本科高等数学第四节反常积分.pdf

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1、本科高等数学第四节定积分的近似计算（略）第五节广义积分本课的基本要求掌握无穷区间和无界函数的广义积分的定义并运用本课的重点、难点无穷区间的广义积分为重点，无界函数的广义积分为难点教学内容前面讨论的定积分有二个前提：一是积分区间是有限的；二是被积函数在该区间是有界的。而实际问题中往往要突破这两个限制，这就需要把定积分的概念加以推广而为反常积分。一无穷限的反常积分1先考察位于曲线y2之下，x轴之上而夹在x1,xA直线之间的区域的面积。xI(A)A1dx11，当A时，有I(A)12AxAlim自然，可以把这一极限理解为位于曲线y的区域的面积。但是，如果对y1之下，x轴之上，直线x1之右向右无限延展2

2、x1,x1,考察同样的问题，有xA11dxlnA(A)x在这种情形下，无限延展的区域就没有有限的面积了。一般地：定义1设f(x)在区间a,)上连续，取ta,极限limttaf(x)dx称为f(x)在区间a,)上的反常积分，记为如果等号右端的极限存在，则反常积分反常积分发散。af(x)dxlimttaf(x)dx。f(x)dx收敛；如果等号右端的极限不存在，则称此a类似地，可以定义f(x)在(,b上的反常积分为对于f(x)在(,)上的反常积分定义为bf(x)dxlimtbtf(x)dxf(x)dxlimtctf(x)dxlimttcf(x)dx其中 c 为介于 a,b之间的任意实数，a,b各自独

3、立地趋向于负、正无穷大，且仅当右端两个极限都存在时，反常积分f(x)dx才收敛，否则是发散的。上述反常积分统称为无穷限的反常积分。由定义可见，反常积分的基本思想是先计算定积分，再取极限。由定义及 N-L 公式，可得如下结果：a,)上的一个原函数，若设F(x)为f(x)在区间limF(x)存在，则反常积分xaf(x)dxlimF(x)F(a)x若limF(x)不存在，则反常积分xaf(x)dx发散。42本科高等数学如果记F()limF(x),F(x)aF()F(a)，则当F()存在时，xaf(x)dxF(x)a当F()不存在时，反常积分af(x)dx发散。类似地，若在(,b上F(x)f(x)，则

4、当F()存在时，当F()不存在时，反常积分bf(x)dxF(x)bbf(x)dx发散。若在(,)内F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，当F()与F()有一个不存在时，反常积分例 1f(x)dxF(x)，f(x)dx发散。111dx43x111113dxx(01)4333x11其中x3应理解为31例 2例 3limx11(x3)330 xdx此广义积分发散21x0exdx2dx12x(lnx)dx2x2x2例 4e例 5例 6当 k 为何值时，广义积分（k1，收敛；k1，发散）例 7已知2dx收敛，又 k 为何值时广义积分发散？kx(lnx)0ex2dx2,计算0t12etdt二无界函

5、数的反常积分如果函数f(x)在点 a 的任一邻域内都无界，那么点 a 称为函数f(x)的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。定义 2设函数f(x)在(a,b上连续，点 a为f(x)的瑕点。取ta，如果极限43本科高等数学blimtatf(x)dx存在，则称此极限值为函数f(x)在区间(a,b上的反常积分，记作f(x)dx，即abbaf(x)dx=limtabtf(x)dx这时也称反常积分baf(x)dx收敛。如果上述极限不存在，就称反常积分f(x)dx发散。ab类似地，设函数f(x)在a,b)上连续，点 b 为f(x)的瑕点。取tb，如果极限limtbtaf(x)dx存在

6、，则定义baf(x)dx=limtbtaf(x)dx，否则，就称f(x)dx发散。ab设函数f(x)在a,b 上除点c(a,b)外连续，点 c 为f(x)的瑕点。如果两个反常积分caf(x)dx与 f(x)dx都收敛，则定义cbbaf(x)dx=f(x)dxabcbcf(x)dx=limtctaf(x)dxlimtcbtf(x)dx否则，称反常积分f(x)dx发散。a注意这种类型的广义积分与前面的黎曼积分的区别，如何判断。同样可借助于 N-L 公式的记法。设xa为f(x)的瑕点，在(a,b上F(x)f(x)，如果极限limF(x)存在，则反常积分xabaf(x)dxF(b)limF(x)F(b

7、)F(a)xa如果limF(x)不存在，则反常积分f(x)dx发散。xaab我们仍用记号F(x)ba来表示F(b)F(a)，从而形式上仍有baf(x)dx=F(x)ba。对于f(x)在a,b)上连续，b 为瑕点的反常积分，也在类似的计算公式，这里不再详述。例 111x03dx(3/2)2xx11dx(8/3)10lnxdx(-1)20dx（发散）(x1)2441dx（发散）sin2x20 x2dx/4x2()sinx,0 x求F(x)例 2已知f(x)20，其它xf(x)dx44本科高等数学0,x01F(x)(1cosx),0 x21,x介绍 P.261.的函数及其性质小结作业：1（2）(5）（8）（10）45