同济大学第六版高等数学课后答案全集含1-6.pdf

《同济大学第六版高等数学课后答案全集含1-6.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学第六版高等数学课后答案全集含1-6.pdf（133页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11 .设 N=(o o,-5)u(5,+8),8=1-1 0,3),写出 及小(/W)的表达式.解/口8=(-0 0,3)。(5,+0),Nc 8=1 0,-5),A B=,1 0)LJ(5,+o o),小(/5)=1 0,5).2.设/、8是任意两个集合，证明对偶津(公8尸=/v/证明因为x e(Zc B)C o x氏/cBo x A 或 x史B o x e Ac 或 x e Bc x e Ac。必，所以(4CB)C=4CDBC.3.设映射/:X f y,/u ,8 u k.证明QW cB H A L).证明因为5使 J(x)=y0(因为 x e

2、A 或 x e8)y e/(N)或y e/(8)。/双)切(的，所以 J(AuB)=/(A)5.(2)因为y e/(/c B)=Hx e/c 8,使/(x)个=(因为 x eZ 且 x eB)y e/(N)且儿4)M8)，所以 j(A2)5A)M B).4.设 映 射 若 存 在 一 个 映 射g:y-X,使g o/=/x，/*=/y,其中ZY、。分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个X W X,有/x x=x；对于每一个歹匕有暝 证明:/是双射，且g是/的逆映射:证明因为对于任意的片丫，有x=g(y)w X,5.y(x)/g 0 O=4y=y,即丫中任意元素都是x中某元素的像，所以/为x到y

3、的满射.又因为对于任意的 X|WX2,必有7(X1)MX2),否则若寅Xi)=y(X2)=g 7(Xi)=g/(X2)=Xi=%2.因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g:Y f X,因为对每个y w Y,有g(y)=x w X,且满足/(x)=/g(y)=4产乂按逆映射的定义,g是/的逆映射.5.设映射证明：(1 尸伏4)=4(2)当/是单射时，有尸(/)=4.证明 因为x e A=加)=蚱儿4)n/T(y)=x e尸 )，所以 尸(/口4 由 知 尸)=4另一方面，对于任意的x e/T)=存 在 ，使尸(y)=x m/(x)司.因为y e4 4)且/是单射，所以xe 4这就证明了

4、尸/)u 4.因此尸(/(Z)=Z.6.求 下列函数的自然定义域：片j3x+2;解 由3x+220得x-|.函数的定义域为-/+8).。)产 占；解 由I T?7。得XH1.函数的定义域为(一8,D5 L +8).(3)y=-V l-x2;X解 由中0且l-x2 0得函数的定义域=-1,0)0(0,1 .解 由4-d 0得|x|/x;解 由Q0得函数的定义D=0,+8).(6)y=t an(x+l);解 由X+1吟(4=0,1,2,)得函数的定义域为力“乃+5-1 (左=0,1,2,)(7)y=ar c s in(x-3);解 由卜-3区1得函数的定义域。=2,4.(8)J=A/3-X+ar

5、c t an;解 由3-x 20且xM得函数的定义域(-8,0)0(0,3).(9)月 n(x+l);解 由x+l0得函数的定义域6(-1,+8).1(1 0)片 区解 由/0得函数的定义域。=(-8,0)v(0,+8).7.下列各题中，函数/(X)和g(x)是否相同？为什么？(l)/(x)=l g x 2,g(x)=21 g x;(2)/(x)=x,g(x)=G;(3)/(x)=V x4-x3,g(x)=x V x-l.(4)/(x)=l,g(x)=s ec2x-t an2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x 0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法

6、则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设 0（x）=I s i n-43三3RX求o。中，。(一?，4一2),并作出函数产小)X的图形.解 旗爸=卜，吟|二J,0(今下吟|二*,以一给=|s in(一给卜堂，例-2)=0.6 624 4 2 4 429.试证下列函数在指定区间内的单调性：片/，(一*1)；l-x(2)尸x+l n x,(0,4-0 0).证 明(1)对于任意的孙必(-8,1),有1-、2 0.因为当X1 X2时,=-J 0,-1-Xj 1-X2(1-X)(1-X2)所以函数歹=声在区间(-8,1)内是单调增加的.1-X(2)对于任意的x i,x2e(0,+c o),当%i

