高考数学（文）重难点专练01《数列》（解析版）.pdf

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1、重 难 点 0 1 数 列【高 考 考 试 趋 势】高 考 中 考 查 数 列 难 度 不 大，知 识 点 考 查 比 较 简 单，也 是 高 考 中 务 必 拿 分 题 目，对 于 大 部 分 人 来 说，数 列 这 一 知 识 点 是 不 容 失 分 的.本 重 点 专 题 是 通 过 对 高 考 中 常 见 高 考 题 型 对 应 知 识 点 的 研 究 而 总 结 出 来 的 一 些 题 目，通 过 本 专 题 的 学 习 补 充 巩 固，让 你 对 高 考 中 数 列 题 目 更 加 熟 练，做 高 考 数 列 题 目 更 加 得 心 应 手.【高 考 常 见 题 型 分 类 总 结

2、】通 项 公 式 的 求 法=panA+q 的 形 式，主 要 是 利 用 an+m）=p anA+in）的 形 式 进 行 转 化 对 于 an=pa+pn+l,主 要 采 用&-第=加 的 形 式 进 行 转 化 运 算 对 于 q-。八=0 4%一 般 采 用 转 化 成-一=的 形 式 进 行 转 化 运 算.对 于 求 和 问 题 裂 项 求 和 形 如%=-L 的 形 式 一 般 采 用 裂 项 二）的 形（2n-l）（2n+l）2 2 n-l 2+1式，注 意 前 面 的!此 系 数，是 由 2-1与 2+1系 数 只 差 确 定.2错 位 相 减 求 和 问 题，本 专 题 题

3、 目 中 有 出 现.分 组 求 和 问 题，分 为 两 种，一 种 是 绝 对 值 分 组 求 和 问 题，另 外 一 种 是 两 种 不 同 数 列 的 分 组 求 和 问 题.【常 见 题 型 限 时 检 测】（建 议 用 时：35分 钟）一、单 选 题 1.（2019.全 国 高 考 模 拟（文）在 等 差 数 列 4“中，4+4 5+%+为+4 3=1 0，ab-a2=12,贝（4=（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】B【解 析】【分 析】先 由 题 意 求 出 外=20,设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 4，求 出 公 差，进 而 可 求 出 结 果.【详 解】因 为

4、 4+/+%+4）+43=10，所 以 5%=100,即%=20,设 等 差 数 列%的 公 差 为 d,又 4 一 g=1 2,所 以 4d=12,故 4=3,所 以 4=%6d=2018=2故 选 B.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 基 本 量 的 计 算，熟 记 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可，属 于 基 础 题 型.2.（2019广 东 佛 山 实 验 中 学 高 三 月 考（理）已 知 a,是 公 差 为 1的 等 差 数 列，S,为 伍”的 前 项 和，若 Sg=4S4,则 q=（）5 7A.B.3 C.-D.42 2【答 案】c【解 析】

5、【分 析】利 用 等 差 数 列 前 项 和 公 式，代 入 A=4S4即 可 求 出 q=；,再 利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 就 能 算 出 可.【详 解】V 为 是 公 差 为 1的 等 差 数 列，S8=4邑，c 8x7x1“r 4x3x1)/.84 H-=4x1 4a,+-1 1 7解 得 4=5,则 4=5+3x1=,故 选 c.【名 师 点 睛】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 其 前 项 和 公 式 的 运 用，是 基 础 题.3.(2019河 南 高 三 月 考(文)设 4 是 首 项 为 q,公 差 为-1的 等 差 数 列，S”为 其 前

6、n项 和，若 耳,邑,54成 等 比 数 列，则 q=()1 1A.2 B.-2 C.D.-2 2【答 案】D【解 析】【分 析】把 已 知 S2=ES,用 数 列 的 首 项 4 和 公 差 d 表 示 出 来 后 就 可 解 得,【详 解】,1因 为 如 S2,54 成 等 比 数 列，所 以 S22=S,S4,即（24 1）2=q（4q-6）,.故 选 D.【名 师 点 睛】本 题 考 查 等 差 数 列 的 前 项 和，考 查 等 比 数 列 的 性 质，解 题 方 法 是 基 本 量 法.本 题 属 于 基 础 题.4.（2018河 南 高 考 模 拟（文）已 知 4 为 等 差 数

