线性代数复旦版课后习题标准答案.pdf

《线性代数复旦版课后习题标准答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数复旦版课后习题标准答案.pdf（88页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线 性 代 数 习 题 及 答 案 习 题 一 1.求 下 列 各 排 列 的 逆 序 数.(1)341782659；(2)987654321；(3)(-1)321；(4)13(2-1)(2)(2-2)2.【解】(1)r(341782659)=11;(2)r(987654321)=36;n(n-l)(3)丁(-1)3 2 1)=0+1+2+,+(/!-1)=-;2(4)r(13-,(2/i-l)(2H)(2w 2)*,2)=0+1+,+(1)+(l)+(w 2)+,*+l+0=w(/i l).5x x4.本 行 列 式 2=x1 2 3x 1 2的 展 开 式 中 包 含 和.一 的 项.2

2、x 31 2 2x解：设 2=Z（T）”柱 陶&4 2%3%4，其 中 i/Z A 分 别 为 不 同 列 中 对 应 元 素 lW 4的 行 下 标，则 2 展 开 式 中 含 丁 项 有 34)X 1.X 2x+(1)9231).X X X 3=_2+(-3X3)=5/展 开 式 中 含 了 4项 有（1 尸 2 3 4）,2X X X 2X=10X4.5.用 定 义 计 算 下 列 各 行 列 式.0 2 0 0 1 2 3 00 0 1 0 0 0 2 0;(2)3 0 0 0 3 0 4 50 0 0 4 0 0 0 1【解】。=（一 1）2314）4!=24；0=12.6.计 算

3、下 列 各 行 列 式.2 1 4(1)3-1 2ab-ac-ae1 2 3-2-bd de5 0 6-2bf cf efa 0 0 1 2 3 4(3)1 b 00 1-1(4)2 3 4 13 4 I 20 0 15 0 64 1 2 3-23 2【解】-1-20;1 2 35 0 6-21 D=abcdef-1-1-1-11-1=-4abcdef;-1-1b(3)=a 10-abed+ab+ad+cd+t,-1 0 1c-1+(-l)2 01 d 0+cd+l4 10 2q+Q(4)D=Q+Qq+J1010103 4 10 23414 1r2r0 11 2ri-rr4-r0 22 3 0

4、-13 3 4 10 21-3ri-2r20 1-2-2r4+r2 0 0-1-1 0 01-40-3160.-447.证 明 下 列 各 式.a2 ab b(1)la a+b 2b-(a-b)2；1 1 1 0；a2(a+1)2(a+2)2(a+Tb2(i f S+2)2 S+3)2c2(c+l)2(c+2(c+3d23+1)2(2)2(3)2(3)11a2/b2 b3_2 _3=(ab+bc+ca)1 a1 ba2b2.2a 0 0 b0 a b 0 a)%、c d i 0 d1 1【证 明】(1)11l+a.(a+b)(a-b)G F左 端=2(a b)c2-ci0b(a-b)a-h0b

5、22b1U 右 端.2(a-b)a-b 2 i 左 端 a22a+1 4 a+4 6a+9 a22a+2b22b+4b+4 6b+9 b22b+2C3 fc 2c+l 4c+4 6c+9q-3 c 22c 2c+l 2C L。d22J+1 4 d+4 6 d+9 d22J+1 2=0=右 端.(3)首 先 考 虑 4 阶 范 德 蒙 行 列 式:/(X)x2a2h2c2x3a3b3c3=(x-a)(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)(b-c)(*)111xab从 上 面 的 4 阶 范 德 蒙 行 列 式 知，多 项 式/U)的 x 的 系 数 为 1 a a2(ab+be+ac)(a-b

6、)(a-c)(b-c)-(ah+be+ac)1 b b21 c c2但 对(*)式 右 端 行 列 式 按 第 一 行 展 开 知 x 的 系 数 为 两 者 应 相 等，故 1 a2/(-1),+1 1 b2/,1 c2 c3(4)对。2”按 第 一 行 展 开，得a h 0 0 a b=ad D2(n_1)-b c D2(n_l)=(ad-b c)D2(n_l),据 此 递 推 下 去，可 得 D2=3 d-b e)%”(ad-b e)2 D2(n_2)=-=(a d-bc)nD2=(ad-bc)-(ad-be)-(ad-be)D2II=(ad-be).(5)对 行 列 式 的 阶 数 用

