线性代数期末复习要点.pdf

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1、线 性 代 数 期 末 复 习 要 点 10T1线 性 代 数 期 末 复 习、考 试 要 点 说 明 1,应 部 分 同 学 要 求,本 期 期 末 考 试 只 指 出 考 试 范 围 及 其 考 试 要 点；2,考 试 要 点 包 括:题 型,示 例，要 点；3,考 生 根 据 考 试 要 点 与 个 人 具 体 情 况 独 立 安 排 复 习，按 照 课 表 老 师 进 行 辅 导.4,本 要 点 仅 供 09会 计 1,2,3 班 学 生 复 习 参 考,如 果 有 错 漏 及 时 更 正.一,题 型:主 观 题 5060%（计 算 或 者 证 明 题），客 观 题 4050%（填 空

2、、判 断、选 择 题）；二,示 例 与 要 点 如 下 1,第 一 章，行 列 式 计 算（四 阶），教 材 P40/30,312,第 二 章，（1）,求 三 阶 矩 阵 的 逆 矩 阵:教 材 p74/例 1,例 2,p87/例 3,以 上 两 种 方 法 均 可.（2）,求 解 矩 阵 方 程:形 如 AX=B,XA=B或 者 AX+B=X的 矩 阵 方 程 求 解：P98/11,pl02/41.3,第 三 章，（1）,向 量 组:a,向 量 组 的 线 性 相 关 性:pl30/例 3,例 4;pl38/例 1（最 好 使 用 方 法 一）并 求 秩 b,关 于 向 量 组 线 性 无

3、关 的 证 明:pl30/例 5,P160/13,14,（2）,齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系;pl44例 1.非 齐 次 线 性 方 程 组 的 求 解（用 基 础 解 系 表 示 全 部 解）：P148/例 4.4,第 四 章,三 阶 矩 阵 的 特 征 值 及 特 征 向 量:P169/例 2,pl70/例 3,pl72例 5.三,适 当 参 考 教 材 习 题 中 的 B 组 习 题.复 习 参 考 题 一，往 届 考 试 题 试 题 1 线 性 代 数 期 末 考 试 试 题（A）一,填 空 题（每 小 题 4 分，共 20分）2311 行 列 式 4 6 1 的 值

4、 为 1302 A 为 一 个 三 阶 矩 阵，且 A 2,则 1AAT。23 已 知 al la23a32a46a54a65是 六 阶 行 列 式 中 的 一 项，则 它 的 符 号 是 4 已 知 向 量 1(0,4,6,2),2(3,1,2,4),且 向 量 满 足 3 1 2(2)0,则。25 37 5 若 矩 阵 满 足 X 23,那 麽 X 1 3二，选 择 题(每 小 题 4 分，共 20分)1231,三 阶 行 列 式 D 24 3,则 元 素 5 的 代 数 余 子 式 为()115A,4 B,-4 C,2 D,0kx 3y z 0 2,若 齐 次 线 性 方 程 组 4x

5、ky 2z 0 有 非 零 解，则 k 的 值 为()2x y z 0A,1 B.2 C,1 或 2 D,2 或 33,设 A 为 三 阶 矩 阵,且 A 2,则 AA2ATA 1()A,-32 B,32 C,64 D,-64121 341 4,已 知 A,B 213，且 2X A B,则 X=()013231 221 222 A,B,C,113 D,以 上 都 不 是 113 1132 1 10 5,下 列 满 足 矩 阵 方 程 X 1 1 的 是 5321 21 31 27 A,B,C,D,34 21 1272三，简 答 题(5分)若 n 阶 方 阵 A 满 足 A2 A 51 0,求(

6、A题(10 分)判 定 向 量 组 1(4,2,5,6),2(3,1,2,4),还 是 线 性 无 关.I)的 逆 矩 阵.四，简 答 3(5,1,9,3)是 线 性 相 关 五，计 算 题(10分)求 向 量 组 1(1,1,3,1),2(1,1,1,3),3(5,2,8,9),4(1,3,1,7)的 一 个 极 大 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 此 极 大 无 关 组 线 性 表 示.六，计 算 题(15分)求 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 解.xl x2 x3 x4 x5 7 4x1 3x2 2x3 2x4x 2x 2x 6x 23345 22x5 5 的 全 部 6x1

