三角函数极限等价无穷小公式.pdf

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1、 三角函数公式整合：三角函数公式整合：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinACosACos2A=CosA2-SinA2=1-2

2、SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）和差化积sin+sin=2 sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2 cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2 cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2 sin(+)/2sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinsin=-1/2*cos(+)-cos(-)coscos=1/2*cos(+)+cos(-)sinco

3、s=1/2*sin(+)+sin(-)cossin=1/2*sin(+)-sin(-)诱导公式sin(-)=-sincos(-)=cossin(/2-)=coscos(/2-)=sinsin(/2+)=coscos(/2+)=-sinsin(-)=sincos(-)=-cossin(+)=-sincos(+)=-costanA=sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式1.1.极限的概念极限的概念（1）数列的极限：0，N（正整数），当n N时，恒有xn A nlimxn A或xn A(n )几何意义

4、：在(A,A)之外，xn至多有有限个点x1,x2,xN（2）函数的极限x 的极限：0，X 0，当x X时，恒有f(x)A lim f(x)A或f(x)A(x )x几何意义：在（X x X)之外，f(x)的值总在(A,A)之间。x x0的极限：0，0，当0 x x0时，恒有f(x)A xx0lim f(x)A或f(x)A(x x0)(x0,x0)邻域内，f(x)的值总在(A,A)之间。几何意义：在x(x0,x0)（3）左右极限左极限：0，0，当x0 x x0时，恒有f(x)A xx0lim f(x)A或f(x0)f(x00)A右极限：0，0，当x0 x x0时，恒有f(x)A xx0lim f(

5、x)A或f(x0)f(x0 0)Axx0极限存在的充要条件：lim f(x)A lim f(x)xx0（4）极限的性质唯一性：若lim f(x)A，则A唯一xx0保号性：若lim f(x)A，则在x0的某邻域内xx0A 0(A 0)f(x)0(f(x)0)；f(x)0(f(x)0)A 0(A 0)有界性：若lim f(x)A，则在x0的某邻域内，f(x)有界xx02.2.无穷小与无穷大无穷小与无穷大（1）定义：以0 为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大量；同一极限过程中，无穷小（除 0 外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。注意：0 是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未

6、必是无穷大量。例如当x 时，xsinx是无界变量，但不是无穷大量。（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；xx0lim f(x)A成立的充要条件是f(x)A（x(x0,x0)，lim 0）（3）无穷小的比较（设lim 0，lim 0）：若lim则称是比高阶的无穷小，记为o()；特别称为o()0，的主部，则称是比低阶的无穷小；若lim C，则称与是同阶无穷小；若lim1，则称与是等价无穷小，记为；若limkC，（C 0,k 0）则称为的k阶无穷小；若lim（4）无穷大的比较：若limu ，limv ，且lim无穷大，记为o1(v)；特别u称为u v o1(v)v

7、的主部3.3.等价无穷小的替换等价无穷小的替换u，则称u是比v高阶的v若同一极限过程的无穷小量，且lim存在，则limf(x)f(x)limg(x)g(x)121cos2111211(1)n1na1lna常用等价无穷小(lim 0)sintanarcsinarctanln(1)e11 1注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即若lim f()f(0)，则f()f()4.4.极限运算法则极限运算法则（设lim f(x)A，limg(x)B）（1）limf(x)g(x

8、)lim f(x)limg(x)A B（2）limf(x)g(x)lim f(x)limg(x)ABn特别地，limCf(x)Clim f(x)，limf(x)lim f(x)Ann（3）limf(x)lim f(x)A(B 0)g(x)limg(x)B5.5.准则与公式准则与公式（lim 0，lim 0）准则 1：（夹逼定理）若(x)f(x)(x)，则lim(x)lim(x)Alim f(x)A准则 2：（单调有界数列必有极限）若xn单调，且xn M（M 0），则limxn存在（xn收敛）n准则 3：（主部原则）lim o()o()o()lim；lim111 lim112o1(2)o1(2)

9、o()公式 1：limsinsin x11limx0 x1lim(1)e1lim(1)flim f1xlim(1 x)x0公式 2：e1lim(1)nnn公式 3：lim(1)elim，一般地，lim(1)e0anxnan1xn1a0anxnan公式 4：lim limm1xb xmbxb xmxbmm10mbm6.6.几个常用极限几个常用极限(a 0,a 1)（1）limnn mn mn mna 1，limnn 1；（2）limxx1，lim xx；nx0 x11ex，limex 0；（4）lim（3）limln x ；x0 x0 x00q 11lim arctanq 1x0 x2n（5）；（6）limq n1q 1lim arctan 1x2x0不存在q 1