大一高数复习资料全.pdf

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1、-高等数学本科少学时类型第一章第一章函数与极限函数与极限第一节第一节函数函数函数根底高中函数局部相关知识*邻域去心邻域*第二节第二节数列的极限数列的极限数列极限的证明*【题型例如】数列xn，证明limxxn a【证明例如】N语言1由xna 化简得n g，N g2即对 0，N g。当n N时，始终有不等式xna 成立，limxxna第三节第三节函数的极限函数的极限x x0时函数极限的证明*【题型例如】函数fx，证明xlimxfxA0【证明例如】语言1由fx A 化简得0 xx0 g，g2即对 0，g，当0 x x0时，始终有不等式fx A 成立，xlimxfxA0 x 时函数极限的证明*【题型例

2、如】函数fx，证明limxfxA【证明例如】X语言1由fx A 化简得x g，X g2即对 0，X g，当x X时，始终有不等式fx A 成立，limxfxA第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质*函数fx无穷小lim fx 0函数fx无穷大lim fx 无穷小与无穷大的相关定理与推论*定理三假设fx为有界函数，gx为无穷小，.则limfxgx 0定理四在自变量的*个变化过程中，假设fx为无穷大，则f1x为无穷小；反之，假设fx为无穷小，且fx 0，则f1x为无穷大【题型例如】计算：limxx0fxgx或x 1fxM函数fx在x x0的任一去心邻域Ux0,内是有界的；fx

3、M，函数fx在xD上有界；2xlimxgx0即函数gx是x x0时的无穷小；0limxgx 0即函数gx是x 时的无穷小；3由定理可知limxxfxgx 00limxfxgx0第五节第五节极限运算法则极限运算法则极限的四则运算法则*定理一加减法则定理二乘除法则关于多项式px、qx商式的极限运算设：px amm10 x a1x amqx bnbn10 x1xbnn m则有limpxa0 xqxn mb00n m特别地，当limfxxx00不定型时，通常分0gx子分母约去公因式即约去可去连续点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解【题型例如】求值limx3x3x29【求解例如】解：因为x 3，从

4、而可得x 3，所以原式 limx3x3x3x29 limx3x3x3 lim1x3x316其中x 3为函数fxx3x29的可去连续点倘假设运用罗比达法则求解详见第三章第二节：z.-x3x311lim lim解：lim2x3x 9L x3x32x6x29定理五假设函数fx是定义域上的连续函数，00连续函数穿越定理复合函数的极限求解*跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）第二类间断点）无穷间断点（极限为特别地，可去连续点能在分式中约去相应公因式则，limxxf 0 x flimxxx0【题型例如】求值：limx3x3x29【求解例如】limx3x3x29limx3x3x2

5、91666第六节第六节极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限夹迫准则P53*第一个重要极限：limsin xx0 x1x0,2，sinx x tanxlimsin xx0 x1特别地，limsin(x x0)xx10 x x0单调有界收敛准则P57*x第二个重要极限：limx11xe一般地，limgfxx lim fxlimgx，其中lim fx 0【题型例如】求值：lim2x 3x1x2x 1【求解例如】第七节第七节无穷小量的阶无穷小的比较无穷小量的阶无穷小的比较等价无穷小*1U sinU tanU arcsinU arctanU ln(1U)eU1212U21cosU乘除可替

6、，加减不行【题型例如】求值：limln1 x xln1 xx0 x23x【求解例如】第八节第八节函数的连续性函数的连续性函数连续的定义*连续点的分类P67*.【题型例如】设函数fxe2xx 0a x，应该怎样选x 0择数a，使得fx成为在R上的连续函数？【求解例如】f0 e20 e1 e1f 0 a0 af0 a2由连续函数定义xlim0fxxlim0fxf0ea e第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质零点定理*【题型例如】证明：方程fx gxC至少有一个根介于a与b之间【证明例如】1 建立辅助函数函数x fx gxC在闭区间a,b上连续；2ab 0端点异号3由零点定理，在

