平面向量数乘运算.doc.pdf

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1、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算一、知识精讲一、知识精讲1 1向量的数乘运算向量的数乘运算(1)(1)向量的数乘运算的概念：向量的数乘运算的概念：实数实数 与向量与向量a a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a a，其长，其长度与方向规定如下：度与方向规定如下：|a a|a a|；当当时，与时，与a a方向相同；方向相同；a a(a a 0)0)的方向的方向 当当时，与时，与a a方向相反方向相反.特别地，当特别地，当 0 0 或或 a a0 0 时，时，0a a0 0 或或 0 00.0.(2)(2)向量数乘的运算律：向量数乘的运算

2、律：(aa)()a a；()a a a aaa；(a ab b)aabb.(3)(3)向量的线性运算：向量的线性运算：向量的加、向量的加、减、减、数乘运算统称为向量的线性运算数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量对于任意向量 a a，b b，以及任意实数以及任意实数 、1 1、2 2，恒有，恒有 (1 1a a 2 2b b)1 1aa2 2b b.2 2共线向量定理共线向量定理向量向量 a a(a a0)0)与与 b b 共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使，使 b baa.小问题大思维小问题大思维 1 1若若 aa0 0，则，则 0 0 对吗？对吗？提示：不对当

3、提示：不对当 aa0 0 时，时，0 0 或或 a a0.0.2 2共线向量定理中共线向量定理中 b baa，a a 若为若为 0 0 如何？如何？提示：当提示：当 a a0 0 时，则时，则 不存在不存在(b b00时时)或者不唯一或者不唯一(b b0 0 时时)3 3已知向量已知向量 a a，b b 不共线，则不共线，则 m ma a3 3b b 与与 n n2 2a a6 6b b 共线吗？共线吗？提示：提示：n n2 2m m，故，故 m m 与与 n n 共线共线4 4与非零向量与非零向量 a a 共线的单位向量是什么？共线的单位向量是什么？提示：提示：由于单位向量的长度总等于由于单

4、位向量的长度总等于 1 1，所以与非零向量，所以与非零向量 a a 共线的单位共线的单位a a向量应为向量应为.|a a|二、典例精析二、典例精析 例例 111 1 1 1 (2(2a a8 8b b)(4(4a a2 2b b)的结果是的结果是3 3 2 2()A A2 2a ab bB B2 2b ba aC Cb ba a 答案答案 B B变式练习：变式练习：1 1若若 a ab bc c，化简，化简 3(3(a a2 2b b)2(32(3b bc c)2(2(a ab b)()A Aa aC Cc cB Bb bD D以上都不对以上都不对D Da ab b解析：解析：3(3(a a2

5、 2b b)2(32(3b bc c)2(2(a ab b)3 3a a6 6b b6 6b b2 2c c2 2a a2 2b ba a2(2(b bc c)又又 a ab bc c，故原式，故原式a a.答案：答案：A A 例例 22如图所示，如图所示，四边形四边形 OADBOADB 是以向量是以向量OAOAa a，OBOBb b 为邻边的平行四边为邻边的平行四边1 11 1形又形又 BMBMBCBC，CNCN CDCD，试用，试用 a a，b b 表示表示OMOM，ONON，MNMN.3 33 3变式练习：变式练习：1 1、在本例条件中，试用、在本例条件中，试用 a a，b b 表示表示

6、CMCM.2 2、设设 D D、E E、F F 分别是分别是ABCABC 的三边的三边 BCBC、CACA、ABAB 上的点，上的点，且且DCDC2 2BDBD，CECE2 2EAEA，AFAF2 2FBFB，则，则ADADBFBFCFCF与与BCBC()A A反向平行反向平行B B同向平行同向平行C C互相垂直互相垂直D D既不平行也不垂直既不平行也不垂直答案：答案：A A 例例 33设两非零向量设两非零向量 a a 和和 b b 不共线，不共线，如果如果ABABa ab b，CDCD3(3(a ab b)，BCBC2 2a a8 8b b.求证：求证：A A、B B、D D 三点共线三点共

7、线变式练习：变式练习：已知已知 e e1 1，e e2 2是两个不共线的向量，是两个不共线的向量，a a2 2e e1 1e e2 2，b bkeke1 1e e2 2.若若 a a 与与 b b 是共线向量，是共线向量，求实数求实数 k k 的值的值解题高手：解题高手：如图所示，如图所示，已知平行四边形已知平行四边形 ABCDABCD 的边的边 BCBC、CDCD 的中点分别为的中点分别为 K K、L L，且且AKAKe e1 1，ALALe e2 2，试用，试用 e e1 1，e e2 2表示表示BCBC，CDCD.三、课后检测三、课后检测一、选择题一、选择题1 1 已知两不共线的向量已知

8、两不共线的向量 a a，b b，若对非零实数若对非零实数 m m，n n 有有 mamanbnb 与与 a a2 2b b 共线，共线，则则m mn n(A A2 2B B2 2C C1 12 2D.D.1 12 2解析：解析：mamanbnb(a a2 2b b)，m m，2 2，m m1 1 n nn n2 2.答案：答案：C C)2 2如图，向量如图，向量OAOA，OBOB，OCOC的终点在同一直线上，且的终点在同一直线上，且ACAC3 3CBCB，设，设OAOAp p，OBOBq q，OCOCr r，则下列等式中成立的是，则下列等式中成立的是()1 13 3A Ar r p p q q

