(屋)丁=，)丁 11.如 果 Aa2a22“32、%3。23 3 3,Q 2 3 32a22。32a”-3a。23 33，则 4=（)o7,1 0 0、(a)0 1 0、一 3 0 1,1 0-3、(b)0 1 0、0 0 1,0 0-3、(c)0 1 0J O I,1 0(d)0 1、0-30、0 1 3 1、12.已 知 A=2 2 0、3 1 b）。(a)AT=A(b)A-=A*则（1 0(c)A 0 0、0 10 W 1 11=2

14、 0oj b 13、2b1 0(d)0 0、0 10(11 A=2 0(J 13 13、2b13.设 A,8,C,/为 同 阶 方 阵,/为 单 位 矩 阵，若 ABC=/,则（)o(a)ACB=I(b)CAB=I(c)CBA=I(d)BAC=I14.设 A 为 阶 方 阵，且|A|wO,则（）o（a）A 经 列 初 等 变 换 可 变 为 单 位 阵/（b）由 AV=区 4,可 得 X=B(c)当(A|1)经 有 限 次 初 等 变 换 变 为(1|8)时,有 A T=6(d)以 上(a)、(b)、(c)都 不 对 15.设 A 为?x 阶 矩 阵，秩(4)=r/秩(B)(b)秩(A)=秩(

15、8)(c)秩(4)秩(B)(d)秩(A)与 秩(B)的 关 系 依 C 而 定 17.A,8 为 n 阶 非 零 矩 阵，月.43=(),则 秩(A)和 秩(8)()。(a)有 一 个 等 于 零(b)都 为 n(c)都 小 于 n(d)一 个 小 于 n,一 个 等 于 n18.n 阶 方 阵 A 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是()0(a)r(A)=r n(b)A 的 列 秩 为 n(c)A 的 每 一 个 行 向 量 都 是 非 零 向 量(d)伴 随 矩 阵 存 在 19.n 阶 矩 阵 A 可 逆 的 充 要 条 件 是()。(a)A 的 每 个 行 向 量 都 是 非 零 向

16、 量(b)A 中 任 意 两 个 行 向 量 都 不 成 比 例(c)A 的 行 向 量 中 有 一 个 向 量 可 由 其 它 向 量 线 性 表 示(d)对 任 何 n维 非 零 向 量 X,均 有 AXrO二、填 空 题 1.设 A 为 n 阶 方 阵，/为 n 阶 单 位 阵,且 A?=/,则 行 列 式 网=0 a b2.行 列 式-a 0 c=_-b-c 01 o r3.设 2 A=0 2 0,则 行 列 式|缶+3/广（设-9/的 值 为、。0 V4.设 A=,且 已 知 屋=/,则 行 列 式|A=_8.设 A为 100阶 矩 阵，且 对 任 何 100维 非 零 列 向 量

17、X,均 有 川 工 0,则 A的 秩 为 _9.若 A=（他）为 15阶 矩 阵，则 川 A的 第 4 行 第 8 列 的 元 素 是 10.若 方 阵 A 与 4/相 似，则 A=（1 2 K、I 无 3)(1-1 2212.lim 0-1=30三、计 算 题 1.解 下 列 矩 阵 方 程（X为 未 知 矩 阵）.1)，212-13、0 X=，232、2:2)01100、0 x 2 0、123-1、T21、。-2,W01J-1b1 03 1 0、0 r3)X(I-B QTBT=/,其 中 8=4 0 4 c=2 i 2,4 2 2,J2 11 0 P4)AX=A2+X-/,其 中 A=0

18、2 0、1 0 L 4 2 3、5)AX=A+2X,其 中 A=1 1 0C 2 3).2.设 A 为 阶 对 称 阵，且 42=0,求 4.1-13.已 知 A=0 2J 00、1，求(A+21)(A2-4尸 T,4.设 A=(02)(3 4)色 0)(1V(2 3J 3(o oj S2J,戈 求 AA4、A J5.设 A=231 2、2 4，求 一 秩 为 2 的 方 阵 8,使 AB=0.3 6,，26.设 A=1,11011 仅 1,B=1O j U1 1、2 1,求 非 奇 异 矩 阵 C,使 4=。）。.1 0,7.求 非 奇 异 矩 阵 P,使 为 对 角 阵.8.已 知 三 阶

