中考数学精创资料----二轮复习热点题型突破训练---二次函数综合题.docx

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1、二次函数综合题1如图，点A（0，2）在y轴上，点P是抛物线yx2+4x+5上的一个动点，连接AP，取AP的中点P（1）当点P在坐标轴上时，求点P的坐标（2）当点P在抛物线上运动时，猜想点P构成的曲线是什么求出此曲线的解析式，并在网格中画出大致的图象；设点P与点P所在函数的图象分别与直线ym从左至右依次相交于B1，B2，B3，B4，是否存在B3B4B1B22的情况？请说明理由 2已知抛物线C1：yax22ax4a（x0），其中a为常数，且a0，将抛物线C1关于原点对称的抛物线记为C2（1）抛物线C2的解析式为 ；（2）抛物线C1与x轴的交点坐标为 ；当图象C1的最低点到x轴距离为3时，求a的值；

2、（3）抛物线C1、抛物线C2合起来得到的图象记为M，当a1时，若点（m，5）在图象M上，求m的值3已知抛物线yx2+2x+3和抛物线yn=n3x22n3xn（n为正整数）（1）抛物线yx2+2x+3与x轴的交点 ，顶点坐标 （2）当n1时，请解答下列问题直接写出yn与x轴的交点 ，顶点坐标 ，请写出抛物线y，yn的一条相同的图象性质 当直线y=12x+m与y，yn相交共有4个交点时，求m的取值范围（3）若直线yk（k0）与抛物线yx2+2x+3，抛物线yn=n3x22n3xn（n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A，点B，点C，点D，当ABBCCD时，求出k，n之间满足的关系式 4定

3、义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C1图象上一点，过点M作lx轴，如果二次函数C2的图象与C1关于l成轴对称，则称C2是C1关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C1的函数表达式是y2x2+2，点M是二次函数C1图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数C2是C1关于点M的伴随函数 （1）若m1，求C2的函数表达式点P（a，b1），Q（a+1，b2）在二次函数C2的图象上，若b1b2，a的取值范围为 （2）过点M作MNx轴，如果MN4，线段MN与C2的图象交于点P，且MP：PN1：3，求m的值如图3，二次函数C2的图象在MN上方的部分记为G1，剩余的部分沿MN翻折得到

4、G2，由G1和G2所组成的图象记为G以A（1，0）、B（3，0）为顶点在x轴上方作正方形ABCD直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围5如图1，已知抛物线C1：y1x22x+n+2（n为正整数）的顶点为A，与y轴交于点C，抛物线C2：y2（x+n）2+2n+2的顶点为B（1）当n1时，直接写出下列各点的坐标：A（ ， ），C（ ， ）；（2）随着n值的变化，解答下列问题：判断点C是否在直线AB上？并说明理由；当BC2AC时，求n的值（3）如图2，在抛物线C2上任取一点D，在射线CD上取点P，使DPCD当点D在抛物线C2上运动时，在图中描出相应的点P，再用平滑的曲线连接起来，猜想该

5、曲线是哪种曲线？ ；直接写出该曲线的表达式 （用含n的式子表示） 6抛物线C1，C2，C3，n，均过点A（0，3），B（1，0），及对应的系列点E1（3，0），E2（5，0），E3（7，0），En（2n+1，0）（1）抛物线C1的对称轴l1： ；C2的对称轴l2： ；n的对称轴为ln： （2）若在抛物线Cn1上，函数值随着自变量x的增大而增大，而在抛物线n上，函数值随着自变量的增大而减小，求自变量x的取值范围（用含n的代数式表示）（3）若点P在抛物线n上，且点P到n的对称轴ln的距离等于12，求点P的坐标（用含n的代数式表示）（4）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线n上且x1x2，

6、若对于x1+x27，都有y1y2，求n的值 7已知抛物线y=12x2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B（A在B的左边），且经过点（2，4），如图1（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）如图2，直线AC绕平面内一点P逆时针旋转90后，交抛物线于点E、F（E在F的左边）两点，EF2AC，求E点坐标；（3）在（2）的条件下，若P点在抛物线的对称轴上，请直接写出P点坐标 8定义：在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与y轴的交点坐标为（0，c），那么我们把经过点（0，c）且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线特例感知（1）抛物线yx2+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点