7、 5x2 4x3 4x4 19七,计 算 题(15分)求 矩 阵 110A 4 3 0 的 特 征 值 及 特 征 向 量.102A,(5分)已 知 向 量，线 性 无 关，试 证 明 也 线 性 无 关。参 考 答 案 7 1936-3 2 负(3,-5,7,1)13 二 DBAAC三 12A I 333272四 线 性 无 关 五 极 大 线 性 无 关 组 1,2;3 1 2:4 1 2 2.七 八 令 kl k2()k3()0,整 理 得(k2 k3)(kl k2 k3)k 3 0kl k2 k3 0 因 为，线 性 无 关，得 到 k2 k3 0,解 得 kl k2 k3 0k 0

8、3所 以，也 线 性 无 关 试 题 2:线 性 代 数 试 卷(B)一，填 空(3X5)1,在 六 阶 行 列 式 中，项 al la23a32a46a54a65的 符 号 是 号，all2,若 行 列 式 D a21a31al2a22a32a13ali3ali 2al2a23 1,则 DI a213a21 2a22a33a313a31 2a323al33a23=3a333,若 三 阶 矩 阵 A 的 行 列 式 A 2,则 2AATA 14,若 n 阶 矩 阵 A 满 足 A2 A 31 0,则(A I)15,已 知 向 量=(3,6,9),=(3.0.3)且 2=2+，则=二,选 择 题

9、(3X5)2x1 x2 0 1,若 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解，则 k=()kx 2x 02 1A=l,B=0,C=4,D=2,2,设 有 矩 阵 Am s.Bs n,Cm n,则 下 列 运 算 可 行 的 是()A AC,B BCTA,C CBTA,D ATCB,3,设 A 为 非 零 n 阶 矩 阵,则 下 列 矩 阵 中 不 是 对 称 矩 阵 的 是()A AAT,B 11(A AT),C(A AAT AT),D A AT 424,下 面 结 论 错 误 的 是()A 若 向 量 组 1,2,3 线 性 相 关，则 1 能 由 2,3 线 性 表 示.B 一 个 非

10、零 向 量 线 性 无 关.C 含 零 向 量 的 向 量 组 线 性 相 关.D 向 量 组 中 向 量 的 维 数 小 于 向 量 的 个 数,则 该 向 量 组 线 性 相 关.21三，(7)求 四 阶 行 列 式 D 001210012100 的 值.1221 12 2 2 四，(7)解 矩 阵 方 程 X 21 34.123五，(10)判 断 矩 阵 A 2 2 1 是 否 可 逆;若 可 逆，求 出 逆 矩 阵.六，(10)判 断 向 量 组 1 1,1,3),2(3,2,1,1),3性 相 关 还 是 线 性 无 关.七，(10)设 向 量 组 1(1,2,1,1),2(2,0,

11、3,0),3(0,4,5,2),4(3的 秩 及 其 一 个 极 大 无 关 组,并 把 其 余 向 量 用 该 极 大 无 关 组 线 性 表 示.示 如 下 线 性 方 程 组 的 全 部 解.xl x2 5 2x1 x2 x3 2x4 x5 13x x 2x 4x 2x 3345 12九，(6)已 知 1,2,3 线 性 无 关，证 明 1 2,2 2 3 3,关.参 考 答 案 一 负-6 64二 CBBA三 5 A2 I(1,4,5)3321 10 3 1 10 2 3 四 X53 13 52 13 46*五 A 2 0,A 3 65,A 2 22 2 153343(5,6,5,9)

12、是 线 2,7,1),求 向 量 组 八，(10)用 基 础 解 系 表 1 2 2 3 线 性 无 1 1 26 4 3 1六 线 性 无 关 2 5 32 1 1 31 2 七 A 1 1203 1 00 4 2112 000 000极 大 无 关 组 是 1,2,3110005 10121 4八(A b)21121131242 32 101000000 0357 0 22,4 1 2 2.1 2 19特 解：(4,9,0,0,0)T00 2 1导 出 组 的 基 础 解 系：1(1,1,1,0,0)T,2(2,2,0,l,0)T,3(1,1,0,0,1)T全 部 解 x cl 1 cl

