全国数学竞赛试题.pdf

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1、初中精品资料欢迎下载中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯”杯”20XX20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共一、选择题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，共分，共 3535 分分.以下每道小题均给出了代以下每道小题均给出了代号为号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选请将正确选项的代号填入题后的括号里项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得不填、多填或错填都得 0 0 分）分）1已知非零实数 a，b 满

2、足2a4 b2(a3)b24 2a，则ab等于（）（A）1（B）0（C）1（D）22 如图，菱形 ABCD 的边长为 a，点 O 是对角线 AC 上的一点，且 OAa，OBOCOD1，则 a 等于（）（A）5 15 1（B）（C）1（D）222（第 2 题）3将一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于 x，yaxby 3，的方程组只有正数解的概率为（）x2y 2（A）4如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，B 90.动点 P 从点B 出发，沿梯形的边由 BCDA 运动.设点 P 运动的

3、路程为 x，ABP 的面积为 y.把 y 看作 x 的函数，函数的图象如图2 所示，则ABC 的面积为（）（A）10（B）16（C）18（D）32图 2图 1（第4题）12513（B）（C）（D）1291836初中精品资料欢迎下载5关于 x，y 的方程x2 xy 2y2 29的整数解（x，y）的组数为（）（A）2 组（B）3 组（C）4 组（D）无穷多组二、填空题（共二、填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，共分，共 3535 分）分）6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路

4、程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km 7已知线段AB 的中点为 C，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点 D，使得BDAC；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与A 分别相交于 F，G 两点，连接AHFG 交 AB 于点 H，则的值为AB（第7题）8 已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1a2a3a4a5 9的五个不同的整数，若b是关于 x 的方程xa1xa2xa3xa4xa5 2009的整数根，则b的值为9 如图，在ABC 中，CD 是高，CE 为ACB的平分线 若AC15，BC20，CD

5、12，则 CE 的长等于1010 个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报3 的人心里想的数是三、解答题（共三、解答题（共 4 4 题，每题题，每题 2020 分，共分，共 8080 分）分）（第 10 题）（第9题）11 函数y x2(2k 1)xk2的图象与x轴的两个交点是否都在直线x 1的初中精品资料欢迎下载右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x 1的右侧时 k 的取值范围12在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为

6、完全平方数的点称为“好点”，求二次函数y (x90)24907的图象上所有“好点”的坐标13如图，给定锐角三角形 ABC，BC CA，AD，BE 是它的两条高，过点C作ABC 的外接圆的切线l，过点 D，E 分别作l的垂线，垂足分别为 F，G试比较线段 DF 和 EG 的大小，并证明你的结论14 n1 a1 a2个 正 整 数a1，a2，an满 足 如 下 条 件：（第 13 题）an 2009；且a1，a2，an中任意 n1 个不同的数的算术平均数都是正整数求 n 的最大值答案1.【答】C解：解：由题设知a3，所以，题设的等式为b2(a 3)b2 0，于是a 3，b 2，从而ab12.【答】

7、A解：解：因为BOC ABC，所以BOBC，即ABAC1a，aa1所以，a2a1 0由a 0，解得a 3.【答】D解：解：当2ab 0时，方程组无解152初中精品资料欢迎下载62bx,2ab当2a b 0时，方程组的解为y 2a3.2ab2a b 0,2a b 0,6 2b 0,332a b由已知，得即a,或a,222a 3 0,2a bb 3,b 3.由a，b的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得3，4，5，6，a 2，a 1，共有 5210 种情况；或共 3 种情况b 1，2，b 4，5，6，又掷两次骰子出现的基本事件共 6636 种情况，故所求的概率为4.【答】B解：解：根据图像可得

8、 BC4，CD5，DA5，进而求得 AB8，故13361SABC8416.25.【答】C解：解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2 yx(2y229)0由于该方程有整数根，则判别式0，且是完全平方数24(2y22 9)y7由 y21 1，06解得y2y211616.57于是701161109488953164显然，只有y216时，4是完全平方数，符合要求当y 4时，原方程为x24x3 0，此时x1 1,x2 3；当 y4 时，原方程为x24x3 0，此时x31,x4 3所以，原方程的整数解为初中精品资料欢迎下载x31,x1 1,x2 3,x43,y1 4;y2 4;y4 4.y3

