圆锥曲线的切点弦方程.pdf

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1、2011 年江西高考一道试题解法的推广年江西高考一道试题解法的推广圆锥曲线的切点弦方程圆锥曲线的切点弦方程圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。背景知识背景知识已知圆C:x y r程.分析分析：易知以Ax0,y0为切点的直线方程为：xx0 yy0 r（2011 年江西高考理科第14 题）2222求以点A为切点的切线方r 0,点Ax0,y0是圆C上一点，r 0 x2y21 22问题 1问题 1：若椭圆221的焦点在x轴上，过点1,作圆x y

2、1的切线，切ab2点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_.解解：设Ax1,y1,Bx2,y2点A、B在圆x y 1上，则过点Ax1,y1的切线方程为L1:x1x y1y 1.过点Bx2,y2的切线方程为L2:x2x y2y 1.由于L1,L2经过点1,则x1221211y11,x2y21.221y 1的解。21经过A、B两点的直线方程AB:xy 1.2故x1,y1,x2,y2均为方程xx2y2设椭圆221的右焦点为c,0,上顶点为0,b.ab由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。c 1,b1即b 22a2 b2c2 5x2y21.故椭圆方程为54由此题的解题方法，可

3、得到如下推广：结论一：结论一：（圆的切点弦方程）（圆的切点弦方程）过圆x y r222r 0，外一点Pa,b作圆的两切线，切点为M、N，则直2线MN的方程为：ax by r.x2y21外一点P1,2作椭圆的两切线，问题问题2 2：过椭圆切点为M、N求直线MN43的方程.解：设Mx1,y1,Nx2,y2则过M、N的切线方程分别为；x1xy1yx xy y1,2214343x xy yx xy y由于两切线都过P1,2，则1112214343x2yx2y这两式表示直线1经过M、N，所以直线MN的方程为：1。4343结论二：结论二：（椭圆的切点弦方程）（椭圆的切点弦方程）x2y2过椭圆221a b

4、0外一点Px0,y0作椭圆的两切线，切点为abM、N则直线MN的方程为：2x0 xy0y212ab问题问题 3 3：过抛物线y 4x外一点P1,2作抛物线两切线，切点分别为M、N，求直线MN的方程。解解：设Mx1,y1,Nx2,y2则过M、N的切线方程为y1y 2x x1,y2y 2xx2由于过M、N的切线都经过P1,2则2y1 2x11,2y2 2x21直线MN的方程为2y 2x1即x y 1 0结论三：结论三：（抛物线的切点弦方程）（抛物线的切点弦方程）过抛物线y 2pxp 0外一点Px0,y0作两切线，切点为M、N，则直2线MN的方程为yy0 px x0.x2y21外一点P3,3作双曲线两切线，切点分别为M、N，问题 4问题 4：过双曲线54求直线MN的方程。解解：设两切点的坐标为Mx1,y1,Nx2,y2则两切线方程为x1xy1yx xy y1,221，54543x3y3x3y由于两切线均过P3,3则111,22154543x3y故x1,y1,x2,y2均为方程1的解，543x3y则过M、N的直线方程为：154结论四：（双曲线的切点弦方程）结论四：（双曲线的切点弦方程）x2y2过双曲线221外一点Px0,y0作双曲线两切线，切点分别为M、N则直线abMN的方程为：x0 xy0y21.a2b