挑战2023年中考数学压轴题04二次函数与相似问题-（含答案解析）.pdf

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1、专题4二次函数与相似问题考法综述.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中己知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。方法揭秘.相似三角形常见的判定方法：(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法.相

2、似的基本图形可分别记为“A”型 和“X”型,如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据,一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程,解方程并检验.如 果 已 知=探求AABC与A DE F相似，只要把夹NA和NO的两边表示出来，按照对应边成比例，分两种情况列方程.应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理“三边法”解题

3、不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）.还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.典例剂析.例 1 （2 0 2 2 贵港）如凰已知抛物线y=-/+b x+c 经过A （0,3）和 B （2 l,-4D两点，直线48与 x 轴相交于点C,P是直线A B上方的抛物线上的一个动点,PCx轴交A B于点D.（1）求该抛物线的表达式；（2）若 P E x 轴交A8于点E,求 P D+P E 的最大值；（3）若以为顶点的三角形与 A O C 相似，请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标.【例

4、2】.（2 0 2 2 衡阳）如图，已知抛物线y=7-x-2交 x轴于A、8两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿 x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交 y轴于点C.（1）写出图象卬位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b 与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出的值；（3）P为 x轴正半轴上一动点，过 点P作P M/y轴交直线B C于点M交图象W于点M是否存在这样的点P,使 C M N 与 0 8C 相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.【例 3】.（2022桂林）如图，抛物线y=-f+3 x+4 与 x 轴交于A,B

5、两 点（点 4 位于点3 的左侧），与 y 轴交于 C 点，抛物线的对称轴I与 x 轴交于点N,长 为 1 的线段PQ（点 P 位于点Q 的上方）在 x 轴上方的抛物线对称轴上运动.（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（2）求 CP+PQ+Q8的最小值；（3）过点P作P M L y轴于点M 当CPM 和Q8N相似时，求点。的坐标.【例 4】（2022玉林）如图,已知抛物线：y=-2?+bx+c与 x 轴交于点A,B（2,0）（A 在 8 的左侧），与 y 轴1交于点C,对称轴是直线x=句,P 是第一象限内抛物线上的任一点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点 为线段O C 的中点，则PO O 能

6、否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P 作 x 轴的垂线与线段B C交于点M 垂足为点，若以P M C为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似，求点P的坐标.满分训练1.(2020秋兴城市期末)如图，抛物线y=/+云+4经过A(4,0),B(-1,0)两点，与y轴交于点C,。为第一象限抛物线上的动点，连接AC,BC,D A,D B,D B与AC相交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)如 图1,设相的面积为Si,ZBCE的面积为S2,当 SI=S2+5时，求点D的坐标；(3)如图2,过点C作C尸 x轴，点M是直线C尸上的一点,M N LC F交抛物线于点N,是否存在以C,M,N为顶点的三角形与

7、BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在,请说明理由.图1图213 x+l l 与 x轴交于A,8两 点（点 A在点8 的左边）.2.（2 0 2 0 秋郴州期末）已知抛物线y=5/-（1）求 4 8 两点的坐标;（2）如 图 1,若点D是抛物线上在第四象限的点，连接D A并延长，交 y轴于点P,过点D作 O E L x 轴于点E.当S A P O AP。与ACE的面积比为SAADE=N|时.求 点D的坐标；（3）如图2 也物线与y 轴相交于点F.若点。是线段。尸上的动点，过点Q作与X轴平行的直线交抛物线于两 点（点 M在点N的左边）.请 问 是 否 存 在 以 为 顶 点 的 三

8、角 形 与 Q M 4相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在,请说明理由.13.（2 0 2 0 秋长垣市期末）如 图 1,抛物线y n/l p+b x+c 与 x轴、y轴分别交于点B （6,0）和 点 C （0,-3）.（1）求抛物线的解析式；耳（2）点P是直线B C下方抛物线上一动点，其横坐标为见连接PB、PC,当A P B C的面积为2 I 时，求m值；（3）如图2,点M是线段O B上的一个动点，过点”作 x轴的垂线/分别与直线B C和抛物线交于D,E两点,是否存在以C Q,E 为顶点的三角形与 B D M 相似，若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.4.（2 0 2 1