19、 方 阵 A 的 三 个 特 征 根 为 1,1,2,其 相 应 的 特 征 向 量 依 次 为(0,0,1/,(-1,1,0/,(-2,1,1/,求 矩 阵 A.5-3 2、9.设 A=6-4 4，求 40 0.、4-4 5,四、证 明 题 1.设 A、8 均 为 阶 非 奇 异 阵，求 证 A 8可 逆.2.设 4*=0(4为 整 数)，求 证/-A 可 逆.3.设，%为 实 数，且 如 果,如 果 方 阵 A 满 足 Ak+ak_xA+akI-Q,求 证 A 是 非 奇 异 阵.4.设 阶 方 阵 A与 B 中 有 一 个 是 非 奇 异 的,求 证 矩 阵 AB相 似 于 BA.5.证

20、 明 可 逆 的 对 称 矩 阵 的 逆 也 是 对 称 矩 阵.6.证 明 两 个 矩 阵 和 的 秩 小 于 这 两 个 矩 阵 秩 的 和.7.证 明 两 个 矩 阵 乘 积 的 秩 不 大 于 这 两 个 矩 阵 的 秩 中 较 小 者.8.证 明 可 逆 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 也 可 逆，且 伴 随 矩 阵 的 逆 等 于 该 矩 阵 的 逆 矩 阵 的 伴 随 矩 阵.9.证 明 不 可 逆 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 的 逆 不 大 于 1.10.证 明 每 一 个 方 阵 均 可 表 示 为 一 个 对 称 矩 阵 和 一 个 反 对 称 矩 阵 的 和。第 二 章 参

21、考 答 案 一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；二.1.1 或-1；2.0；3.-4 4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；1 5i=la i4，a i s；10.I；12.0；11.002、0,三、1.1）、5)、32、一 25.8.-3113-1-1-10-13160-207；2）、221J-13071；3）、1-1-4-56-3A-34;4)、201030P0；2)-11020-1-8-912-1100、0b-6、-6 9,2.0；3.0-1

22、03-311-10、4.1000-21001-21001-21)7不 唯 一；6.;9.011000、0;7.1)、-11r12)、-2,1112-3、12,3,00+2(2100-1)2(2+3|00)-42(3-1)2 _ 2100 _ 21004-2|00-2(3100)2(1-300)3IOO-1 2(3-1)2(3IOO)-1?第 三 章 向 量 一、单 项 选 择 题 1.q,4,火，四，外 都 是 四 维 列 向 量，且 四 阶 行 列 式 同 a2%阂=加，|囚 尸 2%。21=，则 行 列 式|)2 3 用+因=()(a)m+n(Z?)m n(c)m+n(J)m n2.设 4

23、 为 阶 方 阵，且 网=0,则()0(a)A中 两 行(歹 U)对 应 元 徽 比 例(b)A中 任 意 一 行 为 其 它 行 白 触 性 组 合(c)A中 至 少 有 一 行 元 素 全 演(d)A中 必 有 一 行 为 其 它 行 瞪 性 组 合 3.设 A 为 阶 方 阵，r(A)=r/，则 在 A 的 个 行 向 量 中()。3)必 有(b)任 意 k H 亍 向 量 线 性 无 关 任 意 不 行 向 量 都 构 成 极 大 缆 生 无 关 组(d)任 意 一 个 行 向 量 都 能 嘏 它 八 个 行 向 量 线 性 表 示 4.阶 方 阵 A 可 逆 的 充 分 必 要 条

