导数的四则运算及复合函数求导运算练习题.pdf

《导数的四则运算及复合函数求导运算练习题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的四则运算及复合函数求导运算练习题.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、函数求导函数求导1.简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量y f(x0 x)f(x0)；yf(x0 x)f(x0)。xxf(x0 x)f(x0)（3）取极限求导数f(x0)limx0 x（2）求平均变化率2导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f(x0)的导数就是导函数f(x)，当x x0时的函数值。3常用的导数公式及求导法则：（1）公式C 0，（C 是常数）(cos x)sin xxx(sin x)cos x(x)nxxxnn1(a)a lna(logax)(e)e11(ln x)xlnax11(tan x)（cot x)cos2xsin2x（2）法则

2、：f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)2g(x)g(x)例：（1）y x3x24（2）y（3）y 3cos x4sin x（4 4）y 2x3（5）y lnx22sin xx第 1页（共8页）复合函数的导数复合函数的导数如果函数(x)在点 x 处可导，函数 f(u)在点 u=(x)处可导，则复合函数y=f(u)=f(x)在点 x 处也可导，并且(f(x)=或记作熟记链式法则若 y=f(u)，u=(x)y=f(x)，则f(x)(x)uyx=yuxyx=f(u)(x)若 y=f(u)，u=(v)，v=(x)y=f

3、(x)，则yx=f(u)(v)(x)（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例例 1 1 函数y 1的导数.(13x)4解：y 14(13x)4(13x)，u 13x，则设y u4yx yuux(u4)u(13x)x 4u5(3)12u512(13x)5125(13x)第 2页（共8页）例例 2 2 求y 5x的导数1 x15解：y x，1 x451xy51 x1x51 x45x1x1 x51 x4451 x x(1)2(1 x)115x(1 x)525(1 x)6例

4、例 3 3 求下列函数的导数y 3 2x解：解：（1）y 3 2x令u=3-2x，则有y=u，u=3-2x u yux由复合函数求导法则yx有 y=uu1(3 2x)x=1(2)2 u3 2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：y=12 3 2x(3 2x)13 2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y=第 3页（共8页）12 3 2x(2)13 2x例例 4 4 求下列函数的导数（1）y=1 2xcos x（2）y=ln(x+1 x21 2xcos x)解：解：（1）y=由于 y=而其中1 2x1 2

5、xcos x 是两个函数1 2x与 cos x 的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是y=(=1 2x导数1 2x)cos x-1 2xsin x(2)cosx-1 2xsin x=cosx1 2x2 1 2x（2）y=ln(x+由于 y=ln(x+-1 2xsin x1 x21 x2)是 u=x+1 x2与 y=ln u 复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求ux时用函数和的求导法则，而求(1 x2y=)的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x 1 x2 1+(1 x2)=1x 1 x212 1 x22x =1

6、x 1 x2x 1 x21 x2=11 x2例例 5 5 设y ln(x x 1)求y.解解利用复合函数求导法求导，得y ln(x x21)121(x 1)122(x x 1)x x 12x x 11x x 12112 x 12(x21)1x x 121xx 12 1x 12.第 4页（共8页）小结小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4 中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.22例例 6 6 求y=(x3x+2)sin3x的导数.2222解：y=(x3x+2)sin3x+(x3x+2)(sin3x)2222=2(x3x+2)(x3x+2)sin3x+(

7、x3x+2)cos3x(3x)222=2(x3x+2)(2x3)sin3x+3(x3x+2)cos3x.1求下函数的导数.（1）y cos(1)y=(5x3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2x2)3(1)y=y (2 x)；y sin x；y cos(x)；y lnsin(3x 1)232x（2）y 2x13(4)y=(2x3+x)21124 (2)y=(3)y=sin(3x)(4)y=cos(1+x)23(2x 1)63x14第 5页（共8页）1求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）y 2.求ln(2x 3x 1)的导数一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分

8、）1.函数 y=2sin2x2 (3)loga(x 2)2x 11的导数是（）2(3x 1)666A.B.C.(3x 1)2(3x 1)3(3x 1)3D.6(3x 1)23.函数 y=sin（3x+A.3sin（3x+）的导数为（）4）4D.3cos2（3x+）4B.3cos（3x+C.3D.4）4C.3sin2（3x+）4n4.曲线y x在 x=2 处的导数是 12，则 n=（）A.1 B.25.函数 y=cos2x+sinx的导数为（）A.2sin2x+C.2sin2x+cosx2xB.2sin2x+cosxsinx2 xD.2sin2x2 xcosx2 x6.过点 P（1，2）与曲线

9、y=2x2相切的切线方程是（）A.4xy2=0C.4x+y=0B.4x+y2=0D.4xy+2=0二、填空题（本题共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）第 6页（共8页），0）处切线的斜率为_。39.函数 y=xsin（2x）cos（2x+）的导数是。228.曲线 y=sin3x 在点 P（10.函数 y=cos(2x)的导数为。311.f(x)xln x,f(x0)2,则x0 _。例例 2 2计算下列定积分（1）2021x(x1)dx；（2）(e2x)dx（3）sin2xdx01x5 542e dx的值等于（）42x424242(A)e e (B)e e (C)e e 2 (D)e e29.计算由曲线y x 6x和y x所围成的图形的面积.第 7页（共8页）32复合函数的导数1.C2.B3.B4.A5.A6.A7.y=u3,u=1+sin3x8.3sin(2x)1311.1cos21sin19.y=sin4x+2xcos4x10.2x2xxcos(2x)3第 8页（共8页）