新教材苏教版高中数学必修第二册第九章平面向量 知识点考点重点难点解题规律归纳总结.pdf

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1、第九章平面向量9.1 向量概念.-1-9.2 向量运算.-5-9.3 向量基本定理及坐标表示.-19-9.4 向量应用.-29-9.1向量概念知 识 点1向量的定义及表示定义既有大小又有方面的量叫作向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的左回，以A为起点、B为终点的向量记为防；(2)字母表示：用小写字母a,b,c来表示模向量法的大小称为向量的旨度(或称为模)，记作|施|定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？提示 向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量

2、的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面.知识点2向量的有关概念及其表示思 考2 (1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？名称定义表示方法零向量长度为2的向量记 作0单位向量长度等于L个单位长度的向量平行向量方向相同或相反的非零向量。与 平行(或共线)，记作a/b相等向量长度相等且方向相同的向量a与方相等，记 作a=b相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作一a(2)已 知 为 平 面 上 不 同 两 点，那么向量筋和向量萌相等吗？它们共线吗？(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？提示(1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线

3、.(2)因为向量协和向量或方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.重点题型 类 型1向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)任何两个单位向量都是平行向量；(2)零向量的方向是任意的；(3)在 ABC中，D、E分别是A3、A C的中点，则向量励 与 画 是平行向量；(4)对于向量。、b、c,若a)，且办。，则ac；(5)若非零向量油 与 诙 是 平 行 向量，则直线AB与直线C

4、 D平行；(6)非零向量屈与丽是模相等的平行向量.解(1)错误.因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)正确.任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；(3)正确.由三角形中位线性质知，D E/B C,向量西与西方向相反，是平行向量；(4)错误.为零向量时，有a且6c,但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错 误.A、B、C、。四点也可能在同一条直线上；(6)正确.非零向量荏与成的模相等，方向相反，二者是平行向量.厂.成 思 领 悟 .X1.在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性).2.涉及共线向量或平行向量的

5、问题，一定要明确所给向量是否为非零向量.3.对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可.提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.D 类型2向量的表示【例 2】一辆汽车从A 点出发，向西行驶了 100千米到达点也然后又改变方向向西偏北50。行驶了 200千米到达点C,最后又改变方向，向东行驶了 100千米到达点D.(1)作出向量荏，BC，C D，A D-,(2)求 而尝 试 与 发 现依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量筋，BC,C D,屐)；进而求出 画 解(1)如图.(2)由题意，易知福与诙方向相反，故油与诙共线，A B/CD.

6、又：m=cb,.在四边形A B C D中，A B-CD,二四边形ABC。为平行四边形，|疝|=|反:1=200(千米).厂.成思领悟 .用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.类型3共线向量【例 3】（对接教材P6例 2）如图，四边形ABC0是边长为3 的正方形，把各边三等分后，共 有 16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与公平行且长度为2娘的向量个数有 个.8 如图所示,满足与抚平行且长度为2啦 的 向 量 有FA,EC,CE,GH,HG,kJ,万共8 个.母题

7、探究1 .（变条件）在本例中，与向量危同向且长度为2啦 的 向 量有多少个？解 与向量危同向且长度为2啦的向量占与向量流平行且长度为2啦的向量中的一半，共 4 个.2.（变条件）在本例中，与向量劭 相等的向量有多少个？解J题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量初方向相同的向量与其相等，共 有 8 个.1.应 思领悟.1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.9.2向量运算9.2.1 向量的加

8、减法第 1 课时向量的加法知识点1向量的加法(1)向量加法的定义求两个向量和的运算叫作向量的加法.(2)向量加法的运算法则三角形法则：如图，已知向量a 和。，在平面内任取一点0,作宓=a,A B=b,则向量速叫作a 与的和，记作a+4 即0+方=/+筋=杳.这个法则称为向量加法的三角形法则.平行四边形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a,b,作 宓=a,0 C=b,以3，0 C为邻边作则以。为起 点 的 对 角 线 表 示 的 向 量 应 这 个 法 则 叫 作 向 量加法的平行四边形法则.思毡向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适用？提示 向量的三角形法则对任意两个向