7、 列，4+4+%=105,4+%+线=99,以 5.表 示 q 的 前 项 和，则 使 得 S,达 到 最 大 值 的 是（）A.21 B.20 C.19 D.18【答 案】B【解 析】试 题 分 析：设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d，则 由 已 知 4+4+6=1 0 5,%+4+6=99，得：a,39 3q+6d=105解 得：*=-2,3q+9。=99an=41 2n,由 风=41-2 20,得：n 0,当“221 时，an 0,故 当=20时，S”达 到 最 大 值.故 选 B.考 点：等 差 数 列 的 前 n 项 和.【易 错 点 晴】本 题 主 要 考 查 了 等 差

8、数 列 的 通 项 公 式，及 等 差 数 列 前 n 项 和 取 最 值 的 条 件 及 求 法，如 果 从 等 数 列 的 前 n 项 和 公 的 角 度，由 二 次 函 数 求 最 值 时，对 于 n 等 于 21还 是 20时，取 得 最 大 值，学 生 是 最 容 易 出 错 的.5.（2019 湖 南 高 考 模 拟（文）等 差 数 列 q 中，4=2019,4019=40151 6,则 数 列%的 前 项 和 S”取 得 最 大 值 时 的 值 为（）A.504 B.505 C.506 D.507【答 案】B【解 析】【分 析】先 根 据 已 知 求 得 数 列 为 的 公 差

9、d=-4,再 利 用 等 差 数 列 正 负 交 界 法 求 数 列%的 前 项 和 Sn取 得 最 大 值 时 的 值.【详 解】.数 列 凡 为 等 差 数 列，4019=401516,.数 列 4 的 公 差=一 4,/、2023a”=q+（“-1）4=2023 4，令 a“2 0,得 V 4 又 w N*，取 最 大 值 时 的 值 为 505.故 选：B【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 基 本 量 的 计 算 和 等 差 数 列 的 通 项 的 求 法，考 查 等 差 数 列 前 n项 和 最 值 的 求 法，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的

10、 理 解 掌 握 水 平 和 分 析 推 理 计 算 能 力.二、填 空 题 6.（2019广 东 高 考 模 拟（文）设 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，且 满 足a,+2a2+.+2an-n,则 S5=.31【答 案】一 16【解 析】【分 析】由 题 意 可 得 数 列 的 首 项 为 q=1，在 4+2/+2-%”=中 将 换 为 一 1,两 方 程 相 减 可 得 数 列 4 的 通 项 公 式，再 由 等 比 数 列 求 和 公 式 计 算 可 得 所 求 和.【详 解】解：q+2a2+2 a”=，可 得”=1 时，q=1,1 1 N 2 时，q+22+.+2 a_=-1 乂

11、 q+2a,+.+2 1 a”=，两 式 相 减 可 得 21a“=1,上 式 对 n=1也 成 立，可 得 数 列%是 首 项 为 1，公 比 为 g 的 等 比 数 列,231故 答 案 为：一.16【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 赋 值 法 及 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式，考 查 计 算 能 力 及 分 析 能 力，属 于 中 档 题.1 1 j7.（2017.安 徽 淮 北 一 中 高 考 模 拟（文）若 数 列 他“满 足-=d（e N，d 为 a常 数），则 称 数 列。,为“调 和 数 列”，已 知 正 项 数 列；为“调 和 数 列”，且 bnbx+b

12、2+4=90,则 d d 的 最 大 值 是.【答 案】100【解 析】因 为 数 歹 1|丁 是“调 和 数 列“，所 以 2用 一,=d，即 数 列 4 是 等 差 数 列，所 以 仇+为+,=9（a；-）=90,4+4=2 0,所 以。4+队=2 0 2 2可 弦,d d W l O O,当 且 仅 当 年=4 时 等 号 成 立，因 此 包 打 的 最 大 值 为 100.【名 师 点 睛】：本 题 考 查 创 新 意 识，关 键 是 对 新 定 义 的 理 解 与 转 化，由“调 和 数 列”的 定 义 及 已 知；是“调 和 数 列”，得 数 列 也 是 等 差 数 列，从 而 利

13、 用 等 差 数 列 的 性 质 可 化 bn简 已 知 数 列 的 和，结 合 基 本 不 等 式 求 得 最 值.本 题 难 度 不 大，但 考 查 的 知 识 较 多，要 熟 练 掌 握 各 方 面 的 知 识 与 方 法，才 能 正 确 求 解.8.（2019广 东 高 考 模 拟（文）己 知 数 列/满 足 2-（-l）w+2+（-l）nan+=1+（-l）nx 3n 则 4 5 4=.【答 案】300【解 析】【分 析】由 2-(-1)“+2+(-1)”+|=1+(-1)”x3，当 n=2k(%WN),可 得:。2计 3。2阱 i=1+6&,n=2k-1(ZWN),可 得：3 2八