7、 x2时，有乂一乃=(x1+l nx1)-(x2+l nx2)=(x1-x2)+l n 0,x2所以函数尸+l nx在区间(0,+8)内是单调增加的.1 0 .设/(X)为定义在(-/,/)内的奇函数，若/(x)在(0,7)内单调增加，证明/(X)在(-/,0)内也单调增加.证明 对于X7x i,x2e(-/,0)且 x i-X2.因为寅x)在(0,7)内单调增加且为奇函数，所以这就证明了对于V X1,X2W(-/,0),有加1)g(x).如果/(X)和g(x)都是偶函数，则F(-x)=A-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果寅x

8、)和g(x)都是奇函数，则F(T)?(-X).g(-X)=-g(x)H(x).g(x)=E(x),所以2 x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/(X)是偶函数，而g(x)是奇函数，则产(-x)=A-x g(-x)R(x)-g(x)=-Ax g(x)=d(x),所以尸(X)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2 .下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l)p=x2(l-x2);(2)y=3 x2-x3;厂1-X2.l+x2?(4)尸x(x-l)(x+l);(5)y=s i n x-c o s x+1;解(1)因为/(-X)=(-X)2 l-(-X)勺=

9、丁2(1-？)=/3,所以/(X)是偶函数.由人-X)=3(T)2-(T)3=3X2+X3可见人X)既非奇函数又非偶函数.因 为/4t学 二 芸=/(x),所以作)是偶函数.(4)因为负x)=(x)(x l)(x+1 )=x(x+l)(x l)=外)，所以寅x)是奇函数.(5/(-x)=s i n(-x)-c o s(-x)+l =-s i n x-c o s x+1 可见./(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因 为/(-)=匕 竽 空=安 贮=/，所以,危)是偶函数.1 3 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=c o s(x-2);解是周期函数，周期为/=2%(

10、2)尸c o s 4x;解 是周期函数，周期为/=5.(3)y=1 4-s i n解是周期函数，周期为1=2.(4)尸x c o s x;解不是周期函数.(5)y=s i n2x.解是周期函数，周期为1=也1 4.求下列函数的反函数：(l)y=W错误！未指定书签。错误！未指定书签。；解 由y=V x+l得行/_ 1,所以产旧工的反函数为尸刀3-1.(2方=手 错 误！未指定书签。；解 由 片 户 得X=?,所 以 户 户 的 反 函 数 为 片 户.1+x 1+y 1+x 1+x 片 4(心6分0)；c x+d解 由 片 处4得4出 业，所以片色鸟的反函数为片区也.c x+a c y-a c

11、x+a c x-a(4)产2 s i n 3 x;解 由尸2 s i n 3 x得x=g arc s i吟，所以产2 s i n 3 x的反函数为y=g arc s i吟.尸l+l n(x+2);解 由尸l+l n(x+2)得2,所以尸l+l n(x+2)的反函数为产产1-2.尸 篇 解 由 歹=三 得X=1 0 g，4,所以丁=三的反函数为y =l g 2 丁匚.2V+1 1-y 2X+1 1-x1 5.设函数/(x)在数集X上有定义，试证：函数./(X)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数寅x)在X上有界，则存在正数M使/U)区M即这就证明了/(x)在

12、X上有下界-A/和上界M再证充分性.设函数外)在X上有下界K i和上界K2,即K i软x)W K2.取止m ax|K|,|&|,则-M K J x)K2 M,即 f x M.这就证明了/(x)在X上有界.1 6.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值制和X2的函数值：2 .兀 兀(1)y=u,w=s i n x,X=,%2=至；解 尸i d,y1=s i n2-=(1)2,y2=s i n2y=()2=1.(2)尸s i n ，=2 x,X=J,X2=9；o 4解 尸s i n 2 x,y=s i n(2 )=s i n=,y2=s i n(2 )=s i

13、n-=l.o 4 2 4 2(3)y=u,=1+V x i=l,X2=2;解 y=y/i+x2,yi=dl+12=6,y2=yll+22=y/5.(4)y=e1 1,u x x=0,X2=l;解 y=ex：,弘=?02=1,j/2=el2 =e-2(5)y=u,u=e,X|=l,X2=-l.解 y=e2 yi=e21=e2,y2=e2(l)=e2.17.设作)的定义域。=0,1,求下列各函数的定义域：(1)府);解 由O q&i得恸所以函数九淄的定义域为-I,Xsinx);解 由0sinx0);解 由0金;+。4 1得4,所以函数y(X+。)的定乂域为 4 1一。.(4)/(1+4)+/一a)

