线性代数期末考试试卷3.pdf

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1、说 明：本 试 卷 总 计 100分，全 试 卷 共 页，完 成 答 卷 时 间 2小 时。得 分 阅 卷 人（签 全 名）一、单 项 选 择 题（本 大 题 共 10题，每 题 3 分，共 3 0 分）勾 0 0 仇 1、四 阶 行 列 式 2 2 2 的 值 等 于（）.0 b3 a3 0b4 0 0 a4A、/a2a3a4 一 帅 2b3b4 B、（aa2-bb2）（a3a4-b3b4）C、2a3a4+b、b2b3b&D、（出 生 一 匕 2b3）（%-匕 也）2、已 知 四 阶 行 列 式 2 第 1行 的 元 素 依 次 为 1,2,-1,-1,它 们 的 余 子 式 依 次 为 2

2、,-2,1,0,则 心 二（）。A、3 B 5 C、3 D、53、对 于 阶 可 逆 矩 阵 A,B,则 下 列 等 式 中（）不 成 立.A，|W|=|A-|-B-I B、=（1/内|）.（1/1）C,|（AB）-，|=|A|-|.|B|-1 D、（4 8/卜 1/|4同 4、设 A 是 上（下）三 角 矩 阵，那 么 A 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是 A 的 主 对 角 线 元 素 为（）.A、全 都 非 负 B、不 全 为 零 C、全 不 为 零 D、没 有 限 制 ai2。13/a2a22。23,5、设 力=a22 23,B=卬 4 2。13。31。32。3 3,、。31+a

3、“32+a2。33+a?)0 1 0、1 0 0、尸 1=1 0 0,P,=0 1 0则 必 有（）。A、A P R=B B、4P,P、=B C、PP,A=B D、P、P】A=B6、设 力 为 阶 方 阵，B 是 N 经 过 若 干 次 矩 阵 的 初 等 变 换 法 所 得 到 的 矩 阵，则 有（）oA、词=忸|B、词。忸|C、若|/|=0,则 一 定 有 忸|=O D、若 则 一 定 有 忸|07、如 果 向 量 夕 能 由 向 量 组 4,电，线 性 表 示，则（）。A、存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 占 次 2,心，使 得 少=匕 丁+左 2a2+噂 分 B、对 夕 的 线

4、性 表 示 不 惟 一C、向 量 组 少,名,阳,生”线 性 相 关 D、存 在 一 组 全 为 零 的 数 匕，女 2,，使 得 夕=%冈+%2a2+%/8、设 阶 方 阵/的 秩 为，则 在 Z 的 个 行 向 量 中（）oA、必 有 r个 行 向 量 线 性 无 关 B、任 意 r个 行 向 量 均 可 构 成 最 大 无 关 组 C、任 意 r个 行 向 量 均 线 性 无 关 D、任 一 行 向 量 均 能 由 其 他/个 行 向 量 线 性 表 示 9、若 a”的,”线 性 相 关，且 占%+%2a2+左/,=，则（）。A、k=1（2=,=km=0 B、占,左 2,左”全 不 为

5、零 C、2,&不 全 为 零 D、上 述 情 况 都 有 可 能 10、已 知 4，色 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 Zx=8 的 两 个 不 同 的 解，g,如 是 其 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组 4r=0 的 基 础 解 系，占,及 是 任 意 常 数，则 4r=6 的 通 解 为（）oA、&1+&2（+”2）+g（A 一 42）B、+&2（/+“2）+g（4+02）C、ka+女 2（人-42）+；3-4 2）D、卜 西+秋 人-*）+；（林+）得 分 阅 卷 人（签 全 名）二、填 空 题（本 大 题 共 8 题，每 题 3 分，共 2 4 分）1、设/为 阶 方 阵，

6、且 H|=2,则|3/T _ 2/*|=52、设 3 阶 方 阵 A=0,00 0、3 1,则/的 逆 矩 阵/2 b3,若 4 5 都 是 阶 非 零 方 阵，且/5=0,则 R（Z）/io+x2+x3-0,4、若 齐 次 线 性 方 程 组 卜 1+疝 2+当=，只 有 零 解，则 力 应 满 足 的 条 件 是 X+当=05、若 A 是 阶 非 零 方 阵，且 H（A）=-1,则 R（A*）=o1 0 3 1 2、6、设/=-1 3 0-1 1,若 齐 次 线 性 方 程 组 公=0 的 基 础 解 系 含 有 3 个 解 向 量，则、2 1 7 2 t,7、已 知 三 阶 方 阵/的