7、 数 学 归 纳 法.当=2 时，可 直 接 验 算 结 论 成 立，假 定 对 这 样 的-1 阶 行 列 式 结 论 成 立，进 而 证 明 阶 数 为 时 结 论 也 成 立.按 D,的 最 后 一 列，把 D,拆 成 两 个 n 阶 行 列 式 相 加：1+1 11+4 1 1 1111+a2 1 11+a2 1D=1 1 1+1 1 1+a1 1 1 1000但 由 归 纳 假 设/7 J-1、2 一 1=。一 1 士 I=1 ai y从 而 有 n-l1+Sl.8.计 算 下 列 阶 行 列 式.1 2 2 2X 1-12 2 2 21 X-1 D”=1 1 X D=2 2 3 2

8、2 2 2 n.0 0y ooyoo210 2=.-0 0-0 0.=同 其 中%.二,_j|(i,j=l,2，)；%y 0 x0 00 00 0,2 11 2x y0 xi o2 11 20 0 00 0 0【解】（1）各 行 都 加 到 第 一 行，再 从 第 一 行 提 出 X+5-1）,得 1 1 11 x.1D=x+(n-l)：.1 1 x将 第 一 行 乘（-1）后 分 别 加 到 其 余 各 行，得 1 11 x-lDn=x+(n-l).0 010.=(x+l)i.x-l11E 1 Dn=可 1：200020102 0 0 2 2000按 第 二 行 展 开-2 2102 0 2

9、 200=-2(-2)!.0 0 0 71-20 0 0 一 2（3）行 列 式 按 第 一 列 展 开 后，得(4)由 题 意，知 D.=xX00yX XyX00.(-!)0 y0000+y(i严 yX00yX0 00 0y 1-00000 0+y.(_y=x+(T)”.如%an Xa,2x0i+i)yX 0 0 0 xya2 n4.后 一 行 减 去 前 一 行 01111012101210 一 1n-2n-3n-n 2 n-3 00101-122-100000001-112-1-1n-2-1-1n-1-1自 第 三 行 起 后 一 行 减 去 前 一 行 1111-11-1-12 n 2

10、.0 0 2 002n-000按 第-1列 展 开(-1)T(-1)2002000 2 D02 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 01 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 00 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0=+0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 20 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 10001222-1 1 2-2 即 有 D”一 D“_=Dn_y-Dn_2D2-D=1由(2 一，1)+(4./4-2)+.一+(4-2)=1 得 D“D 1=n-,D.,二-1+2=鹿+1.9.计 算 n 阶 行 列 式.D“=1+

11、4%1+4【解】各 列 都 加 到 第 一 列，再 从 第 一 列 提 出 i+Z q，得=(1+生 V/=1 7。3%1+“3111i a2 3 l+a”将 第 一 行 乘(-1)后 加 到 其 余 各 行，得。4 1+以 i=7I00a210an001+Z%1=1010 0 0 110.计 算 阶 行 列 式(其 中 6 7 0/=1,2/-,).%a:2b.a2a-婷【解】行 列 式 的 各 列 提 取 因 子(/=1,2,)，然 后 应 用 范 德 蒙 行 列 式.Dn=(l2,“J I4%b2%ha32AL册 件 2 2但 l 2、2/n-1-1出-1n-l=(42.1n jin妇%

12、11.已 知 4 阶 行 列 式 1 2 3 43 3 4 4D.=41 5 6 71 1 2 2【解】试 求 4.+与 A43+4 4,其 中 A47为 行 列 式 D4的 第 4 行 第/个 元 素 的 代 数 余 子 式.2 3 4 1 3 4A41+A4 2=(-1)4+I3 4 4+(1)4+23 4 4=3+9=12.5 6 7 1 6 7同 理 43+4 4=一 15+6=-9.12.用 克 莱 姆 法 则 解 方 程 组.(1)X,+x2+x35,2%+x2-犬 3+犬 4=1，X+2X2-+x4-2,x2+2X3+3X4=3.5为+6X2X1+5X2+6/x2+5X3+6X4

13、=1,=0,=0,x3+5X4+6X5=0,x4+5X5=1.【解】方 程 组 的 系 数 行 列 式 为 D121011211-1-12011310001-1111-3-220113-111-3-22I13-100-3-5-1124=180;/(I/I)=0.5 1 1 0 1 5 1 01 1-1 1 2 1-1 1D,=18;D1=2 2-1 1 2 13 1 2 3 01 1 5 0 12 1 1 1 22=36;2=3 1 2 2 1 4 10 1 3 3 0故 原 方 程 组 有 惟 一 解，为 _D,X=-=1,X,=36;2-1 13 2 31 1 51-1 1=-18.2-1