14、30).解 由0女+夕1且0 x-a 时，无解 因此当 时 函 数 的 定 义 域 为&1-0,当 时 函 数 无 意 义.1|x|1作出这两个函数的图形.1 1 f 1 x1 -1 x0gf(x)=ef(x)=e|x|lx=l,即g/(x)=l1 9.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角方40。(图1-37).当过水断面ABCD的 面 积 为 定 值S o时，求湿周L(L=Z8+8C+CD)与水深力之间的函数关系式，并指明其定义域.b图 1-37解 A B=D C=,又 从 /?S C+(5C+2c o t 40/?)=50 得s i n 40 28C=学-c o t 40。%,所以hzV2-c

15、oS4 0 h s i n 40自变量的取值范围应由不等式组 0,辛-c o t 40.0确定，定义域为0%3c o t 40.20.收敛音机每台售价为9 0 元，成本为6 0 元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？解(1)当 0L 100 时,p=90.令 0.01(超 一 100)=90-75,得刈=1600.因此当众1600 时,p=75.当 100 x 1600 时，

16、p=90-(x-100)x 0.01=91-0.O l x.综合上述结果得到90 0 x 100p-91-0.O l x 100 x 16003 O x 0 x 100(2)尸=(p-60)x=3 l x-0.0l x2 100 x 1600(3)尸=31 x 1000-0.01 x 10002=21000(元).习题1-21.观察一般项x”如 下 的 数 列 的变化趋势，写出它们的极限：为=/；解 当 8时，X=0,l i m =0.n 2n 8 2n(2)%=(i)J；n解 当7 8 时,%=(-l)i-0,l i m(-l)n-=0.n 一 8 n(3)X=2+4；解 当”-8 时，x,

17、=2+f2,l i m(2+3)=2.片 一 8“修解 当.8 时，x =-1=1 0,l i m .+1+1 T8 +1(5)B?(1).解 当-8 时,为=(_1)没有极限.c o s-2.设数歹!j x 的 般项x=-.问l i m x=?求出N,使当 时，为与其7 7 w o o极限之差的绝对值小于正数,当=0.001时，求出数M解 l i m x =0./?00|c o s 4-|1 1 so,要 使 际 ，只 要 卜，也就是?取川=山，则V N,旬x“-0|00分析 要使-0|=4 4.n n yjc证明 因为 V0N=J=,当N 时，旬-V-0|,所以 lim-V=0.yjs n

18、 一 lim然今-8 2+1 2分 析 要 使I洌 一 片=不 ;，只须 ；2/7+1 2 2(2+1)4/7 4 4E证 明 因 为VQO T N Y；,当N时，有|誓|一 京 ,所 以 所 普|=462+1 2 -8 2+1 2(3)lim 近三 1;一 8 7 7分 析 要 使p 5 Z _ i|=V -=/尤 2.(J 2+/+)n 证 明 因 为V Q 0 7 N=,当V N时，有I耳Lg,所以Z 7 f 8 (4)limO.999 9=1./700-个分 析 要使 0.99-9-1|=h ,只须77 才l+lgL证明 因为WON=l+lg 当V N时，有|0.99 9 1|00&未

19、必有极限.证明 因为lim%=a,所以VQ 0,mVeN,当N时,有|”-水 ,从 而co|t/|-|o|w-a|oo数列%|有极限，但数列未必有极限.例如但不8 H 00存在.5.设数列 与 有界，又 lim y=0,证明：lim x/”=0.00 oo证明因为数列*”有界，所以存在M使V e Z,有战区 M又 l i m%=0,所以VGO NGN,当 N时，有|为|.从而当 N时，有8Mxyn-OxnynMyn006.对于数列 x“,若秘-1-。(攵-),X2*f z(左 f o o),证明:。(-8).证明 因为 X2 4-1 -a(b 8),X2k Ta(k-00),所以 V o,3