14、 i+2k=1-6Z+3,于 是。2k+i-侬-i=4k T,利 用“累 加 求 和”方 法 与 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 即 可 得 出.【详 解】V2-(-1)产 2+(-1)知+|=1+(-1)”x3，工=2攵(k七 N“)，可 得：%+3%什=1+6%=2k-1(kN)，可 得：%+3%_=1-6%+3，口 2|=4%-1；%=(%-%)+(%-%)+(6-q)+q12x(12+1)=(4x12-1)+(4x11-1)+.+(4x1-1)+a.=4 x i-12+4=300+4.2则 心 一 4=300,故 答 案 为 300.【名 师 点 睛】本 题 考 查 了 数

15、 列 的 递 推 关 系、“累 加 求 和”方 法、等 差 数 列 的 前 项 和 公 式，考 查 了 分 类 讨 论 方 法、推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.三、解 答 题 9.(2019山 东 高 考 模 拟(文)已 知 数 列%的 前 项 和 为 S”，且 满 足 5“=勿”一.求 证,+1 为 等 比 数 列；求 数 列 S,的 前 项 和 T.【答 案】（1）见 解 析（2）2+2_ 一+5 _42【解 析】试 题 分 析：（1）由*=2 4 一 可 得 n 2,两 式 相 减 后 整 理 得 4,=24一+1，所 以。“+1=2（%_1+1），由 q+1=2

16、,从 而 可 得 数 列 4+1 是 以 2为 首 项，以 2为 公 比 的 等 比 数 列.（2）由（1）可 得 到 4=21,故=2（1-2）1-2=2 J-2,再 用 分 组 求 和 法 可 得 数 列 的 前 项 和 Tn.试 题 解 析：（1）证 明：当=1 时，5=a=2a 1,解 得 q=1.因 为=2。一 所 以 S“T=21-（77-1）,n2：-得：%=2%2a,i_l,整 理 得 q=2a,i+l.所 以 a.+1=2a“_+2=2（a,i+1）,即=2(N2),4 T+1又 q+1=2,所 以 数 列 q+1 是 以 2 为 首 项，以 2 为 公 比 的 等 比 数

17、列.(2)由(1)知 q,+l=2x2T=2,所 以 4=2 1,所 以 S“=2+2?+2n-n=2-2-n=2n+-n-2 1-2所 以 工 7=S+2+S3+Sn=(22+23+24+.+2,+1)-3+4+5+.+(n+2)4(1-2)(3+”+2)1-2 T-2+2 _+5”_ 彳 2，10.(2019甘 肃 高 三 月 考(文)已 知 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 4 的 首 项 4=2,且 4+1,%+1,4+1成 等 比 数 列.(1)求 数 列 4 的 通 项 公 式；(2)设 2=!是 数 列 勿 的 前 项 和，求 使 5“成 立 的 最 大 的 正 整 数 a

18、nan+19n.【答 案】（I）=3/1-1,eN*.（H）n=U.【解 析】试 题 分 析：（I）设 数 列 4 的 公 差 为 d，由 q+1,2+1,%+1 成 等 比 数 列，得（3+4）2=3（3+34）,解 得 d=3.从 而 求 得 q=3”-1.（2）由（1）bn=-=-,得 cinan+x 3_3n l 3+2_c1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 3S,=-+-T-+-7-Z-T 而，解 得 123|_2 5 J 3|_5 8 J 3+2 2（3+2）19故 最 大 的 正 整 数“=11.试 题 解 析：（I）设 数 列 为 的 公 差 为 d,则 q=2+（-l）d

19、,G N*.由 q+1,%+1，q+1 成 等 比 数 列，得（%+1）2=3+1）（%+1），即（3+4）2=3（3+34）,得 d=。（舍 去）或 1=3.所 以 数 列 q 的 通 项 公 式 为 a=3n-,n e N*.（II）因 为 我=-a,4+i _ j_ r _ j_ i（3nl）（3n+2）3 3n1 3+2所 以 S,2-5 3 5-8i i _L3 3n l 3+2 3 _2 3+2n2（3+23 n由 S（历，即 2（3“+2）3/，得 12.1*7133所 以 使 S 成 立 的 最 大 的 正 整 数 n=H.11.（2019四 川 高 考 模 拟（文）己 知 等