14、 21 2 3-2o,x,D-2,x.DA=.1D D2)。=665,2=1507,0=1145,a=703,D D&=-395,2=212.1507 229 37665-133 3 3579 212*4-，&133 66513;和 为 何 值 时，齐 次 方 程 组 V有 非 零 解？【解】要 使 该 齐 次 方 程 组 有 非 零 蒯 A%1+冗 2+七=0，X+工 3=0，玉+2+M=。只 需 其 系 数 行 列 式 即 2 1 11 11 2 1=0,故 4=0 或 丸=1时，方 程 组 有 非 零 解.14.问：齐 次 线 性 方 程 组%+4+%3+a X4=，Xx+2 X2+%3

15、+=，一 玉+工 2 3七+=，X1+尤 2+奴 3+bx，=0有 非 零 解 时，。也 必 须 满 足 什 么 条 件？【解】该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解，需 满 足I l l a1 2 1 1=0,1 1-3 1 a b即(a+l)2=45.15.求 三 次 多 项 式/(X)=%+/+2兀 2,使 得/(-1)=0,/(1)=4,/(2)=3,/(3)=16.【解】根 据 题 意，得 f(1)=%-+a,一 4=0；/(I)=a。+q+/+%=4；/(2)=a0+2q+4a,+8%=3;/(3)=a0+3q+9%+27%=16.这 是 关 于 四 个 未 知 数%，6，

16、。2，。3的 一 个 线 性 方 程 组，由 于 D=48,)()=336,D,=0,D2=-240,D3=96.故 得 a0=7,Oj=0,a2=-5,a3=2于 是 所 求 的 多 项 式 为/(X)=7-5 X2+2?16.求 出 使 一 平 面 上 三 个 点(七,V),(乙,%)，(工 3，%)位 于 同 一 直 线 上 的 充 分 必 要 条 件【解】设 平 面 上 的 直 线 方 程 为 ax+by+c=Q(a,b 不 同 时 为 0)按 题 设 有。玉+byt+c=0,ax2+by2+c=0,ax3+如+c=0,则 以 a,b,c为 未 知 数 的 三 元 齐 次 线 性 方

17、程 组 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 为 玉 弘 1x2 y2 1=0七 为 1上 式 即 为 三 点(占，M),。2,%)，(，为)位 于 同 一 直 线 上 的 充 分 必 要 条 件 习 题 二 1.计 算 下 列 矩 阵 的 乘 积.(1)1-1233 2-1 0;1(5)1 2 iia2a312。22a3212 10-一 1 0 3 1-0 1 0 1 0 1 2-1(6)0 0 2 1 0 0-2 30 0 0 3_ 0 0 0-3_3【解】3-3692-246-11-2-300005-3-1(3)(10)；3 3(4)%尤;+。33%；+(I2+2 1)X1X2+(

18、13+31)工 1%3+(“23+。32)工 2工 3 二 X X%1=1 7=12.1 2 5 2a。12。12+。130 1 2-4a2 a22 22+235 0 0-4 3。31。32。32。33_0 0 0-91 1 1 1 2 1设/=-1 1 1，B=1 3-11-1 1 2 4求 A B-2A;(2)A B-B A；(3)(/+3)(7 5)=/2 2 吗？2 4 2 4 4 0【解】A B-2 A 4 0 0;(2)A B-B A 5-3-1_0 2 4_-3 1 7(3)由 于 N 8 W B 4 故(N+8)(4-5)WN 2-S 2.3.举 例 说 明 下 列 命 题 是

19、 错 误 的.(1)若 4 2=。，则 Z=0；(2)若/=Z,则 Z=0 或，=；(3)若/x=/y,A O,则 乂=卜.【解】000000100(1)以 三 阶 矩 阵 为 例，取/=(3)令/=令/=0，但 NW O则 Z X=/y,但 XWK2 14.设 A=,求 T,0 1【解】A2-10221 3-103/11，/1 kA0 1A00120012A=求 不，不 并 证 明:k炉 Ak=000k(k-V)产 2不【解】A2=-z2 2/1 1-A3 3万 320 22 22?/3=0 23 3220 0 Z20 0 Z3今 归 纳 假 设 Akk乃-I 乂 1)上 22k产,A00