9、量的加法都可以适用；向量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量.知识点2向量加法的运算律(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)a+0=0+a=a.(4)a+(a)=(-a)+a=O.重点题型类 型1向量加法的三角形法则和平行四边形法则【例1】如图，已知向量a,b,c,求作和向量a+)+c.解J法一：可 先 作a+c,再作(a+c)+A,即 为a+8+c(用到向量加法运算律).如图，首先在平面内任取一点。，作 向量 宓=a,接着作向量油=c,则得向 量 份=a+c,然后作向量反1=，则向 量况=a+6+c为所求.DE法二：三个向量不共线，用平行四边

10、形法则来作.如图，(1)在平面内任取一点0,作小l=a,OB=b;(2)作平行四边形A 03C,则灰=a+)；(3)再作 向 量 历=c:(4)作口CODE,则 为=O W+c=a+b+c.则 无 即为所求.厂.(J5思领悟.X向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.类型2向量的加法

11、运算【例2】(1)在正六边形A 8 C D防 中，A B=a,A F=b,则危=,A D_,A E=_(2)AB+D F+C D+B C+F A=.(1)2。+。2 a+2 b a+2 b(2)0 如图，连接 R 7 交 A O 于点 O,连接 0 8,由平面几何知识得四边形A B O F,四边形A B C O均为平行四边形.根据向量的平行四边形法则，有历=油+能=a+b.在平行四边形 A BCO 中，A C=A B+A O=a+a+b=2 a+b,A D=2 A O=2 a+2 b.而在=A d=a+b,由三角形法则得病=心+走=D+a+b=a+24(2)A B+D F+C b+B C+F

12、A=A B+B C+C D+D F+F A=0.厂 成 思领悟.1 .解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2 .运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.类型3向量加法在实际问题中的应用【例 3(对接教材PH例 2)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是1 0k m/h.(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东3 0。有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)尝 试 与 发 现结合

13、实际问题画出草图，借助三角形的边角关系求解.解(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为2 0k m/h;小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为O k m/h,此时小船是静止的.(2)如图所示，设而表示水流的速度，疚表示小船实际过河的速度.北设 M C L M A,MA =MB=0,N C M 2 3 0 0.二四边形M AN B为爰形.则/AM N=6 0,A M N 为等边三角形.在中，|两=|疚|=|而|=10,：.Z B M N=6 Q ,而 N CM N=3 0。,：.Z CMB=3 0,所以小船要由M 直达码头N,其航向应为北偏西3 0.厂.成 思 领 悟 .解决与向量有关的实际应用

14、题，应本着如下步骤：弄清实际问题一转化为数学问题一正确画出示意图一用向量表示实际量一向量运算一回扣实际问题 作出解答.第2课时向量的减法知 识 点 向 量 的 减 法（1）向量减法的定义若 方+x=a,则向量x 叫 作 a与 的差，记 为ab,求两个向量差的运算，叫作向量的减法./bBx0 a A（2）向量的减法法则如图所示，以。为起点，作 向 量 为=。，O B=b,则 放=a ），即当向量a,b起点相同时，从幺的终点指向生的终点的向量就是a-b.思考K.向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减法，a b=。+（6）是否一定恒成立？提示 向量的加法三角形法则对任意两个向量

15、首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向量；类比实数的减法，。一方=。+（一。）一定恒成立.重点题型类 型 1 向量减法的几何作图【例 1】（对接教材Pi2 例 3）如图，已知向量a,b,c,求作向量a 分一c.解 法一：先作a 力，再作（a 万）一c 即可.如图所示，以A 为起点分别作向量篦和危，使 麴=a,AC=b,连 接 CB,得向量西，再 以 C 为起点作向量前，使 =c,连接08,得向量力及则向量方方即为所求作的向量a 8c.法二:先作一b,c,再作a+(6)

