博弈论教学课件七 不完全信息动态博弈[Ⅰ].pptx

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1、第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡不完全信息动态博弈不完全信息动态博弈精炼贝叶斯纳什均衡基本思路在不完全信息动态博弈中，“自然”首先选择参与人的类型，参与人自己知道自己的类型，其他参与人不知道；在自然选择之后，参与人开始行动，参与人的行动有先有后，后行动者能观察到先行动者的行动，但不能观测到先行动者的类型。但是，因为参与人的行动是类型依存的，每个参与人的行动都传递着有关自己类型的某种信息，后行动者可以通过观察先行者所选择的行动来推断其类型或修正对其类型的先验信念（概率分布），然后选择自己的最优行动。先行动者预测到自己的行动将被后行动者所利用，就会设法选择传递对自己最有利的信息，避免传

2、递对自己不利的信息。因此，博弈过程不仅是参与人选择行动的过程，而且是参与人不断修正信念的过程。精炼贝叶斯均衡是不完全信息动态博弈均衡的基本均衡概念，它是 Selten 完全信息动态博弈子博弈精炼纳什均衡和 Harsanyi 的不完全信息静态博弈贝叶斯均衡的结合。精炼贝叶斯均衡要求，给定有关其他参与人的类型的信念，参与人的策略在每个信息集开始的“后续博弈”上构成贝叶斯均衡；并且，在所有可能的情况下，参与人使用贝叶斯法则修正有关其他参与人的类型的信念。再一次考虑市场进入的例子。假定有两个时期。在业（在位者）生产，一个潜在的进入者考虑是否进入；如果进入者进入，在，两个企业进行Cournot博弈，否则

3、，在位者仍然是一个垄断者。假定在位者有两个可能的类型：高成本和低成本，进入者在博弈开始时只知道在位者是高成本的概率是，低成本的概率是1。这个概率称为进入者的先验信念（prior beliefs）。假定进入者只有一个类型：进入成本为2；如果进入的话，生产成本函数与高成本函数的在位者成本函数相同。在（或生产产量），假定只有三种可能的价格选择：。若在位者是高成本，对应三种价格选择的利润分别是：2、6或7；如果在位者是低成本，对应的利润分别是：6、9或8。因此，高成本在位者的单阶段最优垄断价格是，低成本在位者的单阶段最优垄断价格是（最优垄断价格总是边际成本的增函数，这是一个一般的结论）。在，如果进入者

4、已经进入，在位者的成本函数变成共同知识；如果在位者是高成本，两个企业的成本函数相同，对称的Cournot均衡产量下的价格为5，每个企业的利润是3，扣除进入成本2，进入者的净利润是1；如果在位者是低成本，两个企业的成本函数不同，非对称的Cournot均衡产量下的价格是4，在位者的利润是5，进入者的利润是1，扣除进入成本2，进入者的净利润是-1.如果进入者不进入，2时期在位者仍然是一个垄断者，不同价格选择下的利润水平与第一阶段相同。我们构造这些数字使得在完全信息情况下，如果在位者是高成本，进入者选择进入；如果在位者是低成本，进入者选择不进入。下图中在位者有两个单结信息集，表示在位者知道“自然”的选

5、择，即知道自己的类型；三条虚线表示进入者有三个信息集，每个信息集有两个决策结（进入或不进入，用虚线连接），表示进入者能观测到在位者的价格选择但是不能观测到在位者的成本函数。（即进入者观测到价格等于4,5或6，但是每一种价格可能是高成本在位者的选择也可能是低成本在位者的选择）。我们将第一阶段不同价格选择下的利润向量写在博弈树的终点结，尽管实际支付在进入者决定是否进入之前就已实现。注意，进入者第一阶段的利润总是零。我们省略了第二阶段博弈的扩展式，代之以Cournot均衡支付向量和垄断利润。这是因为，在博弈进入第二阶段之后，如果进入者已经进入，Cournot均衡产量和对应的价格是每个企业的最优选择；

6、如果进入者没有进入，单阶段垄断产量和价格是在位者的最优选择。1/30p=1t=2t=1，市场上有一个垄断企t=2t=1，在进入者决定进入是否进入之前，作为垄断者的在位者要决定该时期的价格p=,p=,p=6p=6p=5t=2t=第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡N 高 低在位者P=4 进入者进不进第一阶段（2,0）（2,0）（6,0）（6,0）（7,0）（7,0）（6,0）（6,0）（9,0）（9,0）（8,0）（8,0）第二阶段（3,1）（7,0）（3,1）（7,0）（3,1）（7,0）（5,-1）（9,0）（5,-1）（9,0）（5,-1）（9,0）图 1 尽管当博弈进入第二阶段后