20、K i,当 2 b l2 Ki-l 时，有|的-1-水 ；3K2,当 2 4 2 K 2 时，有 a&N,就有-a|3分析因为|(3 x-l)-8|=|3 x-9|=3 lx-3|,所以要使|(3 x-l)-8|,只须|x-3|0 3=$,当 0|x 3|3 时，有|(3 x-l)-8|f,所以 lim(3 x-1)=8.x f 3(2)lim(5x+2)=1 2;xf 2分析因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5pc-2|,所以要使|(5x+2)-1 2|,只须|X-2|9.证明 因为V 0,m 3=$,当0|x-2|3时，有|(5X+2)-12|-2 x+2=-4;分析因为|暮 _

21、(_ 4)卜|勺 卢 卜 2小一(一2)|,所以要使|今称(-4)|,只须|X(2)|.证明 因为V 0 T 5=,当0 A(-2)|-2 x+2(4)lim 与 苦=2.X f_l 2x4-12分析因为|L -2|i-2 x-2|=2|x-(-i)|,所以要使|喘，2|,只须|x一(一去|上.证明因为V 0,m b=3,当0令一(一乡|5时，有1-4 x 3-2|_1 2x4-12=2.2.根据函数极限的定义证明:(1)X-8 2x 2分析因为I 1 +X3 1|_|1+工3一 工3 I JI 2x3 2 I 2x3 2|x|3所以要使|蒙4|o,m x=,当恸次时，有1+x3 12x3 2

22、001+x3 12(2)lim 平=0.1+0工=1,当xX时，有|牛-0卜,1 y/x 1所 以lim理2=0.1+=X3.当x-2时，尸4.问3等于多少，使当|x 2|3时,炉4|0,故可设|x-2|l,BP lx3.要使|X2-4|=|X+2|X-2|5|X-2|0.001,只要以-2|幽LO.0002.取员0.0002,则当 0小一2|3时，就有I?48时，尸 与 二 旬，问X等于多少，使当|x|X时,61|0.01?x+3解要使|烹|一1卜号只要冲/1 =屈 7故工=回工5.证明函数兀v)=(x|当x-O 时极限为零.证明因为j/(x)-O|=|x|-O|=W=|x-O|,所以要使距

23、)-0|,只须因o,m&,使当o|x-o|a时有心)-0|=|叶 0|06.求/(月=工 0(x)=区 当 x-0时的左、右极限，并说明它们在x-0时的极X X限是否存在.证明因为lim/(x)=lim 壬=lim 1=1,X T。-X 0-X X T。-lim f(x)=lim=lim 1=1,x f o+x f o+x X T O+Hm/(x)=xlim/(x),所以极限lim/(x)存在.x-0因为lim e(x)=lim=lim =-l,x-0-x-0-X x-0 Xlim(p(x)=lim=lim-=1,x f o+o+x x-0+xlim(x)w lim(p(x),x-0-x f

24、0+所以极限lim(x)不存在.x-07.证明：若 Xf+oo及 x f-8 时，函数作)的极限都存在且都等于A,则lim f(x)=A.X f 8证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以VE0,X f-0 0 X T+83X|0,使当x-X 时，有如)-*0,使当X为 时，有次X)-Z|X时，有次x)-Z|008.根据极限的定义证明：函数/(x)当 x fx o 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证 明 先 证明必要性.设 危)f/(xf x(),则V O 0,三 济0,使 当0|x-xo|b时,有fix)-As.因此当Xo 庆XXo和Xo XXo

25、+S时 者B有阿一如0,使当沏-在4血时，有|/(x)-Z 0,使当Xo XXo+时，有|加)-4|.取 应m in 5j,6 ,则当 0|x-x()|6 时，有 x()-a xxo及 xo v 4 o+龙，从而有|加)-川?i(x xo).9.试给出x f 8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解X f8时函数极限的局部有界性的定理：如果/(X)当X f8时的极限存在，则存在A 0及 M 0,使当仅|X时,fxZ(x-8),则对于=1,少 、0,当|x|X时，有/(X)4|=1.所以贝x)|=|Ax)Z+Z 区阿T|+|Z|0及加乂)，使当x|X时,火X)|M 其中止1+.习题1 41