16、+(c),如图.（1）作协=-b和册=-c;（2）作。X=a,则次7=a一万一c.,应思领悟.求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.D类型2向量减法法则的应用【例2】（1）化简下列式子：N Q-P Q-N M-M P；（屈 一 ）一（危 一 防）.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，8是该平行四边形外一点，且屈=a,A C=b,A E=c,试用向量a,b,c表示向量，BC,BD.解（1）原 式=版+0一（而/+宓）=种 一 标=o.逐 一 诙）一 乘 一

17、 曲=A B-C b-A C+B D=A B+D C+G +B D=(A B+BD)+(DC+CA)=A D+DA=(i.(2)因为四边形A C D E是平行四边形，所以前=油=，；B C=A C-A B=b a,故 防=比+诙=Za+c.厂 成 思领悟.(1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.(2)用几个基本向量表示其他向量的技巧观察待表示的向量位置；寻找相应的平行四边形或三角形；运用法则找关系，化简得结果.类型3 一 例 与)之 间 的 关 系【例3】已知=6,制=8,且|a+5|

18、=|a3|,求|Q尝 试 与 发 现结合向量加、减的运算法则，你能发现向量。，)间存在怎样的位置关系？如何借助该关系求得|a一瓦 解 如图，设 屈=a,AD=b,以 A8,AO 为邻边作QABCD.则 危=a+b,D B=a-b,因为|a+例=|a一回,所以以酉=|彷又四边形AB C D为平行四边形,所以四边形AB C D为矩形.故 A D LA B.在 中，|屈|=6,|疝|=8,由勾股定理得|加|=、/|郡+|屐)2 =62 _|_82 =0,所以|“一臼=1().厂.反 思 领 悟.1 .以平行四边形A 8 C D 的两邻边A B,AD分别表示向量拔=a,A D=b,则两条对角线表示的向

19、量为庆=a+b,D B=a-b,这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.2 .若|a+旬=|一回，则以a,方为邻边的平行四边形是矩形.9.2.2 向量的数乘知识点1 向量的数乘定义一般地，实数人与向量a 的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下：(lW=|z|a|；(2)若 a#0,则当2 0 时，九 i 与a 方向相同;当丸0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当/IV0时，把向量a 沿着a 的相反方向放大或缩小.量重j 1.z a=0,一定能得到2=0 吗？提 示 不一定.痴=0,则2=0 或a=0.知识点2 向量数乘的运算律设a,8 为向量，九 为实数，则(1)她 G=

20、()“；(2)(2+)a=；(3)A(a+6)=z a+A Z .向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.知识点3 向量共线定理一般地，对于两个向量a(aWO),方，设a 为非零向量，如果有一个实数人使b=Xa,那么8 与a 是共线向量；反之，如果与a 是共线向量，那么有且只有一个实数人使8=痴.垦 红2.向量共线定理中，为什么规定aWO.提示 当a=O 时，显然白与a共线，此时若b=0,则存在无数实数九 使b=；若方W0,则不存在实数A使得力=曲.重点题型 类型1向量数乘的基本运算【例1】计算：(1)6(3。26)+9(2a+b)；(2),(3a+2彷等一办一翡Q+蓑 时制;(3)6(。

21、-b+c)-4(a-2Z+c)-2(2a+c).解(1)原式=18。-126-18a+明=-36(2)原式=g(3a+2 方 _：“一)一 看$+%+5(3)原式=6。-6)+6c4+8。一4c+4a2c=6a+2.厂.cS 思 领 悟.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.类型2向量的共线问题【例2】已知非零向量ei,e2 不共线.(1)如果屈=ei+e2,BC=2 ei+8ei,CD=3(e-e2),求证：A,B,D 三点共

22、线.(2)欲使氏i+e2 和ei+&2共线，试确定实数k的值.尝 试 与 发 现(1)欲证A,B,。三点共线，能否证明油与疝或彷共线？(2)若ke-ei与ei+婕2 共线，则两向量间存在怎样的等量关系？解(1)证明：A B=e+ei,Bb=BC4-cb=2ei4-8e2+3ei-3e2=5(ei4-e2)=5A B,：.A B,由)共线，且有公共点8,B,。三点共线.(2)二,+ez与e i+无 02共线，,存在实数九 使&i+e2=%+履2),则(%4)eik2=0,=(M 1)62,由于ei与及不共线，只能有J .Z=1.1=0,厂 思领悟 .1.证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其

