二阶常系数线性非齐次微分方程的解法.pdf

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1、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法摘要院针对非齐次项为 f(x)=e姿xP1(x)的二阶常系数线性微分方程袁给出了三种情形下特解表达式中待求系数和已知量之间的代数关系袁简化了待定系数法求特解时的计算.特别地袁在 姿 为对应齐次方程特征方程的二重特征根和 P1(x)=rx 的情形下袁给出了一种简单求法.关键词院非齐次线性微分方程曰待定系数法曰特解中图分类号院O175.1曰G642文献标识码院A文章编号院1673-260X渊 2018冤07-0167-02常系数线性非齐次微分方程是高等数学教学中的一个y-2y-3y=0袁重要内容袁许多文献都讨论了其求解问题 1-4.根据线性微分它的特征方程方程解的

2、结构袁 求解问题转化为求对应齐次方程的通解和r2-2r-3=0非齐次方程的特解.一般教材中都利用待定系数法求方程的有两个实根 r1=-1袁r2=3袁特解.笔者在教学过程中发现袁学生利用待定系数法求特解于是与所给方程对应的齐次方程的通解为时袁经常会出现计算错误.因此袁本文给出一类特定形式下二Y=C1e-x+C2e3x.阶常系数线性非齐次微分方程特解的巧妙计算.下面求非齐次方程的特解.对于微分方程解法 1由于 f(x)=3x+1袁所以可设特解 y*=ax+b袁带入原y+py+qy=f(x)袁渊 1冤方程得到当 f(x)=e姿xP1(x)时袁其中 姿沂R袁P1(x)=rx+s我们分三种情-2a-3(

3、ax+b)=3x+1袁形给出相应结论.比较两边系数得到袁渊 1冤当 姿2+p姿+q屹0 时袁可设特解 y*=e姿x(ax+b)袁则a=-1袁b=1y*=e姿x 姿ax+(c+姿b)袁3.y*=e姿x 姿2ax+(2姿a+姿2b)袁因此特解 y*=-x+13.将 y*解法 2设特解 y*=ax+b袁由于 r=3,s=1,姿=0,p=-2,q=-3袁e姿x袁a(y*姿袁2+py*代入 渊 1冤中袁整理可得姿+q)x+(姿2+p姿+q)b+(2姿+p)a=e姿x(rx+s).利用 渊 2冤 渊 3冤两式可得 a=r比较系数袁可知q=-1袁b=13袁因此特解也为 y*=-x+a=姿r2+p姿+q袁渊

4、2冤13.b=s-(2姿+p)a=s(姿2渊 3冤q=0袁2姿+p屹0 时袁可设特解 y*=e姿xx(ax+b)袁则渊 2冤当 姿2+p姿+此时袁待求姿+p姿+q)-r(2姿+p)2+p姿+q(姿2+p姿+q)2.特解表达式中的未知系数可由 P1(x)的系数y*=e姿x 姿ax2+(2a+姿b)x+b 袁和 p,q,姿 唯一确定袁这样可以省去中间的求导计算.下面我们y*=e姿x 姿2ax2+(4姿a+姿2b)x+2(a+姿b)袁给出一个教材中的例子袁通过两种方法的计算袁说明上面结将 y*论在具体计算中的简洁性.e姿xa(姿袁2y*+p袁姿y*代入 渊 1冤中袁整理可得+q)x2+2(2姿+p)

5、a+(姿2+p姿+q)b x+2a+(2姿+p)b例 1 5求微分方程 y-2y-3y=3x+1 的通解.=e姿x 2(2姿+p)ax+2a+(2姿+p)b原方程对应的齐次方程为=e姿x(rx+s).收稿日期院2018-04-20基金项目院池州学院校级重点教研项目渊2016X J Y X M 11冤曰池州学院校级教学团队渊2016X J X TD 02冤曰安徽省自然科学基金青年项目渊1708085Q A13冤曰安徽省教育厅自然科学研究重点项目渊K J 2016A517冤-167-.All Rights Reserved.比较系数袁可知a=r2(2姿+p)袁渊 4冤b=s-2a=s(2姿+p)-