9、 秋邹城市期末）如图，已知抛物线y=f+2 x 的顶点为A,直线y=x+2 与抛物线交于B,C 两点.（1）求 A,8,C三点的坐标；（2）作 C O L t 轴于点。，求证：txODCs（3）若点尸为抛物线上的一个动点，过 点P作PM x轴于点M则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O,P,M为顶点的三角形与A A B C相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明理由.5.（2 0 2 1秋攸县期末）如图，已知直线y=-2 x+4分别交x轴、y轴于点4、8,抛物线过A,8两点，点尸是线段A B上一动点，过点P作PC x轴于点C,交抛物线于点D.（1）若抛物线的解析式为y=-2 7

10、+2 x+4,设其顶点为M,其对称轴交A B于点N.求 点M和点N的坐标；在抛物线的对称轴上找一点。，使H Q -8。|的值最大,请直接写出点Q的坐标；是否存在点P,使四边形M N P。为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线,使得以8、P、。为顶点的三角形与 A O8相似？若存在,求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由.6.（2 0 2 2禹城市模拟）如图，抛物线经过A （4,0）,B（1,0）,C（0,-2）三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作轴，垂足为M是否存在尸点,使得以A.P M为顶点的三角形与 OA C

11、相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线上有一点 （点。位于直线A C的上方且不与点B重合）使得SADCA=S“BC,直接写出点。的坐标.7.(2 0 2 2祥云县模拟)如图，已知抛物线y=o?+b x+c过点A (-1,0),B(3,0),交y轴于点C (0,3),点M是该抛物线上第一象限内的一个动点,ME垂直x轴于点E,交线段B C于点D M N/X轴，交y轴于点N.(1)求抛物线y=ajr+bx+c的表达式；(2)若四边形M N O E是正方形,求该正方形的边长；(3)连 结OZ X A C,抛物线上是否存在点M使得以C,O,D为顶点的三角形与a A

12、 B C相似,若存在，请求出点M的坐标，若不存在,请说明理由.8.(2 0 2 2 松 江 区 校 级 模 拟)如 图,抛 物 线 过 点B (3,0),C(0,-3),为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)连接BC,CD,DB，求/C B D的正切值；(3)点C关于抛物线y=-b x+c对称轴的对称点为E点，连 接B E,直 线B E与对称轴交于点M在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使 C OB和 B M P相似,若存在，求点P坐标，若不存在,9.(2 0 2 2平江县一模)如图,抛物线、=苏+公+8与x轴交于A (-2,0)和点8(8,0)，与y

13、轴交于点C,顶点为。，连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴/交于点E.(I)求该抛物线的函数表达式;(2)点 P 是第一象限内抛物线上的动点，连接尸 艮 PC,设四边形P B O C和AOC的面积分别为S四 加 gpsoc和S&4OC,记S=s四 边 形 PBOC-S&4OC,求S最大值点P的坐标及S 的最大值；(3)点 N 是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线E D上 是 否 存 在 点 使 得 以 点M,N,E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求点”的坐标；若不存在,请说明理由.为抛物线上的一个动点,/是过点(0,-2)且垂直于)，轴的直线，连接PO.经过点A(4,3)，顶点为点反点P(

14、1)求抛物线的表达式，并求出顶点8 的坐标;(2)试证明：经过点。的。P 与直线/相切；(3)如图，已知点C 的坐标为(1,2)，是否存在点尸,使得以点尸,0 及(2)中的切点为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出尸点的坐标；若不存在,请说明理由.1 1.（2 0 2 2 巩义市模拟）已知，二次函数 =/+法-3的图象与x轴交于A,8 两 点（点 A在点8 的左边），与），轴交于C点，点 A的坐标为（-1,0），且OB=OC.（1）求二次函数的解析式;（2）当 0WxW4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设 点 C与 点 C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使