7、开区间a,b内至少有一点，使得 0，即fgC 00 14这等式说明方程fx gxC在开区间a,b内至少有一个根第二章第二章导数与微分导数与微分第一节第一节导数概念导数概念高等数学中导数的定义及几何意义P83*【题型例如】函数fxex1，x 0在x 0ax bx 0处可导，求a，b【求解例如】10f0 e0f0 e 1，1 e01 2 af0f0 bf0 e01 22由函数可导定义f0 f0 a 1 f 0 f 0 f0b 2a 1,b 2z.-【题型例如】求y fx在x a处的切线与法线方程或：过y fx图像上点a,fa处的切线与法线1x1e1e切线方程：y 1方程【求解例如】1y f x，y

8、|xaf a2切线方程：y fa f axa法线方程：y fa 1f axa第二节第二节函数的和差函数的和差、积与商的求导法则、积与商的求导法则函数和差、积与商的求导法则*1线性组合定理一：(u v)uv特别地，当1时，有(u v)uv2函数积的求导法则定理二：(uv)uvuv3函数商的求导法则定理三：u vuvuvv2第三节第三节反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则*【题型例如】求函数f1x的导数【求解例如】由题可得fx为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且f x 0；f1x1f x复合函数的求导法则*【题型例如】设y lnearcsinx21x2a2，求y

9、【求解例如】第四节第四节高阶导数高阶导数fnxn1fn1x或dnydxndy*dxn1【题型例如】求函数y ln 1 x的n阶导数【求解例如】y 111 x1 x，y 1 x111 x2，第五节第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导等式两边对x求导*【题型例如】试求：方程y x ey所给定的曲线C：y yx在点1e,1的切线方程与法线方程【求解例如】由y x ey两边对x求导即y xey化简得y 1ey yy 111e11e.法线方程：y 1 1ex 1 e参数方程型函数的求导【题型例如】设参数方程x ty t，求d2ydx2 dy dytd2【求解例如】1

10、.ydxt2.dx2dxt第六节第六节变化率问题举例及相关变化率不作要求变化率问题举例及相关变化率不作要求第七节第七节函数的微分函数的微分根本初等函数微分公式与微分运算法则*第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节第一节中值定理中值定理引理费马引理*罗尔定理*【题型例如】现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得fcos f sin 0成立【证明例如】1 建立辅助函数令x fxsinx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2又0 f0sin0 0即0 03由罗尔定理知0,，使得fcos f sin 0成立拉格朗日中值定理*【题型例如】证明不等式：

11、当x 1时，ex ex【证明例如】1 建立辅助函数令函数fxex，则对x 1，显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间1,x上可导，并且f x ex；2由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式exe1x1e成立，又e e1，exe1x1e1 exe，化简得ex ex，即证得：当x 1时，ex ex【题型例如】证明不等式：当x 0时，ln1 x x【证明例如】z.-1 建立辅助函数令函数fx ln1 x，则对解：设y xx,两边取对数得：ln y ln xx xln x x 0，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区1间0,上可导，并且f x；1 x2由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式ln1

12、xln10化简得ln1 xf ln x1x1x0成立，11x，又0,x，1ln xln x对对数取x 0时的极限：limln y limlimx0 x01L x0 1 xx1limln y limx limx 0，从而有lim y limeln y ex0 e01x0 x0 x0 x012x11，ln1 x1x x，1x即证得：当x 1时，e ex第二节第二节罗比达法则罗比达法则运用罗比达法则进展极限运算的根本步骤*1等价无穷小的替换以简化运算2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件1型对数求极限法【题型例如】求值：limcosxsin xx01x【求解例如】型对数求极

13、限法0 1【题型例如】求值：limx0 xtanx【求解例如】运用罗比达法则进展极限运算的根本思路*0 A属于两大根本不定型,且满足条件，通分获得分式通常伴有等价无穷小的替换0 取倒数获得分式将乘积形式转化为分式形式fxf x取对数获得乘积式通过对数运算将指数提前则进展运算：lim limxagxxagx第三节第三节泰勒中值定理不作要求泰勒中值定理不作要求第四节第四节函数的单调性和曲线的凹凸性函数的单调性和曲线的凹凸性再进展 1、2 步骤，反复直到结果得出连续函数单调性单调区间*B 不属于两大根本不定型 转化为根本不定型320型转乘为除，构造分式【题型例如】试确定函数fx 2x 9x 12x3