24、件 是()(a)A)=r n(b)A的 列 秩 为 z(c)A 的 每 一 个 行 向 量 都 是 m零 向 量 Qd)A 的 伴 随 矩 阵 存 在 5.维 向 量 组 21,4,.，&线 性 无 关 的 充 分 条 件 是()(a),a,都 不 是 零 向 量(b),a，中 任 一 向 量 均 不 能 由 其 它 向 量 线 性 表 示(c),，Z2,as中 任 意 两 个 向 量 都 不 成 比 例()a,a2,.,a,中 有 一 个 部 分 组 线 性 无 关 6.维 向 量 组 名,4，4(s2 2)线 性 相 关 的 充 要 条 件 是()(a)%,%.,4 中 至 少 有 一 个

25、 零 向 量(b)a,a2,.,as中 至 少 有 两 个 向 量 成 比 例(c)%,%，.，名 中 任 意 两 个 向 量 不 成 比 例(d)%,4，.,a，中 至 少 有 一 向 量 可 由 其 它 向 量 线 性 表 示 7.维 向 量 组 4,4，&(3WsW)线 性 无 关 的 充 要 条 件 是()(a)存 在 一 组 不 全 为 零 的 麴，左 2,.，.使 得 匕%+&2a2+.k q、(0)%,%,见 中 任 意 两 个 向 量 都 线 性 无 关(c)a,a2,.，/中 存 在 一 个 向 量，它 不 能 被 其 余 向 量 线 性 表 示(d)a,a2,.中 任 一

26、部 分 组 线 性 无 关 8.设 向 量 组,%，.，名 的 秩 为,则()(a)at,a2,.,ax中 至 少 有 一 个 由 r个 向 量 组 成 的 部 分 组 线 性 无 关(baa2,，&中 存 在 由 r+1个 向 量 组 成 的 部 分 组 线 性 无 关(c)/,%,，%中 由 r个 向 量 组 成 的 部 分 组 都 线 性 无 关 3)%,%，见 中 个 数 小 于 厂 的 任 意 部 分 组 都 线 性 无 关 9.设 四,，/均 为 维 向 量，那 么 下 列 结 论 正 确 的 是()若 匕%+左 2a2+.k q、=0,则,a2,.,a，线 性 相 关 S)若 对

27、 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 匕/2,，&.，都 有 4al+k2a2+.ksas。0,则 a”%，.,a，线 性 无 关(c)若%,%线 性 相 关，则 对 任 意 不 全 为 零 的 数 匕，&,人，都 有 勺%+k2a2+.ksas=03)若 0/+0a2+.0a,=0,则 4,a2,.,a,线 性 无 关 10.已 知 向 量 组 4 线 性 无 关，则 向 量 组()(。)%+%,%+%，%+%，%+线 性 无 关(b)a 一 名,%-%,%。4,4 一%线 性 无 关(c)at+a2,a2+a3,a3+a4,a4-ax 线 性 无 关%+a2,a2+a3,a3-a4

28、,a4-at 线 性 无 关 11.若 向 量 夕 可 被 向 量 组 四,a2,，见 线 性 表 示，则()(a)存 在 一 组 不 全 为 零 的 数%,占,，%使 得 夕=&q+k2a2+kxa,S)存 在 一 组 全 为 零 的 数%,%2,，使 得 尸=匕/+&%+k,a(c)存 在 一 组 数 kx,k2,.，&s使 得 力=q+左 2。2+.4 4(4)对 夕 的 表 达 式 唯 一 12.下 列 说 法 正 确 的 是()(a)若 有 不 全 为 零 的 数 匕，&,.人，使 得 4%+%2a2+.&=0，则 ax,a2,.,唯 线 性 无 关 S)若 有 不 全 为 零 的