13、2 c3 3,(cl,c2 R)九 令 kl(1 2)k2(2 2 3 3)k3(1 2 2 3)0,即 1(kl 2k2 2k得 到(kl k3)3)2 3k2 k 3),3 由 于 0 1,2,3 线 性 无 关,101 kl k3 0线 性 无 关 kl 2k2 2k3 0,因 为 122 5 0,该 方 程 组 仅 有 零 解，故 该 向 量 组 3k k 00 3123试 题 3:线 性 代 数 试 卷(C)一，填 空(4X4)1,=(1,2,3),=(2,1,0)且 2=2+，则=()2,若 三 阶 矩 阵 A 的 行 列 式 A 2,则 AAT()x z 0 3,若 齐 次 线

14、性 方 程 组 x y z 0 有 非 零 解，则 k 的 值 为()kx 3y 2z 04,若 n 阶 矩 阵 A 满 足 A2 A 21 0,则(A I)1()二,选 择 题(4X4)all1,若 行 列 式 D a21a31al2a22a32al32ali7ali al2a23 a,则 DI 2a217a21 a22a332a317a31 a32 al3 a23()a33a(B)2a(C)la4(D)la4(A)22,已 知 矩 阵 Am n,Bn m,则 下 列 矩 阵 为 1n阶 矩 阵 的 是()A BA B ATBT C ATA D BTB3,若 A,B 均 为 n 阶 矩 阵,

15、k 为 非 零 实 数,则 下 列 命 题 正 确 的 是()A A B A B B(AB)T ATBT C AB AB D kA kA4,若 向 量 组 1,2,s 的 秩 为 r,则 下 列 说 法 正 确 的 是()(A)必 定 有 rs(B)向 量 组 中 任 意 r 个 向 量 线 性 无 关(C)向 量 组 中 任 意 r 1个 向 量 线 性 相 关(D)向 量 组 中 任 意 小 于 r 个 向 量 的 部 分 组 线 性 无 关 21三，(6分)求 四 阶 行 列 式 D 001210012100 的 值.1221 12 2 2 四，(7分)解 矩 阵 方 程 X 21 34

16、.53123五，(10分)判 断 矩 阵 A 2 2 1 是 否 可 逆;若 可 逆，求 出 逆 矩 阵.343六，(10 分)判 断 向 量 组 1(2,1,1,3),2(3,2,1,1),3(5,6,5,9)是 线 性 相 关 还 是 线 性 无 关.七，(10)设 向 量 组 1(1,2,1,1),2(2,0,3,0),3(0,4,5,2),4(3,2,7,1),求 向 量 组 秩 及 其 一 个 极 大 无 关 组,并 把 其 余 向 量 用 该 极 大 无 关 组 线 性 表 示.A,(10分)用 基 础 解 系 表 示 如 下 线 性 方 程 组 的 全 部 解.xl x2 5 2

17、x1 x2 x3 2x4 x5 13x x 2x 4x 2x 3345 12200九，(10分)求 矩 阵 A 1 3 0 的 特 征 值 与 特 征 向 量.113十，(5分)已 知 1,2,3 线 性 无 关，证 明 1 2,2 2 3 3,1 2 2 3 线 性 无 关.参 考 答 案 一，(1,4,5)-16 2二，DBCC三 四，五，.A-八，七，A,A 22九，特 征 方 程 是 I A 1100 30(2)(3)2 0,1 3特 征 值 是 1 2,2,3 3.1 2 000 1 当 1 2 时，齐 次 线 性 方 程 组 1 10 x 0 的 基 础 解 系 是 1；其 特 征

18、 向 量 是 2 1 1 1 1cl l(cl 0)当 2,3 100 0 3 时，齐 次 线 性 方 程 组 100 x 0 的 基 础 解 系 是 2 0，其 特 征 向 量 是 1 10 1 c2 2(c2 0)十，令 kl(1 2)k2(2 2 3 3)k3(1 2 2 3)0,即 1(kl 2k2 2k(kl k3)3)2(3k2 k 3),3 由 于 0 1,2,3 线 性 无 关，得 到 101 kl k3 0 kl 2k2 2k3 0,因 为 122 5 0,该 方 程 组 仅 有 零 解，故 该 向 量 组 线 3k k 00 3123所 以 1 2,2 2 3 3,1 2