23、中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.2.若A,B,C三点共线，则向量荏，A C,病在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系.而向量共线定理是实现线性关系的依据.类型3向量的表示【例3】如图所示，已知0 A 3中，点。是以A为对称中心的8点的对称点，。是把濡分成2：1的一个内分点，。和0 4交于E,设为=，0B=b.(1)用“和方表示向量反，DC；(2)若无=2宓，求实数的值.解(1)依题意，A是B C中点,：.2 0A=0B+0C,即况=2%为=2。一从2D C=o c-o b=OC-OB(2)若 无=%近，则 无=无 一 次；=痴一(2。一加=(2

24、2)。+瓦.走 与 反 共 线，,存在实数女，使年 二 辰,.(A2)a+Z=2a解得力=”.厂.成思领悟.用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想.9.2.3向量的数量积知 识 点1向量的数量积已知两个非零向量a和江 它们的夹角是仇 我们把数量la烟cos。叫作向量a和 分的数量积，记 作aS,a-b=abcos 6.规定：零向量与任一向量的数量积为0.星-1.(1)两个向量的数量积是向量吗？(2)数量积的大小和符号与哪

25、些量有关？提示(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量.(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.知识点2两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a,b,作 为=,O B=b,则乙4。8称为向量a与力的夹角.B0 a A(2)范围：0 W g 8 0 .(3)当时，a与同向；当6=180。时，a与5反向.(4)当，=鳖 时，则称向量。与分垂直，记作两个非零向量。和/,的夹角a可以由cos。=命 求 得 知识点3投影向量设a,是两个非零向量，如图，醇表示向量a,为表示向量从过点A作为所在直线的垂线，垂足为点4,我们将上述由向量得到向量/I的变换称为向量a向向量

26、方投影，向 量/1称为向量a在向量上的投影向量.(1)(2)所以苏i=(lalcos，由,a-b=OA b.投影向量与向量数量积的关系：向量a和向量b的数量积就是向量。在向量上的投影向量与向量b的数量积.知识点4向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a,b,c和实数九a-b=ba-,(2)(2彷)=hi，b:(a+5)c=0c+Z,c.(2)数量积的性质：a-a=|a|2 或|a|=yah；|a例W|a|创，当且仅当向量a,6为共线向量时取“=”号；ab 3 Z2=2|a|2+5|a|Z|cos 1 2 0。一 3 步 F=8-1 5-2 7=-3 4.厂.思领悟 .1

27、.求平面向量数量积的步骤：求。与。的夹角仇e e o,扪；分别求和|回；求数量积，即a2=|础次OS仇 要特别注意书写时,a 与)之间用实心圆点”/连 结，而不能用“X”连结，也不能省去.2 .较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.D 类型2 求向量的模【例 2】已知向量次=a,OB=b,ZA OB=6 0,且同=网=4.求|a+|,a一 方iab.解：a山=|研|例 cos/A O8=4 X4 x g=8,/.a+b=q(a+b=-a2-1-2a-b-1-b2=、1 6+1 6+1 6=4 小,a-b=y(aby=J a2-2 a 4-62=461 6+1 6=

28、4,|3 a+Z|=d(3 a+方 =9 层+6。3+4=、9 义 1 6+4 8+1 6=4 v H.二.成 思 领 悟 .1 .求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用勿忘记开方.2.一些常见的等式应熟记，(a b)2=a22ab+b2,(a+),(a-)=。2 一 等.G 类型3 求向量的夹角【例 3】已知a,b都是非零向量，月 5+3 5 与 7 a5 力垂直，a4 b与7 a-2 b 垂直，求。与的夹角.尝 试 与 发 现由两组向量分别垂直可得出，向同a山的关系，由此可借助公式cos。=磊求 a 与b的夹角.解 由已知，得3+3)(7。-5 5)=0,即 7/+1