29、数 匕，左 2,.人，使 得 勺+42a2+.&4/。，则 ax,a2,.，4 线 性 无 关(c)若 名,，/线 性 相 关，则 其 中 每 个 向 量 均 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示(d)任 何+1个 维 向 量 必 线 性 相 关 13.设 夕 是 向 量 组 q=(1,0,0)%=(，1，0)，的 线 性 组 合，则 夕=()3)(0,3,(J)，3)(2,0,1)，(c)(0,0,1尸)(0,2,I)，14.设 有 向 量 组 q=(1,-1,2,4),。2=(，3,1,2)%=(3,0,7,14)a4=(1,-2,2,0厂，a5=(2,1,5,1 0)则 该 向 量 组

30、 的 极 大 线 性 无 关 组 为()%，2,a3(b)a,a2,a4(c),，a2,a5(d)at,a2,a4,a515.设 a=3,a2,%),夕=(4，b2,b3),)=(a,W)，笈=(4，b j,下 列 正 确 的 是()(a)若 a,建 性 相 关，贝 口,0、也 线 性 相 关S)若 名/线 性 无 关，则 a,用 也 线 性 无 关;(c)若 囚,川 线 性 相 关，则 z,夕 也 线 性 相 关；(d)以 上 都 不 对 二 填 空 题 1.若=(1,1,1)1%=(L 2,3)r,a3=(1,3,线 性 相 关，则 1=-2.赢 常 向 量 一 定 线 性 关。3.向 量

31、 a 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 _。4.若 线 性 相 关，则%,%,.，4(s3)线 性-关。5.n 维 单 位 向 量 组 一 定 线 性 _。6.设 向 量 组 名,%，见 的 秩 为 r,则 aa2,，见 中 任 意 r个 _的 向 量 都 是 它 的 极 大 线 性 无 关 组。7.设 向 量 q=(1,0,1)，与 4=(1，L a)，正 交，则。=-。8.正 交 向 量 组 一 定 线 性 _。9.若 向 量 组 名,%，,火 与 月，夕 2,，月 等 价，则%,。2,，4 的 秩 与 仇 他，力 的 秩 _。10.若 向 量 组%,。2,，见 可 由 向 量 组

32、4,齐 2,，目 线 性 表 示，则 rax,a2,.,as)-，(/，&.，/)。11.向 量 组 1,0,0),a2=(a2,1,1,0)，a3=(,1,1,1)的 线 性 关 系 是 _。12.设 n 阶 方 阵 A=(%,%，,%)，a=a2+。3,则 IH=-13.设%=(0,y,-=几=(%，)，若 4 口 夕 是 标 准 正 交 向 量，则 x和 y 的 值 _.14.两 向 量 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 _.三、计 算 题 1.设=(1+4 1,1)a2=(1,1+2,1)7,a3=(1,1,1+X)T,0=(0,A,不),问(1)一 为 何 值 时,能 由%,%

33、，%唯 一 地 线 性 表 示?(2)力 为 何 值 时，夕 能 由,%，%线 性 表 示，但 表 达 式 不 唯 一？(3)4 为 何 值 时,一 不 能 由%,%，%线 性 表 示?2.设/=(1,0,2,3 1，a2=(1,1,3,5),4=(1,1,a+2,l)r,4=(1,2,4,a+8)，/?=(1,1,b+3,S)7 问：(1)a/为 何 值 时,夕 不 能 表 示 为 a”%,%，%的 线 性 组 合？(2)a,匕 为 何 值 时，夕 能 唯 一 地 表 示 为 名,%，。3，4 的 线 性 组 合？3.求 向 量 组/=(1,-1,0,4)a2=(2,1,5,6)，,a3=(

34、1,2,5,2),，4=(1,-1,-2,0)%=(3,0,7,14)7的 一 个 极 大 线 性 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 该 极 大 无 关 组 线 性 表 示。4.设%=(1,1,I),a2=(1,2,3)1%=(1，3,行，t为 何 值 时?,心，。3线 性 相 关，t为 何 值 时 q,2，3线 性 无 关？.将 向 量 组=(1,2,0)2=(-1,0,2)%=(0,1,2)7标 准 正 交 化。四、证 明 题 1.设 月=%+%,/?2=3%-%,尸 3=2%-(72，试 证 用 1，尸 2,尸 3线 性 相 关。2.设 a”里,.,a“线 性 无 关，证 明/+%

