蝴蝶定理中学数学几何一个重要的定理.pdf

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1、中学数学几何一个重要的定理-蝴蝶定理蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有 60 多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于 1815 年的一份通俗杂志男士日记上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆 O 中的弦 PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦 AB，CD，弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 E，F，则 M 为 EF 之中点。关于蝴蝶定理的证明，出现过许

2、多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在 1815 年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985 年，在河南省数学教师创刊号上，杜锡录老师以平面几何中的名题及其妙解为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。在 20 世纪 20 年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在几何证题法中有构思奇巧的证明。如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即 M 点不

3、再是中点，能得到坎迪定理、若M、N 点是 AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。1带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法证法 1 1如图 2，作OU AD，OV BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于EUOEMO90FVOFMO90得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。则AUM=EOM，MOFMVC又MADMCB，U

4、、V为AD、BC的 中 点，从 而MUAMVC，AUMMVC则EOMMOF，于是ME=MF。1证证 法法 2 2过D作 关 于 直 线OM的 对 称 点D，如 图 3 所 示，则1FMD EMD，MD=MD联结DM交圆O于C，则C与C关于OM对称，即PC CQ。又P PU UE EMMV VD DO OA AC CF FQ Q111CFP=（QB+PC）=（QB+CC+CQ）=BC=BDC222故M、F、B、D四点共圆，即MBF MDF而MBF EDM2由1、2 知，DME DMF，故ME=MF。证法证法 3 3如图 4，设直线DA与BC交于点N。对NEF及截线AMB，NEF及截线CMD分别应

5、用梅涅劳斯定理，有FM EA NBFM ED NC1，1ME AN BFME DN CF由上述两式相乘，并注意到NAND NCNBFM2AN ND BFCFBFCF得2MEAE ED BN CNAEEDD DB B图 2A AP PE ECCC CF FMMQ QO OB BDD图 3PM+MFMQ-MFPM2MF222PM-MEMQ+MEPM ME化简上式后得ME=MF。22 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法证法 4 4（Steven 给出）如图 5，并令DAB=DCB ADC=ABCDMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ aME x，MF yN N

6、A AP PE EMMC CF FQ QSAMESFCMSEDMSFMB1即由SFCMSEDMSFMBSAME，AMAEsinFMCMsinEDMDsinMFMBsin1MCCFsinEMMDsinFBBMsinMAMEsinD DO OB BMF2CFFBQFFPa ya ya2 y2化简得ME2AEEDPEEQa xa xa2 x2y2a2 y2即22从而x y,ME MF。2xa x，图 4证法证法 5 5令PMD QMC，QMB AMP，以点M为视点，对MBC和MAD分别应用张角定理，有sinsinsinsinsinsin，MFMCMBMEMDMAA AP PE EMM C CF FQ

7、 Q上述两式相减，得1 sinsin 1sinMAMCMDMBD DMFMEMCMDMAMBO OB B设G、H分别为CD、AB的中点，由OM PQ，有图 5MBMA 2MH 2OMcos90 2OMsinMDMC 2MG 2OMcos90 2OMsin1 1于 是sin而180，知sin 0，故 0MFME，ME=MF。2yA A（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法证法 6 6（单墫教授给出）如图 6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为x ya R2221

8、C CP P2E EMM1F FQ Q2D DO O2直线AB的方程为y k1x，直。3B B图 64线CD的方程为y k2x。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为x2yaR2y k1xy k2x 02令y 0，知点E和点F的横坐标满足二次方程k1k2x2a2 R2 0由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1 x2，故ME=MF。5证法证法 7 7如图 7 建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为，P PD D2xa2 y2 r2E E1A A直 线AB、CD的 方 程 可 写 为y k1x,y k2x。2O OMM1C CF F又 设A、B、C、D的 坐 标 为xi,yi,i

9、1,2,3,4，则x1、x4分别是二次方程Q Qxa222k12x2 r2,xak2x r22B B2图 73的一根。AD在y轴上的截距为k x k xxk kx xy yy141x1 k1x1241 111214x2 x1x4 x1x4 x1。同理，BC在yP PF FV VMMA AE EQ QU UD DO OxB Bk kx x轴上的截距为1223x3 x2。C C注意到x1、x2是方 程1k12x22axa2r2 0的 两 根，x3、x4是 方 程1kx2222axa r 022的两从根而，所易以x xx1 x22a2234x1x2a rx3x4得图 8，x xx1x234 0即ME

10、 MF。x1 x2x3 x4，证法证法 8 8如图 8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，令BMx，CMx，则CFsin sinFBCBsin22即FCBsin1BcosCcosADsinE2AcosDcos作OU CD于U，作OV AB于V。注意到ABCD3由RtOUM与RtOVM可得BADC4coscos将34 代入12 可得EF，即ME=MF。用解析法对蝴蝶定理再推广用解析法对蝴蝶定理再推广定理定理：已知 AB 是垂直于圆锥曲线对称轴的任意一弦,O 为 AB 上任意一点,过 O 作两弦 CD、EF,连 CF、DE 分别交 AB 于点 P、Q,则1PO1QO1AO1

11、BO证明:仅对椭圆给出证明,以 O 为原点,直线 AB 为 x 轴建立直角坐标糸,如图 1,设椭圆方程为(x m)a22(y n)b221(a b 0)CXE直 线CD方 程 为：y k1x,直 线EF方 程 为y k2x,A(x,0),B(x,0),C(x1,y1),D(x2,y2),ABy k xE(x3,y3),F(x4,y4).由,消b(xm)a(y n)a b1222222APFODQ图 1BY去y222222222222得:(b a k1)x 2(b m a k1n)x b m a n a b 0222(b m a k1n)222222x1 x2222x1x2b m a n a b

12、b a k122222222x1 x22(b m a k1n)x x b m a n a b12222b a k1222222x3x4b m a n a b同理得22x3 x42(b m a k2n)设 P(p,0),Q(q,0),则由 C、P、F 三点共线知x1 px4 pk1x1k2x4 P(k1 k2)x1x4k1x1 k2x4,同理由 D、Q、E 共线得:q(k1 k2)x2x3k1x2 k2x3又1PO1QO 1p1q2 p qpqx1x4(k1x2 k1x3)x2x3(k1x1 k2x4)(k1 k2)x1x2x3x42由得：(b m a k2n)x3x42x3 x42(b m a

13、 k1n)x1x22x1 x2化简整理得：a nx1x4(k1x2k1x3)x2x3(k1x1k2x4)b mx2x3(x4 x1)x1x4(x2 x3)2故1PO1QO2b mx x(x x)x x(x x)2a n(k k)x x x x2341142312123422b m1111x x2x3 x4221a n(k1 k2)x1x2x3x4a n(k1k2)x1x2x3x4b mb m22a n(k1 k2)b m a n a b2a n(k1 k2)22222222b mb m a n a b2222222而xA m abb n,xB m 22abb n221AO1BO 1xA1xB xA xBxA xB1BO2mb2222222b m a n a b由得：1PO1QO1AO证毕。在圆、双曲线、抛物线中类似可证。注：注：当 O 为 AB 中点，圆锥曲线为圆时,此性质即为著名的蝴蝶定理。