26、 .两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解 不一定.例如，当x f 0时,o(x)=2 x,仇x)=3 x都是无穷小，但l im架=看,察!不是无.io p(x)3 p(x)穷小.2 .根据定义证明：(1)y=一:当xf3时为无穷小；x+3(2)y=x sin!当xf0时为无穷小.x证明 当杵3时|7|=|正?卜 -3|.因为VQ0 T ,当0A 3|b时，有1 1=|=x-30岳,当 0|x 0|3 时，有X|y|=|x|sin-|x-O|0时y=x sin 为无穷小.X3 .根据定义证明：函 数 歹=为 当x-0时的无穷大.问x应满足什么条件,X能使明1。4?证明分析3=|必 卜|

27、2+4 八-2,要使心M只须土-2M,即X X|X|X证明 因为V忙03=弁 二，使当0W 0 b时，有|1区卜A/+2 1 x 1所以当xfO时，函数=0 是无穷大.X取 代1 0)则 旌 而 当010tk J I 乙 J L )I/(4.求下列极限并说明理由：XT8 X1_r2x-0 1-x解(1)因为2=2+!，而当x f o o时工是无穷小，所以Ii m2=2.X X X X T 8 X(2)因为手e=l+x(x w l),而当XfO时 X为无穷小，所以1曲/已=1.l-x X f Ol-x5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:於)一工於)7 8X x)-+00X x)-c oX 工

28、0苏0,使当 O|x-xo|t,有恒贝X)-/|x()+x X o-解X-00玲0,使当恸 X 时，有恒xf+00/(x)f4/(X)f8/(X)f+8,/(x)-o oXX oV o O 苏0,使当 O|x-x o|W,有恒，(x)|.V A O,3 0,使当 0,一 汨)|MV A O,3 0,使当 O A x o|附，有 恒 MV 区 o,m 苏0,使当 0._ 刈 册，有恒 Ax)-M.X f X()十VQO 心0,使当 0 x-x()H寸，有恒火x)T|0$0,使当有恒/(x)|MV A O,3 c x 0,使当有 恒 M/MQ,3 0,使当 O x-x o H寸，有恒加)0,三办0

29、,使当 0 x(y-x 5H寸，有恒V 心 0,眸 0,使当 O ro-x 以V A O,3 0,使当 O A fV A O,3 0,使当 O ro-x(5H寸，有恒/(x)00V 6),止0,使当恸 X时，有恒VQO,3 0,使当恸 X时，有恒l/(x)|MVGO,WO,使当h|X 时，有恒VQO心 0,使当M x时，有恒x4-00V o,3 A i0,使当x X时，有恒fx-A X 时，有恒阿 1 加VQO,王bO,使当 x X时，有恒共 x)M.VQO,止0,使当 x X 时，有恒X-00V f i0,3 A 0,使当x-X时，有恒fx)-Ao,少 0,使当x MVQO,WO,使当x M

30、.V 0X 0,使当x+00时的无穷大？为什么？解 函 数 产 N CO S X在(-00,+00)内无界.这是因为V A f O,在(-00,+8)内总能找到这样的X,使得y(x)|A 例如y(2 左 力=2 左%c o s2 左 e 2左 左%=0,1,2,),当“充分大时，就旬兴2 人砌当X-+00时，函数尸X CO S X 不是无穷大.这是因为V M 0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的 X,都有伏x)|M.例如武2 左 万+5)=(2 4%+10c o s(2 上 左+5)=0%=0,1,2,),对任何大的N,当人充分大时，总有x=2 版+分N,但(x)|=0“.例如当4=1

31、（0,1,2,）2时，有N（x&）=2左l+叁，当人充分大时,当x-0+时，函数y=Lsin，不是无穷大.这是因为X XV M 0,对所有的80,总可以找到这样的点/，使0 M 4但例如可取4=.优=，1，2，.一），ZK 7 T当k充分大时,Xk3,但夕（x%）=2左;z sin 2左 乃=02 x-3 2-3盟M丫2 _鼻；解.喃寻嚅亲”/、-2.x+1 崛 下 厂解li mq x+Li i m 0二y 而 口=?=0XT 1 x2-l X-1 (x-l)(x +l)x-lx+l 2（4）4工3一2，+工3X2+2X解l im4 -2 +x=l im-2x+l=lx-o 3X2+2X a。