9、4;6.【答】3750解：解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km磨损量为kk,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为.又设一对新轮50003000胎交换位置前走了 x km，交换位置后走了 y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有ky kx k,50003000kykx k,50003000k(x y)k(x)y 2k，5 0 0 03 0 0 02则x y 37501150003000两式相加，得7.7.解：解：如图，延长 AD 与D 交于点 E，连接 AF，EF 由题设知AC 11AD，AB AE，在FHA 和EFA 中，33EFA F

10、HA 90，FAH EAF所以RtFHARtEFA，AHAF.AFAE而AF AB，所以8.【答】10AH1.AB3a2，a3a，解：解：因为ba1ba2ba3ba4ba5 2009，且a1，是4a5，五个不同的整数，所有ba1，ba2，ba3，ba4，ba5也是五个不同的整数又因为2009117741，所以ba1ba2ba3ba4ba5 41由a1a2a3a4a5 9，可得b 10初中精品资料欢迎下载9.【答】60 27解：解：如图，由勾股定理知 AD9，BD16，所以 ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB 为直角三角形，且ACB 901作 EFBC，垂足为 F设 EFx，由ECF

11、ACB 45，得 CFx，2于是 BF20 x由于 EFAC，所以E FB F，A CB Cx20 x即，1520解得x 60 260所以CE 2 x 7710.【答】2解：解：设报 3 的人心里想的数是x，则报 5 的人心里想的数应是8 x于是报 7 的人心里想的数是12(8 x)4 x，报 9 的人心里想的数是16(4 x)12 x，报 1 的人心里想的数是20(12 x)8 x，报 3 的人心里想的数是4(8 x)4 x所以x 4 x，解得x 211.11.解：解：不一定，例如，当 k0 时，函数的图象与 x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线x 1的右侧5 分),xx设函数与

12、 x 轴的两交点的横坐标为x1,x2，则x1x2(2k 11 2k2，当且仅当满足如下条件0,(x11)(x21)0,10 分(x 1)(x 1)012时，抛物线与x轴的两交点都在直线x 1的右侧(2k 1)24k20,由2k 1 0,k22k 0,初中精品资料欢迎下载1k,41解之，得k ,15 分2k 2或 k 0.所以当k 2时，抛物线与x轴的两交点在直线x 1的右侧20 分12.12.解：解：设y m2,(x90)2 k2，m，k 都是非负整数，则k2m2 770114907，即(k m)(k m)7 7 010 分1 14 9k m 7 0 1,k m 4 9 0 7则有m 1.k

13、m 7;kk 354,解得1m1347;k2 2454,m2 2453.所以,x3 2 5 4 4,x1 4 4 4,x2 2 6 4x4 2 3 6 4,y 1 2 0 4 0 9;y 1 2 0 4 0 y 9;6 0 1y 7 2 0 9;6 0 1 7 2 0 9.1243故“好点”共有 4 个，它们的坐标是：（444，120409），（264，120409），（2544，6017209），（2364，6017209）.20 分13.13.解法解法 1 1：结论是DF EG下面给出证明5分因为FCD EAB，所以 RtFCD RtEAB于是可得CDABCE同理可得EG ADABDF B

14、E10 分又因为tanACB ADBE，所以有BECD ADCE，于是可得CDCE（第 13 题）DF EG20 分初中精品资料欢迎下载解法解法 2 2：结论是DF EG下面给出证明 5 分连接 DE，因为ADB AEB 90，所以 A，B，D，E四点共圆，故（第 13 题）CED ABC10 分又 l 是O 的过点 C 的切线，所以ACG ABC15 分所以，CED ACG，于是 DEFG，故 DFEG20 分14.14.解：解：设a1，a2，an中去掉ai后剩下的 n1 个数的算术平均数为正整数bi，i 1，2，n即bi(a1a2an)ain1于是，对于任意的 1i jn，都有bibjajain1，从而n1(ajai)5 分由于b1bnana12008是正整数，故n1n13n1 210 分 2 5 1由于an1anan1an1an2n1n1a2a1n1(n1)2，所以，(n1)22008，于是 n 45.结合n1 23251，所以，n 915 分另一方面，令a1801,a2811,a3821，a8 871，a982511，则这 9 个数满足题设要求综上所述，n 的最大值为 9.20 分