7、，企业的行动选择是一个简单的静态博弈决策问题，但是第一阶段的选择要复杂得多。进入者是否进入依赖于它对在位者成本函数的判断：给定在位者是高成本时进入的净利润为1，低成本时进入的净利润是-1，当只当进入者认为在位者是高成本的概率大于1/2时，进入者才会选择进入。这一点与我们在上一章讨论的不完全信息静态博弈的进入决策没有什么不同。但与静态博弈不同的是，现在，在观测到在位者第一阶段的价格选择之后，进入者可以修正在位者成本函数的先验概率，因为在位者的价格选择可能包含着有关其成本函数的信息。比如说，无论在何种情况下，低成本在位者不会选择p=6（因为低成本的在位者不希望进入者认为自己是高成本），因此，如果进

8、入者观测到在位者选择了，它就可以推断在位者一定是高成本，选择进入是有利可图的。预测到选择会招致进入者进入，即使高成本的在位者也可能不会选择，尽管是单阶段的最优垄断价格。类似地，低成本在位者也可能不会选择，如果会招致进入者进入的话。这里，问题的核心是：不同的价格如何影响进入者的后验概率从而影响进入者的进入决策。一个非单阶段最优价格会减少现期利润，但如果它能阻止进入者进入，从而使在位者在第二阶段得到垄断利润而不是Cournot均衡利润，如果垄断利润与Cournot均衡利润之间的差距足够大，如果在位者有足够的耐心，选择一个非单阶段最优价格可能是最优的。我们将看到，在均衡情况下，在位者究竟选择什么价格

9、，不仅与其成本函数相关，而且与进入者的先验概率 有关；无论 为多少，单阶段最优垄断价格不构成一个均衡。为了分析上述动态博弈的均衡结果，仅仅使用上一讲定义的贝叶斯纳什均衡是不够的。这是因为，在静态贝叶斯均衡中，参与人的信念是事前给定的，均衡概念没有规定参与人如何修正自己的信念。但是，如果进入者可以任意修正自己有关在位者成本函数的信念，上述不完全信息动态博弈可以有任意的贝叶斯均衡。比如说，假定，下列策略组合是一个贝叶斯均衡：不论在位者选择什么价格，进入者总是认为在位者是高成本的概率为，总是选择不进入；高成本的在位者选择，低成本的在位者选择。这个策略组合是一个贝叶斯均衡。因为，给定信念和在位者的策略

10、，进入者选择不进入是最优的；给定进入者总是选择不进入，在位者选择单阶段垄断价格是最优的（第一阶段的选择对第二阶段的结果没有影响）。但显然，这个均衡是不合理的，因为它包含一个不可信的威胁：进入者不会修正对在位者成2/302P=6 不进P=5 进P=4 进 进不进 进 不进P=6 不进不进1-在位者P=5 进入者进p=6p=6p=6p=6p=5p=5=1/21/2p=6p=51/2第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡本函数的信念。给定不可能是低成本在位者的最优选择，如果在位者选择了，进入者为什么仍然认为在位者是高成本的概率小于1/2呢？在第三讲，我们引入了子博弈精炼纳什均衡概念删除掉那些包

11、含不可置信威胁策略的纳什均衡。但在如上图所示的不完全信息动态博弈中，子博弈精炼纳什均衡并不能给我们直接帮助，因为不完全信息博弈只有一个子博弈（没有真子博弈），即从初始结开始的整个博弈，因此，所有的均衡都是 SPNE。在上图中，进入者的每一个信息集都包含两个决策结，除非进入者知道自己处于每个决策结上的概率，否则，他不可能做出决策。不过，尽管 SPNE 不能直接应用于上述博弈，但 SPNE 概念的逻辑是适用的。精炼纳什3均衡要求均衡策略不仅在整个博弈上构成纳什均衡，而且要求在每个子博弈上构成纳什均衡。仿照这一逻辑，如果我们将每一个信息集开始的博弈的剩余部分称为一个“后续博弈”（continuati

12、on game）（不同于子博弈，因为子博弈必须开始于单结信息集，并且不能切割信息集），一个合理的均衡应该满足如下要求：给定每一个参与人有关其他参与人类型的后验信念，参与人的策略组合在每个后续博弈上构成贝叶斯均衡。但要求策略组合在每一个后续博弈上构成贝叶斯均衡仍然没有剔除“总是认为在位者是高成本的概率为”这样的不合理行为。剔除这种不合理行为的方式是，假定参与人（在所有可能的情况下）根据修正先验信念；并且每个参与人都假定其他参与人选择的是均衡策略。精炼贝叶斯均衡（perfect Bayesian equilibrium，PBE）是贝叶斯均衡、SPNE 和贝叶斯推断的结合。它要求：在每一个信息集上，