32、3x+2 2修(X+/z)2-x 2h解 lim(x+*=jm/些x+/?2 _x 2 =2x+t)=2x.2。h。-0 h 力 TO lim(2+J);XT8 x x解 lim(2-+-V)=2-lim-+lim 4 r=2.x c o x XZ xf o o X xfg x2 lim f-1;X-8 2xz-x121-L解 lim c ：T，=lim x-=-Xf 0 0 2x 一X 1 x o o 0 1 1 2Z-yX xz（8）lim/；xf8 x4-3x2-l2解lim，=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.X 0 0 x,-3 x/-l或limXT8x2+xx4-3x2-l=l

33、imx-0 01-+I-1-X2 X3i_ 2 _ _ LX2 X4=0.(9)lim 4xf 4 x 6x+8,-5x+4 解imX，6x+8 =Hm(x _2)(x _4)=Hm凸上2=2.X 4 X2-5X+4 Xf 4(X-1)(X-4)X-4 X-4-1 3(10)lim(l+l)(2-4)；XT8 X X解 lim(l+-)(2-?)=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.Xf 0 0 X xz XT8 X x-0 0 xZ(11)lim(l+o o 2 4=li mw-00丁/1一I，1+2+3H-F(W1)(1 2)li m-5-；w-c o 乙Wh j j l1.

34、i m-1-+-2-+-3-+z-+(-1)=1l.i m 7%=：1 l1-i m TI1 二g1.rt-oo/?-oo 42 2 8 2(1 3)li m(+D(+2)(+3)-5/解l i m(n+l)(n+2)(n+3)=l (分子与分母的次数相同，极限为-0 5n 5最高次项系数之比).l x 1.(+1)(+2)(+3)1 v Z1 1、八 2/i 3、I-00 5疗 5 co 7 7 n Y l 5Xf l l-x l-x3解！呼士一l-x3.)=i im l+x+x2-3 Um(l-x)(x+2)I(l-x)(l+x+x2)(l-x)(l+x+x2)=-li m-”+2 Y=-

35、l2.计算下列极限:啊浮解 因 为 咽*1 9用 犯 所 以!需？箓 9r2(2)XT 8 2 X+1y 2解l im-=oo(因为分子次数高于分母次数).Xf 8 2 x 4-1(3)li m(2 x3-x+l).X-8解li m（2 x 3一x+l）=o o（因为分子次数高于分母次数）.Xf 83.计 算下列极限：(1)li m x2 s i n-;x-0 x解li m/s i nL。(当x-O时 是 无 穷 小，而s i n是有界变量).x f o x x(2)li m 电 皿.X T 8 X解li m *侬 门 工=j m J _.a rc t a nx=O(当x o o时,1是无穷小

36、，X f 8 x x f 8 x x而a rc t a n x是有界变量).4,证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限：x-2 x-3解1加 当=奖=-9.x-2 x-3 2-3v2/曷;解x粤 方|=翳 胃=5哂X2 2X+1x2-lli m 叱2 x+lXfl x2-l(Xl)(x+l)x-1工+1 2=0解呵433一2/+工3X2+2X解h图或解 盘(X+/?)2 一 天h-=lim 工+2似；二J-=lim(2x+/?)=2x.h 20(6)lim(2-+-);Xf8 x x解 lim(2 4 -)=2 lim+lim -z-=2.XT0 X X2 x fo o xz(7

37、)l i m-;X-Q O 2xz-x-lY2 _1解 lim =limX-8 2XZ-X XT81-X2.19Z-1-1y 2,X X2(8)lim/;x-8 x-3xz-l2解 lim=0(分子次数低于分母次数,极限为零).xfoo x-3xz-lv2 v3lim J =0.XT8 _ 2 _ 11 2 4XZ叫叫左 翳;li m X2 _6x+8 =1.m(x-2)(A-4)=limxz2=4z1xf4x2 5x+4 x-4(x-l/x 4)Xf4 X 1 4 1 3(10)lim(l+i)(2-4)；XTB x X解 lim(l+-)(2-4-)=lim(l+-)-lim(2-)=lx