19、2 3 线 性 无 关 试 题 4 线 性 代 数 期 末 考 试 试 题(D)-，填 空 题(每 小 题 4 分，共 20分)2311 行 列 式 4 6 1 的 值 为 1302 A 为 一 个 三 阶 矩 阵，且 A 2,则 1AAT。23 已 知 al la23a32a46a54a65是 六 阶 行 列 式 中 的 一 项，则 它 的 符 号 是 4 已 知 向 量 1(0,4,6,2),2(3,1,2,4),且 向 量 满 足 3 1 2()0,则 25 37 5 若 矩 阵 满 足，那 麽 X X 1 3 23二，判 断 题(30分，每 小 题 3 分)A AT1,A 为 n 阶

20、方 阵，则 为 对 称 矩 阵.()22 若 向 量 组 1,2,3 线 性 相 关，那 麽 1定 可 由 2,3 线 性 表 示。()3 设 A,B为 两 个 矩 阵，则 AB存 在 的 条 件 是 A 的 行 数 等 于 B 的 列 数.()4 为 矩 阵 A 的 特 征 向 量，则 c(c为 常 数)也 为 矩 阵 A 的 特 征 向 量。()5 若 1,2 为 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX b 的 解，则 1 2 亦 为 AX b 的 解.()6 线 性 无 关 的 向 量 组 必 有 线 性 相 关 的 子 集.()7 由 于 矩 阵 乘 法 没 有 交 换 律，所 以 任

21、意 两 个 矩 阵 相 乘 都 不 能 交 换.()8 一 般 来 说，秩 r(AB)r(A),但 是 如 果 B 0,那 麽 r(AB)Vr(A).()9 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 即 使 是 满 秩 的，也 不 一 定 有 解.()1 0 若 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 导 出 组 有 解，那 麽 该 非 齐 次 线 性 方 程 组 必 有 解.()三，简 答 题(5分)若 n 阶 方 阵 A 满 足 A2 A 51 0,求(A I)的 逆 矩 阵.四，简 答 题(10 分)判 定 向 量 组 1(4,2,5,6),2(3,1,2,4),3(5,1,9,3)是 线 性

22、 相 关 还 是 线 性 无 关.五，计 算 题(10分)求 向 量 组 1(1,1,3,1),2(1,1,1,3),3(5,2,8,9),4(1,3,1,7)的 一 个 极 大 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 此 极 大 无 关 组 线 性 表 示.六，计 算 题(10分)求 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 xl x2 x3 x4 x5 7 4x 3x 2x 2x 2x 5 12345 的 全 部 解.x 2x 2x 6x 23345 26x1 5x2 4x3 4x4 19七，计 算 题(10分)求 矩 阵 110A 4 3 0 的 特 征 值 及 特 征 向 量.102A,(5

23、分)已 知 向 量，线 性 无 关，试 证 明，也 线 性 无 关。参 考 答 案 1936 3 2 负(3,-5,7,1)7 13二 J X X X X X X J J X 三，A2 I 333272四,线 性 无 关 五，1,2,3 1 2,4 1 2 21六，(A004b)01 1 5 16613151224117 1122623 0000002 250000002623 401916 1 10，基 础 解 系 00151 123220023600特 解 0 0 1全 部 解 x cl 1 c2 2 c3 3(cl,c2,c3 R)1七，特 征 方 程 I A 41 10 30(2)(1

24、)2 0,0 2特 征 值 1 2,2,3 1,3 10 0当 1 2,齐 次 线 性 方 程 组 cl l(cl 0).4 10100 x 0 的 基 础 解 系 是 11 0，特 征 向 量 2 10 1 x 0 的 基 础 解 系 是 2，特 征 向 量 c(c 0).1,齐 次 线 性 方 程 组 4 202222 10 1 1 2,3试 题 五:线 性 代 数 期 末 考 试 试 题 一，填 空(5X6=30)1,若 n 阶 矩 阵 A 满 足 A2 A 31 0,则(A 21)11232,已 知 012 0,则 xxll02 11 3,若 A,B 00,则 AB 034,已 知 向

25、 量 1 2(212)(1,1,1,0,则 1),522(2,1,3,)且 向 量 满 足 1 25,矩 阵 0 06,0140 0 0 的 逆 矩 阵 为 1 8 3421535215=2809229092二,判 断 题(4X5=20)1,若 A,B均 为 n 阶 对 称 矩 阵，则 A+B 也 为 对 称 矩 阵()2,若 向 量 组 1,2.r 线 性 相 关，且 有 一 组 数 kl,k2,.,kr使 得 kl 1 k2 2.kr r 0,则 必 有 kl k2.kr 0.()3,设 1,2，一.，r 是 r 个 m 维 向 量，且 rm,则 此 向 量 组 必 线 性 相 关()4,