13、决策者必须有一个定义在属于该信息集的所有决策结上的一个概率分布（信念）；给定和是从给定信息集开始的后续博弈上的完备的行动规则），参与人的行动必须是最优的；每一个参与人根据和均衡策略修正后验概率贝叶斯法则理解贝叶斯法则对理解精炼贝叶斯均衡的概念是至关重要的。在给出精炼贝叶斯均衡的正式定义之前，我们先来解释一下贝叶斯法则。在日常生活中，当面临不确定性时，在任何时点上，我们对某件事情发生的可能性有一个判断。然后，我们会根据新的信息来修正这个判断。统计学上，修正之前的判断称为“先验概率”（prior probability），修正之后的判断称为“后验概率”（posterior probability）

14、。贝叶斯法则正是人们根据新的信息从先验概率得到后验概率的基本方法。让我们以不完全信息博弈为例说明贝叶斯法则。如通常一样，我们假定参与人的类型是独立分布的。假定参与人i 有K 个可能的类型，有H 个可能的行动。我们用 和a 分别代表一个特定的类型和一个特定的行动（我们只考虑一个参与人，因此省略下标）。假定i 属于类型为，Proba=(ak=1即参与人i 选择行动a 的“总”概率是每一种类型的平均，权数是他属于每种类型的先验概率。我们现在要问的问题是：假如我们观测到了i 选择了a，属于类型多少？用代表这个后验概率，即给定3/30 的条件概率k h=1；给定i 属于，i 选择akh()=1。那么，i

15、 选择a 的边缘概率是：Kk=1hkhhKKki 的概率。根据概a()+,.,+(a)()()hk()0，)(h11hka(ah)a)a 的情况下 属于类型k kk=(a)Ki 选择 的条件概率的加权ki 的后验概率是k hp=6p=6prob(a)=相容。在动态博弈中，对应的是非均衡路径上的信息集。为了让同学们熟悉贝叶斯法则，我们举一个生活中的例子。如果我们把男生划分为人品好（G）和人品坏（B）两类，事件划分为“撒谎”（L）和“不撒谎”（H）两类，那么，一个男生撒谎的“全”概率等于他是好人品的概率乘以好人品的人撒谎的概率(LG)，加上他是坏人品的概率乘以坏人品的人撒谎的概率：prob(L)=

16、(LG)(G)+(LB)(B)假定你（中心的女生）观测到了一个男生没有对你撒谎（假定你可以事后验证他是否撒了谎），那么，这个男生人品好的后验概率为：prob(GH)=为了更具体一点，假定你认为这个男生人品好的先验概率为，那么，在观测到他有一件事上没有对你撒谎（即对你诚实）之后，你如何修正他人品好的先验概率依赖于你认为在这件特定的事件上人品好（或坏）的男生不撒谎的概率。我们可以考虑三种情况。如果你认为在这件事上人品好的男生一定不会对你撒谎，而人品坏的一定会对你撒谎，即。那么，prob(GH)=122也就是说，尽管你原来认为这个男生人品好的可能性是，但是在观测到他对你诚实之后，你就会得出结论：这是

17、个人品好的男生。第二种情况是，你认为这件事很平常（不涉及利害关系），就算是人品坏的男生也会诚实，即。那么，prob(GH)=22即你对他的看法不会改变。第三种情况介于上述两种情况之间：你认为在这件事上人品好的男生一定会对你诚实（），而人品坏的男生可能撒谎也可能对你诚实，概率各为，那么，4/30)prob(a)k hhprob(aki 的后验概率。)()()a 情况下 属于hk khkh khhk(aprob(a)()()1区间取任何值，只要所取的值与均衡策略(aiakhjjk h1k 类型的参与人 的条件概率。或者等于 选择 的总概率乘以给定hprob(ahprob(a)012)i 属于 的先

18、验概率乘以ha)hK0，即参与人i 必须以正的概率选择a，否则，后验概率没有定义。如果0，我们允许在h1211211hk hk kak(ahhprob(a)=0(G)(B)(LB)(HG)(G)prob(H)1/2(HG)=1；(HB)=011+1/2(HG)=1；(HB)=1111+(HG)=1；(LG)=01/2第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡prob(GH)=222即你认为他人品好的可能性增加了，但他仍有的可能性是人品不好的男生。如果你在与这位男生的继续交往中发现他又一次地在某件事上对你诚实，那么，prob(G=【注意，这时】323也就是说，你对他的印象比以往更好了。如果在与

19、他之后的交往中你发现他从不对你撒谎，那么你最后一定会认为他是个绝对的好男生。如果你认为，那么无论这个男生对你多少次保持诚实，他都无法改变你对他的印象。假如你观测到了一个男生对你撒了谎，你将如何改变对他的看法呢？如果你相信，人品好的男生绝不会撒谎，只有坏人品的才会撒谎，那么你就可以肯定，他绝对不可能是人品好的男生：prob(GL)=这里，是坏人品男生撒谎的概率。或者说，他肯定人品坏：prob(BL)=“穆念慈的困惑”如果你原来认为某个男生一定是人品好的（），却忽然发现他对你撒了次谎。这时由于：prob(L)=(LG)(G)+(LB)(B)=01+p0=0，贝叶斯法则由于分母为0而不能应用，不过你

