瓜豆原理与相似无关.pdf

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1、 瓜豆原理(与相似无关)瓜豆原理（与相似无关）编者的话：瓜豆原理其实是网络用语，是一类网红题其数学实质是主从联动，从动点随着主动点的变化而变化，符合种瓜得瓜种豆得豆一说，即俗称瓜豆涉及到动点，则必备的知识应有旋转 一、典型例题 例 1如图，正方形 ABCD中，AB=4，E为 BC 的中点，F是边 AB上的一动点，以 EF为边向右作等边EFG，连接 CG，则 F点从 B运动到 A 的过程中，G点运动的路径长为 CG的最小值为 解：第一步：判断点 E为定点，F点为主动点，G为从动点 第二步：画路径局部变化：EF绕点 E 顺时针旋转 60得到 EG；F点在线段 AB上运动，则整体变化：AB上所有点都

2、绕点 E顺时针旋转 60即为点 G点路径，相当于将ABE绕点 E顺时针旋转 60得到A1B1E（实际作图：两点确定一条线，点 A，B分别绕点 E顺时针旋转 60得到 A1，B1，连接即可），与线段 AB的形式保持一致，即为瓜豆原理（注意：只要满足 1定点 1主动 1 从动即满足瓜豆，无定点不瓜豆！）第三步：计算C 为定点，G的路径为线段 A1B1，则垂线段最短，即求CG1由上分析可知B=B1=90，BEB1=60，BE=B1E=2；过 C 作 CG1A1B1，则 CG1/EB1，所以 G1CB=BEB1=60；过 E作 EHCG1，则四边形 EHG1B1为矩形，G1H=B1E=2；在 RtEC

3、H中，CE=2，GCB=60，所以 CH=1，即 CG1=3【答案】：4 3 例 2如图，AD是边长为 4 的等边三角形 ABC 的 BC 边上的高，点 E是 AD上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针转 60得到 FC，连接DF则 DF的最小值是 解：第一步：判断C 为定点，E为主动点，F为从动点，满足瓜豆原理 第二步：画路径局部变化：CE绕点 C 逆时针旋转 60得到 CF；点 F在AD上运动，则整体上变化：线段 AD上所有的点都绕点 C 逆时针旋转 60即为 F点路径，相当于将 ACD 绕点 C 逆时针旋转 60，对应 AD即为 F点的路径（实际作图：两点确定一条线，点

4、 A，D分别绕点 C 逆时针旋转 60得到 A，D连接即可作出路径）第三步：计算D为定点，F路径为线，则垂线段最短求 DF1ACDACD，CAD=CAD=30，则 DF1=BD=1【答案】：1 例 3如图，点 O在线段 AB上，OA=1，OB=3，以点 O为圆心，OA 为半径作O，点 M在O运动，连接 MB，以 MB为腰作等腰直角三角形 MBC，M，B，C，按逆时针顺序排列连接 AC，则 AC 长的取值范围是 解：第一步：判断B为定点，M为主动点，C 为从动点，满足瓜豆原理 第二步：画路径局部变化：BM绕点 B 顺时针旋转 90得到 BC；点 M在O上运动，则整体上变化：O上所有的点都绕点 B

5、顺时针旋转 90即为 C点路径则只要找出圆心的位置即可相当于将OBM绕点 B顺时针旋转90，对应 O为圆心，OC 为半径，作圆即为 C 点的路径（实际作图：确定一个圆需要圆心与半径，C 点已经存在，则只需圆心即可将 OB绕点 B顺时针旋转 90得到 OB，连接 OC 为半径作圆即可作出 C 点路径）.第三步：计算A为定点，C 点路径为圆，则点圆位置关系过圆心求最值 在 RtABO中，AB=4，OB=3，则 AO=5，OC=1，则 AC1=4，AC2=6【答案】：4AC6 例 4如图，点 A是双曲线4yx在第一象限上的一动点，连接 AO并延长交另一分支于点 B，以 AB 为斜边作等腰 RtABC