26、A,B都 是 n 阶 方 阵,若 AB=0,则 A=0 或 者 B=0()5,若 A 为 n 阶 可 逆 矩 阵，则 kA 1 k()A三,判 断 向 量 组 1(1,1,3,1),2(1,2,1,1),3(1,1,1,2),4(3,2,1,3)是 线 性 相 关 还 是 线 性 无 关.(10分)四，求 向 量 组 1(1,1,0,4),2(2,1,5,6),3(1,1,2,0),4(3,0,7,14)的 一 个 极 大 无 关 组,并 将 向 量 表 为 该 极 大 无 关 组 的 线 性 组 合.(10分)xl x2 x3 x4 x5 1 2x1 x2 3x3 4x4 3x5 5 五，用

27、 基 础 解 系 求 线 性 方 程 组 x2 x3 2x4 5x5 35x1 4x2 6x3 7x4 8的 全 部 解.(10分)1 33六,求 矩 阵 3 5 3 的 特 征 值 和 特 征 向 量.(15分)6 64七，设,a(al,a2,a3)T,b(bl,b2,b3)T,c(cl,c2,c3)T 证 明 三 直 线,ll:alx bly cl 0ll:a2x b2y c2 0,(ai2 bi2 0)11:a3x b3y c3 0相 交 于 一 点 的 充 分 必 要 条 件 是：向 量 组 a,b 线 性 无 关,且 向 量 组 a,b,c 线 性 相 关(5)分 参 考 答 案 2

28、00 00 93119 1,A I,1,),040,61230003 00 2222 008二,J X J X X三,线 性 无 关 1 1 四，0 41 00 02133 1 00113 101 5 27121 0301 101 1 0 0012 1 02 015 270010031 105 21 03006014 0 2 4210017 0 2 02极 大 无 关 组：1,2,3.4 2 1 2 3 五,11 21(A b)0 154 1 00 01316114 32 5701 110 1 53 0 18 0 11111112 52 52 51 110 1 33 003 00110011

29、1 2 5 3 000000023 4 4 1 1 253 00000000002 3 4 1 2 5 xl 2x3 3x4 4x5 443特 解 为 0163 35(1当 方 程 组 x2,基 础 解 系 为 x3 2x4 5x51 1,3012 0,3000 000A 31303 32)2(1,21，全 部 解 为 1305 2x34)0 得 到 cl 110 6c2 24c36632 66 22 时，（21 A)x0 11,2 2,3 4.0,基 础 解 系 为 1 1,20,全 部 特 征 值 为 cl 1 c2 2(cl,c2 不 全 零)1当 3 4,(41 A)x 0,基 础 解

30、 系 3 1，全 部 特 征 向 量 c3 3(c3 0).2七,三 直 线 得 到 线 性 方 程 组 1c 0 alx blya2x b 2c 0,此 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为 2yax bye 03 3 3(aT al cT)a2a3bl c 1 b2 c 2,b3 c 3此 三 直 线 相 交 于 一 点 线 性 方 程 组 有 唯 解 r(a,b)r(a,b,c)2向 量 组 a,b 线 性 无 关 且 向 量 组 a,b,c 线 性 相 关.二,其 他 参 考 题 一,填 空 题 1571 行 列 式 268的 值 为。379T 12 A 为 一 个 三 阶 矩

31、阵，且 A 2,则 3AAA。123 3 矩 阵 A 456,则 r(A)。7894 n 阶 方 阵 A 满 足 A 2A 31 0,则 A I。2 15 已 知 1213,142 1,且，满 足 2 0,则 6,已 知 矩 阵 A 为 三 阶 方 阵，且 2,则 7,五 级 排 列 41253的 逆 序 数 为()；8,若 n 阶 方 阵 A 满 足 A 3A 51 0,那 么 A I=()；21；AAT=()3 19,已 知 向 量 1 2,4,1,1 2 3,1,2,且 向 量 满 足 5 23 1 2 2=0,则=();10,若 矩 阵 X满 足 31 3 X 2 25 4 6，那 么