7、三 个 特 征 值 为 1,-2,3,则/T 的 特 征 值 为 8、设 二 次 型/=X；+2xj+3x；+4X,X2+4X2X3,则 的 正 惯 性 指 数 为。得 分 阅 卷 人（签 全 名）二 计 算 题（本 大 题 共 5 题，每 题 6 分，共 3 0 分）a t b b b b b a b b b1、计 算 行 列 式：,b b a+b b-h-b-b a-b2、求 向 量 组%=-1,a2=1J，3、a3=1,a42的 秩 与 一 个 最 大 无 关 组。3、三 阶 实 对 称 皿 的 特 征 值 为 i 直 4 的 特 征 向 量 为 求 A。1 0 1、4、设 4=0 2

8、0 1 0 L.A B+E=A2+B,求 8。5、设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 3,7,%,3为 它 的 三 个 解 向 量，%+3求 该 方 程 组 的 通 解。得 分 阅 卷 人（签 全 名）四、证 明 题（本 大 题 共 2题，每 题 8 分，共 16分）1、设 大=。a 为 正 整 数），证 明（E-A）T=E+A+A2+.AT。2、设 囚,火，,%是 一 组 维 向 量，证 明：名,，,凡 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 任 一 维 向 量 都 可 由 它 们 线 性 表 示。一、单 项 选 择 题（本 大 题 共 10题

9、，每 题 3 分，共 3 0 分）1、C,2、D,3、B 4、C,5、C,6、C,7、C,8、A,9、C,10、B.二、填 空 题（本 大 题 共 8 题，每 题 3 分，共 24分）1、(T)!，25、1,2、6、E1/50I 01-10、-233、,4、4 w 1,7、8、3三、计 算 题(本 大 a+b-b C1、解：,b-b2、解：A=(a”所 以 R(题 共 5 题，b bi-b-bb a+b-b-ba b b b0。0 00 0 a Q0 0 0 a。每 题 b-Iba 一=a5)=4，%)b4/1(、(、()6 分 a1-10230010=3,，共 3 0 分)+b b b ba

10、 a 0 0-a 0 a 0a 0 0 a2 3 5-91 1 0-83 2 7-133 5-94 5-17-2 2 40 2 3、0 3-31 1-2,a,22,a3 是 一 3 分 3 分 X2 分 7，2 分 一 个 最 大 无 关 组。2 分 再、3、解:设“尤 2 是 对 应 于 1的 特 征 向 量，则 有 夕 8=0,(0、因 而 百=c 0，统=，1，c为 不 等 于 0 的 任 意 常 数.同 1-1取 7=72，2=1、0 3-f 0、,令 P=(,%,3)，则 有 12 分 2 分-1P-AP=P A P 11因 此，A=P 1、(0 0、Pr=0 0-1J O T O,

11、2 分 4、由 4B+E=A2+B,得(A-E)8=A?-E=(A-E)(A+E)3 分 又,一 国=-1#0,所 以 B=A+E=201o n3002,3 分 5、方 程 组 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 含 4-3=1个 解 向 量 J,则 所 求 方 程 组 的 通 解 为 X=7+4 其 中 k为 任 意 常 数。=(7一%)+(7 一)=2%2+%)=因 此，方 程 组 的 通 解 为 四、证 明 题（本 大 题 共 2题，每 题 8 分，共 16分）1、证 明：由 于 A*=0 所 以 E-A&=E2 分 3 分 1分 3 分(E-A)(E+A+A2+

12、-+A)=E 3 分 所 以，E-A 可 逆，并 且(E-A)T=E+A+A 2+AL 2 分 2、证 明：（必 要 性）设%,火,。”线 性 无 关，并 设 夕 是 一 个 任 意 的 维 向 量，于 是 由+1个 向 量 构 成 的 向 量 组：B，%,4,a,线 性 相 关，由 根 据 假 设 囚,，,凡 线 性 无 关，得 知 必 能 由 四,a“线 性 表 示。4分(充 分 性)设 任 一 九 维 向 量 都 可 以 由 a”。?,凡 线 性 表 示，则 单 位 坐 标 向 量 组,?2,能 由 向 量 组 线 性 表 示，因 此 R(El,e2,-,En)R(xi,a2,-,an)又 九，从 而,R(al,a2,-,an)=n,因 此 因,线 性 无 关。4分