20、0那 么 Ak+AkAuk-00 000M D,产 2kAk-(A+1)淤 户 02 10 A0 001z2(k+1)”产 所 以，对 于 一 切 自 然 数 匕 都 有 k光 Ak=00 0k(k-l)产 2 2-kAk-乃 6.已 知 N P=P 3,其 中 000100B=00-1122,P=0-11001求 力 及/.【解】因 为 网=-l#0,故 由 ZP=P8,得 l o o4=PBP-=2 0 06-1-1而/=(P 8 p l)5=p(6)5 p T1 0=2 12 1oi n o 0 一 0=2 0 0=41 J 16-1-1ahb cd7.设/=-a-c-b，求 IZI.a

21、h a解：由 已 知 条 件，力 的 伴 随 矩 阵 为a b cA=-(a2+b2+c2+d2)h-a dd a=-(a2+c2+d2)A-d-c b a又 因 为/*Z=|Z|E,所 以 有-(a2+b2+c2+d2)A2=AE,且 即|-(2+b2+c2+d2)A2=(a2+b2+c2+d2)4AA=阂 国 于 是 有 8.已 知 线 性 变 换 A=-yj(a2+b2+c2+d2)4-(a2+b2+c2+d2)2.XI=2y,+y2,fy,=-3z,+z2,x2=-2y+3y2+2y3,-=2223,.刍=4)，|+当+5%；y3=z2+3zi,利 用 矩 阵 乘 法 求 从 z,z2

22、,5 到 x.,x2,X3的 线 性 变 换.【解】已 知-4 2 1X A Y A B z 12-4 9 z,-10-1 16从 而 由 4,Z 2，Z3到 西,彳 2，彳 3的 线 性 变 换 为 玉=-4.+20+马，%=12zI-4 Z2+9Z3,x3=-10z,-z2+16Z3.9.设 Z,3 为 阶 方 阵，且 N 为 对 称 阵，证 明：也 是 对 称 阵.【证 明】因 为”阶 方 阵“为 对 称 阵，即=A,所 以(B AB)=B A B=B AB,故 也 为 对 称 阵.10.设 4 5 为”阶 对 称 方 阵，证 明：Z 5 为 对 称 阵 的 充 分 必 要 条 件 是

23、4 5=5 4【证 明】已 知 H=A,B=B,若 是 对 称 阵，即(4 5)=AB.贝 Ij AB=(AB)=B A=BA,反 之，因 45=氏 4,则(AB)=B A=BA=AB,所 以，4 B 为 对 称 阵.1 1.4为 阶 对 称 矩 阵，5 为 阶 反 对 称 矩 阵，证 明：(1)是 对 称 矩 阵.(2)4B-8N是 对 称 矩 阵，N6+8N是 反 对 称 矩 阵.【证 明】因 H=A,B=-8,故(/)=B B=-B(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=B A-A B=BA A,(B)-AB BA(AB+BA)1=(AB)f+(54)=B Af+Af B=-

24、BA+A(-B)=-(AB+BA).所 以)是 对 称 矩 阵，AB-BA是 对 称 矩 阵，AB+BA是 反 对 称 矩 阵.1 2.求 与=；可 交 换 的 全 体 二 阶 矩 阵.a b【解】设 与/可 交 换 的 方 阵 为，则 由 c a1 1 a b a h 1 10 1 c d c d 0 1得 a+c b+dc da a+bc c+d由 对 应 元 素 相 等 得 c=O,d=a,即 与 A 可 交 换 的 方 阵 为 一 切 形 如 a0ba的 方 阵，其 中 a,b为 任 意 数.I000111 3.求 与 A=02-2可 交 换 的 全 体 三 阶 矩 阵.【解】由 于

25、A=E+0 0 00 0 20 1-3而 且 由q AC1 0 0 0 0 0 0 a 瓦 Ja2b2C2 0 0 2 二 0 0 2 a2b2 C2%4C3_0 1-3_ 0 1-3_ _a3C3_可 得 0 Cj 24 一 3q0 c2 2b2-3c20 q 2b3-3c3由 此 又 可 得 J=0,2b 3C=0,2a3=0,a2 3a3-0,c2-2久,C3-b2-3b5,2b2-3c2-2c3,2b3-3c3=c2-3c3,所 以 出=%=A=q=0,c2 2b3,C3 b2 3h3.%0 0即 与 N 可 交 换 的 一 切 方 阵 为 0 b2 2b3 其 中 q,仿 也 为 任