20、在这时可以认为（规定）他就是人品差的，即。但是，只要，那么贝叶斯法则就可以适用了，这时。从上述例子中可以看到，我们如何改变对一个人的看法不仅依赖于我们认为他是好人品或坏人品的先验概率，而且依赖于我们如何认为“好人品”的人保持诚实和坏人品的人撒谎的条件概率。这一点对于理解精炼贝叶斯均衡概念是非常重要的。我们当然不能任意的“认为”。特别地，在精炼贝叶斯均衡中，参与人的“认为”必须是正确的，也就是说，当我们认为人品坏的人撒谎的概率为时，在给定信息情况下（包括该人知道我们如何修正对他的看法），如果这个人确实是坏人品的，那么是他的最优选择，或者说(LB)就是均衡策略。精炼贝叶斯均衡定义：精炼贝叶斯均衡由

21、一个策略组合定义：精炼贝叶斯均衡由一个策略组合s()=(s(),.,s()和一个后验概率组合p=(p,.,p（P P）对于所有的参与人）对于所有的参与人i，在每个信息集h上，s()是下述最优化问题的解：Max（B B）p(运用贝叶斯法则（在可能的情况下）得到的。Notes:条件（P）是精炼条件（Perfectness Condition）。精炼条件表明，给定其他参与人的策略组合5/30i=，2,.,ni=);,)(G)ii233(s(),s(hiii=iii和参与者i 的后验概率p(a)，每个参与人i 的策5=1aua以及最优策略sn11=012ihiihiiii,.,s)42+12p1p()

22、是基于先验概率p()通过所观察到的i1 i+1323211=Sihi i(s,.,ss1211111=22)122)构成，满足下列两个条件：i iai1121+1/3H)5(G)=0(LG)(G)0(LG)(G)+(LB)(B)0+pp 0(LB)(B(LB)(B)+(LG)(G)0+pprob(G)=;prob(B)=0(GL)=0(G)=10(G L)=0(LB)(LB)1n1nsis=第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡略在每个信息集h 开始的后续博弈上都是最优的。精炼条件指出所有参与人都是序贯理开始的后续博弈上都是最优的。精炼条件指出所有参与人都是序贯理性的（Sequentia

23、l Rationality）。显然，这个条件是 SPNE 在不完全信息动态博弈上的扩展。在完全信息动态博弈中，SPNE 要求均衡策略在每一个子博弈上都构成纳什均衡；类似地，在不完全信息动态博弈中，精炼贝叶斯均衡要求均衡策略在每一个后续博弈上都构成贝叶斯均衡。条件（B）是贝叶斯法则的运用。值得注意的是，策略是一组行动的计划安排。它是不可观察的，而行动组合是最优策略 下的行动组合，这时信息集 处在均衡路径之上，这就是条件（处在均衡路径之上，这就是条件（）中指出的“在可能的情况下”，这时运用贝叶斯法则，可以计算出后验概率。如果不是最优策略 下的行动组合，这时，信息集信息集h 处在非均衡路径之上），这

24、就表明均衡依博弈进程进行时肯定不会达到信息集h，因 此 就 有(a)=0，。根 据 贝 叶 斯 法 则，p种情况就不属于条件（B）中指出的“在可能的情况下”。上述定义的要点是，精炼贝叶斯均衡是均衡策略和均衡信念的结合：给定信念p=(p,.,p)，策 略s(观测到的行动得到的。因此精炼贝叶斯均衡是一个对应的不动点（fixed point of correspondence）：；。因为精炼贝叶斯法则是一个不动点，后验概率依赖于策略，策略依赖于后验概率，因此，完全信息博弈中用逆向归纳法求解精炼均衡的办法在不完全信息博弈中并不适用（如果我们不知道先行动者如何选择，我们就不可能知道后行动者应该如何选择）

25、。我们必须使用前向法（forward manner）进行贝叶斯修正。精炼贝叶斯均衡的等价定义 定义：定义：一个精炼贝叶斯均衡由满足以下条件一个精炼贝叶斯均衡由满足以下条件1 R R 的均衡策略组合的均衡策略组合s(条件条件有一个信念。对于非单结信息集，信念是信息集中各个结上的概率分布；对于单结信息集，信念是到达此单一决策结的概率为 1。条件：对于给定信息集上的推断和其他参与人的后续策略动计划），参与人的策略条件：博弈按照均衡策略进行时，如果以正的概率到达信息集，则称此信息集处于均衡路径之上。处于均衡路径之上的信息集的推断（后验概率 及贝叶斯法则确定。条件：博弈按照均衡策略进行时，如果肯定不会到