35、，%+%，.,%,+4在 n 为 奇 数 时 线 性 无 关；在 n 为 偶 数 时 线 性 相 关。3.设 a”,.尸 线 性 相 关,而%,%,.线 性 无 关，证 明 夕 能 由 1,a2,.,as线 性 表 示 且 表 示 式 唯 一。4.设 火 线 性 相 关，%,3，24线 性 无 关，求 证 不 能 由 4，%,火 线 性 表 示。5.证 明：向 量 组%。2,4(5 2 2)线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 是 其 余 向 量 的 线 性 组 合。6.设 向 量 组%,.，?中。工 0,并 且 每 一 个 都 不 能 由 前 i-1个

36、向 量 线 性 表 示(i=2,3,s),求 证 名,a,线 性 无 关。7.证 明：如 果 向 量 组 中 有 一 个 部 分 组 线 性 相 关，则 整 个 向 量 组 线 性 相 关。8.设%,%,4是 线 性 无 关 向 量 组，证 明 向 量 组 a0,a0+ar,a0+a2,()+4 也 线 性 无 关。第 三 章 向 量 参 考 答 案 一、单 项 选 择 l.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b lO.c ll.c 12.d 13.a14上 15.a二、填 空 题 1.5 2.相 关 3.a r O 4.相 关 5.无 关 6.线 性 无 关 7.

37、-18.无 关 9.相 等 10.11.线 性 无 关 12.0 13.x=l,y=14.对 应 分 量 成 比 例 三、解 答 题 1.解：设，=-管+x2a2+x3a3(1+几)X+X2+=0则 对 应 方 程 组 为+(1+/l)x2+x3=2X+%2+(1+丸)3=九 一 1+/1 1 I其 系 数 行 列 式|A|=1 1+2 1=22(2+3)1 1 1+2(1)当 3时，同 w O,方 程 组 有 唯 一 解，所 以 夕 可 由 火,a2a3唯 一 地 线 性 表 示；q(2)当 4=0 时，方 程 组 的 增 广 阵 1J1 1 0 1 1 1 0、1 1 0()0 0 01

38、1 0J、0 0 0 0,r(A)=r(A)=1 3,方 程 组 有 无 穷 多 解,所 以 夕 可 由%,%,火 线 性 表 示，但 表 示 式 不 唯 一；(3)当 a=-3 时，方 程 组 的 增 广 阵，-21,11 1 0)(1-2-2 1-3-0-31-2 9)(0 01-3、3-12,r(A)r(A),方 程 组 无 解,0-18,所 以 夕 不 能 由 4 线 性 表 示。2.解:以%,%,4,&，尸 为 列 构 造 矩 阵、100111110o2、311a+21124a+811b+3512a+1Tl-a241357r100 0 0 b(1)当。=1且 匕#00寸，/?不 能

39、表 示 为 名,%,%，24的 线 性 组 合;(2)当 a#1力 任 意 时，夕 能 唯 一 地 表 示 为 a”%，出,。4的 线 性 组 合。23解(1-10、41252-1-203、07-00、00100-1 00102、156 000J为 一 个 极 大 无 关 组，且。3=-%+4+。4，a5+a2-a41 1 101=1 2 3=t 5,1 3 t4.解：|a1,a2,当 f=5时 线 性 相 关，当 f H 5时%,02，。3线 性 无 关。5.解：先 正 交 化:令 四=%=(1,2,0)7|A AA=HA%，B.o _%，_o _f j_A，可 以，尸 2 6再 单 位 化