26、 意 数.0 b3 b2-3b31 4.求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵.1 2-1 2 3(1)2 5；(2)0 1 2-10 0 11 2-1(3)3 4-2；5-4-1 5 2 0 02 1 0 0(5)0 0 8 30 0 5 2(6)1 0 0 01 2 0 02 1 3 01 2 1 4 未 写 出 的 元 素 都 是 0（以 下 均 同，不 另 注）.【解】5-2(1)c,；(2)0 1-2-2 1L 0 0 1ooo1-4-1-2oo1-31-o1一 2165-241-21-21111-8-1-2 0 0-2 5 0 0 0 0 2-30 0-5 815.利 用 逆 矩 阵，

27、解 线 性 方 程 组 x1+x2+x3-1,2X2+2X3=1,x,-x2=2.故 16.证 明 下 列 命 题：(1)若 4 6 是 同 阶 可 逆 矩 阵,则 C45)*=8才.若 N 可 逆，则/可 逆 且(/)T=(A-l)*.(3)若 44,=E，则(/)=(/广【证 明】(1)因 对 任 意 方 阵 c,均 有 c*c=cc*=lclE,而 4 5 均 可 逆 且 同 阶，故 可 得 L4I 困 B*A*=ABE(B*A*)=(AB)*N8(5*4*)=(N5)Z(B8*)/=(AB)，ABEA，=A：L4IW0,由 IWO,:.(45)*=5*/*.(2)由 于 44*=L4I

28、E,故/=L4IJT,从 而(/T)=A(Al)l=ArlA.于 是 AVlA=E,所 以(/)*=(/)因 4/=E,故 Z 可 逆 且.由(2)(/尸=(/)”,得(A*)=(A)*=(/)，.1 7.已 知 线 性 变 换 占=2)1+2%+%-x,=3%+为+5%刍=3%+2%+3%，求 从 变 量 X1,x3到 变 量 y,2,力 的 线 性 变 换.【解】已 知 且 以 1=1 W0,故 N 可 逆，因 而-7-4 9 Y=A X=6 3-7 X,_ 3 2-4_所 以 从 变 量 xpx2,刍 到 变 量 M,%，%的 线 性 变 换 为 V 1=-7X-4 X2+9X3,y2=

29、6玉+3X2-7 X3,y3=3.+2X2-4 X3,1 8.解 下 列 矩 阵 方 程.1 2342 X=1 612 1-1 2 1 X 2 1(3)(4)1101042X1 00 00012X1002 110100130010-10；11(-1-0-4 32 0-11-2 01 2【解】令 4=、1 3;5=42-61.由 于 N3-2-1 I故 原 方 程 的 惟 一 解 为 X A B3-1一 2 4-6 8-201 2 1-2 7同 理 100010001(2)X=1,4(4)X=-1300-4-21020119.若 N=O 0为 正 整 数），证 明:(E-A Y=E+A+A2+-

30、+Ak-.【证 明】作 乘 法(E-A)(E+A+A2+-+Ak-)=E+/+/2+-+/i _/_/2-Ak-_ AK=E-Ak=E,从 而 E-A可 逆，且(E-AY=E+A+A2+Ak-20.设 方 阵 N 满 足/一 4一 2E=O,证 明 Z及 N+2E都 可 逆，并 求/T1及(4+2)工【证】因 为/-/-2E=0,故 A2-A 2 E=(A-E)A E.由 此 可 知，A 可 逆，且 同 样 地 A2-A-2 E=Q,A2-A-6 E-4 E,(A-3E)(A+2E)=-4E,-匕 N-3 E)(/+2E)=E.4由 此 知，N+2E可 逆，且.1 1(A+2 尸=(/一 3E

31、)=(/-4 421.设/=4 2 31 1 0-1 2 34B=/+23,求 5.【解】由 AB=A+2B 得(N-2E)5=4而 2 2 3A-2E-1-1 0=-10,-1 2 1即 N-2E可 逆，故 B-1-4-1 022.设 P，P=/.其 中 P=,A=,求 4.1 1 0 2I 1 4【解】因 尸 7 可 逆，且 尸 一 1=一，故 由/=P/P T3-1-1得=(P/PT)=尸(淤)尸 一 1_|-1+2123 1-2,-4+2124-2101365-3411364-34023.设?次 多 项 式/(x)=4+q x+I-amxm,记/(4)=&E+q/d+amAm,f(A)