32、 X=()。11.设 3(1)2(2)5(3),其 中 1(2,3,1,5)T,阵，且 有|A|5,|3A|2(10,1,5,10)T,3(4,1,1,1)T,=1 2.已 知 A为 四 阶 方 13.已 知 A 2A 41 0,(A I)114.已 知 al2a23a34a45a56a6 1是 六 阶 行 列 是 的 一 项,则 它 的 符 号 项 是 号 212315.312=23116.已 知 25 4 6 X,X=13211 7.已 知 向 量=(1,2,3),(3,0,1)且 2 2，则 T*18.若 三 阶 矩 阵 A的 行 列 式 A 2,贝 lj 2A A=_.19,若 n 阶

33、 矩 阵 A满 足 A A 31 0,贝 iJ(A 21)1=.21232 0,行 歹 lj式 012=I l l2 1六 阶 行 列 式 a i j 的 项 a l la26a32a44a53a6 5的 符 号 是 _.1023011的 2 2.行 列 式 112 3,已 知 n 阶 矩 阵 A满 足 A A 41 0,贝 lj A=24,已 知 向 量 1=(2,4,6),2=(2,0,2)满 足 3 1 2 5 2：则 2 1T 1 25,若 A 是 3 阶 方 阵，A=2 贝 I J 2AA=26,已 知 矩 阵 方 程 3 2 52,则*=X 5 4 70二,解 答 题 1,判 断

34、向 量 组：相 关 1(2,1,5,10),2(1,1,2,4),3(0,3,1,2)是 否 线 性 2,设 向 量 组：1(1,0,1,0),2(2,1,1,2),3(1,1,0,2),4(1,1,1,1),5(1,1,0,0)求 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 该 极 大 无 关 组 线 性 表 示，并 求 其 秩 3,用 基 础 解 系 表 示 如 下 线 性 方 程 组 的 全 部 解 xl x2 3x4 x5 1 x x 2x x x 1 123454x 2x 6x 4x 21235 2x1 4x2 2x3 8x4 4x5 41 2 1 的 特

35、 征 值 与 特 征 向 量.4,求 矩 阵 A 03 1 13 25,已 知 1,2,3 线 性 无 关，证 明：1 2,3 2 2 3,1 2 2 3 线 性 无 关。6,设 向 量 组 1(6,a 1,3),2(a,2,2),3(a,1,0),则 a 取 何 值 时 该 向 组 线 性 相 关.7,求 向 量 组 1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,1,2,0)的 一 个 极 大 线 性 无 关 组，并 用 此 极 大 无 关 组 表 示 其 余 向 量。8,求 非 齐 次 线 性 方 程 组 xl x2 x3 x4 0 x x x 3x 1 12

36、34的 通 解(用 基 础 解 系 表 示)3x 3x 5x 7x 1234 12x1 2x2 4x3 6x4 1001 9,求 A 010的 特 征 值 及 其 中 一 个 特 征 值 所 对 应 的 特 征 向 量。1001 0,已 知 向 量 1,2,3,4 均 可 由 1,2,3 线 性 表 示，证 明 1,2,3,4 线 性 相 关。1 1,判 断 向 量 组 1=(1,1,3,1),2=(3,-1,2,4),3=(2,2,7,-1)是 否 线 性 相 关。10 1 10 o 12,求 矩 阵 A的 全 部 特 征 值 和 特 征 向 量，其 中 A 11 1013,求 向 量 组

37、1=(1,0,2,1),2=(3,-1,0,2),3=(0,1,6,1),4=(7,1,4,0)的 一 个 极 大 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 此 极 大 无 关 组 表 示。2x1 x2 4x3 5x4 10 x x 2x 3 13414,求 解 线 性 方 程 组。3x x x 5x 54 123xl x2 3x3 3x4 715若 向 量 组 1,2,n 线 性 无 关，证 明 1,1 2,1 2 n 线 性 无 关。1 6判 断 向 量 组 1(1,3,1)T,2(2,l,0)T,3(1,4,1)T是 线 性 相 关 还 是 线 性 无 关，17,求 下 列 向 量 组 的

