数学中考复习 相似三角形综合.docx

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1、九年级数学中考复习 相似三角形综合新定义1新定义：对于给定的一条线段，若其端点分别在一个三角形的两边上，且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”（1）等边三角形的“半似位线”的条数为 条（2）如图，在中，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点运动设运动时间为秒求的长；（用含的代数式表示）当为的“半似位线”时，求的值（3）如图，在中，若的“半似位线”有5条，直接写出边的取值范围2如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边

2、例如：若中，则为以边为底边的倍角三角形问题提出（1）已知为倍角三角形，且如图1，若为的角平分线，则图中相等的线段有 ，图中相似三角形有 ；如图2，若的中垂线交边于点，连接，则图中等腰三角形有 问题解决（2）如图3，现有一块梯形板材，工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，且为以为底边的倍角三角形工人师傅在这块板材上的作法如下：作的中垂线交于点；在上方的直线上截取，连接并延长，交于点；连接，得请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的想法是否存在其它满足要求的？若存在，请画出图形并求出的长；若不存在，请说明理由3读一读动态几何的问题背景往往是特殊图形，考查问题也是特

3、殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置；要抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合，以不变应万变研一研给出一个新的定义：顶角相等且顶角的顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”探索发现：（1）如图，若和互为“兄弟三角形”， ，则（填“”或“”或“” ；迁移应用：（2）如图，和互为“兄弟三角形”， ，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分拓展延伸：（3）如图，若是等边三角形，点为边下方一动点，且满足，连接，试探究线段、之间的数量关系，并证明4定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似

4、三角形（1）初步理解：如图1，四边形中，对角线平分，求证：和为叠似三角形；（2）尝试应用：在（1）的基础上，如图2，若，求四边形的周长；（3）拓展提高：如图3，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且若，求的值5定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题请通过这种方法解答下列问题：（1）如图1，中，是角平分线，且，求证：是倍角三角形；（2）如图2，已知是倍角三角形，且，求的长；（3）如图3

5、，已知中，求的长6定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是 ；（2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，求友爱四边形的周长；（3）如图3，在中，的面积为，点是的平分线上一点，连接，若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长7定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图

6、1，已知在正方形网格中，请你在网格中找到一点，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（找出1个即可）；（2）如图2，在四边形中，对角线平分求证：是四边形的“相似对角线”；（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ，连接，若的面积为，求的长8定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”如图，在与中，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接，则称为“关联比”下面是小颖探究“关联比”与之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：（1）当与为“关联等腰三角形”，且时，在图2中，若点落在上，则“关联比” ；在图3中，探究与的关系，并

7、求出“关联比” 的值（2）如图4，当与为“关联等腰三角形”，且，“关联比” 时，将绕点顺时针旋转，线段扫过的面积是 迁移运用（3）如图5，与为“关联等腰三角形”若，点为边上一点，且，点为上一动点，当点自点运动至点时，点所经过的路径长为 9请阅读下面材料，并完成相应的任务：定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”例：如图 ，点在的内部，则，故点为的“相似点“请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：（1）如图，在中，平分，求证：点为的“相似点”；（2）如图，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接，若，求的值；

8、（3）如图，在菱形中，是上一点，是内一点，且，连接与交于点，连接，若点是的“相似点”，且，求证：10定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线（1）如图1，在中，为钝角，相似分割线是边上的中线，求证：（2）如图2，在中，是的全相似分割线，求证：；（3）在中，是的全相似分割线，将绕点顺时针旋转，点旋转到点，点旋转到点，当旋转到如图3的位置时，三点共线，恰好是的相似分割线，求值11【给出定义】若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三

9、角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”【理解概念】（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是命题（填“真”或“假” （2）四边形为“跳跃四边形”，且对角线为“跳跃线”，其中，求四边形的周长【实际应用】已知抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点（3）直接写出点坐标，并求出抛物线的解析式（4）在线段上有一个点，在射线上有一个点，两点分别以个单位秒，5个单位秒的速度同时从出发，沿，方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由答案