40、:T%为 标 准 正 交 向 量 组。四、证 明 题 1.证：3（笈+河）一 4（2四 一 笈,）=0：.一 5。+3四+4氏=0线 性 相 关 2.证：设 勺(/+&2)+左 2(02+%)-1%(4+,)=0则&+3)%+(匕+%2)。2+k)a,=0ai,a2,.,a“线 性 无 关 占+%“=.k+k2=0k-i+k,=01 0 0 0 11 1 0 0 0其 系 数 行 列 式 0 1 1 0 0=1+(-1 严 ZZ 2 为 奇 数 0,九 为 偶 数 0 0 0 1 00 0 0 1 1二 当 n 为 奇 数 时，%,22,.，女“只 能 为 零，at,a2,.,a“线 性 无

41、关;当 n 为 偶 数 时，配 右，储 可 以 不 全 为 零，a,a2,线 性 相 关。3.证：.,4,/7线 性 相 关.存 在 不 全 为 零 的 数 匕,&,ks,k使 得%户 1+%2a之+.+ksas+k/3=0若 k=0,则:必+左 2a2+.+&q=0，(占&,.，不 全 为 零)与 名,.,a，线 性 无 关 矛 盾 所 以 A#0于 是 4=a Ta2.tak k k.能 由%,名，,4 线 性 表 示。设/3=k、%+左 2 a2+.+/3 lyCXf+12(X2+.+，、,%(2)则-得 S a,+(k2-l2)a2+(&_/,)4=0L，.，氏 线 性 无 关.A：T

42、=0,(j=l,2.,s),(z-1,2,s)即 表 示 法 唯 一 4.证：假 设 能 由 线 性 表 示 a2,a3,a4线 性 无 关，%，%线 性 无 关,:a”的,%线 性 相 关，%可 由 4,火 线 性 表 示，/能 由。2，。3线 性 表 示，从 而%,%,%线 性 相 关，矛 盾/04不 能 由%,4，的 线 性 表 示。5.证：必 要 性 设 向 量 组 名,。2,，氏 线 性 相 关 则 存 在 不 全 为 零 的 数 勺,卷，人，使 得 占 4+&%+&=0不 妨 设 左 H 0,则 q=与 4&。2-ks ks kx即 至 少 有 一 个 向 量 是 其 余 向 量

43、的 线 性 组 合。充 分 性 设 向 量 组 名,4 中 至 少 有 一 个 向 量 是 其 余 向 量 的 线 性 组 合 不 妨 设 q=匕/+左 2%+.+k 2as则 匕/+k2a2+.+,_14_-as-0,所 以 名,%,ax线 性 相 关。6.证：用 数 学 归 纳 法 当 s=l时，工 0,线 性 无 关，当 s=2时，.a2不 能 由%线 性 表 示，.,.ai，/线 性 无 关，设$=11时，4,%,%_1线 性 无 关 则 s=i时，假 设%,%线 性 相 关，at,a2,线 性 无 关，?可 由 a”%，,%_线 性 表 示，矛 盾，所 以 囚,.,名 线 性 无 关

44、。得 证 7.证：若 向 量 组 四,4,，%中 有 一 部 分 组 线 性 相 关，不 妨 设 名,%，%（rs）线 性 相 关，则 存 在 不 全 为 零 的 数 匕，七,，匕，使 得 kia+k2a2+.+krar-0于 是 左 1%+k2a2+.+krar+Oar+1 4-卜 Oas=0因 为 匕,网,.，&八 0,-，0 不 全 为 零 所 以 囚,心,.，&线 性 相 关。8.证：设 左 0。0+匕（。0+/）+攵 2（=0+。2）_|-卜&（4+%）=0则（-0+占+&2 T-.kja。+左 乌+k2a2+ksas=0因 a（），&2，,a 线 性 无 关，kq+A 2+&s=0

45、k=0所 以，&=0 解 得 k。=kx=k2=.=&.=（）k、=。所 以 向 量 组 线 性 无 关。第 四 章 线 性 方 程 组 一、单 项 选 择 题 1.设 元 齐 次 线 性 方 程 组 AX=O的 系 数 矩 阵 的 秩 为 r,则 AX=O有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是()(A)r=n(B)r n(D)r n2.设 A是 机 x 矩 阵，则 线 性 方 程 组 AX=8有 无 穷 解 的 充 要 条 件 是()(A)r(A)m(B)r(A)n(C)r(Ab)=r(A)m(D)r(Ab)=r(A)n3.设 A是 m x 矩 阵，非 齐 次 线 性 方 程 组 A