38、2=2.X-00 X xz XT0 X x-8 xZ(11)lim(l+J+/);mg 2 4 2解 圾叫+*+/)=煦 中-=2-1-2(12)lim81+2+3+(-1)./(n-X)n用布车丑 li.m-1-+-2-+-3-H-z-1-(-/7-1)乙=l.i m 2 1 v n1 1A=hm-=.8 W-00 2 8 2(1 3)li m(+D(+2)(+3)；解l i m(n+l)(n+2)(n+3)=l(分子与分母的次数相同，极限为00 5 5最高次项系数之比).t .(+1)(+2)(+3)1 .I、八 2/1 3 1或 li m-L=y li m(l+-)(l+-)(1 4-)

39、=-.-0 5-n n n 5(1 4)li m(-L-);Xf l l-x 1 解！呼 占 一 占）=!5l+x+x2-3(l-x)(l+x+x2)=-l i m(lr)(x+2)Xf l(l-x)(l+x+x2)=-li m-x+2 =-ix-i l+x+x-2.计 算下列极限：则 事;x f 2 (x-2)解 因 为li m 4=0,所以li m、+碧a12/+2X 2 1 6 12(工_2)2r2(2)Xf 8 2 x+lv2解li m 9 7=00(因为分子次数高于分母次数).x f 8 2 x 4-1(3)li m(2 x3-x+l).X-8解1而(23一*+1)=00(因为分子次

40、数高于分母次数).X f 83.计算下列极限：(1)li m x2 s i n;X f o X解li m s i nL。(当x-0吐f是无穷小，而s i n1是有界变量).10 X X(2)li m好当些.X-8 X解lim型=limLarctanx=O(当x 8时，是无穷小,X-8 X X f 8 x x而arctan x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习 题1-64.利用极限存在准则证明:Jt+-l+-,V n n证明因为而 lim l=l 且 Hm(1+)=1 ,T 9 由极限存在准则L hm Q=l.lim n(+-4 T )=I；+JI Z证明因为n2 z 1 1 1 .

41、n2-n(-+)-;-n2 A-na n 2+4*n2-i-2sr-M2+-H2 4-hn 2 n2而 I i m-=I,fan-=1 ,-n 2+FT2+以 fan n(-4-1-一+-)=1 4 -舞 2+开 n 2+2JT n2 4-n(3)数列41,V2+V2,+4 的极限存在；证 明 A=石,-J 2 +*.(”=1,2,3,).先证明数列坏 有界.当=1时 =石 2,假 定 V忖x*2,当=上+1时,A.1=V2 +xt v-2 +2=2,所以/20=1,2,3,),即数列M 有界.再证明数列单调增.二 2+X.-X：-(x,-2 X x.+l)j-X.=2 +x.f=/-=/-，

42、S +H.+X.2 +x.+x.Iftj Xfl-20,所以看+i-X 0,即数列 X，J 单调增.因为数列出,单调增加有上界，所以此数列是有极限的.(4)Hm V l+x=1 ；*-0证明当恸41时,则有i+H+w+a i),从而有 t-|x|iV l+x s l+|x|.因为 Km(l-|x)=Hm(l+;x)=l,*T 0 Jt-0根据夹逼准则，有lim l4x=1 .XT。(5)Km x =1 .o x证明因为-1l 1 X x-l 1 X x-l所以当X f l 时，1 x 和 l-x3是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为 lim-=glim(l+x)=l,x 1 1-x 2

43、 X TI所以当X f 1时，l-x 和T(1T2)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当X-0 时，有：(1)arctan xx;r2(2)secx-1 .证 明(1)因为lim红胆江=1沛二一二 1(提示：令尸arctanx,则当x f 0 时,x-o x yfotanyV-0)，所以当%0 时，arctanx-x.1 2sin,-2sin-(2)因为 limSe：xT=21imT s x =l i m_ijm(=D 1 O X 2 cos X I。X2 xfO X2 T 2v2所以当x-0 时，secx-4亍.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:叫 啜；xfo 2x*（,m为正

44、整数）;tanx-sinx.sin3x Um s i n r x .1。劭+x2-l)(Vl+sinx-l)解 誓=砥 等?呵喘也蚱h1000n=mn m.n o sin3x-ocosxsin2x x-o xz cosx 2(4)因为3 1 +X2-=J,2 3 厂：-(X-0),V(l+x2)2+Vl+x2+l 3V l+sinx-1-.-sinx-x(x 0),Vl+sinx+1所以 lim sin x-.X 2 _ 3(V l+X2-l)(Vl+sinx-l)X x2.x5.证明无穷小的等价关系具有下列性质：（1）a a（自反性）；（2）若a 1则上（对称性）；若a /3,1 3 y,则

