异面直线所成的角同步练 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、异面直线所成的角一、单选题1. 直三棱柱ABCA1B1C1中所有棱长均相等，M，N分别为A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为( )A. 110B. 310B. C. 710D. 9102. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( ).A. 2B. 3C. 4D. 63. 已知正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面的对角线E1D与BC1所成角的大小是( )A. 90B. 60C. 45D. 304. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是( )A. 直线B1C与直线AC所成的角为60B. 直线B1C

2、与平面AD1C所成的角为60C. 直线B1C与直线AD1所成的角为90D. 直线B1C与直线AB所成的角为905. 三棱锥DABC中，ACD=2ACB=120，CD=2BC，则异面直线AC与BD所成的角可能是( )A. 30B. 45C. 60D. 75二、填空题6. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，AA1AC.若AB=AC=AA1=1，BC=2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为_. 第6题 第7题7. 如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为3，则异面直线AA1与BD1所成角的正切值是_.8. 将正方形ABCD沿对角线AC折叠，使BAD=45，此时异

3、面直线AD和BC所成角的余弦值为_9. 已知A，B，C三点都在以PA为直径的球O的表面上，ABBC，AB=3，BC=4，若球O的体积为11332，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为_.10. 已知正四面体ABCD中，M为AB中点，则CM，AD所成角的余弦值为_.11. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形且斜边BC=2，D是BC的中点若AA1=2，则异面直线A1B与AD所成的角为_三、解答题12. 如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，且AC=AA1（1）求证：ABA1C；（2）求异面直线A1C与BB1所成角的大小13. 如图，在三棱柱ABCA1

4、B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，AC=AB=AA1=2，E、F分别是棱BC、CC1的中点(1)求异面直线A1C与EF所成角的大小(2)求A1C与平面AEF所成角的大小14. 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC是边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为4.(1)求三棱锥PABC的体积V；(2)若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小.答案和解析1. 【答案】C【解析】取BC的中点D，连接AD，ND，MN，MNB1C1，MN=12B1C1，BDB1C1，BD=12B1C1，MNBD，且MN=BD，四边形BDNM是平行四边形，DNBM，BM与AN所成的角等于AND

5、.令AB=2，则AD=3，AN=DN=5，cosAND=AN2+DN2AD22ANDN=10325=710.2. 【答案】D【解析】如图，PBC1为异面直线PB与AD1的夹角.易知A1BC1为正三角形，又P为A1C1中点，所以PBC1=6.3. 【答案】B4. 【答案】B5. 【答案】B【解析】设CD=2BC=2m,.由于ACB+ACD=180，将侧面ACD沿AC展开到平面ABC，则三点B、C、D共线，又此三棱锥可看成将ACD沿直线AC翻折而成的，故不难可得.设异面直线AC与BD所成的角为，则，即(6,3)，故选B.6. 【答案】60【解析】依题意，得BCB1C1，故异面直线A1C与B1C1所

6、成的角即BC与A1C所成的角.连接A1B，AA1AB，AA1AC，且AB=AC=AA1=1A1C=A1B=2在A1BC中，BC=A1C=A1B=2，故A1CB=60，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60.7. 【答案】2238. 【答案】222【解析】不妨设AD=1在ABD中，由余弦定理可得：BD2=2-2cos45=2-2根据BD=BC+CA+AD，利用数量积运算性质即可得出解：如图所示，不妨设AD=1在ABD中，由余弦定理可得BD2=2-2cos45=2-2BD=BC+CA+AD，BD2=BC2+CA2+AD2+2BCCA+2ADBC+2CAAD，2-2=1+2+1+22cos135+

7、2cosAD，BC+22cos135，化简得cosAD，BC=222此时异面直线AD和BC所成角的余弦值为222故答案为：2229. 【答案】4615解：A，B，C三点都在以PA为直径的球O的表面上，ABBC，AB=3，BC=4，ABC的外心O是AC的中点，由球的性质得OO平面ABC.球O的半径R=OA，而球O的体积为43R3=11332，所以OA=R=332.AC=32+42=5，AO=52，则OO=334254=2.取AB的中点E，BC的中点F，连接OE，OF，OE，OF，EF.由三角形的中位线定理可得OEPB，EFAC.设PB与AC所成角为，则OEF=或，由已知求解直角三角形可得EF=5

8、2，OE=6，OF=172.在OEF中，cosOEF=(6)2+(52)2(172)22526=4615.异面直线PB与AC所成角的余弦值为4615.故答案为：4615.10. 【答案】36解：取BD中点N，连接MN，CN，设正四面体ABCD棱长为2，M为AB中点，MNAD，且MN=12AD=1，CMN是CM，AD所成角（或所成角的补角），CM=CN=2212=3，cosCMN=CM2+MN2CN22CMMN=3+13231=36.CM，AD所成角的余弦值为36.故答案为：36.11. 【答案】3解：如图，以点A为原点，直线AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据ABC为

9、等腰直角三角形可得AB=2，则：A1(0，0，2)，B(2，0，0)，A(0，0，0)，D(22，22，0)，A1B=(2，0，2)，AD=(22，22，0)，cosA1B，AD=A1BAD|A1B|AD|=121=12，且0A1B，AD，A1B与AD的夹角为3，异面直线A1B与AD所成的角为312. 解：（1）证明：侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，可得ABAA1，又ABAC，ACAA1=A，AB平面AA1C1C，且A1C平面AA1C1C，ABA1C.（2）解：因为几何体是棱柱，BB1AA1，则直线A1C与AA1所成的角就是异面直线A1C与BB1所成的角直三棱柱ABC-A1B1C

10、1中，侧棱AA1平面ABC，AC=AA1，三角形CAA1是等腰直角三角形，AA1C=45异面直线A1C与BB1所成角的大小为45【解析】（1）通过直线与平面垂直，证明直线与直线垂直即ABA1C；（2）异面直线A1C与BB1所成角即A1C与AA1所成角，在直角三角形中求解异面直线所成角即可13. (1)取A1C1的中点G，AC的中点H，连接GF，GE，GH，HE，BC1，在A1C1C中，G是A1C1的中点，E是C1C的中点，GFA1C，GF=12A1C，GFE即为异面直线A1C与EF所成的角（或其补角），A1C=AA12+AC2=22，GF=12A1C=2，C1B=BC2+C1C2=23，EF是

11、BCC1的中d位线，EF=12BC1=3，又EH是ABC的中位线，HE=12AB=1EG=HE2+GH2=12+22=5，GF2+EF2=EG2，GFE=2，异面直线A1C与EF的所成角为2(2)以A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，AC方向为y轴正方向，AA1方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：A1(0,0,2)，C(0,2,0)，A(0,0,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，A1C=(0,2,2)，AE=(1,1,0)，AF=(0,2,1)，设平面AEF的一个法向量n=(x,y,z)，AEnAFn得x+y=02y+z=0，令y=1，n=(1,1,2)，设A1C与平面AEF所成角为，sin=|cosA1C,n|=A1Cn|A1C|n|=686=32=3，A1C与平面AEF所成角为314.(1)解：PA底面ABC，PBA为侧棱PB与底面所成的角，即PBA=4，PA=AB=2.又S=1222sin3=3，故V=13Sh=1332=233，即三棱锥PABC的体积为233；(2)取AB中点E，连结DE，CE，则DEPA，CDE就是异面直线PA与CD所成的角（或其补角），CE=3，DE=12PA=1.因为PA底面ABC，DE底面ABC.在直角三角形CDE中，tanCDE=CEDE=3，所以CDE=3，所以异面直线PA与CD所成角的大小为3.学科网（北京）股份有限公司