29、6。-1 5 庐=0,(a-4 b)-(7 a-2b)=0,即 7 a2-3 0a-b+8 b2=0,两式相减，得2a功=1 2,.,.a b=b2,代入中任一式，得片=2,设%8的夹角为仇则cos。=丽=而=2，V 0 1 8 0,：.0=6 0.r.思领悟.求a 与分夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算。协及同向，在此基础上结合数量积的定义或性质n*h计算恒5。=丽，最后借助e e 0,兀 ,求 出。的值.(2)在个别含有，制及。协的等量关系式中，常利用消元思想计算c o s。的值.提醒：注意两向量的夹角。6 0,兀 .9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1 平面向量基本定理知 识 点1

30、平面向量基本定理(1)定理：如 果e i,e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数为，方，使a=/h g i+乃 2.(2)基底：两个不共线的向量0,6 2叫作这个平面的一组基底.小 如 果e i,e 2是两个不共线的确定向量，那么与0,e 2在同一平面内的任一向量a能否用e i,e 2表示？依据是什么？提示 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.知识点2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e,e 2表 示 成a=为0+2262的形式.我们称4 +4 2 6 2为向量a的 分 解.当 幻,2所在直线互相垂直时，这种分解

31、也称为向量a的正交分解.重点题型 类 型1对向量基底的理解【例1】如果a,e 2是平面a内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A.若实数力,42,使21 0+2262=0,则 21=22=0B.空间任一向量。可以表示为a=/bei+丸2 0 2,这里力，上为实数C.对实数21,丸2,为6 1+2 2 0 2不一定在该平面内D.对平面内任一向量。，使4=2+七0 2的实数力，上有无数对A 平面a内任一向量都可写成e i与6 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数为，后，向量A i e i+人2 6 2一定在平面a内，故C不正确；而对平面a内的任一向量a,实数无，上是

32、唯一的，故D不 正 确.厂.成思领悟 .考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.止匕外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.口 类 型2用基底表示向量【例2】如图所示，在 A B C中，点M是A8的中点，且 俞=家，B N 与CM相交于点E,设 油=a,AC=b,试用基底a,A表示向量能.解 法一：由已知，在 A B C中，AM=M B,且 病=；近，已知B N 与 C M交于点跳 过N作A3的平行线，交CM于。，如图所示.在 A C M中，税=翳-3,N D N E D E 2所 以 砺=丽=丽=予/-2一所以N E q N B,

33、A E=A N+N E=A C+N B=1 庆+,（隔+油）法二：易得俞=|庆=g。，A M=A B=a,由N,E,3三点共线知存在实数相，满足 ,1A E=m A N+(l m)A B=2 b+(lm)a.由C,E,M三点共线知存在实数外 满足AE=nAM+(1 n)AC=na+(n)b.所以;力+(1 m)a=+(1 ti)b.I 1 -m=；n,因为 b 为基底，所以 一2m=一 ，r 3m=g,解得 4 所以能=a+1b.、=予厂.反 思 领 悟.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过

34、列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.D 类型3平面向量基本定理与向量共线定理的应用【例 3】如图，在A8C中，点M 是BC的中点，N在AC上且AN=2NC,AM与BN交于点P,求A P：PM的值.解 设6=a,AC=b,则与f=1(a+Z ),BN=a+b.VA,P,M 共线，Z.设协=加拓f A ,.,.AP=2(a+b).同理设丽=丽,.,.BP=/tia+ib.A B=A P+PB,/.a=2（+b）（一 a+7,（1 _1 _4=修一岗，,：a与b不共线,.伊，=1,X 2匕 下=5,=予.A P=A M,BP=BN,：.A P：P M=4：1.厂.成 思 领 悟.1 .充分挖掘

35、题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用.2 .用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握.9.3.2向量坐标表示与运算第1课时 向量的坐标表示知识点1向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与X轴、v轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的向量。，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y),使得a=xi+yj.我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标，记作 a=(x,y).1.在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(l,1),则A点位置确定了吗？给定向量。的坐标为4 =(1,1),则向量 的位置确定了吗？提示