15、P C C 与 P OB 相似，且PC与PO 是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.1 2.（2 0 2 2 澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （-2,0）,B（-3,3）及原点O,顶点为C.（I）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为f.在 图 1 中，当-3 r =，+次+c 的图象经过A和点C（0,-3）.（1）求二次函数的表达式；（2）如 图1,平移线段A C,点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形A C E Z）的形状，并求出此时点D的坐标；（3）如图2,在（2）的

16、条件下，连 接C ,交x轴于点M点P为直线C D下方抛物线上一个动点，过 点P作PF轴,交C D于点匕连接P C,是否存在点尸，使得以点P,C,F为顶点的三角形与 C O M相似？若存在，求出线段F P的长度；若不存在,请说明理由.1 5.（2 0 2 2临清市三模）如图,抛物线y=-f+b x+c的顶点。坐标为（1,4），且与x轴 相 交 于 两 点（点A在点B的左侧，与y轴相交于点C,点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称,作矩形E尸G”,其中点G,H都在x轴上.（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为犯用含有，的代数式表示点E的横坐标

17、为 （直接填空）；当矩形E F G H为正方形时，求点G的坐标；连 接4Q,当E G与A D垂直时，求点G的坐标；（3）过顶点。作0MLr轴于点M,过点F作于点P,直接写出与4 M相似时，点尸的坐标.备用图1 6.（2 0 2 2 成都模拟）如图，已 知 抛 物 线 尸-（x -1）2+交x轴于A,B两点，交y轴于点C,P是抛物线上的动点,且满足OB=3OA.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限直线y=2x+b经过点P且与直线B C交于点E,设点P的横坐标为f,当线段P E的长度随着/的增大而减小时，求/的取值范围；（3）如图，过点A作 8C的平行线?，与抛物线交于另一点D点 P在直

18、线加上方，点 Q 在 线 段 匕 若 C P。与 A O C 相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标.1 7.（2 0 2 2 东莞市校级一模）在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线y=-/+2 f c c+2 必+1 与 x轴的左交点为A,右交点为8,与），轴的交点为C,对称轴为直线/,对于抛物线上的两点（内加），（X 2,”）（x i =代+,把A(0,3)和B(2|,-4|)代入,fn=33：.直线AB的 解 析 式 为 尸-5 l x+3,当 y=0 时,-2 l x+3=0,解得：x=2,；.C点坐标为(2,0),轴,P E x 轴，ZACO=NDEP,.RtAD P E RtA

19、AOC,P D _0 A _ 3A P E =0 C2：.PE=1PD,_5:.PD+PE3PD,3设点P的坐标为(a,-4 2+2 4+3)，则。点坐标为(a,-2 a+3),3 l 7 l 4 9：.PD=(-a2+2 a+3)-(-加+3)=-(a-4)2+-16|,572 4 5PD+PE=-3(a-4)2+4 8_5：-可 _Lx 轴,/。雨=9 0 ,IB点P纵坐标是3,横坐标x 0,即-，+2 x+3=3,解得 x=2,.点。的坐标为（2,0）；轴，.点P的横坐标为2,.点 P 的纵坐标为：=-2 2+2 X 2+3=3,.点P的坐标为（2,3），点。的坐标为（2,0）；当AOC

20、S/AP 时，此;时/A P G=N A C O,过点A 作 AGJ _P。于点G AP Gs/M CO,P G P CA AG-AO,3设点P的坐标为（i,-廿+2,+3），则 3点坐标为（i,-司 计 3）,m2+2 m+3 _3 _ 2则 m -引，4解得：机=3,4 4 351点坐标为（3,1）/点 坐 标 为（3|,9 I）,4|3 5 4综上，点 P的坐标为（2,3）,点。的坐标为（2,0）或 P点坐标为（可，9 ）Q点坐标为（3 1,1）.【例 2】（2 0 2 2 衡阳）如图，已知抛物线y=W-x-2交 X轴于4 8两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得