7、坐标为 研究深入（2）经过点A（1，0）和B（x，0）（x1）的抛物线y=12x2+mx+n与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标深入拓展（3）在（2）的条件下，设抛物线y=12x2+mx+n的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F当CDF45时，求点P的坐标若直线EF与直线MN关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由9抛物线n：ynan（xbn）（xbn+1）与x轴交于点An（bn，0），An+1（bn+1，0），顶点为Bn，

8、当n1时，b12，bn+12bn，AnBnAn+1是等腰直角三角形，回答下列问题：（1）求a1的值；（2）用含n的代数式表示Bn的坐标；（3）B1，B2，Bn是否在一条直线上，如果在，请直接写出这条直线的解析式；如果不在，请说明理由（4）S四边形AnBnBn+1An+1S四边形An+1Bn+1Bn+2An+2是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由10如图，抛物线L1经过坐标原点和点A（2，0），其顶点B的纵坐标为2，点M的坐标为（m，0）（m0），将抛物线L1绕点M旋转180得到抛物线L2，点A对应点为点C，点B对应点为点D （1）求抛物线L1的表达式；（2）试用含m的代数式表

9、示出点D的坐标，并直接写出抛物线L2的表达式；（3）若直线yt（t为常数）与抛物线L1、L2均有交点，请直接写出t的取值范围；（4）连接OB，若四边形ABCD的面积为AOB面积的20倍，求此时m的值参考答案1.解：（1）当点P在x轴上，即P的纵坐标为0时，A（0，2），点P的纵坐标为2，在yx2+4x+5中令y2得：x2+4x+52，解得：x=27，此时点P的坐标为(2+7，2)或(27，2)，当点P在y轴上，即P横坐标为0时，A（0，2），点P的横坐标为0，在yx2+4x+5中令x2得y5，此时点P的坐标为（0，5），综上所述，点P的坐标为(2+7，2)或(27，2)或（0，5）；（2）猜想

10、：点P构成的曲线是二次函数的图象（抛物线），设点P的坐标为（a，a2+4a+5），点A坐标为（0，2），AP中点P的坐标为(a2，a2+4a+32)，设x=a2，y=a2+4a+32，由x=a2得a2x，代入y=a2+4a+32得：y=(2x)2+8x+32=2x2+4x+32，即P所在二次函数图象的解析式为y2x2+4x+32，作出该函数的图象如下：存在B3B4B1B22，理由如下：如图：设点B1，B2的横坐标分别为b1，b2，抛物线yx2+4x+52的对称轴为直线x2，抛物线y=2x2+4x+32的对称轴为直线x1，B2B3中点的横坐标为1，B1B4中点的横坐标为2，点B3的横坐标为2b2

11、，B4的横坐标为4b1，B3B4（4b1）（2b2）2b1+b2，B1B2b2b1，B3B4B1B2（2b1+b2）（b2b1）22.解：（1）抛物线C1：yax22ax4a（x0）a（x1）25a，顶点为（1，5a），抛物线C1与抛物线C2关于原点对称，抛物线C2的顶点为（1，5a）且开口方向与抛物线C1相反，抛物线C2的解析为：ya（x+1）2+5aax22ax+4a（x0），故答案为：yax22ax+4a（x0）；（2）令y0，则a（x1）25a0，解得：x11+5，x215，x0，抛物线C1与x轴的交点坐标为（1+5，0），故答案为：（1+5，0）；图象C1的最低点到x轴距离为3，抛物

12、线开口向上a0，且|5a|3，5a3，a=35；（3）把a1代入yax22ax4a（x0）得：yx22x4，把a1代入yax22ax+4a（x0）得：yx22x+4，若点（m，5）在图象C1上，即m0时，m22m45，解得：m11+10，m2110（舍去），若点（m，5）在图象C2上，即m0时，m22m+45，解得：m1m21，综上所述，m的值为1+10或13.解：（1）抛物线yx2+2x+3（x3）（x+1）（x1）2+4，当y0时，x13，x21，该抛物线的顶点坐标为（1，4），即抛物线yx2+2x+3与x轴的交点为（3，0），（1，0），故答案为：（3，0），（1，0）；（1，4）；（2