20、 差 数 列 a“的 公 差 大 于 0,且 4=7,%，2 q，14分 别 是 等 比 数 列 2 的 前 三 项.（1）求 数 列 q 的 通 项 公 式；（2）记 数 列 2 的 前.项 和 S”,若 5”3 9,求 的 取 值 范 围.【答 案】（1）a,t=2 n-（2）3【解 析】【分 析】（I）设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d,根 据 题 设 条 件 列 出 方 程 组，求 得 q,d,即 可 求 解 数 列 的 通 项 公 式；（II）由（I）,求 得 等 比 数 列 的 公 比 为 3,首 项 为 3,进 而 利 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式，求

21、得 S“，即 可 求 解，3 9,得 到 答 案.【详 解】解：设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d（d 0）,由 包=7,得 4+3d=7,又./，%一 2 4，%是 等 比 数 列 2 的 前 一 项，（4-2a J=。心|4 即=（4+d）m+134）,化 筒 得 1=20,联 立 解 得 q=l,d=2.cin=1+2(-1)=2 1.（Il）h=a2=31 b2=a6-2a=9,4=%4=27 是 等 比 数 列 包 的 前 三 项,等 比 数 列 出 的 公 比 为 3,首 项 为 3.等 比 数 列 也 的 前 项 和 S=3）=3（3”-1）.1-3 2由 5“3 9,得

22、 3（3.7）39,化 简 得 3 27，2解 得 3,G N*.【名 师 点 睛】在 解 决 等 差、等 比 数 列 的 运 算 问 题 时，有 两 个 处 理 思 路，一 是 利 用 基 本 量，根 据 通 项 公 式 和 求 和 公 式，列 出 方 程 组，虽 有 一 定 量 的 运 算，但 思 路 简 洁，目 标 明 确；二 是 利 用 等 差、等 比 数 列 的 性 质 是 两 种 数 列 基 本 规 律 的 深 刻 体 现，应 有 意 识 地 去 应 用.但 在 应 用 性 质 时 要 注 意 性 质 的 前 提 条 件，有 时 需 要 进 行 适 当 变 形.在 解 决 等 差、

23、等 比 数 列 的 运 算 问 题 时，经 常 采 用“巧 用 性 质、整 体 考 虑、减 少 运 算 量”的 方 法.12.（2019四 川 双 流 中 学 高 考 模 拟（文）设 数 列 凡 的 前 项 之 和 为 S,=彳-一|,数 列 么 满 足 2=-7-+32n-.t J(2/7-l)log32n+1(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)求 数 列 也 前 项 之 和 7；.n 32/，+1 3【答 案】(1)。“=3；(2)+-2+1 8 8【解 析】【分 析】(1)利 用 递 推 关 系，两 式 作 差 即 可 得 出;(2)bn-+32-1(2n-l)log332n+1

24、利 用“分 组 求 和 法 与“裂 项 求 和”方 法 即 可 得 出.【详 解】(1)当 n=l 时,a i=S)=3,3，得 S 由 5“2 2W(“N2)/.an=SnSn-1=3a(n2)又 a,也 符 合，*.an=3n(nGN)b=_+32-1=_-_+32-=-_“(2/7-l)log332n+1-(2H-1)(2/I+1)-21.2/1-1 2+1所 以 4=g(l_g+；_(+1-1+(3+33+35+32-1)2-1 2n+)、二 一 当 21 2/1+1)1-9 2/1+1 838【名 师 点 睛】本 题 考 查 了“分 组 求 和 法”、“裂 项 求 和”方 法、数 列

25、 递 推 关 系，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.13.(2019辽 宁 高 考 模 拟(文)己 知 数 列 4 的 前 项 和 为 5“，且 1,a“，S“成 等 差数 列.(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)若 数 列 2 满 足 abn=1+2 m%,求 数 歹 U 仇 的 前 n 项 和 T“.,1【答 案】(1)。“=2；(2)-+2-2”_ 1【解 析】【分 析】(1)利 用 数 列 的 递 推 关 系 式 推 出 数 列 4 是 以 1为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列，然 后 求 解 通 项 公 式.(2)化 简 数 列

26、的 通 项 公 式，利 用 分 组 求 和 法 求 和 即 可.【详 解】(1)由 已 知 1,%,S成 等 差 数 列 得 2a=1+S,，当=1 时，2q=1+$,，4=1,当,2 2时，他=综 g=3m/s2 啊(IMg)得 2an-2%_I=an 即 an=2a,_l,因 4=1 w 0,所 以 4,。0,=2an-，数 列 4 是 以 1为 首 项，2为 公 比 的 等 比 数 列，=1 乂=OT,1 c 1 c(2)由=l+2 a”得。“=+2n=-i-+2n,an,所 以 T?=4+%+n=+(+l)a2 anlx 1-出 1=j+(+1)=2-尸+(+l)，1-2【名 师 点