36、 对于A点，若给定坐标为A(l,1),则 A点位置确定.对于向量a,给定的坐标为a =(l,1),此时给出了 a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此。的位置还与其起点有关.知识点2 向量线性运算的坐标表示(1)已知向量。=(x i,y i),b=(x2,*)和实数九那么 a+/=(x i+x 2,y i +y 2),a 1=(XL X2,y i y 2),7 l a=(A x i A y i).(2)已知A(x i,y i),B(X2,”)，O为坐标原点，则 油=一 宓=5 2,也)一(加，y i)=(x 2 x i,V 2 y i),即一个向量的坐标等于该向

37、量终点的坐标减去起点的坐标.思考k 2.设 i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a=(x i,巾),b=(x2,2),则 a=x i i+y j,b=x2i+yy,根据向量的线性运算性质，向量a 十5，a-b,S R)如何分别用基 底 用 j表示?提示 a+6=(X i +x 2)i 4-(j i +y2)j,a-b x X 2)i+(i yi)j,痴=A x i i+肛i j.重点题型 类 型 1 平面向量的坐标表示【例 1】(对接教材P 2 8 例 1)在直角坐标系x O y 中，向量a,方的位置如图，=4,b=3,且N A Q x=4 5。，N O A B=1 0 5。，分别

38、求向量a,方的坐标.解 设 a =(a i,2),b=(b,bi),由于向量a相对于x轴正方向的转角为4 5 ,所以 a i=|a|c o s 4 5 =4 X 乎=2 啦，a 2 =|a|si n 4 5。=4 乂乎=2 6.可以求得向量。相对于无轴正方向的转角为1 2 0。,3所以勿=|cos 120。=3 X 一b2=bsin 120=3义 坐=曰 3.故。=(2隹2 2),8=一|,驾目厂.思领悟 .求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.类型2平面向量的坐标运算【例 2】已知平面上三个点A(4,6),8(7,5),C(l,8),求屈

39、，AC,AB+AC,2AB+AC.解 VA(4,6),8(7,5),C(l,8),：.AB=(3,-1),A C=(-3,2),AB+AC=(O,1),一1 一2AB+AC=(6,-2)+厂.近 思 领 悟.平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.类型3平面向量线性运算的坐标应用【例 3】已知点。(0,0),A(l,2),3(4,5)及 种=/+方 及 试问：(1)当7为何值时，P 在x 轴上？P 在y

40、轴上？(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值.若不能，说明理由.尝 试 与 发 现以坐标轴上点的坐标特征为切入点求解t的值；结合平行四边形的向量表达式建立参数，的表达式.解 荏=（3,3）,OP=OA+tAB=（l+3t,2+3。，则 P（l+3f,2+3。.2若P在x轴上，则2+3/=0,所 以r=一于若P在y轴上，则1 +3/=0,所 以 =一（2）因为次=（1,2）,PB=（33t,3-30,若。ABP是平行四边形，则 昂=而，f3-3 r=l,所以 彳 此方程组无解；33r=2,故四边形OABP不可能是平行四边形.母题探究1.（变条件）在本例条件下，若P在第三象

41、限，求/的取值范围.l+3r0,2 解 由本例解知，若 在第三象限，则 ,解 得 一今 所 以 的取12+3/.昼造！若A(,yi),8(X 2,刈，如何计算向量油的模？提示：AB=O BOA=(xix,y2-y),*|A B|=7(X 2 -龙+-y.重点题型 类 型1数量积的坐标运算【例 1】已知。=(1,3),6=(2,5),c=(2,1),求：(l)a如(2)(a+b (2 a+b)；(a协)-c.解(l)a 山=1 X 2+3 X 5 =1 7.(2).(3,8),2。+。=(4,1 1),/.(a+6)-(2 a+6)=1 2 +8 8=1 0 0.(3)(a 山)-c=1 7 c

42、=(3 4,1 7).厂.思领悟 .利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.类型2 向量的夹角【例 2】已知A(2,-2),B(5,1),C(l,4),求N B A C 的余弦值.解：A B=(5,1)-(2,-2)=(3,3),A C=(1,4)-(2,-2)=(-l,6),/.A g A C=3 X(-1)4-3 X 6=1 5.K|AB|=A/32+32=3V2,m=(-l)2+62=V3 7,_ A B A C _ 1 5 _5 7 4丽 m=34*啊=7 4厂.c