21、到的新图象记为“图象W”，图象W交 y 轴于点C.（1）写出图象W位于线段A B 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出人的值；（3）P为 x轴正半轴上一动点，过点P作P M/y轴交直线B C于点M,交图象W于点N,是否存在这向样的点P,使CMN与08C 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理【分析】(1)令 x=0 和翻折的性质可得C(0,2)，令 y=0 可得点A、8 的坐标，利用待定系数法即可求出图象卬的解析式；(2)利用数形结合找出当y-x+b经过点C或者y=-x+b与yx1-x-2相切时，直线y-x+b与新图

22、象恰好有三个不同的交点，当 直 线-x+b经过点C(0,2)时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出人值；当 y=-x+方与 y=/-x-2 相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式 =0,即可求出匕值.综上即可得出结论；(3)先确定8OC是等腰直角三角形,分三种情况：N C N M=9 0 或/MCN=90,分别画图可得结论.解析】(1)当x=0 时,y=-2,：.C(0,2),当 y0 时 f -x-2=0,(x-2)(x+1)=0,用=2/2=-1,(-1,0),3(2,0),设图象W的解析式为：(x+1)(x-2),把。(0,2)代入得：-2=2,：a=-1,y=-

23、(x+1)(x-2)=-+x+2,图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：尸-W+x+2(-l x/i解得t=2 或 尸 2（舍去），3|3+276二。（2,2）,3 1 1 51 315 3 1 3+贩综上所述,2的坐标是（司，可）或（司,-T）或（矶 2）.【例4】（20 22玉林）如图,已知抛物线：y=-2?+b x+c与x轴交于点A,8（2,0）（A在8的左侧），1与y轴交于点C,对称轴是直线x=51,P是第一象限内抛物线上的任一点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点。为线段OC的中点，则P O。能否是等边三角形？请说明理由；（3）过 点P作x轴的垂线与线段BC交于点M垂足为点”

24、,若 以 P,M,C为顶点的三角形与相似，求点P 的坐标.向_1【分析】(1)把 点B(2,0)代入y=-2+bx+c中，再由对称轴是直线=引 列方程，两个方程组成方程组可解答；(2)当 P O D是等边三角形时，点P 在 O D的垂直平分线上,所以作0。的垂直平分线与抛物线的交点即为点P,计算可知P。不可能是等边三角形；(3)分种情况：当P C x轴时,C P/s A B H M时，根据P”的长列方程可解答；如 图3,过点尸作P E_Ly轴于E,证明 P EC s a C O g,可得结论.-8+2b+c=0b J【解析】(1)由题意得：1下 ，(b=2解得：屋=4,抛物线的解析式为：y=-

25、2，+2x+4；(2)P O。不可能是等边三角形，理由如下：如 图1,取O D的中点E,过点E作EP/X轴,交抛物线于点P,连接PD,PO,IBV C (0,4)Q是。的中点,：.E(0,1),当 y=1 时,-2X2+2X+4=1,2?-2%-3=0,-V 7解得：X I=2,X 2=2(舍)，1 s：.P (2,i),J.OD P D,.P。不可能是等边三角形；(3)设点 P 的坐标为 C t,-2?+2?+4)，则 OH=t,BH=2-t,分两种情况：如图：.Z P C M=N O B C,N B H M=Z CPM=90 ,IB，t a n N O B C=t a n /P C M,P

26、 Ml O C l 4l.而1=而|=加=司=2,：.P M=2 P C=2 t,M H=2 B H=2(2-r),:P H=P M+M H：.2t+2(2-r)=-2 於+2 什 4,解得：r i=0,/2=l,：.P(1,4)；如图 3,/X P C M s/H M 则N P C M=/3 H M=9 0 ,过点P作 P E L y 轴于N P E C=4 B 0 C=Z P C M=9 0Q,：.N P C E+N EP C=N P C E+N BC O=90 ,4 B C O=Z EP C,：.P EC s C O B,P E I QC.-.EC l=O B,o-2t +2t+4-4=