6、，点 C 在第二象限，随着点 A的运动，点 C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 解：利用反比例函数的性质得到点 A与点 B 关于原点对称，则 OA=OBABC为等腰直角三角形，O为 AB中点，COAB，CO=AO即AOC 为等腰直角三角形 第一步：判断O为定点，A为主动点，C 为从动点，满足瓜豆原理 第二步：画路径局部变化：OA绕点 O逆时针旋转 90得到 OC；点 A在双曲上运动，则整体上变化：双曲线上所有的点都绕点 O逆时针旋转 90即为C 点路径则只要表示出 C 的坐标即可 第三步：计算构一线三垂直得AODOCE，得 AD=OE，OD=CE设A4,aa

7、，则 C4,aa，则点 C 的轨迹为4yx 【答案】：4yx 二、巩固练习 1如图，AB=2，点 D 是等腰 RtABC 斜边 AC 上的一动点，以 BD 为边向左作等边BDE，则点 D 从 A运动到 C 的过程中，则 E点的运动路径长为 【答案】：2 2 提示：路径长即为 AC 的长 2如图，在 RtABC 中，B=90，AB=4，BCAB，点 D在 BC 边上在以AC 为对角线的 ADCE中，DE长的最小值是 【答案】：4 提示：当 DE垂直于 BC 的时候最小 3如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，BC=2，D是 BC 边上的一动点，将 AD绕点 A 顺时针旋转 45，得

8、AE，连 CE，则线段 CE的最小值为（）A12 B22 C21 D22 【答案】：D 提示：12 222222CBCECE 4如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=4，E为 BC 的中点，F是边 AB上的一动点，以 EF为边向右作等边EFG，连接 CG，则 CG的最小值为 【答案】：3 提示：1332CACGCI 5如图，正方形 ABCD中，AB=4，E为 AB 上的点且 AE=1，F是边 AD上的一动点，以 EF为边向右作等边EFG，连接 BG，则 BG的最小值为 第2题图OCBAED【答案】：2.5 提示：与例 1 的方法相同 6如图，ABC 是等边三角形，BA=4，E 是 AC 的

9、中点，D是直线 BC 上一动点，线段 ED绕点 E 逆时针旋转 90，得到线段 EF，当点 D运动时，AF的最小值是 【答案】：31 提示：如图 7如图，ABC 和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC=2，O为 AC 的中点若点 D在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D的运动过程中，线段 OE长的最小值为 【答案】：22 提示：12222OCOEOF 8如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=4，点 M为斜边 AB的中点已知点 P在射线 AC 上运动，连接 BP，将线段 BP绕点 B逆时针旋转90，得到 BP，连接 PM，则 PM长度的最小值是 【答

10、案】：1 提示：点 A绕点 B逆时针旋转 90得点 A连 AP延长即为 P的运动路径其中BCABVA，MBDBAC 9线段 AB=4，点 P是以 AB中点为圆心，1为半径的圆上任意一点，以 PB为边作等边三角形 PBC，连接 AC，则 AC 的取值范围是 【答案】：2 312 31AC 提示:将圆心 O绕点 B顺时针旋转 60得点 O，以 O为圆心 OC 为半径作圆即为 C 的运动路径转化为点圆位置关系AOO CACAOO C 10如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，3），P点是以点 A为圆心，半径为 2 的圆上任意动点，以 OP为直角边作等腰直角三角形 OPQ，且Q点在第二象限内

11、，则 AQ的取值范围为 【答案】：262262AQ 提示:将圆心 A绕点 O逆时针旋转 90得点 A，以 A为圆心 AQ为半径作圆即为 Q的运动路径转化为点圆位置关系AAA QAQAAA Q 11如图，在边长为 6的等边ABC 中，D是边 BC 上的一点，且CAD=45，E是 AD 上一动点，以 CE为边作等边CEF，使 A，F 分别在 CE的两侧，则 DF的最小值为 【答案】：6 23 6 提示：要求出 DF1只需要求得 BD的长，过 D 作 DGGD，则有BGD=30GAD=GDA=15,GA=GD236xx即126 3x 1126 36 23 62DF 12如图，PA=3，PB=3 3，以 AB为边作正方形，使得 P，C 两点落在直线AB的同侧，则 PC 的最小值为 【答案】：3 63 提示：PB不动，则 A 点的路径是以 P为圆心 PA为半径的圆，A 到 C 是以 B为圆心逆时针旋转 90得到，则将Pe绕点 B 逆时针旋转 90得到Pe即为 C 点路径则3 63.PCPPP C