14、的【题型例如】求值：limx lnxx0【求解例如】一般地，limx ln x 0，其中,Rx0单调区间【求解例如】1函数fx在其定义域R上连续，且可导2f x6x 18x12 型通分构造分式，观察分母1 1【题型例如】求值：limx0sin xx【求解例如】00 x11,x2 22 令f x6x1x2 0，解得：3 三行表x1cosx1cosxsin x limlim lim 0 x0 x02xL x02x2x00,110极大值1,220极小值2,limL x0 xsin xf xfxx20型对数求极限法【题型例如】求值：limxx004函数fx的单调递增区间为,1,2,；单调递减区间为1,

15、2【题型例如】证明：当x 0时，e x1【证明例如】x【求解例如】1 构建辅助函数设xe x1，x 0 x2x e 10，x 0 x.z.-x0 03既证：当x 0时，e x1x则函数fx在闭区间a,b上的最大值M满足：设函数fx的定义域为D，如果xm的*个邻域【题型例如】证明：当x 0时，ln1 x x【证明例如】1 构建辅助函数设xln1 xx，x 0M maxfa,xM1,xM 2,xM3,.,xMn,fb；Uxm D，使得对xUxm，都适合不等2x11 x1 0，x 0 x003既证：当x 0时，ln1 x x连续函数凹凸性*【题型例如】试讨论函数y 13x2 x3的单调性、极值、凹凸

16、性及拐点【证明例如】1y 3x26x 3xx2 6x6 6x1y2令y 3xx2 0 x1 0,x2 6x1 0解得：2yx 13 四行表x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yy1(1,3)54函数y 13x2 x3单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0),(2,)；函数y 13x2 x3的极小值在x 0时取到，为f01，极大值在x 2时取到，为f25；函数y 13x2 x3在区间(,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)上凸；函数y 13x2 x3的拐点坐标为1,3第五节第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系*设

17、函数fx的定义域为D，如果xM的*个邻域UxM D，使得对xUxM，都适合不等式fx fxM，我们则称函数fx在点xM,fxM处有极大值f xM；令xMxM1,xM 2,xM3,.,xMn.式fx fxm，我们则称函数fx在点xm,fxm处有极小值fxm；令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn则函数fx在闭区间a,b上的最小值m满足：m minfa,xm1,xm2,xm3,.,xmn,fb；【题型例如】求函数fx3xx3在1,3上的最值【求解例如】1函数fx在其定义域1,3上连续，且可导f x 3x232令f x 3x1x1 0，解得：x1 1,x213 三行表x11,111,3f x00f

18、x极小值极大值4又f1 2,f1 2,f3 18fxmax f1 2,fxmin f3 18第六节第六节函数图形的描绘不作要求函数图形的描绘不作要求第七节第七节曲率不作要求曲率不作要求第八节第八节方程的近似解不作要求方程的近似解不作要求第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念*原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数Fx的导函数为Fx，即当自变量xI时，有Fx fx或dFx fxdx成立，则称Fx为fx的一个原函数原函数存在定理：*如果函数fx在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数Fx使得Fx fx，也就是说：连续函数一定存在

19、原函数可导必连续z.-不定积分的概念*在定义区间I上，函数fx的带有任意常数项解：11t 2x1dx tdt dt t C 2x1C11x t2t2x122dxtdtC的原函数称为fx在定义区间I上的不定积分，即表示为：fxdx FxC【题型例如】求a2 x2dx三角换元【求解例如】称为积分号，fx称为被积函数，fxdx称为积分表达式，x则称为积分变量根本积分表*不定积分的线性性质分项积分公式*第二节第二节换元积分法换元积分法第一类换元法凑微分*dy f xdx的逆向应用1a2 x2dx解：1111 x 1xa2 x2dx 2dx 2darctanC1x a x aaaa1a12x1dx*dy