13、）当n1时，抛物线y1=13x223x1=13（x1）243=13（x3）（x+1），当y10时，x33，x41，该抛物线的顶点坐标为（1，43），即该抛物线与x轴的交点为（3，0），（1，0），抛物线y，yn的一条相同的图象性质是对称轴都是x1（或与x轴的交点都是（1，0），（3，0），故答案为：（1，0），（3，0）；（1，43）；对称轴都是x1（或与x轴的交点都是（1，0），（3，0）；当直线y=12x+m与y相交共有1个交点时，如图1所示，y=12x+my=x2+2x+3，化简得，x232x+m30，则（32）241（m3）0，解得，m=5716；当直线y=12x+m与yn相交共有1个

14、交点时，y=12x+my=13x223x1，化简，得2x27x（6+6m）0，则（7）242（66m）0，得m=9748，9748m5716，把（1，0）代入y=12x+m，得m2，把（3，0）代入y=12x+m，得m=32，由上可得，m的取值范围是9748m5716且m32，m2；（3）由y=ky=x2+2x+3，化简得，x22x+k30，AD2|x1x2|2（x1+x2）24x1x2164k，由y=ky=n3x22n3xn，化简，得nx22nx（3n+3k）0，BC2|x3x4|2（x3+x4）24x3x416+12kn，ABBCCD，AD29BC2，164k9（16+12kn），化简，得

15、32n+27k+nk0，即k，n之间满足的关系式是32n+27k+nk04.解：（1）当m1时，抛物线C2与抛物线C1关于直线x1对称抛物线C2的顶点时（2，2）抛物线C2的解析式为y2（x2）2+22x2+8x6点P（a，b1），Q（a+1，b2）在二次函数C2的图象上b2b12（a+1）2+8（a+1）6（2a2+8a6）4a+6当b1b2时4a+60a32故答案为：a32（2）MNx轴，MP：PN1：3MP1，当m0时，2m1m=12当m0时，2m1m=12观察图象可知：当m=12时，C2的顶点恰与D重合上，此时G与正方形恰由2个交点当m1时，直线MN与x轴重合，G与正方形恰由三个顶点当

16、m2时，G过点B（3，O），G与正方形有三个交点，综上所述，满足条件的m的值为12m1或 m25.解：（1）当n1时，抛物线C1：y1x22x+3（x1）2+2，A（1，2）；在y1x22x+3中，令x0得y13，C（0，3）；故答案为：1，2；0，3；（2）点C在直线AB上，理由如下：对于抛物线C1，当x=b2a=1时，y12+n+2n+1，A（1，n+1），当x0时，yn+2，C（0，n+2）；由抛物线C2：y2（x+n）2+2n+2知顶点B（n，2n+2），设直线AB解析式为：ykx+b，把A，B两点代入ykx+b得：k+b=n+1nk+b=2n+2，解得k=1b=n+2，直线AB解析式

17、为：yx+n+2，在yx+n+2中，令x0得yn+2，点C（0，n+2）在直线AB上；过A作AMy轴于M，过B作BNy轴于N，如图：AMy轴，过B作BNy轴，AMBN，BNCAMC，BCAC=BNAM，BC2AC，BN2AM，由A（1，n+1）知AM1，BN2，而B（n，2n+2），n2；（3）作图如下：由图可知：P随D运动，形成一条抛物线，故答案为：抛物线；过D作DEy轴于E，过P作PFy轴于F，如图：DEPF，CDECPF，DPCD，DEPF=CECF=CDCP=12，设D（m，（m+n）2+2n+2），|m|PF=(m+n)2+2n+2n2CF=12，PF|2m|，CF2（m+n）2+2

18、n，OFCF+OC2（m+n）2+3n+2，P（2m，2（m+n）2+3n+2），令x2m，则m=12x，2（m+n）2+3n+22（12x+n）2+3n+2=12x2+2nx+2n2+3n+2，即P运动形成的图象表达式为：y=12x2+2nx+2n2+3n+2，故答案为：y=12x2+2nx+2n2+3n+26.解：（1）抛物线经过定点B（1，0），点E1（3，0），E2（5，0），抛物线C1的对称轴l1：x=1+32=2，C2的对称轴l2：x=1+52=3，En（2n+1，0），n的对称轴为ln：x=1+2n+12=n+1，故答案为：x2，x3，xn+1；（2）由（1）得，抛物线Cn1的对

