平面向量等和线定理+专题 高三数学二轮复习备考.docx

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1、平面向量等和线定理【定理证明】题型一：求系数和的取值范围问题【2009年安徽卷理数14】 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若，其中，则的最大值是_.答案：2【同源题1】已知中，若与线段交于点，且满足，则的最大值为A. 1 B. C. D. 2答案：D【注】 本题和“2009年安徽卷理数14”没有本质差别.【同源题2】 已知是单位向量，其夹角为，若，则的最大值为_.答案：【注】 本题改编自“2009年安徽卷理数14”.【2017年全国高中数学联赛福建省预赛试题第10题】为圆上不同的三点，且，点在劣弧内(点与不重合)，若，则的取值范围为_.答案：【杭

2、州市2013届一模第17题】 如图，在扇形中，为弧上的一个动点，若，则的取值范围是_.答案：【2017年全国III卷理数12】 在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为A. 3 B. C. D. 2答案：A【例1】已知向量满足，若为线段的中点，并且，则的最大值为A. B. C. D. 1答案：A【例2】 如图，在直角梯形中，动点在内运动(含边界)，设，则的取值范围是_.答案：【改编题1】 如图，在直角梯形中，分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动. 若，其中. 则的取值范围是_.答案：解：如上图所示，根据等和线定理：当点在直线上运动时，；当点在直线上运动时，. .所以

3、.【青浦区2018届高三二模16】 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为，并且若将点到正八角星16个顶点的向量都写成的形式，则的取值范围为（第16题图）A. B. C. D. 答案：C【黄浦区2017届高三二模16】 如图所示，圆与分别相切于点，点是圆上或其内部任意一点，且，则的取值范围是A B C D答案：B 【例3】 如图，与的面积之比为2，点是区域内任意一点(含边界)，且，则的取值范围是A. B. C. D. 答案：C【例4】 如图，在边长为2的正六边形中，是内(含边界)的动点，设

4、向量，则的取值范围是A. B. C. D. 答案：C【徐汇区2014届高三二模13】 如图所示，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含端点)上运动，是圆上及内部的动点，设向量，则的最大值为_.答案：5【例6】 如图，在正方形中，为边上的动点，设向量，则的最大值为_.答案：3解法一(等和线定理)： 这是一个系数和的最值问题，想到等和线定理. 由于三个向量需共起点，所以将平移至处.则，连接交于点. 则.当最小时，取得最大值. 由图可知，当点运动到点时，最小.如右图所示，此时，则. 的最大值为3.解法二(坐标法)：以点为原点，方向分别为轴正方向建立平面直角坐标系.不妨令正方形的边长为

5、1. 设，其中.则，. .【例7】 如图所示，是圆上的三个点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则A. B. C. D. 答案：C解：如图所示，当点在弧上运动时，才有的延长线与线段交于圆内一点.根据等和线定理：，选C.注：若点在线段上，则.【变式训练1】 如图所示，是圆上的三个点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围为_.答案：【变式训练2】 如图，线段是圆的一条弦，点是圆上的动点，且满足线段的延长线与线段相交于圆内一点，若，则的取值范围是_.答案：【例8】 如图所示，在中，分别是的中点，点在梯形区域(含边界)上移动，且，则的取值范围是_. 答案：解：在上取点使得，在上取点使得，

6、则根据有：.当点在线段上运动时，有.根据等和线定理，当在点处时，取得最小值3；当在点处时，取得最大值8.【同源题1】 已知是内任一点，且满足，则的取值范围是_.答案：【2006年湖南卷理数15】 如图2，点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动, 且,则的取值范围是_；当时, 的取值范围是_. 答案：；解：取为基底. 则，显然.令，则则，因为，所以.根据等和线定理，知：，故当时，.【奉贤区2019届高三一模11】 点在曲线上运动，是曲线第二象限上的定点，的纵坐标是，若，则的最大值是_.答案： 【例8】 已知为的外心，且，若，则的最大值为_.答案：【例9】 如图，在中，分别为边

7、的中点，点落在阴影部分(含边界)，若，则的取值范围是_.答案：解： (斜率型)阴影部分中的点与点一一对应，下面的关键是寻找点满足的约束关系.根据等和线定理知：，其中.当连续地从1取到2时，便得到整个可行域.也即是，画出可行域知：.题型二：区域面积问题【2013年安徽卷理数9】 在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是A. B. C. D. 答案：D【变式训练1】 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，其中，则所有点构成的图形面积为A. 1 B. 2 C. D. 答案：C【变式训练2】 在中，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为A. B. C. D.

8、答案：B【分析】 已知两边及其夹角，所以是确定的.则其内心也是定点，是平面中一组确定的基底.变量相互独立，点的轨迹是由为一组邻边张成的平行四边形内部(包括边界)的点所构成的集合.解：根据余弦定理得. 记内切圆的半径为.由等面积法：，得：.则.【徐汇区2018届高三二模12】 已知向量的夹角为锐角，且满足，若对任意的，都有成立，则的最小值为_.解：如上图所示，. 记的夹角为，则有最小值，说明有最大值. 令.根据等和线定理，当点在线段上时，有. 故有最大值时，以点为圆心的单位圆恰好与线段相切.记切点为， 则. 则. 的最小值为.【改编题】 设单位向量的夹角为锐角，若对任意的，都有成立，则的最小值为_.答案：分类精选平面向量等和线定理第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司