27、睛】数 列 求 和 关 键 看 通 项 的 结 构 形 式，如 果 通 项 是 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 和，则 用 分 组 求 和 法；如 果 通 项 是 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 乘 积，则 用 错 位 相 减 法；如 果 通 项 可 以 拆 成 一 个 数 列 连 续 两 项 的 差，那 么 用 裂 项 相 消 法；如 果 通 项 的 符 号 有 规 律 的 出 现，则 用 并 项 求 和 法.14.(2019安 徽 合 肥 一 中 高 考 模 拟(文)设 等 比 数 列 4 满 足 q+的=20,a2+4=10.(1)令 2.【解 析】【分 析】(1)根 据

28、 条 件 求 出 等 比 数 列 通 项 公 式。“=白，解 不 等 式 g=可 得 前 4 项 都 大 于 1,%=1，从 而 求 得 7 的 最 大 值；(2)利 用 错 位 相 减 法 进 行 求 和.【详 解】（1）设 等 比 数 列 q 首 项 为 q,公 比 为 4,a1=16,所 以 4+4/=2 0,aq+4,=1 0,解 得：1r r所 以。“=白，当%=9 21 时，解 得：n 6。4 5=L，所 以 7；的 最 大 值 为 4=4=16x8x4x2=1024.(2)由(1)知 d=log?4,=1082万、=5一”，则 勺 也=(5)(；)E,=4(I)-4+3-(1)-

29、3+(5-)(；)“，两 边 同 时 乘 以 工 得：2；S“=4(g)-3+3-(1)-2+(5-).(|r4,两 式 相 减 得：为“=4.(；尸-(1)-3+(力 一(5(：)寸 1-(1尸=4x16-Z-/-(5 一).(万 广 1-2=64-1可 1-尸-(5-旧 广 2 2=48+(-3)-(-)n-42所 以 5,=96+(一 325-.【名 师 点 睛】等 比 数 列 前 篦 项 积 达 到 最 大，主 要 是 根 据 各 项 与 1的 大 小 进 行 比 较；错 位 相 减 法 进 行 求 和 时，要 注 意 最 后 得 到 的 常 数 的 准 确 性，即 本 题 中 的 9

30、6必 需 确 保 没 有 算 错，其 它 项 可 以 合 并，也 可 以 不 合 并.15.(2019江 西 临 川 一 中 高 考 模 拟(文)已 知 数 列%中，%=m,且 an+i=3an+2n-,bn=aH+n(n&N*),(1)判 断 数 列,是 否 为 等 比 数 列，并 说 明 理 由：(2)当 机=2 时，求 数 列 卜 一 I)。,的 前 2020项 和 S2020.32021 _ 4043【答 案】(I)XoHl时，不 是 等 比 数 列；“*-1时，是 等 比 数 列；(2)-.4【解 析】【分 析】将 递 推 公 式 4用=3 4+2-1变 形 为 4用+1=3(。,+

31、)，则 当 天 时，首 项 为 零，,不 是 等 比 数 列；当 初#-1时，数 列 是 等 比 数 列.(2)先 求 出 a,J的 通 项，然 后 利 用 分 组 求 和 法、并 项 求 和 法 以 及 公 式 法 即 可 求 出 S2020.【详 解】(1)%+=34+2-1,/.hn+i=4 用+l=3q?+2-1+1=3(%+)=3 d,当/时，4=0,故 数 列 也 不 是 等 比 数 歹 I J；当?H-1时，数 列 2 是 等 比 数 列，其 首 项 为 4=加+1彳 0,公 比 为 3.(2)由 且 当?w-1 时 有：2=a“+=3x3T=3,即 a“=3，1)%=(一 3)-(1),-3xl-(-3)20201-(-3)-(-1+2)+(-3+4)+.+(-2019+2020)【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 等 比 数 列 证 明、数 列 前 项 和 的 求 解，属 于 中 档 题.对 于 等 比 数 列 的 证 明 主 要 有 两 种 方 法：（1）定 义 法，证 得 上=纵 之 2,*，4 二。）即 可，其 中 4 为 常 数;%（2）等 比 中 项 法：证 得 4,2=%+回“_ 即 可.