19、称轴为直线xn，当xn时，函数值随着自变量x的增大而增大，抛物线n的对称轴为直线xn+1，当xn+1时，函数值随着自变量的增大而减小，nxn+1时，满足题意；（3）抛物线n的对称轴为直线xn+1，则可设抛物线解析式为ya（xn1）2+b，抛物线经过A（0，3），B（1，0），a(n+1)2+b=3an2+b=0，a=32n+1b=3n22n+1，y=32n+1（xn1）23n22n+1，抛物线n的对称轴为直线xn+1，点P到n的对称轴ln的距离等于12，P点的横坐标为n+32或n+12，P（n+32，312n28n+4）或P（n+12，312n28n+4）；（4）点M（x1，y1），N（x2，

20、y2）在抛物线n上，y1=32n+1（x1n1）23n22n+1，y2=32n+1（x2n1）23n22n+1，y1y2，y1y20，32n+1（x2n1）23n22n+132n+1（x1n1）2+3n22n+1=32n+1（x2x1）（x2+x12n2）0，x1x2，x2+x12n20，x1+x27，x2+x12n252n0，n52，n0，0n52，n是正整数，n1或n27.解：（1）由题意得：4=124+2+c，解得：c4，抛物线的解析式为y=12x2+x+4，顶点坐标为（1，92）；（2）令y=12x2+x+40，解得：x4或x2，A（2，0），B（4，0），C（0，4），AO2，CO4

21、，如图2，过点E作y轴的平行线EK，过点F作x轴的平行线FH，交于EK点H，由旋转可得，EFAC，又y轴x轴，KECACO，COAEHFCEF90，KEC+FEH90，FEH+EFH90，KECEFHACO，EFHACO，HFOC=EHAO=EFAC，EF2AC，EFAC=2，HFCO=EHAO=EFAC=2，HF2CO8，EH2AO4，设E（m，12m2+m+4），则F（m+8，12m2+m），12m2+m=12（m+8）2+m+8+4，解得：m=52，E（52，138）；（3）由（2），得E（52，138），F（112，458），设直线EF的解析式为ykx+b，代入点E、F的坐标，得：52

22、k+b=138112k+b=458，解得：k=12b=238，直线EF的解析式为y=12x238，如图2，将点C绕对称轴直线x1上的点P逆时针旋转90，得到点C，可知点C在直线EF上，设点P（1，n），C（0，4），由旋转，得点C的对应点C的坐标为（n3，n1），代入直线EF，得：12(n3)238=n1，解得：n=14，点P的坐标为（1，14）8.解：（1）抛物线yx2+2x+1的对称轴为直线x1，极限分割线为y1，极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为（0，1），则另一个交点坐标为（2，1）故答案为：（0，1）和（2，1）（2）抛物线经过点A（1，0），12（1）2+m（1）+n0，nm+

23、12y=12x2+mx+n=12（xm）2+12m2+n=12（xm）2+12m2+m+12，对称轴为直线xm，点D的坐标为（2m，m+12）（3）设CD与对称轴交于点G，若CDF45，则DGGF|m|=12|m+12|，m=12或m=16当m=12时，y=12(12)2+12+12=98，点P的坐标为（12，98）；当m=16时，y=12(16)2+（16）+12=2572，点P的坐标为（16，2572）点P的坐标为（12，98）或（16，2572）存在，m的值为0或1+2或12如图，设MN与对称轴的交点为H由（2）知，nm+12，y=12（xm）2+12m2+m+12，P（m，12m2+m

24、+12），抛物线y=12x2+mx+n的极限分割线CD：ym+12，直线EF垂直平分OC，直线EF：y=12m+14点B到直线EF的距离为|12m+14|直线EF与直线MN关于极限分割线CD对称，直线MN：ym+12+12m+14=32m+34P（m，12m2+m+12），点P到直线MN的距离为|12m2+m+12（32m+34）|12m212m14|，点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等，|12m212m14|12m+14|，m0或m1+2或m129.解：（1）当n1时，b12，b24，ya1（x2）（x4），把（3，1）代入ya1（x2）（x4）并解得：a11；（2）由n1，2，

25、3时各点坐标可得，Bn横坐标为抛物线对称轴，则x=2n+2n+12，纵坐标为2n1，Bn(2n+2n+12，2n1)；（3）设点P、Q的坐标分别为（m，n）、（s，t），设直线PQ的表达式为ykx+b，则n=km+bt=sk+b，整理得：k=ntms，对于第n个图形，Bn(2n+2n+12，2n1)，第n1个图形Bn1(2n+2n12，2n2)，对应的k用上述推导的公式得：k=2n12n2(2n+2n+12)2n+2n12=13，B1，B2，.，Bn在一条直线上，k值为13，且过点（3，1），则该直线的表达式为y=13（x3）+1=13x；（4）将四边形分成两个部分进行计算，利用两部分面积易计