26、达信息集，则称此信息集处于非均衡路径之上。处于非均衡路径之上的信息集的推断由参与人可能的均衡策略及贝叶斯法则确定。Notes:条件 就是原定义中条件先后多次轮到他行动，轮到他行动的信息集上，其后续策略都必须是最优的，这体现的就是序贯理性的理念。条件1 R 与R 体现的是原定义中条件给定的正常情况下（处于均衡路径之上）的信息集上的推断（后验概率）6/301，后验概率可以取上任何一个值。这hihi)(/(a),.,a)在信息集h 上是可观察的。如果ahiiii1 i+1n)=(ap=(p,.,p)构成。,.,aa)i1nn1n16hiiap=(p,.,p)是使用贝叶斯法则从均衡策略和所(),.,s

27、()和均衡推断（后验概率）组合（即后续博弈上的完整的行(ahash 处在均衡路径之外（或者说，hi n(s)pp(s(p)1s(P)给出的精炼条件。在一个动态博弈中，参与人i 可能会hiiihii(a)=0(s()=(s(),.,s()是 最 优 的；给 定 策 略)=(s(),.,s()，信念)=(s2i3i42(B)a=sp(ahhiiii 1n1n 1ss(41 R：在每个信息集h 上，轮到行动的参与人i 对博弈进行到该信息集中哪一个结必须Ris 选择必须是最优的。Rip）由均衡策略组合sRR3ip的确定。第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡 条件 体现的是原定义中条件集上的推断

28、（后验概率）又提出了参与人可能的均衡策略，这是涉及精炼贝叶斯均衡再精炼的问题（深入的讨论见讲义）。完全但不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡完全但不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡对于不完全信息静态博弈（又称静态贝叶斯博弈），通过海深义转换就可以将其转换成“自然”先行动去选择参与人的类型，然后参与人同时行动的完全但不完美信息的动态博弈。同样，不完全信息动态博弈（又称动态贝叶斯博弈）通过海深义转换，也可以将其转换成“自然”先行动去选择参与人的类型，然后参与人再先后行动的完全但不完美信息动态博弈。精炼贝叶斯均衡的理念可以用于对完全但不完美信息动态博弈的均衡的精炼。一个例子：（B，R）中1对2的威1

29、A B y1 L M 1,2 0,1 1,0 参与人 1 参与人 2 运用划线法，可以找出该博弈的L M R A 1,2 B 子博弈必须始于单结信息集的决策结（真子博弈不包括原博弈的初始结）。该博弈不存在真子博弈，故所有的纳什均衡都是 SPNE。通过应用重复剔除劣策略法，不合理的（B，R）均衡将被会剔除，该均衡中含有参与人 1 不可置信的威胁：对参与人 1 来说，在他的两个可行行动 A 和 B 中，B 相对 A 是一个（弱）劣策略。参与人 2 认为理性的参与人 1“选择 B”是不可信的，参与人 2 决不会因为参与人 1 威胁“选择 B”而被迫选择行动 R。因为 R 相对于 L 是（弱）劣策略，

30、为了使自己的收益最大化，理性的参与人 2 会主动选择 L，迫使参与人 1 只能选择 A。这说明，虽然（B，）是 SPNE，可是它仍然包括不可信的威胁。为了将这个均衡从合理的预测中剔除，对存在的两个均衡进行进一步的精炼是完全有必要的。我们现在来求解该博弈的精炼贝叶斯均衡。根据条件，因此他的信念有一个双结信息集，因此参与人在根据条件，参与人在参与人具有信念，因此，参与人选择，及的期望收益分别为如下所示。1 7/30R(B)未加详细说明的情况（处于非均衡路径上）的信息M y2h 上具有信念p2=(1p)。2h 上有三种策略、以及可供选择，由于在信息集2h 上44y2 L 3,1 略 L 的，参与人

31、2 会首先剔除 M，其次就会剔除策略 R。122Rip的确定。条件R7胁：如果你不选R选L或M，我就选B2 2 R 2,1 3,1 纯策略纳什均衡为（A，L）和（B，R）；2，1 3，1 参与人 2 的策略 M 是严格劣于策0，1 1，0 3，1 1 R，参与人有一个单节信息集1h xp1=1。参与人h2=yRp2=(1p)第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡1A B p 1-p y1 选 M：1*p+0*(1-p)=p L M 1,2 因为，总有。因此，参与人 2 在以信息集的最优策略应该是L。在信息集1h 上参与人 1 也会知道参与人 2 在其后续博弈中的最优选择是L，这样，参与人