27、0，3解得：fl=0 (舍)J2=牙，3 l 3 5:.P(-4|,8)；3 l 3 5|综上,点尸的坐标为(1,4)或(牙,-1).IB满分训|练.1.(20 20 秋兴城市期末)如图,抛物线y=ax1+bx+4经过A (4,0),B(-1,0)两点，与 y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点，连接AC,BC,DA,DB,DB与 AC相交于点E.(1 )求抛物线的解析式；(2)如 图 1,设 A O E的面积为Si,Z k B C E的面积为S2,当 SI=S2+5时，求点。的坐标；(3)如图2,过点C作C F x 轴,点M 是直线C 尸上的一点,M N，C/交抛物线于点N,是否存在以C,

28、M N为顶点的三角形与 B C O 相似？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在,请说明理由.【分析】(1)运用待定系数法将A(4,0),B(-1,0)代入y=a?+6 x+4,解方程组即可求得答案；(2)根据题意，当 SI=S2+5,即 SA4BD=SBC+5,设。(x,y)，表示出A B。和 A B C 的面积，列方程求解即可；(3)分情况讨论，列出三角形相似的三种情况,画出相应图形，设M(利,4)，则N(加,-扇+3%+4),运用相似三角形性质，建立方程求解即可.【解析】(1).抛物线产症+上 口 经 过 4 (4,0),B(-1,0)两点，(16a+4b+4=01a-b+4=0(a=

29、-l解得：I b=3,-7+3x+4；(2)抛物线丫=-/+31+4 与 y轴交于点C,令x=0,则 y=4,：.C(0,4),SI=S2+5,*S1+S”EB=S2+SA/|E8+5,IB即 5AABD=SAABC+5,VA(4,0)出(-1,0),AB=5,设 D(x,y),1 1 可X 5X y=2 X 5X4+5,y=6,-/+3x+4=6,国 毕 得：尤1 =1,尢2=2,：.D(1,6)(2,6)；(3)设 M(m,4)，贝！J N(tn,-/22+3/n+4),如图 2,A B O C A W C,B O O C则 而MC12 *-m +3m+4-4 =城解得：m=0(舍 去),

30、m 4 I,经检验，加=4 I是原方程的解,1 1：.M(4 ,4);如图 3,4B0CS/CMN、B O l O C l则司=而|,11-.,.1=4-(-m 2+3m+4),解得：m=0(舍 去),m=-1,经检验,?=-1是原方程的解,：.M(-1,4)；如图 4,/B0C s/N M C,B O l O C l则 而=而，-7-4-(m +3m+4)=mIB解得：，=0 （舍去），加=T.经检验,m=4 I 是原方程的解,1 3：.M(4 ,4)：如图 5,4B0CsACMN,B O l O C l则殖=而|,J./.m4=4_(-m2+Sm+l)解得：m=0 （舍去）,ml,经检验,

31、/n=7 是原方程的解,：.M(7,4)；或（-1,4）或（彳|,4）或（7,4）.向IB(1)求 A,8 两点的坐标；(2)如 图 1,若点。是抛物线上在第四象限的点，连接D 4 并延长，交 y 轴于点P,过点。作。轴S/kAPO 于点E.当与AOE的面积比为江 皿=司 时.求 点。的坐标；(3)如图2,抛物线与y 轴相交于点F.若点。是线段。尸上的动点，过点。作与x 轴平行的直线交抛 物 线 于 两 点(点”在点N 的左边).请问是否存在以Q,A,M为顶点的三角形与QN4相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1)在抛物线解析式中，令 y=0 则可求得A、8 的坐标；

32、(2)证明A O PSA ED,根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE=2,从而得点D的横坐标为3,代入抛物线的解析式可得点D的坐标；(3)如图2 所示，若 以 Q A M 为顶点的三角形与。岫 相似，有两种情况，但是/Q 4 M与NQA N不可能相等,所以最后只存在一种情况：A QMSZ N Q A,列比例式可得结论.W-【解析】(1)当y=0 时,2卜 2-3x+2=0,解得：xi=1,12=5,A(1,0),5(5,0)；(2)E，x 轴，A ZAED=90,A Z AOP=Z AED=9Q ,*：Z O A P=Z D A E,：./AOP/AED,也 0A 2 1