26、算，下半部分为平行四边形，上半部分为三角形，作BnCx轴，则An横坐标为2n，同理可得：AnBn的k值为2n102n+2n+122n=1，AnBnAn+1Bn+1，下半部分是平行四边形，S下底高AnAn+1h1（2n+12n）2n1，四边形BnAnAn+1C为平行四边形，BnC=AnAn+1=2n+12n，SBnCBn+1=12BnCh2（h2为Bn，Bn+1纵坐标之差），S总=(2n+12n)(2n2n1)+(2n+12n)2n1=（2n+12n）2n，同理可得：S四边形AnBnBn+2An+2=（2n+22n+1）2n+1，则S四边形AnBnBn+1An+1S四边形AnBn+1Bn+2An

27、+2=(2n+12n)2n(2n+22n+1)2n+1=212(42)=14，面积之比为定值，值为1410.解：（1）抛物线L1经过坐标原点和点A（2，0），抛物线L1的对称轴为直线x1顶点B的纵坐标为2，抛物线L1的顶点B的坐标为（1，2）设抛物线的解析式为ya（x+1）22抛物线L1经过坐标原点，a120a2抛物线L1的表达式为：y2（x+1）222x2+4x（2）点M为旋转中心，MAMC，MBMD四边形ABCD为平行四边形过点B作BEx轴于E，过点D作DFx轴于F，如图，BEMDFM90，BMEDMF，BEMDFM（AAS）MEMF，BEDFB（1，2），OE1，BE2DF2点M的坐标为

28、（m，0）（m0），OMmMEOM+OEm+1MFMEm+1OFOM+MF2m+1D（2m+1，2）将抛物线L1绕点M旋转180得到抛物线L2，抛物线L2的解析式为：y2（x2m1）2+2（3）直线yt（t为常数）是与x轴平行的直线，当直线yt（t为常数）在点B与点D之间运动时，与抛物线L1、L2均有交点B点的纵坐标为2，D点的纵坐标为2，t的取值范围为2t2（4）点A（2，0），OA2SAOB=12OABE=12222四边形ABCD为平行四边形，AC2MA2（OA+OM）2（2+m）S平行四边形ABCD2SACD212ACBE4（2+m）四边形ABCD的面积为AOB面积的20倍，4（2+m）

29、202m8【选用】1已知二次函数yax22ax2的图象（记为抛物线C1），顶点为M，直线l：y2xa与x轴，y轴分别交于点A，B（1）若抛物线C1与x轴只有一个公共点，求a的值；（2）当a0时，设ABM的面积为S，求S与a的函数关系式；（3）将二次函数yax22ax2的图象C1绕点P（t，2）旋转180得到二次函数的图象（记为抛物线C2），顶点为N若点N恰好落在直线l上，求a与t满足的关系；当2x1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的值增大而减小，求t的取值范围解：（1）yax22ax2a（x1）2a2抛物线顶点M（1，a2）抛物线与x轴只有一个交点a20解得：a2.（2）过M作MHy轴

30、，交AB于H，交x轴于G点H在直线l：y2xa上H（1，2a）且2aa2即点H一定在点M上方MH2a（a2）4直线l：y2xa与x轴，y轴分别交于点A，BA（a2，0），B（0，a）.如图1，当a21即a2时，点A在直线x1的右方SSAMH+SBMH=12MHAG+12MHOG=12MH(AG+OG)=12MHOA=124a2=a如图2，当0a21即0a2时，点A在直线x1的左方SSBMHSAMH=12MHOG12MHAG=12MHOA=a.综上所述，Sa.（3）点M（1，a2）绕点P（t，2）旋转180得到点N点P为MN中点设N（m，n），则有1+m2=t，a2+n2=2整理得：m2t1，n

31、a2点N在直线l：y2xa上a22（2t1）a整理得：a2t.旋转前抛物线对称轴为直线x1当a0抛物线开口向上时，在2x1的范围内满足y随x增大而减小旋转后抛物线开口向下，且顶点N（2t1，a2）要满足在2x1的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降对称轴直线x2t1需在x2左侧2t12解得：t12.2如图，抛物线yax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？

