41勾股定理基础知识讲解.pdf

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1、1勾股定理（基础）勾股定理（基础）【学习目标】【学习目标】1掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】【要点梳理】【高清课堂【高清课堂 勾股定理勾股定理 知识要点】知识要点】要点一、勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a b c要点诠释：要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后

2、，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的（3）理解勾股定理的一些变式：222a2 c2b2，b2 c2a2，c2ab2ab要点二、勾股定理的证明要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形图（1）中，所以2方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形图（2）中，所以方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形12要点三、勾股定理的作用要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3 与勾股定理有关的面积计算；4勾股定理在实际生活中的应用

3、【典型例题】【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用类型一、勾股定理的直接应用，所以1、在ABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为a、b、c（1）若a5，b12，求c；（2）若c26，b24，求a【思路点拨】【思路点拨】利用勾股定理a b c来求未知边长【答案与解析】【答案与解析】解：（1）因为ABC 中，C90，a b c，a5，b12，所以c a b 5 12 25144 169所以c13（2）因为ABC 中，C90，a b c，c26，b24，所以a c b 26 24 676576 100所以a10【总结升华】【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角

4、边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式举一反三：举一反三：【变式】在ABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为a、b、c（1）已知b6，c10，求a；（2）已知a:c 3:5，b32，求a、c【答案】【答案】解：（1）C90，b6，c10，a c b 10 6 64，a8（2）设a 3k，c 5k，C90，b32，a b c即(3k)32 (5k)解得k8a 3k 38 24，c 5k 58 40类型二、与勾股定理有关的证明类型二、与勾股定理有关的证明222222222222222222222222222222232、（2015丰台区一模）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下

5、面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图 1 的方法将它们摆成正方形由图 1 可以得到（a+b）2=4，整理，得 a2+2ab+b2=2ab+c2所以 a2+b2=c2如果把图 1 中的四个全等的直角三角形摆成图2 所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图 2 可以得到，整理，得，所以【答案与解析】【答案与解析】证明：S大正方形=c2，S大正方形=4S+S小正方形=4 ab+（ba）2，c2=4 ab+（ba）2，整理，得2ab+b22ab+a2=c2，c2=a2+b2故答案是：；2ab+b

6、22ab+a2=c2；a2+b2=c2【总结升华】【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形举一反三：举一反三：【变式】如图，在ABC 中，C90，D 为 BC 边的中点，DEAB 于 E，则 AE2-BE2等于（）AAC2BBD2CBC2DDE234【答案】【答案】连接 AD 构造直角三角形，得，选 A类型三、与勾股定理有关的线段长类型三、与勾股定理有关的线段长【高清课堂【高清课堂 勾股定理勾股定理 例例 3 3】3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD8，折叠纸片使AB 边与对角线 AC 重合，点B落在点 F 处，折痕为 AE，

7、且 EF3，则 AB 的长为（）A3 B4 C5 D6【答案】【答案】D；【解析】【解析】解：设 ABx，则 AFx，ABE 折叠后的图形为AFE，ABEAFEBEEF，ECBCBE835，在 RtEFC 中，由勾股定理解得 FC4，在 RtABC 中，x 8 x4，解得x 6222【总结升华】【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解类型四、与勾股定理有关的面积计算类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（）A6 B5 C11 D16【思路点拨】【思路点拨】本题

8、主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由 b 是正方形，可求ABCCDE由勾股定理可求 b 的面积=a 的面积+c 的面积【答案】【答案】D【解析】【解析】45解：ACB+ECD=90，DEC+ECD=90，ACB=DEC，在ABC 和CDE 中，ABC CDEACB DECAC CEABCCDEBC=DEAB BC ACAB DE ACb 的面积为 5+11=16，故选 D【总结升华】【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键举一反三：举一反三：【变式】（2015 东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三

9、角形，所有四边形都是正方形，已知 S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则 S=（）222222 A.25 B.31 C.32D.40【答案】【答案】解：如图，由题意得：AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，BC2=AB2+AC2=31，S=BC2=31，故选 B类型五、利用勾股定理解决实际问题类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？56【答案与解析】【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径 DC 长为 16cm则在 RtBCD 中，BD2 DC2 BC2=162+122=400，所以BD 20(cm)答：筷子最长不超过 20cm，可正好盖上盒盖【总结升华】【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长举一反三：举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面 5m处断裂，旗杆顶部落在离底部 12m处，则旗杆折断前有多高？【答案】【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以C90，BC5m，AC12m，AB BC AC 5 12 169AB 13(m)BCAB51318(m)旗杆折断前的高度为18m222226