10、版1 【解答】解：（1）根据“半似位线”的定义可知，等边三角形的中位线的三角形的“半似位线”，所以等边三角形有3条“半似位线”，故答案为3（2）如图中，在中，当时，当时，综上所述，满足条件的的值为或4（3）由题意，不能是等边三角形，的值不能小于4，故满足条件的的值为或2【解答】解：（1）如图1，为的角平分线，；故答案为：，；如图2，由垂直平分线的性质可知，；等腰三角形有和；故答案为：和（2）裁得的型部件符合要求，理由如下：如图3，垂直平分，；如图4，作，其中，则，作交的延长线于点，过点作于点，即，设，则，即，解得（舍或；如图3，过点作于点，四边形是矩形，；，即；裁得的型部件符合要求；存在，如图

11、5，作平分交于点，连接并延长交于点，即为所求3【解答】（1）解：和互为“兄弟三角形”，即，故答案为：；（2）证明：如图，过点作于，于，和互为“兄弟三角形”，即，在和中，（全等三角形对应边上的高相等），平分；（3）解：线段、之间的数量关系为，证明如下：如图，延长到点，使，连接，是等边三角形，在和中，即，是等边三角形，4 【解答】（1）证明：在中，平分，和为叠似三角形；（2）解：，四边形的周长为：；（3）解：如图3，过作的平行线交的延长线于，为中点，又，即，5【解答】（1）证明：是的角平分线，是倍角三角形；（2）解：如图2，作的角平分线，则，；（3）解：如图3，过点作的三等分角，分别交于点，则，6

12、【解答】解：（1），由勾股定理得：，四边形是“友爱四边形”，与不相似，四边形不是“友爱四边形”，故答案为：四边形；（2）平分，当时，友爱四边形的周长为；当时，友爱四边形的周长为，综上，友爱四边形的周长为13或10；（3）如图，过点作于，则，在中，四边形是被分割成的“友爱四边形”，7【解答】（1）解：由图1知，四边形是以为“相似对角线”的四边形，当时，或，或，或，同理：当时，或，如图中，即为所求（2）证明：平分，是四边形的“相似对角线”；（3）解：作于点，是四边形的“相似对角线”，且，8【解答】解：（1）与为等腰直角三角形，若点落在上，则点落在上，故答案为：；与为等腰直角三角形，；（2）如图4，

13、过点作于点，则，同理：，即，故答案为：；如图，由可知，由旋转的性质得：，线段扫过的面积的面积扇形的面积的面积扇形的面积）扇形的面积扇形的面积，故答案为：；（3）如图6同（2）得：，点所经过的路径是线段，此时，当点自点运动至点时，点所经过的路径长为，故答案为：9【解答】（1）证明：，平分，点为的“相似点“；（2）解：点是的“相似点“，且点与点对应，点在的平分线上，平分，；（3）证明：点是的“相似点“，分别延长，交于点，四边形是菱形，四边形是平行四边形，又，10【解答】（1）证明：在中，为相似分割线，是比大，与不相似，与相似，与的三个角分别对应相等，与的一个角重合，是边上的中线，；（2）证明：在中

14、，为的全相似分割线，与与都相似，与的一个角重合，与的一个角重合，点，共线，是直角三角形，；（3）解：在中，为的全相似分割线，由（2）知，是绕点旋转得到的，是的相似分割线，由（1）知，四边形为平行四边形，四边形为矩形，设，在中，在中，在中，整理得，两边同时除以得：，设，则，11【解答】解：【理解概念】：（1）矩形的对角线所分的两个三角形全等凡是矩形都是跳跃四边形是真命题故答案为 真（2），当时，如图四边形为“跳跃四边形”或，或，四边形的周长或四边形的周长若如图四边形为“跳跃四边形”或，或，四边形的周长或四边形的周长综上所述：四边形的周长为或或【实际应用】（3）抛物线与轴交于，两点顶点坐标为，对称轴为轴，点，点关于对称轴对称点抛物线与直线交于点，点，抛物线解析式，两点分别以个单位秒，5个单位秒的速度设运动时间为，点，点，且四边形是以为“跳跃线”的“跳跃四边形是直角三角形若时，且与是对应边，作，作如图3，四边形是平行四边形，且点在抛物线上若时，且与是对应边，作，作如图4即，且，且点在抛物线上若，与是对应边，过点作如图5，且四边形是平行四边形且四边形是矩形，且点在抛物线上若，与是对应边，过点作，过点作，延长交于，过点作于如图6又，四边形是矩形，且在中，且点在抛物线上综上所述：使得四边形是以为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间的值为：，学科网（北京）股份有限公司