33、：.SAADE=AE)=4,.鼠4：OA=,：.AE=2,：.OE=3,9|5l当 x=3 时,y=司-3 X 3+司=-2,：.D(3,-2)；(3)如图 2,设 Q C O,in),IB5当 x=0 时,y=2；点。是线段O F上的动点，.耳.,.O W/n W 2|,1 _ 5当 y=m 时，2 x2-3x+2 =m,/-6 x+5 -2机=0,x=3 V 4+2 m,.x i=3+V 4+2 m/2=3-V 4+2 m,：.Q M=3 -4 4+2 m ,QN=3+74+2 m,在R t/AOQ中，由勾股定理得：A Q=I l+n r|,ZA QM=Z AQ N,：.当 A QM和 A

34、 QN相似只存在一种情况：A QA/s 2 X N QA,A Q _ QMA N Q；.AQ2=NQ.QM，即 l+/2=(3+V 4+2 m)(3-V 4+2 m),解得：m=-1+五,?2=-1 -,灰(舍)，：.Q(0,-1+5).3.(2 0 2 0秋长垣市期 末)如 图1,抛物线 产 万l/+b x+c与x轴、y轴分别交于点8 (6,0)和点C (0,-3).(1)求抛物线的解析式；向(2)点P是直线B C下方抛物线上一动点，其横坐标为凡连接P B、P C,当A PB C的面积为2 I时,求m值;(3)如图2,点M是线段0 B上的一个动点，过点”作x轴的垂线/分别与直线B C和抛物线

35、交于D,E两点，是 否 存 在 以 为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似，若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据点A、3的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；(2)根据点P是直线8 c下方抛物线上一动点，其横坐标为犯表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；(3)先根据两三角形相似判断出NC E C=NBA)=90 或NO C E=/r M 8=90 ,进而分两种情况讨论即可得出结论.1 25 X 6+6b+c=0得：c=-3y_=1 V 2+Kb v+c【解析】(1)把点5(6,0)和点C (0,-3)代入 2解得：lc=-3|,y

36、=-x2-x-3.抛物线的解析式为 2X 2X；(2)设直线8 C的解析式为：yax+n,J6a+n=0由点 8(6,0)和 C (0,-3)得：ln=-3解得:1a=7n=-3,直线BC的解析式为丫 2x 0,如 图1，过点尸作y轴的平行线交B C于点H,向图11 2 j _ q 点 P 的坐标为(2 m 2m 1),P H/y 轴，1 TTj cE与 BO M相似，图2：.Z C E D=Z B M D=9 Q 0 或NZ)C E=ND M B=90 ,设 M(x,0),当 N C E D=N B D M=9 0。,：.C E/AB,V C (0,-3),.点E的纵坐标为-3,.点E在抛物

37、线上，向m W _ 2 x -3=-3.,.x=0 (舍)或x=5,：.M(5,0)；当/C =/Z)M B=90 ,：O B=6,O C=3,-.B C=V62+32=3V5,j,由(2)知直线B C的关系式为y=2x-3,J,OM=x,BM=6-x,O M=3 -2 x,1 2由(2)同理得 E Q=-2 x +3 x,.D M/OC,0M _ CD X CD.-.OB BC,BP6 375,x:.C D=2,回：.BD=BC -C D=3A/5 -2 x,:EC D sABMD,爬 x 1 2 Q-xCD _DE 1 r-V5.屈 加 即3?=衬5，.JX(6X)(3JX)2,x (6-

38、x)(1-x)=0,X I=0 (舍)，12=6(舍),X 3=1,：.M(1,0)；综上所述：点M的坐标为(5,0)或(1,0).4.(20 21秋邹城市期末)如图，已知抛物线y=/+2x的顶点为A,直 线 产x+2与抛物线交于8,C两点.(1)求A,B,C三点的坐标；(2)作 C Z)J _ x轴于点 ),求证：X O D C s X A B C：向(3)若点P为抛物线上的一个动点，过点P作 PMLx轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O,P,M 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明【分析】(1)将抛物线配方后可得顶点A 的坐标，将抛