46、X 的 导 出 组 为 AX=0,若 m e n,贝 IJ()(A)AX=人 必 有 无 穷 多 解(B)4X=必 有 唯 一 解(C)A X=0必 有 非 零 解(D)A X=0必 有 唯 一 解 xx+2X2-x3=44.方 程 组/+2 玉=2 无 解 的 充 分 条 件 是；1=()(A 2)七=_(丸 3)(A 4)(A 1)(A)1(B)2(C)3(D)4+x2+x3=/I-15.方 程 组 2%-七;。-2 有 唯 一 解 的 充 分 条 件 是 2=()=4(2-l)x3=-(/l-3)(/l-l)(A)1(B)2(C)3(D)4%+2x,X j X 6.方 程 组 3X2-X

47、3=A-2 有 无 穷 解 的 充 分 条 件 是 2=()Ax.,=(A.-3)(/1 4)+(A 2)(A)1(B)2(C)3(D)47.已 知 母 片 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 欧=b 的 两 个 不 同 的 解，%是 导 出 组 A X=0的 基 本 解 系，4 次 2为 任 意 常 数，则 A X=b的 通 解 是()(A)kxax+何(4+%)+2(B)左 乌+k式 a 一 4)+(C)左 乌+2 自+4)+且 产(D)k,%+h(/3/3D+9*8.设 A 为 m x 矩 阵，则 下 列 结 论 正 确 的 是()(A)若 A X=O 仅 有 零 解，则 4%=人 有

48、唯 一 解(B)若 A X=O 有 非 零 解，则 AX=/?有 无 穷 多 解(C)若 A X=6 有 无 穷 多 解，则 A X=O 仅 有 零 解(D)若 A X=人 有 无 穷 多 解，则 4V=0有 非 零 解 9.设 A 为 帆 X”矩 阵，齐 次 线 性 方 程 组 A X=0 仅 有 零 解 的 充 要 条 件 为()(A)A 的 列 向 量 线 性 无 关(C)A 的 行 向 量 线 性 无 关 X1+x2+x3=110.线 性 方 程 组 西+2/+3刍=04x,+7X2+10 x3=1(B)A 的 列 向 量 线 性 相 关(D)A 的 行 向 量 线 性 相 关()(A

49、)无 解 有 零 解(B)有 唯 一 解(C)有 无 穷 多 解(D)其 导 出 组 只 二、填 空 题 1.设 A 为 100阶 矩 阵，且 对 任 意 100维 的 非 零 列 向 量 X,均 有 AXH O,则 A 的 秩 为.kx、+2X2+x3=02.线 性 方 程 组 2%+3=0 仅 有 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是.%1-x2+x3=03.设*,X2，X,和 CH1+C2X2+qX,均 为 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX=/7的 解(C|,c2,为 常 数)，则 q+c*2+cs=.4.若 线 性 方 程 组 的 导 出 组 与 BX=O(B)=r：有 相 同

50、的 基 础 解 系，则 A)=.5.若 线 性 方 程 组 A“*“X=b 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 相，则 其 增 广 矩 阵 的 秩 为.6.设 10 x15矩 阵 的 秩 为 8,则 A X=0 的 解 向 量 组 的 秩 为.7.如 果 阶 方 阵 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为 0,且)2 4，则 线 性 方 程 组 4X=()的 通 解 为 一.8.若 元 齐 次 线 性 方 程 组 A X=O 有 个 线 性 无 关 的 解 向 量，则 人=1 29.设 A=2 3i 1 a若 齐 次 线 性 方 程 组 AX=0 只 有 零 解,贝 U a=110.设 A=223