32、称 为 方 阵/的，次 多 项 式.，1(1)/=证 明 4.Ak若 片，/(/)=/(A)(2)设/=p i 5 P,证 明 f(B)=Pf(A)P.【证 明】(I/力 5,00即 4=2和 4=3时，结 论 成 立.今 假 设 0若 4=o那 么 小=/=不 00 4。川。刈 00 守 所 以，对 一 切 自 然 数 A,都 有 Ak廉 00/且 又 f(A)=a0E+alA+-+amAm1 4 1 4 1 L 4 L A2 _=4+。|4+%,4 o0 a0+!-a用=(4)1由 与“=尸 一 9 尸,得 B=PAPl.Bk=(%p T)*=PAkP l,f(B)=anE+a,B+-+a

33、mBm=4 E+q PAP+amPAp-=尸(4+%)+a“,H)pT=PfA-)P-.24.A=,证 明 矩 阵 满 足 方 程 x2-(a+d)x+“d bc=0.【证 明】将 代 入 式 子 x2(a+d)x+a d bc得 A2-(a+d)A+(ad-bc)Ea b a-(a+J)c d cbl 1 0+(ad-be)d 0 1a1+bc ab+bdac+cd cb+d2a2+ad ab+bd ad-he 0ac+cd ad+d2_ 0 a d-b e0000故 A 满 足 方 程 x*-(a+d)x+ad-尻=0.25.设 n 阶 方 阵 A 的 伴 随 矩 阵 为 A*,证 明：(

34、1)若 I，1=0,贝 i j|/*|=0；【证 明】(1)若 L4l=0,则 必 有 l/l=O,因 若 则 有/(/)-l=E，由 此 又 得 A=AE=AAy/)-l=L4l(/)T=O,这 与 1/lWO是 矛 盾 的，故 当 141=0,则 必 有 1/1=0.(2)由 两 边 取 行 列 式，得 AA*=A,若 L4IW0,则|1|=以 尸 若 以 1=0,由 知 也 有|/|=1用 工 2 6.设 52A=0021000075,B=2J L2 0 05 0 00 4 10 6 2003340求 A B,(2)B A;(3)/t；(4)I/I(A 为 正 整 数).【解】23 20

35、 0 O-19 8 0 010 9 0 0 30 13 0 0(l)A B=；(2)BA=0 0 46 13 0 0 33 140 0 32 9 0 0 52 221-2 0 0-2 5 0 0(3)A-=0 0-2 30 0 5-7|1=(一 1)*.27.用 矩 阵 分 块 的 方 法，证 明 下 列 矩 阵 可 逆，并 求 其 逆 矩 阵.(1)(3)12000250000 00 03 00 10 0000010 00 02 1-2 33200-110020000020001 00 11 00 10 023001【解】(1)对 N 做 如 下 分 块 0440/=其 中 3 0 0I 2

36、4=4 0 1 02 50 0 14,4 的 逆 矩 阵 分 别 为-0 05-2 3A1：=;4:二-2 1，20 1 00 0 1所 以/可 逆，且-5-2 0 0 0-2 1 0 0 0A:1A-1=1=0 0-0 030 0 0 1 00 0 0 0 1同 理(2)(3)0 038A-44A-4,0l_52525354008 _400-1_32020200 0A-=020 1200 0 0 10 0 0 001习 题 三 1.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.2.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.3.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.4.略.见 教 材 习 题 参 考

37、 答 案.5.夕=四+%,夕 2=%+%,夕 3=%+即 夕 4=。4+，证 明 向 量 组 夕 夕 2，23,24线 性 相 关.【证 明】因 为 2+应+尸 3+尸 4=2（q+%+%+）0+A+A=2（i+A）二 自 一 凤+四 一=。所 以 向 量 组 回，尾，夕 3,A 线 性 相 关.6.设 向 量 组 名,4,生 线 性 无 关，证 明 向 量 组 片,以,，丹 也 线 性 无 关，这 里 艮=+a2+,.【证 明】设 向 量 组 四,乩,，力 线 性 相 关，则 存 在 不 全 为 零 的 数 占，与，（，使 得k0+k2fi2+krftr=0.把 夕=%+。2+/代 入 上

38、式，得(Ze+.+,+&)，+(k2+.+，+)+k1a=0.又 已 知 四。2,，名 线 性 无 关，故“i+&+,+(=0，k2 T-kr=0,(=0.该 方 程 组 只 有 惟 一 零 解 占=%2=i=(=0,这 与 题 设 矛 盾，故 向 量 组 回，夕 2,，月 线 性 无 关.7.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.8./=(%,a,2,1,2,”.证 明：如 果|a/w 0,那 么 风,心,a”线 性 无 关.【证 明】已 知|刘=同。0,故 K(4)=,而 N 是 由 个 维 向 量 a,=(a(l,a(2,i=1,2,，组 成 的，所 以/,4,a 线 性 无 关.9.