39、物线和一次函数的解析式联立方程组,解出可得 8 和 C的坐标；(2)先根据两点的距离计算A 3、B C、A C的长，根据勾股定理的逆定理可得：NABC=90 ,最后根据两边的比相等且夹角为90 度得两三角形相似；P M ABl P M(3)存在，设 M(x,0)，则 P(x*+2x),表示 O M=k|,P M=|?+2x|,分两种情况：有 0 M =司 或0 M =C Bl而，根据比例式代入可得对应x的值,计算点P的坐标即可.【解答】解:y=x2+2x=(x+1)2-1,，顶点 A(-1,-1 )；,y=x2+2x (x=-2(x=l由 ly=x+2，解得：y=0 或 y=3：.B(-2,0

40、),C(1,3)；(2)证明：V A (-1,-1),B(-2,0),C (1,3),A B V(-2+1)L+(0+1)2=V 2,8C=J(-2-l)2+(0-3)2=3点,AC=J(-l-l)2+(-l-3)2=2 匹ABl 丝 _ 1AAB2+BC2=AC2,BC-3 V 2-3 ,：.Z ABC=90 ,V O =1,C D=3,IBAB _ O PA B C-C D,Z ABC=Z O D C=90 ,.,.O O C s/M BC；（3）存在这样的尸点，设 M（x,0），则 P（x*+2x）,：.OM=x,PM=+2xy当以O,P,M为顶点的三角形与ABC相似时,P H l AB

41、l P M l C B有 O H =C B 或 O M -AB,由（2）知：A B=M,C B=3近,P M l ABl Ix 2+2x|工当 o il=CBI 时，则-=3,当P在第二象限时/0,x2+2x=1 7_x 3 ,解得：x i=o （舍）/2=-3 ,当P在第三象限时x 0,7+2x P=a,tanZBAO=0AP A=,P B=A B -P A=2 愿-V5=V5,则 PE=sina 1=司，故点 D（1,司）；当/B Q P为直角时，以8、P、。为顶点的三角形与AOB相似，则2Dx轴，则点8、。关于抛物线的对称轴对称,故点。（1,4）,9综上，点。的坐标为：（1,4）或（1,

42、2）,将点A、B、。的坐标代入抛物线表达式：）=/+法+0并解得：5y-2X2+2X+4 或 y-2 X2+3A-+4.6.（2022禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,-2）三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM L x轴,垂足为M是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若抛物线上有一点D （点 D位于直线A C的上方且不与点B重合）使得SADCA=%ABC,直接写出点）的坐标.【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；-（2）设P（1,-

43、%+为-2），则M（r,0）,1 4,分两种情况讨论：当N B 4M=N O A C时,tanIBNOAC=tan/MAP,可求 P(2,1)；当/以用=N0C4 时,tan/OAC=tan/APM,此时 P 点坐标不存在；（3）求出直线AC的解析式为y=2 x-2,再求出过点8作直线AC的平行线y=2|x-2|,联立方程 解析】(1)设抛物线的解析式为ya+bx+c,将 4(4,0),B(1,0),C(0,-2)K A y=ax1+bx+c,16a+4b+c=0,a+b+c=0Z.c=-2,解得lc=-2,1 _5-y=-2/+2%-2；（2）存在尸点,使得以A,P,M为顶点的三角形与OAC

44、相似，理由如下:设P（2),则 Af(Z,0),1/4,：.PM=-(4,0),：.AM=4-t,ft2 4 1 t-2：.tan ZMAP=VC(0,-2),OC=2,OA=4,1tan ZOAC=2蒋/导-2 当/秒1M=NOAC 时,2=4-t解得t2或t4(舍)，：.P(2,1)；IB米2得t-2 当 N%M=NOCA 时，4-t =2,解得f=4 (舍)或 f=5 (舍)，,此 时 P不存在；综上所述：P点坐标为(2,1)；(3)设直线AC的解析式为(4 k+b=0/.I b=-2 ,/.l b=-2,J.直线A C的解析式为y=x-2,J.过点B作直线A C的平行线y=2 x+m,

