n阶常系数线性齐次方程解法.pdf

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1、n n阶常系数线性非齐次方程解法阶常系数线性非齐次方程解法对于形如y(n)a1y(n1)an1y any f(x)的解法，它的通解等于 an1y any 0的通解与它本身的一其对应的齐次方程y(n)a1y(n1)个特解之和.比较系数法（待定系数法）比较系数法（待定系数法）下面分两种类型讨论:10设f(t)(b0tmb1tm1bm1t bm)et，其中及bi(i 0,1,m)为实常数.当不 是 特 征 根 时，y(n)a1y(n1)an1y any f(x)有 形 如 qm1x qm an1y any f(x)有 qm1x qm，y1(x)Qm(x)ex的特解，其中Qm(x)q0 xm q1xm

2、1当是k（k 1）重特征根时，y(n)a1y(n1)x形如y1x xkQ（的特解，其中Qm(x)q0 xm q1xm1mx）e（对于y中的Q（的系数，则可以由待定系数法求得.1x）mx）例 11 求方程y5y 6y 6x210 x 2的通解解 先求对应齐次方程y5y 6y 0的通解，其特征方程是25 6 0;故 特 征 根 为1 2，,23从 而，对 应 齐 次 线 性 方 程 通 解 为y c1e2x c2e3x;由于 0不是特征根，因而已知方程有形如y1 Ax2 Bx c的特解.为确定A,B,C将它代入原方程中，由于y 2Ax B,y 2A,5 2Ax B）6(Ax2 Bx c)6x210

3、 x 2.故2A（比较上式等号两端x的同次幂系数，可得A 1，B 0，C 0,故已知方程特解为y1 x2，则原方程的通解为y x2 c1e2x c2e3x.例 12 求方程y 4y 4y 2e2x.解 由于2 4 4 0则12 2故齐次方程通解为：y e2x(c1 c2)，由于 2为二重特征根,故有y1 Ax2e2x,故A 1，y1 x2e2x,则原方程的通解为y x2e2x e2x(c1 c2x).,B(t)其中，为常数，而A（t）2设f(t)A(t)cost B(t)sintet，是带实系数t的多项式，其中一个的次数为m，一个的次数不超过m，则有形如x tkP(t)cost Q(t)sin

4、tet的特解.其中k为特征方程P（）0的根的重数，而P(t),Q(t)均为特定的带实系数的次数不高于m的t的多项式eix eixeixeix,sinx 根据欧拉公式，有cosx 22ieix eixxeixeixxe B(t)e A(t)e(i)x B(t)e(i)x则f(t)A(t)22i再利用迭加原理,于是有两种形式：（1）如果 i不是特征根，则特解具有形式y1 exQmcosxQmsinx其中Qm(x),Qm(x)是系数待定的m次多(1)(2)(1)(2)项式.（2）如果 i是k重特征根，则特解应具有形状y1 xkeaxQm(x)cosxQm(x)sinx.(1)(2)例 13 求解方程

5、x x sint cos2t.解 先求对应的齐次方程x x 0，我们有21 0,故 特 征 根 为1 i,2 i；由 于 迭 加 原 理，则 原 方 程 可 化 为x x sintx x cos2t(1)对于x x sint，由于i i是特征根，故方程x x sint具有形如x1 t(Acost Bcost)的特解，现将上式代入x x sint，则1A ,B 0;2则x x sint的通解为x tcost c1(t)cost c2(t)sint.12(2)对于x x cos2t，由于i 2i不是特征根，故方程x x cos2t具有形如x1(Acos2t Bsin2t)的特解.现将上式代入1x

6、x cos2t，则A，B 0,31cost csint.则x x cos2t的通解为x cos2t c12311故原方程的通解为x c1cost c2sint tcost cos2t.23总结：总结：比较系数法用于方程右端比较系数法用于方程右端f(t)是某些基本函数的情况，是某些基本函数的情况，常常见的有：多项式，指数函数，正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘见的有：多项式，指数函数，正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘积组合，然后根据积组合，然后根据f(t)的前面所归纳的类型，从而求出方程的特解，的前面所归纳的类型，从而求出方程的特解，进而求出通解进而求出通解.拉普拉斯变换拉普拉斯变换9它无需求

7、出已知方程的通解，它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，而是直接求出它的特解来，从而在从而在运算上得到很大简化运算上得到很大简化，这一方法的基本思想是：先通过拉普拉斯变换将已知方程化为代数方程，求出代数方程的解，再通过逆拉普拉斯变换，便可得到所求初值问题的解.由积分F(s)0estf(t)dt所定义的确定于复平面上的复变数s的函数F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换，其中f(t)与t 0有定义，且满足不等式f(t)Met，这里 M,为某两个正常数，这时f(t)为原函数，而F(s)称为像函数.例 14 求函数f(t)eat的拉普拉斯变换.eatesteatdt 0解 0 1,s a1e(as)tdt e(as)t|0s a.a s,s a例 15 解方程x xsint;x(0)0,x(0)12.解 由于x x sint，从而s2x(s)x(s)111 s2则x(s)(1 s)，1 s222(1 s2)212121 s1s21故x(s)，2 22(1 s)s21由于tcost，2 2(1 s)故所求初值解为x(t)tcost.当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了，关于拉普拉斯变换的一般概念及基本性质，请参阅有关书籍.12