43、M 思领悟 .s已知a,b的坐标求夹角时，应先求出a 山及|a|,例，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.类型3 向量垂直的综合应用【例 3】已知在A 3 C 中，A(2,-1),B(3,2),C(3,1),A D 为 B C边上的高，求同方.解 法一：设点。坐标为(x,y),则屐)=。-2,y+1),B C=(-6,一3),B D=(x3,y2),在 直 线 上，即防与比共线，,存在实数九 使曲二液,即(x3,y 2)=2(6,3),卜 一3 =-6 2,厂 2=-3 L：.x-3=2(y-2),即 x2 y+l=0.又.,A O L 3 C,：.A D B C=Q,即(x2,y+

44、l (6,3)=0,6(x2)3(y+1)=0,即 2 x+y-3=0.x=1,由可得 即。点坐标为(1,1),A D=(-l,2),3=1,/.A D=/(-1)2+22=5,即 丽 尸小.法二：在A A B C 中，A(2,-1),B(3,2),C(3,1),所以反?=(一6,3),A B=(1,3).与反:垂直的一个向量能=(一3,6),所以|丽=3小，A B-A E=15.向量加在崩上的投影向量疝=(瓜 加o s 6)4互(其中6为屈和脑的夹角)，m所以|疝|=(|而|c os|=丝 用=枭=小.A E A E厂.思领悟 .向量的垂直问题主要借助于结论：aA.bab=0 xx2+yy2

45、=0,把几何问题转化为代数问题.它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.(1)与向量a=(x,y)垂直的一个向量可以设为。=&,%)；(2)求AABC中 边 上 的 高A。，可以先求出与比垂直的一个向量施，再求出油(或危)在靠上的投影向量的模，就是高AO的大小.9.4向量应用知识点向量的应用用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则.物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.(3)向量在平面解析几

46、何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.重点题型 类 型1向量在物理中的应用【例1(对接教材P38例1)如图所示，在 重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30,6 0,求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.解 如图，作平行四边形。A C 8,使NAOC=30,ZBOC=60.在QAC 中，/A CO=N 8O C=60

47、。，ZOAC=90.|(9A|=|(9C|cos 30=八1300 X =15O3(N),|两=|的sin 3O=X3OO=150(N).故与铅垂线成30。角的绳子的拉力是15M N,与铅垂线成60。角的绳子的拉力 是150 N.厂.废思领悟.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形,将物理量之间的关系抽象为数学模型.口 类型2向量在平面几何中的应用【例2】如图所示，在正方形A8CO中，E,尸分别是AB,BC的中点，求证：A F1D E.解 法一：设 疝=a,AB=b,则同

48、=步|,ab=Q,又 建=反+能=_?+?,A F=A B+B F=b+,所以办场=,+3(-。+外=山+与=|a|2+|ft|2=0,故小 J_ 无，A F1.DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(l,0),F(2,1),AF=(2,1),DE=(1,-2).因为能方 金=(2,1)-(1,-2)=2-2 =0,所以赤，无，AFIDE.厂.成 思 领 悟.X向量法证明平面几何问题的方法(1)向量的线性运算法(2)向量的坐标运算法但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.1 3类型3平面向量的综合应用 一 4【例 3

49、】已知在 RtzA3C 中，ZC=90,ABAC=9,tan A=,P 为线段AB上的点，且 支=升0+t坐，则 孙 的 最 大 值 为.CA CB3 在 RtABC 中，由Ak危=9,得 ABACcosA=9,4因为 中，Z C=90,tanA=,“3所 以cos A=予所以 A8AC=15,所以 AB=5,AC=3,BC=4.又P为线段AB上的点，且 声=1笈+；.西故+=1 R x、，即孙W 3,当且仅当即x=,y=2 时取等号.厂.成思领悟.利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，要先将线段看成向量，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化，得以解决.