45、J.2 +m=0,1,.m=-2 ,j j J,；.y=2 x -2 ,f 1 1y a x-y联 立 方 程 组 尸？a x-2,（x=l f x=3解得I y=0（舍）或i y=l,7.(2 02 2 祥云县模拟)如图，己知抛物线y=o?+m+c过点4 (-1,0),8(3,0),交 y 轴于点C (0,3),向点M是该抛物线上第一象限内的一个动点,ME垂直x 轴于点E,交线段B C于点D,MN/x轴，交 y 轴于点M(1)求抛物线ya+bx+c的表达式；(2)若四边形MNOE是正方形,求该正方形的边长；(3)连结0。,AC,抛物线上是否存在点M 使得以C,0,D为顶点的三角形与A8C相似

46、,若存在，请求出点M 的坐标，若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据点A,B,C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；(2)设点M 的坐标为(x,-7+2x+3)(0 x 尸为等腰直角三角形，当O CO s4ABC时，利用相似三角形的性质可求出C D的长度，进而可得出D F的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标；当O CO sABC时,用相似三角形的性质可求出C D的长度,进而可得出D F的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标.综上，此题得解.【解析】(1)将 A(-1,0),B(3,0),C(0,3)，代入 y=ax2+fct+c,得：a-b+

47、c=O9a+3b+c=0c=3，解得:a=-lb=2c=3,.抛物线的函数表达式为y=-?+2x+3；(2)设点 M 的坐标为(x,-f+2x+3)(0 xCOS/ABC时,A B -C B,即 4 3&I,:.CD=2 近,；.DF=CF=2,二点M 的坐标为（2,3）.3 9l综上所述:抛物线上存在点M,使得以点C,OQ为顶点的三角形与AABC相似，点M 的坐标为（R,行）或(2,3).8.(20 22松江区校级模拟)如图,抛物线y=，-bx+c过点B(3,O),C(0,-3),D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)连接BC,CD,DB,求N C B D的正切值；(3

48、)点 C关于抛物线y=/-bx+c对称轴的对称点为E点，连接B E,直线B E与对称轴交于点M,在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使 C Q B 和 B M P 相似,若存在，求点P坐标，若不存在,请说明理由.【分析】(1)将点B、C的坐标代入y=-法+c,即可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；(2)求 得BC,CD,DB的长,根据勾股定理的逆定理可得 B C D 是直角三角形,N B C r =90 ,利用锐角三角函数的定义求解即可；(3)根据二次函数的对称性得E(2,-3),可得直线B E 为 y=3 x -9,则 M(1,-6),由(2)知

49、 C O B是直角三角形，/B C O=90 ,若 C O B 和 B M P 相似，可分两种情况进行解析：N M P B=N B C D=90 吐 N M B P=N B C =90 时,根据相似三角形的性质即可求解.【解析】(1)将点8、C的坐标代入抛物线表达式得：0=9-3b+c(b=2c=-3，解得 lc=-3,故抛物线的解析式为y=W -2x-3：；y=7-2 x-3=(x -1)2-4,：.D(1,-4)；(2)如图.IB,:B(3,0),C(0,-3),(1,-4),BC2=3 2+3 2=1 8,B C=V1 8=3 衣,C D1=i2+(4-3)2=2,C D=M,B)2=4

50、2+(3 -1)2=20,3 0=2遍,:.BD2BC2+CD2,.B C D是直角三角形,N 8C Z)=9(r ,CD：.tan Z C B D=BC=(3)点C关于抛物线尸f-2 x-3对称轴的对称点为E点,y=f：.E(2,-3),：B(3,0),二直线 B E 为 y=3 x-9,：.M(1,-6),由(2)知 C O B是直角三角形,/8C O=90 ,若A C D B和 B M P相似，可分两种情况进行解析：(l)ZMPB=ZBCD=90 时，点 P 在 x 轴上，Zr-3的对称轴为尸1,向:.PM=6,BP=2,至 上.丽节与BPI C D；NMP B=N B C D=9 0