45、 a乂传递性）.证 明（l）lim=l,所以 a a;a（2）若 a 夕，则lim?=l,从而lim 2=l.因此后a;p a(3)若 a夕，尸%l i m=l i m4 i m-=l.因此 C t r-y.Y Y P习题1-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：小 、/O X 1/(X)=：2T l r x-i x-1+x-r所以l i m/(x)=l,从而函数/(x)在x=l处是连续的.Xf 1综上所述，函数./(x)在 0,2 上是连续函数.(2)小)=：,L解只需考察函数在4-1和x=l处的连续性.在x=-1处，因为/(-1)=一1,并且l i m/(x)=l i m 1=-1

46、),l i m/(x)=l i m x=-l=/(-I),X T-1+X-l+所以函数在x=-l处间断，但右连续.在X=1处，因为寅1)=1,并且l i m/、(x)=l i m x=l=/(l),l i m f(x)-l i m 1=1=/(1),x-r x-i+x-i+所以函数在X=1处连续.综合上述讨论，函数在(-0 0,-1)和(-1,+0 0)内连续，在A-1处间断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：(1)2%；1 0，X=,x=2;-3 x 4-2解因为函数在42和I处无定义,所以42和X=1是函数的

47、间断点.因为l i m尸l i m 2 一 二=8,所以x=2是函数的第二类间断点；12，2 X2-3X+2因为l i my=l i m富;=-2,所以A1是函数的第一类间断点，并且是可去间断x 1（X 2）点.在41处，令尸-2,则函数在=1处成为连续的.（2）y=-,x=k,x=k兀 吟（k=0,1,2,）；ta nx 2解函数在点后左足般Z）和x=+T/wZ）处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因1油 一 =8（后0）,故=痴（后0）是第二类间断点；x/ta n x因为l i m =0（左 2）,所以=0和=左乃+3（2）是第一X TO ta n x 工 1+工 匕 口 x 2类间断点

48、且是可去间断点.令“1=1,则函数在X=O处成为连续的；令=左乃+长时，产0,则函数在=左 乃+长处成为连续的.（3）y=c os2,x=0;x解因为函数=8 5 2,在x=o处无定义，所以x=0是函数y=c os 2 1的间断点.X X又因为l i mc os 2!不存在，所以x=0是函数的第二类间断点.x f 0 X/八 x-l X 解 因为 l i m/(x)=l i m(x-l)=O.l i m/(x)=l i m(3-x)=2,所以 x=l 是函数的第x-r%-r x-i+一类不可去间断点.3.讨论函数/。）=1加=耳 的连续性，若有间断点，判别其类型.w001 +X 解/(x)=l

49、 i m 户”w-oo1 4-X-x|x|lx=0|x|=l,X|x|-r x f-r x-rx=-l为函数的第一类不可去间断点.在分段点 x=l 处，因为 lim/(x)=lim x=l,lim f(x)=lim(-x)=-l,所以 x=lx-r x-r x-i+x-i+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数段)在点X。连续且兀切刈，则存在刈的某一邻域U(xo),当XG 伏祀)时,/(x)wO.证明不妨设於o)O.因为外)在杭连续，所以lim/(x)=/(x0)0,由极限的局X O部保号性定理，存在刈的某一去心邻域)(X。)，使当xeO(xo)时/(x)0,从而当xeU(xo)时J(x

50、)0.这就是说，则存在刖的某一邻域U(x0),当xeU(x()吐5.试分别举出具有以下性质的函数式x)的例子：(l)x=0,l,2,n,工，是/(x)的所有间断点，且它们都是无穷间2断点；解 函数/(X)=CSC(G)+CSC工在点x=0,1,2,-,土 ，处是间断的x2n旦这些点是函数的无穷间断点.(2)/(x)在 R 上处处不连续，但/(x)|在 R 上处处连续；解函数 e g在 R 上处处不连续，但次x)|=l在 R 上处处连续.1 X任 Q(3)/(x)在 R 上处处有定义，但仅在一点连续.解函数/(x)=_x X时 在 R 上处处有定义，它只在x=0处连续.习题1-91.求函数/(x