9、2 22 23 31 1C Cr r p p q q2 22 2B Br rp p2 2q qD Dr rq q2 2p p解析：解析：ACAC3 3CBCB，ABAB2 2CBCB2 2BCBC，r rOCOCOAOAABABBCBC1 13 3p p q q.2 22 2答案：答案：A A3 3在在 ABCDABCD 中，中，ACAC 与与 BDBD 交于点交于点 O O，E E 是线段是线段 ODOD 的中点，的中点，AEAE 的延长线交的延长线交 CDCD 于点于点F F.若若ACACa a，BDBDb b，则，则AFAF()1 11 1A.A.a a b b4 42 21 11 1C

10、.C.a a b b2 24 42 21 1B.B.a a b b3 33 31 12 2D.D.a a b b3 33 3解析：解析：如图如图DEFDEFBEABEA.DFDFDEDE1 1 ABABEBEB.3 31 11 1 DFDFABAB DCDC.3 33 32 2 CFCFDCDC.3 32 22 2 AFAFACACCECEa aCDCDa a(COCOODOD)3 33 32 21 11 1 2 21 1a a b b a a b b.a a 3 3 2 22 2 3 33 3答案：答案：B B4 4已知平面内有一点已知平面内有一点 P P 及一个及一个ABCABC，若，若P

11、APAPBPBPCPCABAB，则，则()A A点点 P P 在在ABCABC 外部外部C C点点 P P 在线段在线段 BCBC 上上B B点点 P P 在线段在线段 ABAB 上上D D点点 P P 在线段在线段 ACAC 上上解析：解析：由由PAPAPBPBPCPCABAB，得，得ABABPBPBPAPAPCPC，即即APAPPAPAPCPC，2 2APAPPCPC.答案：答案：D D二、填空题二、填空题1 15 5在在ABCABC 中，已知中，已知 D D 是是 ABAB 边上一点，若边上一点，若ADAD2 2DBDB，CDCDCACA CBCB，则，则 3 3等于等于_解析：解析：由

12、由ADAD2 2DBDB，1 12 2得得CDCDCACA2(2(CBCBCDCD)CDCDCACACBCB，3 33 32 2所以所以 .3 32 2答案：答案：3 31 112126 6 在在 ABCDABCD 中，中，E E，F F 分别在分别在 DCDC 和和 ABAB 上，上，且且 DEDEDCDC，AFAFABAB，则则AEAE与与CFCF13131313的关系是的关系是_解析：解析：设设ADADa a，ABABb b.1 11212 DEDEDCDC，AFAFABAB，131313131 1 AEAEADADDEDEa ab b，1313CFCFCBCBBFBFa a1313b

13、bAEAE.答案：答案：CFCFAEAE7 7在在 ABCDABCD 中，中，ABABa a，ADADb b，ANAN3 3NCNC，MM 为为 BCBC 的中点，则的中点，则MNMN_.(_.(用用 a a，b b 表示表示)1 13 3解析：解析：由由ANAN3 3NCNC，得，得 4 4ANAN3 3ACAC3(3(a ab b)，AMAMa a b b，所以，所以MNMN(a a2 24 41 11 11 1b b)(a ab b)a a b b.2 24 44 41 11 1答案：答案：a a b b4 44 48 8如图，在三角形如图，在三角形 ABCABC 中，中，ABABa a

14、，BCBCb b，ADAD 为为 BCBC 边的中边的中线，线，G G 为为ABCABC 的重心，用的重心，用 a a、b b 表示向量表示向量AGAG_._.解析：解析：D D 是是 BCBC 的中点，的中点，G G 是重心，是重心，1 12 22 22 21 1 AGAGADAD(ABABBDBD)(ABABBCBC)3 33 33 32 22 21 12 21 1a a b b.答案：答案：a a b b3 33 33 33 3三、解答题三、解答题9 9已知已知 a a，b b 是两个不共线的非零向量，若是两个不共线的非零向量，若 a a 与与 b b 起点相同，则实数起点相同，则实数

15、t t 为何值时，为何值时，a a，1 1tb tb，(a ab b)三向量的终点共线？三向量的终点共线？3 3解：解：由已知，存在唯一实数由已知，存在唯一实数，1 1使使 a atb tb a a(a ab b)，3 3 2 2化简得化简得(1)1)a a(t t)b b.3 33 3 3 3 1 10 0，由于由于 a a，b b 不共线，故不共线，故 3 3t t0 0，1 1即即 t t 时，三向量的终点共线时，三向量的终点共线2 22 2 2 2，解得解得 1 1t t 2 2，3 31010设设 O O 是是ABCABC 内部一点，且内部一点，且OAOAOCOC3 3OBOB，求，

16、求AOBAOB 与与AOCAOC 的面积之的面积之比比解：解：如图，如图，由平行四边形法则，由平行四边形法则，知知OAOAOCOCODOD，其中其中 E E 为为 ACAC的中点的中点所以所以OAOAOCOC2 2OEOE3 3OBOB.2 22 2所以所以OBOBOEOE，|OBOB|OEOE|.|.3 33 3设点设点 A A 到到 BDBD 的距离为的距离为 h h，1 1h hS S AOBAOB2 2|OBOB|1 11 1|OBOB|1 12 2则则 S S AOBAOB|OBOB|h h，S S AOCAOC2 2S S AOEAOE|OEOE|h h，所以所以 2 2S S AOCAOC|OEOE|h h2 2|OEOE|2 23 31 1.3 3