二面角的向量求法.pdf

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1、空间角-求面面夹角（第 3 课时）1.求面面夹角求面面夹角 定义二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫二面角的两个面。二面角的平面角：从二面角的棱上任一点在它的两个面内各引一条垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角。求面面夹角的步骤如下：找出或作出二面角的平面角；证明其确实是所求的面面夹角；计算平面角的值，一般均在三角形中进行。(3)向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，

2、这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。一一.利用法向量求二面角的大小的原理利用法向量求二面角的大小的原理:设n n1 1,n n2 2分别为平面,的法向量，二面角 l l 的大小为，向量n n1 1,n n2 2的夹角为，则有 （图 1）或 （图 2）n2n1n1l l图 1图 2l ln2基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角AD1BCz二二.如何求平面的一个法向

3、量如何求平面的一个法向量:例题例题 1:1:如图 3，在正方体 ABCD-A1B!C1D1中 G、E、F 分别为 AA1、AB、BC 的中点，求平面 GEF 的法向量。略解：以 D 为原点建立右手空间直角坐标系，则 E(1，G(1,0，11,0)、F(，1,0)、2211111)由此得:GE (0,)FE (,0)22222设平面的法向量为n (x,y,z)由nGE及nFE可得11nGE y z 022x y11n FE x y 0z y22令 y=1 取平面的一个法向量为n (1,1,1)评析因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。

4、三三.法向量的应用举例法向量的应用举例:例题例题 4.4.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点 Q 是 BC 的中点，求此时二面角 AA1DQ 的大小解如图 2，建立空间直角坐标系依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）Q（2，2，0），D（0，4，0），A A1 1Q Q (2 2,2 2,2 2),),QDQD (2 2,2020)面 AA1D 的法向量n n1 1 (1 1,0 0,0 0)设面 A1DQ 的法向量n n2 2 (a a1 1,a a2 2,a a3 3)，O O（A A）y yD DB BQ QC Cx xA A1 1z zD D

5、1 1C C1 1B B1 1图图 4 42 a a2 2 a a1 1,n n A A Q Q 2 2a a1 1 2 2a a2 2 2 2a a3 3 0 0,则 2 21 1 a a 2 2a a,1 1 3 3 n n2 2 QDQD 2 2a a1 1 2 2a a2 2 0 0,n n2 2 (a a1 1,a a1 1,2 2a a1 1)令 a1=1，则n n2 2 (1 1,1 1,2 2)，coscos n n1 1,n n2 2n n1 1 n n2 2n n1 1n n2 2 1 11 1 6 6 6 66 6二面角的平面角为锐角二面角 AA1DQ 的大小为arcco

6、sarccos评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令a a1 1 1 1，则n n2 2 (1 1,1 1,2 2)，coscos n n1 1,n n2 2 的大小 是 n n1 1,n n2 2 arccosarccos6 6，二面角 AA1DQ6 66 66 66 66 6的补角arccosarccos。所以在计算之前不妨先依题6 66 6意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。评析评析 上题中的两个平面的法向量是符合“一进一出”的，所以它们的夹角就等于所求的二面角的大小。可见通过判断法向量的方向，就可以解决直观不能判断二面角的锐或钝的情况。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法，而在利用法向量求二面角的过程中，若能巧设法向量，则能使解题过程更加简洁明快，进一步优化。3