32、 1 的最优选择是 A。根据条件，还需根据均衡策略及贝叶斯法则去构建均衡推断（后验概率）人 2 知道参与人 1 的最优选择是 A，博弈进行只会到达结1y 而不会到达结2y。因此均衡推断应为。对参与人 1 来说，总有p=(p,由于本例子所讨论的博弈不存在处于非均衡路径之上的信息集，条件 无需讨论。综上，该博弈的精炼贝叶斯均衡为。Notes:上例中我们可以将参与人 1 添加两个类型，规定其行动空间为A1=D。相应地，参与人 2 只有一种类型，其行动空间为，推断为p2=(1p)。因此，原博弈变成了不完全信息静态博弈，而利用海深义转换，我们可将不完全信息静态博弈用下图左边的扩展式博弈表示。因为参与人

33、1 只有一种行动，具有两个类型，他的策略就是。参与人 2 观测到参与人 1 的行动，但是观测不到其类型。因此，参与人 1,2 之间的博弈格局又可如右下图所示。N A 21,2 2,1 3,1 右上图与本例一开始的图中所示完全但不完美的动态博弈（实际上是同时行动的静态博弈）具有一样的博弈格局。原图中的 A、B 分别相当于右上图中的(11)和(12)。由于(11)和(12)依赖于类型，因此参与人 2 对两个策略(11)和(12)也具有信念p2=(1p)。解题过程中，关于条件 中的贝叶斯法则的运用如下：参与人 2 在信息集1 知道参与人 2 会选择L 之后，他的最优选择是 A，也就是(11)这时从上

34、左图中看到有，根据贝叶斯法则，计算均衡推断（后验概率）为：(D)=1;8/30(11)A B 223,1 R 1211,2 2,1 3,1 选 L：*P+1*(1-p)=1+p 选 R：1*p+1*(1-p)=1 M 8 p。参与;p)=(L);(0)y2 L 0,1 1,0 3,1 3p)=(0)。4B 10,1 1,0 32 2 R 2,1 3,1 0p11+p1p2h 起始的后续博弈上Rp2=(0)p1=1。至此，生产均衡推断（后验概率）为12R(s=A2=,M,RD(),D()1 1120,1 1,0 3,1,R2 h 上具有信念（先验概率）p2=(1p)计算分析得出参与人(D)=1(

35、D)=0已知()=p()=1p(D)()p(D)()+(D)()1+第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡(D)=从而生成均衡后验概率。从本例可以看出，一个完全但不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡是由参与人的均衡策略组合和均衡推断组合点注释又可以看到，本例题的两个结果该博弈有两个纳什均衡（A，L），（B，R），由于该博弈不存在真子博弈，子博弈精炼的方法无法筛除掉不合理的（B，R）该博弈只有一个精炼贝叶斯均衡，纳什均衡（B，R）被排除在外。这表明，精炼贝叶斯均衡是 SPNE 的扩展，SPNE 一定是精炼贝叶斯均衡，反之不然。相类似的概念，子博弈一定是后续博弈，反之不然。举例：泽尔腾的马举例

36、：泽尔腾的马1 B 2 D 1、三个参与者都只有一个信息集，参x 与者 3 的信息是双结），所以，他们的A C 3 L z1 4,4,4 1,1,1 5,5,0 2,2,2 此博弈策略式表述的三变量收益矩阵如下图：参与人 2 参与人 2 参与人 1 A 4,4,4 4,4,4 A 1,1,1 1,1,1 B 5,5,0 3,3,0 B 2,2,2 3,3,0 参与人 3 利用划线法可得（A，D，L）与（B，D，R）是此博弈的纯策略纳什均衡注意到，均衡（A，D，L）中暗含了参与人2在结点 y 处的一个非理性的行为，因此这个均衡很难说是合理的。这是因为，对于纳什均衡（A，D，L）而言，结点 y 处

37、在非均衡路径上，如果参与人2的信息集确实能够达到，也就是如果博弈进入非均衡路径，那么参与人2就有动机偏离这个均衡。如果参与人2选择C而不是D，参与人3由于无法区分到达的是结点还是将获得比选择D更多的收益（53）。由于参与人1会理性地预期到参与人2的行为，参与人1将会选择B（而不是A），因为这时参与人1能够得到更高的收益（54）。这就表明，均衡（A，D，L）带有参与人2的一个不可置信的威胁。可是用子博弈精炼的方法不能筛选掉这个均衡，因为该博弈根本就不存在真子博弈。下面，我们按照精炼贝叶斯均衡定义中的要求 求解PBE。9/30两部分组成。从上一np=(p,.,p)1s)1 nS3=A3=L，R 3