6、r2姿+p(2姿+p)2.渊 5冤特别地袁当 s=0 时袁b=-r(2姿+p)2.例 2 5求微分方程 y-5y+6y=xe2x的通解.原方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0袁它的特征方程r2-5r+6=0有两个实根 r1=2袁r2=3袁于是与所给方程对应的齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x.下面求非齐次方程的特解.解法 1由于 f(x)=xe2x袁所以可设特解 y*=x(ax+b)e2xy*=e2x 2ax2+(2a+2b)x+b 袁袁则y*=e2x 4ax2+(8a+4b)x+2a+4b 袁代入原方程得到(-2ax+2a-b)e2x=xe2x比较两边系数得到袁袁a=-12袁b=-

7、1.因此特解 y*=-12x-1.解法 2设特解 y*=x(ax+b)e2x袁 由于 r=1,s=0,姿=2,p=-5,q=6袁利用 渊 4冤 渊 5冤两式可得 a=r2(2姿+p)=-12袁b=-r(2姿+p)2=-1袁因此特解也为 y*=-12x-1.渊 3冤当 姿2+p姿+q=0袁2姿+p=0 时袁可设特解 y*=e姿xx2(ax+b)袁则y*=e姿x 姿ax3+(3a+姿b)x2+2bx 袁y*=e姿x 姿2ax3+(6姿a+姿2b)x2+(6a+4姿b)x+2b 袁将 y*袁y*袁y*代入 渊 1冤中袁整理可得e姿xa(姿2+p姿+q)x3+3(2姿+p)a+(姿2+p姿+q)b x

8、2+6ax+2b=e姿x 6ax+2b=e姿x(rx+s).比较系数袁可知-168-a=r 袁b=s62.注院特别地在 s=0袁即 f1(x)=rxe姿x方程特征方程的二重特征根时袁b=0.袁当因此姿 是袁渊可以1冤对设应特的解齐y次*=e姿xx2窑 ax.由于不含有常数.笔项者袁可以查阅简化特了大部分解高校y*的求导袁从而使得计算过程变得简单选用的高等数学 5及常微分方程 7教材袁都没有明确指出这一点.下面我们举一例加以说明.例 3 6求微分方程 y+6y+9y=6xe-3x的通解.原方程对应的齐次方程为y+6y+9y=0袁它的特征方程r2+6r+9=0有实根 r1=r2=-3袁于是与所给方

9、程对应的齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-3x.在教材 6 中袁设特解为 y*=x2(ax+b)e-3x.由于 f(x)=6xe-3x据上面的注记袁可设特解 y*=ax3e-3x袁则 y*=(-3ax3+3ax2)e-3x袁y袁*根=(9ax3-18ax2+6ax)e-3x代入原方程得袁6axe-3x=6xe-3x所以 a=1袁y*=x3e-3x袁y=(C袁故原方程的特解为1+C2x)e-3x+x3e-3x.要要要参要考要要文要要献要要院要要要要要要要要要也1页吴小程的虎八袁种林解法天舒 J袁.张晓高等数宁学.一研究道二阶常,2013,系16(数03)非:56-齐次57.微分方也2页关学丽,2017,娜袁33(曹丽华05):92-.一95.道常微分方程的三种解法 J .大学数也3页陆学院学报求赐.Lapl渊自然科学版ace变换在解冤,2014,微分方30(程08)中:3-的4.应用研究 J .赤峰也4页戴学中数林学.,求2016,一类32(非01)齐:96-次微100.分方程特解的待定算子法 J .大也5页同社济,2007.大学342-数学343.系.高等数学院上册 M .北京:高等教育出版也也67页页高王等高数雄学袁等 M.常.上微海分方:上程海交M通.北大京学出版:高等教育社,2016.出版200.社,.All Rights Reserved.