32、若存在，求出其值；若不存在，请说明理由 解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入抛物线yax2+bx中，得0=16a+4b3=a+b，解得a=1b=4，所以该抛物线表达式为yx2+4x；（2）yx2+4x（x2）2+4，抛物线对称轴为直线x2，点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），C（3，3），又BC2，SABC=1223=3；（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图，CMMN，CMN90，在CBM和MHN中，CBM=MHNBMC=HNMCM=MN，CBMMHN（AAS），BCMH2，BMHN321，N（2，0）

33、；以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：RtNEM和RtMDC，得RtNEMRtMDC，EMCD5，OH1，ONNHOH514，N（4，0）；以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图，CNMN，CMN90，做辅助线，同理得RtNEMRtMDC，MENHDN3，0N312，N（2，0）；以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图，做辅助线，同理得MEDNNH3，0N1+34，N（4，0）；以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上可知当CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（4，0）或（2，0）或（4，0）3如图，直线y=23x+m与坐标轴

34、交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线yax2+bx+2与直线y=23x+m交于A，D两点（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时MDA的面积最大？最大值是多少？（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线yax2+bc+2经过B（2，0）、C（6，0）两点，4a+2b+2=036a+6b+2=0，解得a=16b=43，抛物线的解析式y=16x243x+2，当x0时，y2，点A的坐标为（0，2），m2，即直线

35、解析式为：y=23x+2，抛物线y=16x243x+2与直线y=23x+2交于A、D两点，y=23x+2y=16x243x+2，解得x1=0y1=2，x2=12y2=10，D（12，10）；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，设点M的坐标为(x，16x243x+2)，则点N的坐标为（x，23x+2），yMN=23x+2(16x243x+2)=16x2+2x=16(x6)2+6，S=121216(x6)2+6=(x6)2+36，a10，S有最大值，当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36；（3）存在当点P为直角顶点时，设P（x，0），过点D作DHx轴，垂足为H，则PDHAPO，

36、DHOP=PHOA，10x=12x2，x212x+200，x12，x210，点P的坐标为（2，0）或（10，0）当点A为直角顶点时，如图，过点A作APAD，交x轴与点P，设P（x，0），则OPAAOGOAOP=OGOA，2x=32，x=43，点P的坐标为（43，0）；当点D为直角顶点时，过点D作DPAD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DHx轴于点H，则PDHDGH，DHPH=HGHD，10x12=1510，x=563点P的坐标为（563，0），满足条件的点P的坐标为（2，0）或（10，0）或（43，0）或（563，0）4【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴

37、交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”例如：y3x2+6x3的“友好对称二次函数”为y2x24x3【特例求解】（1）y=13x2的“友好对称二次函数”为 y=43x2；y=13x2+x5的“友好对称二次函数”为 y=23x2+2x5；【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是 （请填入正确的序号）二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数；二次项系数为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；yax22ax+3的“友好对称二次函数”为y（1a）x22（1a）x+3任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点【拓展应用】（3）如图，

38、二次函数L1：yax24ax+1与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点A，点B，C分别在L1，L2上，点B，C的横坐标均为m（0m2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B，C，连接BB，BC，CC，CB若a3，且四边形BBCC为正方形，求m的值；若m1，且四边形BBCC邻边之比为1：2，直接写出a的值 解：（1）1（13）=43，函数y=13x2的“友好对称二次函数”为y=43x2；113=23，1（2313）2，函数y=13x2+x5的“友好对称二次函数”为y=23x2+2x5，故答案为：y=43x2，y=23x2+2x5；（2）110，二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”

39、；12=12，二次项系数为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；由定义，yax22ax+3的“友好对称二次函数”为y（1a）x22（1a）x+3；若y=12x2+x+1，则其“友好对称二次函数”为y=12x2+x+1，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，故答案为：；（3）二次函数L1：yax24ax+1的对称轴为直线x=4a2a=2，其“友好对称二次函数”L2：y（1a）x24（1a）x+1a3，二次函数L1：yax24ax+13x212x+1，二次函数L2：y（1a）x24（1a）x+12x2+8x+1，点B的坐标为（m，3m212m+1），点C的坐标为（m，2m2+8m+1），点B的坐标为（4m，3m212m+1），点C的坐标为（4m，2m2+8m+1），BC2m2+8m+1（3m212m+1）5m2+20m，BB4mm42m四边形BBCC为正方形，BCBB，即5m2+20m42