38、、（A，D，L）与（B，D，R）是此博C D=0=93,3,0 2、S1=A1=A，B，S2=A2=C，D L z2 R 参与人 1 4(D)()0(D)()+(D)()p+0p2=(0)(s,ps(s,.,s 和 p是利用后续博弈的概念循环交互一步一步计算出来的。（A,D,L）中2对1的威胁：如果你不选A,我就选;或者,一旦你选B,我就选Dy 策略就是行动，因此有：3 R 弈的纯策略纳什均衡C D 1z2z，从而注意不到参与人2的偏离行为，进而会继续选择L。这样，参与人2通过选择C1 R R第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡根据条件息集是单结的，所以参与人1,2的信念分别为，；参与

39、人3的信息集为h3=zz根据条件，参与人在其信息集参与人3具有信念，因此参与人3选择L，R的期望收益分别为：4p+0(1p)=4p，1p+2(1p)=2p因为，当，即时，参与人3在以信息集弈上的最优策略应该是L；当，即时，参与人3在其后续博弈上的最优策略应该是R。1 B 2 D 3x A C p L z1 L z2 R 4,4,4 1,1,1 5,5,0 2,2,2 参与人的最优策略，可以逐个检验参与人的最优策略 是什么：对于参与人3，也就是说，从参与人1,3的角度分析，均衡和是相容的。但是，对于参与人2，不应该是 D（53）。反过来看，C 如果是参与人2的最优选择，博弈进入结点2z，这与p3

40、=(0)有产生了矛盾。因此与不满足 条件的要求，得到结论：再分析。由上述中与（这里）的相容性。1 B 2 D 1x A C p L z1 L z2 R 4,4,4 1,1,1 5,5,0 2,2,2 对于参与人3来说，s=(B,D)，这时发现参与人3以信息集非均衡路径之上，这就需要进一步通过讨论 条件是否满足，从而确定与p=行时，博弈肯定不会到达信息集，处于非均衡路径上的参与人3的后续博弈，10/30(DL)(,DL)是不s=的最优策略为L。3 p=s=，参与人1的最优策略为A；对于参与人2p=(1p)(B,D,R)3h 上有两种策略L，R可供选择，由于在信息集3h 上1z，这时产生相应的推断

41、（后验概率）应该是（1,0）。这个推断与均衡1p=12/5R33p3=(0)23=(D,R)(B,R)人3的最优选择是 R，参与人2的最优选择应该是D 而不应该是C（32），从参与人1,2的=(B,D,R)p 2/54p3(1p)3因为参与人1的最优策略为A，由博弈均衡路径可知，参与人3观察到博弈进入结点3 3 p和其他=(,D)，此时，由上述 条件分析知道，参与人(,DL)p3=(0)=(L)，既然L 是参与人3的最优选择，参与人2的最优选择应该是C 而=(,D L)p3=(0)R=(,DL)与不能构成PBE。=(B,D,R)R 条件分析知道，只要推断（后验概率）23(1p)（这里）是相容的

42、。参与人1和2不存在后验推断问题s=(B,D,R)/5s=。所以参与者3的信念为。2Rs=(,DL)3,3,0 P2/5 的，因为，给定这个均衡信念ii1323s人1的最优选择应该是B 不应该是 A（31）。s=P2/5 s33h 起始的后续博弈处于4(1p)（这里p 2）是否构成PBE。根据条件R，博弈按照进121 R，参与人在其信息集上必须有一个信念（概率分布），由于参与人1,2的信p1=1p2=112Rp3=(1p)100p14p2pp 2/53h 起始的后续博4p2 pp 2/5根据条件，先分析均衡。y 3 R ssss=ssssp 2/5，参与人3的最优策略应该是R。现在就来讨论s=

43、(B,D,R)p=(1p)p 2/5对于参与人1来说，参与y 3,3,0 对于参与人2来说，既然参与3 R 角 度 分 析，均 衡与p=3R3h3=zz第七讲 不完全信息动态博弈（）精炼贝叶斯均衡由上述 条件分析，参与人的最优策略 与综合以上讨论，求得此博弈的唯一的一个精炼贝叶斯均衡为，其中s=Notes:本例题显示，纳什均衡带有参与人2不可置信的威胁，虽然运用子博弈精炼的方法无法筛选掉它，但是，增加均衡推断这个更加严格的要求，在精炼贝叶斯均衡的理念上，我们剔除掉了。在检验条件 时，正好反映参与人在从信息集p=但是有这样的情况，均衡，却不能满足，从而能够构成精炼贝叶斯均衡（作业），因此条件 的

44、作用也是不可忽视的。11/301p=(1p)p 2/5）。2 3p=p=p 2/5，而；（这里(1p)（这里）是相容的。3 13p,p)Rp=1 23h 起始的后续博弈上，R 与43p)p=(p,=(,D L)(,DL)113p 2/5Rs 与 p不2(B,D,R)，4(1p)（这里）构成贝叶斯均衡。看上去条件 好像很容易满足。12344R(s,ss=R3s 与 p满足条件R,R,RRR第七讲 不完全信息动态博弈（）信号博弈模型及应用信号博弈及其精炼贝叶斯均衡信号传递博弈（Signaling Games）是一种比较简单但有广泛应用意义的不完全信息动态博弈。在这个信号博弈模型中有两个参与者，参与