38、 秩，并 求 一 个 最 大 无 关 组，将 其 他 向 量 用 所 求 最 大 无 关 组 线 性 表 出 1(1,2,1,4)T,2(9,100,10,4)T,3(2,4,2,8)T.18,求 下 列 非 其 次 线 性 方 程 组 的 一 个 解 及 对 应 的 其 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系.xl x2 5 2x1 x2 x3 2x4 1;5x 3x 2x 2x 3234 12 12 19,求 矩 阵 5 3 3 的 特 征 值 和 特 征 向 量.10 22 0,已 知 1,2,3,4 线 性 无 关，1 1 2,2 2 3,31,2,3,4 线 性 相 关.3 4,

39、4 4 1,证 明 2 1,判 定 向 量 组 1 1,1,3,2性 相 关 还 是 线 性 无 关。2 3,1,2,4 3 2,2,7,1 是 线 2 2,求 向 量 组 1 1,1,3,14 1,3,1,7 的 一 2 1,1,1,3 3 5,2,8,9个 极 大 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 此 极 大 无 关 组 线 性 表 示,并 求 其 秩.2 3,用 基 础 解 系 求 非 齐 次 线 性 方 程 组xl x2 x3 x4 x5 7 3x 2x x x 3x 2 12345x2 2x3 2x4 6x5 235x1 4x2 3x3 3x4 x5 12的 全 部 解.31

40、2 24,求 矩 阵 A 1 0 1 的 特 征 值 和 特 征 向 量。43 325,设 1,2,3 线 性 无 关，试 证 明 1 2,2 3,3 1线 性 相 关。(5分)其 他 参 考 题 参 考 答 案 一,填 空 题 1,0 2,54 3,2 4,I 121 A 5,136 32 2 6,167,4 8,A 41 9,271 6,5,1 10,222 3802 23 T11,1135 12,405 13,A 31 14,负 15,18 16,081 7,(,145,)18,64 19,A I 20,0 21,负 号 3331(A+I)24,=(-2,6,4)25,8 26,434

41、2522,0 23,三,解 答 题 1,解：1 2TT 1 ITA二(1,2,3)二 52104因 为 r(A)=23,所 以 向 量 组 2,解：031211 13 01 2 000,a2,3线 性 相 关 1TTTTT 0A=(1,2,3,4,0001 01 0 0 00 11100000 10 11200211211021 11110 10由 最 后 一 个 矩 阵 可 知:2152是 一 个 极 大 无 关 组，且3122 43,解：对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 A 实 施 初 等 行 变 换：0 3 11 11 11 12 11 1 0A4 26 00 4 2 24 2 8 4

42、4 0011 100200 20 0 21 1 10000取 x3,x5为 自 由 未 知 量，得 原 方 程 组 的 同 解 方 程 组 为 xl x3 2x5 x2 1 x3 2x5x4 x5令 x3 x5 0,得 方 程 组 的 一 个 解*（0,1,解 方 程 组 在 对 应 齐 次 线 性 方 程 组 的 同 0,0,0）,xl x3 2x5 x2 x3 2x5x4 x5x3 1 0 中，分 别 取 0 及 x方 程 组 的 基 础 解 系 为 51,得 对 应 的 齐 次 线 性 1 2 1 21 1,2 0于 是 所 求 通 解 为：0 1 0 1xl 1 x 2 1 x c 1

43、+c 3 1 20 x4 0 x任 意 常 数)12 15 2 00 1 02 1 0+0(c,c 为 1-21-101-31=(1-4)(1-2)2 0-2-11-34,解:矩 阵 A 的 特 征 方 程 为 1I-A=所 以 矩 阵 A的 特 征 值 为 1 4,2（41 A）x 03 2（二 重）当 1 4 时，解 齐 次 线 性 方 程 组 1 1 10 1 2 0141 A 0111 1 0 2 1 00可 得 到 它 的 基 础 解 系 是 1 111 1 1,所 以 矩 阵 A对 应 于 4 的 全 部 特 征 向 量 是 cl 1 cl 1（c l为 任 意 非 零 常 数）1

