一元线性回归模型参数的最小二乘估计第2课时教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docx

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1、课程基本信息学科数学年级高二学期春季课题一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）教科书书 名：选择性必修第三册教材出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3月教学目标1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.教学内容教学重点：一元线性回归模型的含义。最小二乘估计的原理与方法。残差分析。教学难点：一元线性回归模型参数最小二乘估计的推导，解释预测值的含义。理解刻画模型拟合效果的指标。教学过程（一）教材分析 1. 教材来源 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第八章成对数据的统

2、计相关性2. 地位与作用 建立一元线性回归模型过程中，方程的建立、参数的估计、模型有效性分析等都是培养学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学抽象的重要素材，也是加强学生“四基”，提高“四能”的重要内容。（二）学情分析 1.认知基础：通过散点图判断成对数据的相关性已经很熟练。2.认知障碍：线性回归模型中随机误差的假设、最小二乘原理和方法等存在理解困难。（三）教学目标 1. 知识目标：.通过用教学方法刻画散点与直线接近的程度，体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理2. 能力目标：通过对残差和残差图分析，用残差判断一元线性回归模型的有效性，发展数据分析能力3. 素养目标：培养学生数学运算与数据分

3、析素养新知探究在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程问题具有相关关系的两个变量的线性回归方程为x.预测值与真实值y一样吗？预测值与真实值y之间误差大了好还是小了好？提示不一定；越小越好1残差的概念对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析2刻画回归效果

4、的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好(2)残差平方和法残差平方和 (yii)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差(3)利用R2刻画回归效果决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力R21，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差拓展深化微判断1残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好()2在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴

5、上()提示在画两个变量的散点图时， 响应变量在y轴上，解释变量在x轴上3R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好()提示R2越大， 线性回归模型的拟合效果越好微训练1在残差分析中， 残差图的纵坐标为_答案残差2甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？解R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好微思考在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？提示(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回

6、归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.题型一线性回归分析【例1】已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏解(1416182022)18，(1210753)7.4，x1421621822022221 660，xi yi14121610187205223620，所以1.15，7.41.

7、151828.1，所以所求回归直线方程是1.15x28.1.列出残差表：yii00.30.40.10.2yi4.62.60.42.44.4所以 (yii)20.3， (yi)253.2，R210.994，所以回归模型的拟合效果较好规律方法(1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析(2)刻画回归效果的三种方法残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适残差平方和法：残差平方和 (yii)2越小，模型的拟合效果越好

8、决定系数法：R21越接近1，表明回归的效果越好【训练1】某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2011201220132014201520162017年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为解 （1）由所给数据计算得 (1234567)4，(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，

9、(ti)2 9+4+1+0+1+4+9=28, (ti) (yi)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，=0.5， 4.30.542.3，所以所求回归方程为0.5t2.3.(2)由(1)知0.50，故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2020年的年份代号t10代入(1)中的回归方程，得0.5102.37.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元题型二残差分析与相关指数的应用【例2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x15.025.830.036

10、.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度解(1)散点图如下(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系设回归方程为x，又30.36，43.5，x5 101.56，1 320.66，2921.729 6，xiyi6 746.76.则0.29， 34.70.故所求的回归直线方程为0.29x34.70.当x56

11、.7时，0.2956.734.7051.143.故估计成熟期有效穗为51.143.(3)由ixi，可以算得iyii分别为10.35，20.718，30.5，42.214，51.624，残差平方和： 8.43.(4) (yi)250.18，故R210.832.所以(2)中求出的回归模型的效果较好.规律方法(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差1，2，n来判断模型拟合的效果(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高【训练2】为研究质量x(单位：g)对

12、弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求回归直线方程；(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；(3)进行残差分析解(1)散点图如图所示样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系由表中数据，得(51015202530)17.5，(7.258.128.959.9010.911.8)9.487，x 2 275，xiyi1 076.2.计算得0.183，6.285.故所求回归直线方程为6.2850.183x.(2)列表如下：yii0.050.0050.080.0450.

13、040.025yi2.2371.3670.5370.4131.4132.313可得 (yii)20.013 18, (yi)214.678 3.所以R210.999 1，回归模型的拟合效果较好(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系题型三非线性回归分析【例3】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元

14、)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 (xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预

15、报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6(t)，年利润z的预报值576.60.24966.32(千元)根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)

16、xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大规律方法求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程【训练3】下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型

17、，预报x40时y的值解(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数(2)对yc1ec2x两边取对数，得ln yln c1c2x，令zln y，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa(aln c1，bc2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为0.272x3.849，e0.272x3.849.残差yi7112124

18、66115325i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325i0.5570.1011.8758.9509.2313.38134.675(3)当x40时，e0.272403.8491 131. 一、素养落地1通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养2当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题二、素养训练1下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A角度和它的余

19、弦值B正方形的边长和面积C正n边形的边数和内角度数和D人的年龄和身高解析函数关系就是变量之间的一种确定性关系A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f()cos ，g(a)a2，h(n)(n2).D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.答案D2(多选题)关于残差图的描述正确的是()A残差图的横坐标可以是样本编号B残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小解析残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.答案ABD3在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：温度x010205070溶解度y66.776.085.0112.3128.0由此得到回归直线的斜率是_解析(010205070)30，(66.776.085.0112.3128.0)93.6，由公式可得0.880 9.答案0.880 9学科网（北京）股份有限公司