45、人1称为信号发送者，他具有一些私人信息（类型），参与人2称为信号接收者，他不具有私人信息（只有一个类型）。按照海深义转换，信号博弈的时序如下：首先，自然选择参与人1的类型，这里是参与人1的类型空间。参与人1知道自己的类型k 的信念（先验概率）p=P()0，（），这里有k 然后，参与人1在观察到类型中选择并且发出一个信号。最后，参与人2接收到参与人1发出的信号斯法则通过信念，然后从自身拥有的可行行动空间中选择一个行动博 弈 双 方 的 收 益 依 赖 于 发 送 者 的 类 型 与 信 号 以 及 接 受 者 的 行 动，即 有u=Notes:行动空间 A均设定为有限集合，在实际应用中，M 和

46、A常常表现为实数轴上的连续区间。对于，以及，也就是的情形，参与人2对类型的信念（先验概率）为与。这时，信号博弈的扩展式表述的博弈树如下图所示。(u1,u2)11221p 2121N 12上左图所示博弈树的根（初始结）位于图形的中心位置，这是简单的信号博弈的标准图形。上右图所示博弈树的根位于图形顶部，这是符合一般习惯的简单信号博弈的图形表示。两个图形都省略了终点结上的支付向量。信号博弈中参与人的策略构成在动态博弈中，参与人的策略都是行动安排的一个完整的计划。策略是行动的组合，它指明参与人在可能遇到的每一种行动情况下对可行行动的选择。信号博弈中，参与人 1（信号发送者）的策略情况，因为类型有K 种

47、）的信号选择，可记为s1=(m,m,.,m)，其中。信号博弈中，参与人 2（信号接收者）的策略（可能遇到的有 种情况）的行动选择，可记为，其中。有J种信号，接收型，便有K个信者就有J个信息集l,ma)22 j1u=u(2212)，。12发送者有K种类k ）之后，运用贝叶ala。j l2aaK=J=L=2(u1,u2)p 2112)Ja2Ak=2,.,Kpk=1。12Jj（但不能观察到jk j12Lu(,ma121211-p 2 2 121 12mMj21222Jj息集2k ，k=2,.,K=,.,k ，但是参与人2不知道，不过参与人2持有对类型kk 之后，从其拥有的信号空间M=m,m,.,mm

48、mk p 形成推断（后验概率）p=(m)A=aa,.,1 1为了表述上的直观方便，以上参与人1的类型空间 与信号空间M 以及参与人2的=,M=m,mA=,p=P(1)1p=P()2 1 2 1 1 221-p 1122(uu1s 是依赖于类型k （可能遇到的有K 种11121K 1k2s 是依赖于信号ms2=(aa,.,a)12/30第七讲 不完全信息动态博弈（）信号博弈模型及应用Notes:信号博弈中，参与人 1（信号发送者）的策略s1:M，ss2:MA，。对于,，以及，也就是的情形。参与人 1 共有四种纯策略：13s11=(m,m)，其中表示，如果自然选择型 依赖类型的信号策略可记为。参与

49、人 2 也有四种策略：s其中，策略 表示，如果参与人 1 发出信号人 1 发出信号，则选择行动可记为一般情况下，参与人 1（信号发送者）的策略又可分为以下四种类别分离策略（separating strategies）：如果策略s1=(m,m,.,m)依次选择的信号m,种策略就称为分离策略。例如，上面注释中，即为分离策略。混同策略（pooling strategies）：如果策略依次选择的信号m=这种策略就称为混同策略。例如上面注释中，即为混同策略。部分混同策略（semi-pooling strategies）：如果策略s1=(m,m,.,m)依次选择的信号（略就称为部分混同策略。例如，时，就是

50、混同策略，s12=(m,m,m)和混杂策略（hybrid strategies）：如果自然选择某些类型，参与人1选择混合策略（是在依类型的信号空间M 上的一个概率分布）；如果自然选择另一些类型，参与人1选择并发送对应的信号，这种策略就称为混杂策略。例如，s 信号博弈的精炼贝叶斯均衡根据精炼贝叶斯均衡定义的要求的条件，针对信号博弈的特殊结构，现将条件 转化为以下信号要求。信号要求信号要求 1：参与人参与人 2 2（信号接收者）在观察到参与人（信号接收者）在观察到参与人 1 1（信号发送者）发出的来（信号发送者）发出的来自信号空间M 中的任一信号中的任一信号m 之后，参与人之后，参与人 2 2 对