44、当 2 3 2 时，解 齐 次 线 性 方 程 组 1 1 1 0 10 01 1,(21 A)x 021 A 011 0 2 1 1 001 1,所 以 矩 阵 A对 应 于 2 23 12 的 全 部 特 征 向 量 是 可 得 到 它 的 基 础 解 系 是 1 c c 22 1（c 2为 任 意 非 零 常 数）15,证 明：若 kl(1 2)k2(3 2 2 3)k3(1 2 2 3)0即(kl k3)1(kl 3k2 2k3)2(2k2 2k3)3 0(1)由 于 1,2,3 线 性 无 关，上 式 成 立 必 有 101 kl k2 0 kl 3k2 2k3 0 由 于 系 数

45、行 列 式 13 2 9 02k k 002123齐 次 方 程 组 只 有 零 解，故 必 有 kl 0,k2 0,k3 0,线 性 无 关 性 即 得 证 a6,解：因 al002 2 a6a 136 a a22a2 2 6 a a2a 131023 2a 5a 12 6 分 令 2a 5a 12 0,得：a 4,故 a 4,2a 3/2 2 分 a 3/2时 向 量 组 线 性 相 关.2 分 T T T 进 行 初 等 行 变 换，2 分 2 3 47,解：对 得 到 T11 1 2 41 130 1 0172 02140 0031 1330 0110 022 4 003031 111

46、0 0000 0001 0030 110001000每 步 2 分 可 知 1,2,4 为 极 大 无 关 组，而 3 3 1 2.5 分 8,解：对 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换，得 到 1 1 3 21 11 11 3 3 5 2 4即 760 101 1 0 1 01 11 11002 41000 24 10012 11 2,8 分 2000 0001x x x 24,1分 x 2x 134000 24 10 1122对 应 的 导 出 组 的 基 础 解 系 为 12 1 11 0 0,特 解 为：；3 分 1 0 22 0 1101 1 2 1

47、0 0（其 中 全 部 解 为：kl k20 2 10.3 分(kl,k2 R)2 0 19,解：特 征 多 项 式 为|E A|00 10(1)2(1)6 分 11特 征 值 为 1,2 1,组 000 x2 03 1；3 分 1 分 10 1 xl1010 当 1,2 1 时，解 方 程 0 x30 1（几 种 形 式）4 分 得 基 础 解 系 为 1 与 1,1 0 0 1为 零）.0 1特 征 向 量 为：kl 1 1（其 中 k,l不 全 此 即 特 征 值 1,2r 1,2,3,4关。1对 应 的 特 征 向 量.r（1,2,3）1 分 10,证 明：3 4,故 有 向 量 组

48、1,2,3,4 线 性 相 132 11 1203 分 TTT 11,解：（1,2,3）3 分 32 07 14 1 031002 0,1 0因（IT,2T,3T）3（2 分），所 以 因 1,2,3 线 性 无 关。（2 分）112,解：I A 101110 2(2)01矩 阵 A 的 特 征 值 为 1 2 0,3 2.101 10 1当 1110 000 1由 未 知 量 得 属 于 特 征 值 0 的 特 征 向 量 为 cl1 101 101当 3 2 时，解 齐 线 性 方 程 组(21112 000 1c2 1,c2 0.2 0 时，解 齐 线 性 方 程 组 Ax 0：1 10

49、000,c2 0.5 分 011 取 x3为 自 1,cl 0.5 分 A）x 0：110 O i l 取 x3为 自 由 未 知 量 得 属 于 特 征 值 2 的 特 征 向 量 为 5 分 113 0 1TTTT 13,解：(1,2,3,4)2 分 20 120 1 1 11 4 分 0 064 10 0032 1 1 1 000 000故 1,2 为 该 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组，(2分)且 3 3 1 2,4 2 1 2.(2分)2 1 14,解：(A,b)3 1分 1450121 1 513310 3 5 7 10010000123 1 1 15000 000r(

50、A,b)2 4 有 无 穷 解，x3,x4为 自 由 未 知 量，同 解 方 程 组 为 3 43 分 xl 3 x3 2x4 x3 0 x2为 取 得 原 方 程 组 的 个 解 为。0 4 2x3 x4 x4 0 0 xl x3 2x4 x3 0系 为 x 2x xlx34 2 41 导 出 组，取 为 0得 导 出 组 的 基 础 解 1 2 2 1 12.故 原 方 程 组 的 通 解 为 5 分 1 0 0 13 1 1.cl,c2为 任 意 常 数 0 1 14 2 2x cl 1 c2 22 分 00 0cl c215证 明：若 存 在 一 组 数 kl,k2,kn使 得 kl