20、 f xdx的正向应用对于一次根式a 0,bR：axb：令t axb，于是x t2ba，则原式可化为t对于根号下平方和的形式a 0：a2 x2：令x atant2t 2，于是t arctanxa，则原式可化为asect；对于根号下平方差的形式a 0：aa2 x2：令x asint2t 2，于是t arcsinxa，则原式可化为acost；bx2a2：令x asect0 t 2，于是t arccosax，则原式可化为atant；12x1dx一次根式.第三节第三节分部积分法分部积分法分部积分法*设函数u fx，v gx具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uvvdu分部积分法函数排序次序

21、：反、对、幂、三、指运用分部积分法计算不定积分的根本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：vdx dv使用分部积分公式：udv uvvdu展开尾项vdu vudx，判断a假设vudx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案容易表示使用根本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果；b假设vudx依旧是相当复杂，无法通过 a 中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；假设重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数Cexx2dxexsinxdxexsin xdx 12exsin xcosxC第四节第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有

22、理函数*Pxpx amm1设：0 x a1x amQxqxbnn10 x b1x bn对于有理函数PxQx，当Px的次数小于Qx的次数时，有理函数PxQx是真分式；当Px的次数大于Qx的次数时，有理函数PxQx是假分式有理函数真分式不定积分的求解思路*z.【题型例如】求【求解例如】【题型例如】求【题型例如】求【求解例如】【求解例如】【求解例如】第二类换元法去根式【题型例如】求【题型例如】求【求解例如】-将有理函数PxQx的分母Qx分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式xak；而另一个多项式可以表示为二次质因式x2 pxql，p24q 0；即：QxQ1xQ2x一般地

23、：mxn mxn m，则参数a nm则参数p bca,q a则设有理函数PxQx的分拆和式为：其中参数A AM1M2Ml1,2,.,Ak,N,.,由待定系数 法1N2Nl比较法求出得到分拆式后分项积分即可求解【题型例如】求x2x1dx构造法【求解例如】第五节第五节积分表的使用不作要求积分表的使用不作要求第五章第五章定积分极其应用定积分极其应用第一节第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的定义*fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间定积分的性质*bafxdx bafuduaafxdx 0bkfxbadx kafxd

24、x线性性质积分区间的可加性 假 设 函 数fx在 积 分 区 间a,b上 满 足fx 0，则bafxdx 0；推论一假设函数fx、函数gx在积分区间a,b上.满足fx gx，则bbafxdx agxdx；推论二bafxdx bafxdx积分中值定理不作要求第二节第二节微积分根本公式微积分根本公式牛顿-莱布尼兹公式*定理三假设果函数Fx是连续函数fx在区间a,b上的一个原函数，则变限积分的导数公式*上上导下下导t2【题型例如】求lim1cosxedtx0 x2【求解例如】第三节第三节定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法*第一换元法【题型例如】求2102x1dx【求解

25、例如】解：211211202x1dx 202x1d2x12ln 2x1012ln5ln1ln52第二换元法设函数fxCa,b，函数x t满足：a,，使得 a,b；b在区间,或,上，f t,t连续则：bafxdx f ttdt【题型例如】求4x202x1dx【求解例如】分部积分法偶倍奇零*设fxCa,a，则有以下结论成立：假设fx fx，则aaafxdx 20fxdx假设fx fx，则aafxdx 0第四节第四节定积分在几何上的应用暂时不作要求定积分在几何上的应用暂时不作要求第五节第五节定积分在物理上的应用暂时不作要求定积分在物理上的应用暂时不作要求第六节第六节反常积分不作要求反常积分不作要求z.-如：不定积分公式11 x2dx arctanxC的证明。很多同学上课时无法证明，则在学期完毕时，我给出这样一种证明方法以说明问题：如此，不定积分公式1a2 x2dx 1aarctanxaC也就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。.z.