39、设/公，*是 互 不 相 同 的 数，.证 明：名=(11,一 片 1),，=1,2-是 线 性 无 关 的.【证 明】任 取 n-r个 数 人 1,E 使，I,4,4+1,互 不 相 同，于 是 阶 范 德 蒙 行 列 式 1 6 彳 小 乙 01 已 喝 1 t“4-C从 而 其 n 个 行 向 量 线 性 无 关，由 此 知 其 部 分 行 向 量 风,。2,名 也 线 性 无 关.10.设%，,%的 秩 为 r 且 其 中 每 个 向 量 都 可 经%,4,%线 性 表 出.证 明：名,见,名 为 名,4 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组.【证 明】若 线 性 相 关，且 不 妨

40、 设 a,a2,-,a,(1)必。2，.0(t-T1 k i 0 k-0 0 k-0 0 0 1k 1 i 0-k-k _ 0 0-k 0 0 0当=1 时，%,4，%的 秩 为 2,匈 乌 为 其 一 极 大 无 关 组 当 A W 1 时，区,4,4 线 性 无 关，秩 为 3,极 大 无 关 组 为 其 本 身.12.确 定 向 量 以=(2,。力),使 向 量 组 用=(1,1,0)血=(1,1,1)应 与 向 量 组,=(0,1,1),a2=(1,2,1),%=(1,0,-1)的 秩 相 同，且 夕 3可 由?，a?，火 线 性 表 出.【解】由 于 B 0 1 1 21-1 b 0

41、 0 0 b-a+2要 使 夕 3可 由 线 性 表 出，需 3。+2=0,故 a=2,b=0时 满 足 题 设 要 求，即 4=(2,2,0).13.设 四,火,a为 一 组 维 向 量.证 明：名,生，,见 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 任 一 维 向 量 都 可 经 它 们 线 性 表 出.【证 明】充 分 性：设 任 意”维 向 量 都 可 由 区,。2,，氏 线 性 表 示，则 单 位 向 量 与,险，邑，当 然 可 由 它 线 性 表 示，从 而 这 两 组 向 量 等 价，且 有 相 同 的 秩，所 以 向 量 组 a,a”,的 秩 为，因 此 线 性 无 关.必 要

42、性：设%,线 性 无 关，任 取 一 个 维 向 量 则 因,生，a线 性 相 关，所 以 a 能 由 名,a”线 性 表 示.14.若 向 量 组(1,0,0),(1,1 1 0),(1,1,1)可 由 向 量 组 ara2,a3线 性 表 出，也 可 由 向 量 组 分,伙/3/4线 性 表 出，则 向 量 组 处,如 必 3与 向 量 组 6/2/3/4 等 价.1 0 0证 明：由 已 知 条 件，/?1 1 0=3,且 向 量 组(1,0,0),(L 1,0),(1,1,1)1 1 1可 由 向 量 组 M 2,a3线 性 表 出，即 两 向 量 组 等 价，且/?(,%,?)=3,

43、又，向 量 组(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可 由 向 量 组 小/z/3/4 线 性 表 出，即 两 向 量 组 等 价，且 R 0,昆 血 血)=3,所 以 向 量 组 处 处 处 与 向 量 组 小 必/3/4等 价.15.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.16.设 向 量 组 零,，/与 月，月 2,，一 秩 相 同 且 能 经 夕 夕 2,，氏 线 性 表 出.证 明 囚,，,4 与 用 血，氏 等 价【解】设 向 量 组(1)与 向 量 组 B，区,氏 的 极 大 线 性 无 关 组 分 别 为 a,a2,(3)和 由 于(1)可 由(2)线 性 表 出，那

44、么(1)也 可 由(4)线 性 表 出，从 而(3)可 以 由(4)线 性 表 出，即 4=血 a=L 2,/).j=i因(4)线 性 无 关，故(3)线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 向 IWO,可 由(*)解 出 夕,(j=1,2,r),即(4)可 由(3)线 性 表 出，从 而 它 们 等 价，再 由 它 们 分 别 同(1),(2)等 价，所 以(1)和(2)等 价.17.设 N 为,“X”矩 阵，5 为 sX 矩 阵.证 明：不 maxR(/),R(5)4R R(A)+R(B).B【证 明】因 4 8 的 列 数 相 同，故 4 5 的 行 向 量 有 相 同 的 维

45、数，矩 阵 可 视 为 由 矩 阵 工 扩 B充 行 向 量 而 成，故”中 任 一 行 向 量 均 可 由 中 的 行 向 量 线 性 表 示，故 BAR(4)WR B同 理 AR(B)R B故 有 AmaxR(/),R(5)W RB又 设 R U E,%,%,q,是 N 的 行 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组,R QB)=k,%,%,为-4一 是 B 的 行 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组.设 a 是 中 的 任 一 行 向 量，则 若 a 属 于 A 的 行 向 量 B组，则 a 可 由%,q2,与 表 示，若 a 属 于 8 的 行 向 量 组，则 它 可 由

46、鸟/7，月”线 性 表 示，故 中 任 一 行 向 量 均 可 由%0 2,，隔，为，02,，为 线 性 表 示，故 4R r+k=R(A)+R(B),B所 以 有 AmaxR(/),R(5)W R WR(4)+R(B).B18.设 N 为 sX 矩 阵 且 N 的 行 向 量 组 线 性 无 关，K 为 rXs矩 阵.证 明：8=4 行 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 R(K)=r.【证 明】设 4=(4/sx(_s),因 为 N 为 行 无 关 的 sX 矩 阵，故 s阶 方 阵 4 可 逆.(=)当 3=必 行 无 关 时，5 为 r X 矩 阵.r=R(B)=R(KA)WR(K

47、),又 K 为 rXs 矩 阵 R(K)=r.(U)当 r=R(2时，即 行 无 关，由 8=/L4=K(4,Psx(-s)=(K4,KPsx(”_s)知 K(5)=r,即 B 行 无 关.19.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.20.求 下 列 矩 阵 的 行 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组.25 31 17 4375 94 53 13275 94 54 13425 32 20 481 1 2 2 10 2 1 5-12 0 3-1 31 1 0 4-1【解】(1)矩 阵 的 行 向 量 组 队 的 一 个 极 大 无 关 组 为 1(2)矩 阵 的 行 向 量 组

48、 用 的 一 个 极 大 无 关 组 为%.a4.21.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.22.集 合=S R 且 项+X2+x“=0是 否 构 成 向 量 空 间?为 什 么？【解】由(0,0,0)e 匕 知 匕 非 空，设 a=(x,x2,-,xn)e=J)G V2,e R)WJa+px,+yvx2+y2,-,xn+y jka=(kxl,kx2,-,kxn).因 为(苍+)，|)+。2+%)+一+(%+)“)=区+x2+-+x)+(yt+y2+-+y)=0,kxi+kx2-i-kxn-k+x2 H-F x“)=0,所 以 a+夕 e 乂,ka e%,故 匕 是 向 量 空 间.23.

49、试 证：由 4=(1,1,0),a?=(1,0,1),%=(0，l，D,生 成 的 向 量 空 间 恰 为 R3.【证 明】把 囚.4,必 排 成 矩 阵 N=(%,4，4)，则 1 1 0|)|=1 0 1=-20,0 1 1所 以%,%,4 线 性 无 关，故 囚.,是 R3的 一 个 基，因 而%,%,%生 成 的 向 量 空 间 恰 为 R3.24.求 由 向 量 4=(1,2,1,0),生=(1,1,1,2),4=(3,4,3,4),%=(1,1,2,1)所 生 的 向 量 空 间 的 一 组 基 及 其 维 数.【解】因 为 矩 阵,%，是 一 组 基，其 维 数 是 3 维 的.

50、A=(四,火。3 0。5)1 1 3 1 4-1 1 3 1 4-1 1 3 1 42 1 4 1 5 0-1-2-1-3 0-1-2-1-3-1 1 3 2 6 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2_0 2 4 1 4_ 0 2 4 1 4_ 0 0 0 0 025.设 四=(1,1,0,0),%=d，0,1)，笈=(2,T 3,3)血=(。，1,T D,证 明:L(a,a)=L(p，B).【解】因 为 矩 阵/=(%，笈 血)1 1 2 0 1 1 2 0-1 0-1 1 0-1-3 10 1 3-10 0 0 00 1 3 0 0 0 0由 此 知 向 量 组 四,。2与 向 量 组