湖南省永州市20202021学年高一数学下学期期末考试试题.pdf

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1、永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学考生注意：1全卷满分 150 分，时量 120 分钟2考生务必将选择题和填空题的答案填入答卷相应的答题栏内一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=1-2i的虚部是A12已知|a|=1,ab=-1，则a(2a-b)=B2C-2D-2i A3A7B1B19C2C13D0D63已知ABC的三边长分别为AB=5,BC=3,ABC=120，则AC=4某校共有男女学生共有 1500 人，采用分层抽样的方法抽取容量为 100 人的样本，样本中男生有 55 人，则该校女生人数是A82

2、5B800C750D6755 在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，c2,A面积为A3B2 3C2,sinB2sinC，则ABC的3D46m,n是两条不同直线，a,b是两个不同的平面，则下列说法正确的是A若 m，n，则 mnC若m a,ab,则 m球体零件的最大体积是A256cm33B若 mn，n，则 mD若n a,n b,则7现有一个底面半径为 4cm，高为 6cm的圆柱形铁块，将其磨制成一个球体零件，则该B36cm3251cm33CD40cm3 8 在ABC中，BAC=90，2AD=AB+AC,|AD|=|AB|=1，与BC方向相同的单位向 量为e，则向量AB在BC上的投影向量

3、为1331B-eCD-Aeee2222永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 1页（共 4 页）二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，完全选对的得 5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分9 已知复数z (1i)i（i 为虚数单位），对于复数z的以下描述，正确的有A|z|2Cz的共轭复数为1iA试验的样本空间中有 36 个基本事件B第一次投掷中，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于 3”是互斥事件C试验中两次骰子点数和为 7 的概率是16Bz2 2iDz在复平面内对应的点在第三象限10抛掷一枚质地均匀的骰

4、子两次，观察骰子两次出现的点数，下列说法正确的有D试验中两次骰子点数之和最可能出现的是 8 11在ABC中，ABc，BC a，CAb，下列命题为真命题的有A若|a|b|，则sin AsinBB若ab0，则ABC为锐角三角形C若ab0，则ABC为直角三角形D若(bca)(bac)0，则ABC为直角三角形12如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点P是棱CC1上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是A存在点P，使DP面AB1D1B二面角P-BB1-D的平面角大小为60CPB+PD1的最小值是533三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分 DP到平面AB1D1的距离最

5、大值是13已知圆锥的底面半径为 1，高为3，则该圆锥的侧面积是14高一某班举行党史知识竞赛，其中12 名学生的成绩分别是：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，则该小组 12 名学生成绩的 75%分位数是15已知在ABC中，AB=AC,BC=6，点H为ABC的垂心，则BHBC=16在三棱锥D-ABC中，点O是棱 AC 上的点.OC=2OA，OD=OB=OC=BC=6,DC=10,DB=8,则三棱锥D-ABC的体积是永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 2页（共 4 页）四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步

6、骤17（本题满分 10 分）在平面直角坐标系中，已知向量a=(1,1),b=(2,-1)（1）求|3a-b|；（2）若m=2a-b,n=ta+b，mn，求实数t的值18（本题满分12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在40,100内，将笔试成绩按照40,50),50,60),90,100分组，得到如图所示频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试 150 人，请估计参加面试的最低分

7、数线19（本题满分 12 分）如图，在棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，E为PD的中点，AB BC 11AD AP 1,BAD ABC 9022（1）证明：CE平面PAB；（2）求异面直线CE与PA所成的角的大小永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 3页（共 4 页）20（本题满分 12 分）某学校为举办庆祝建党 100 周年演讲比赛活动，需要 2 名同学担任主持人经过初选有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学进入了最后的主持人选拔（1）若这 5 名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分

8、成两组分别选拔若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率21（本题满分 12 分）如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC AB1（1）证明：AB B1C；（2）若AC AB1，CBB1 60，AB BC，求直线A1B1与平面ACB1所成的角22.（本题满分 12 分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，b+c且=3sinC+cosCa（1）求A；（2）若a=3，DABC的外心为O，求|OA+2OB+3OC|的最小值永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 4页（共 4 页）永州市

9、2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号答案1C2A3A4D5B6D7B8B二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分题号答案9BD10AC11ACD12AC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、2p14、9215、1816、12 11四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题

10、 8 分）解：（1）3a-b=3(1,1)-(2,-1)=(1,4)，2 分所以|3a-b|=12+42=17.5 分（2）m=2a-b=2(1,1)-(2,-1)=(0,3),n=ta+b=t(1,1)+(2,-1)=(t+2,t-1)，7 分 因为mn，所以mn=0(t+2)+3(t-1)=0，解得t=1.10 分18.解：（1）由题意有(0.005 0.010 a0.030 a0.015)10 12分解得a 0.0203 分（2）应聘者笔试成绩的众数为：70805 分752应聘者笔试成绩的平均数为：450.05550.1650.2750.3850.2950.15 74.5.7 分（3）由

11、直方图可知，90,100中有：2000.15 3070,80中有：2000.3 60设分数线定为x，则x60,7080,90中有2000.2 409 分60,70中有2000.2 40.10 分(70 x)0.02200 30 40 60 150.11 分解得x 65.12 分永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 1页（共 5 页）19.（本小题 12 分）解：（1）取PA的中点F，连接EF,FB因为E为PD的中点所以FEAD,FE=又BC 1AD2 分21AD,BAD ABC 90.2所以BCAD所以，BC/FE，所以四边形BCEF为平行四边形.4 分所以，CEBF又C

12、E 平面PAB，BF 平面PAB所以，CE平面PAB6 分（2）由已知，BA AD,平面PAD 平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD所以，BA平面PAD，PA平面PAD所以，BA PA,由（1），CEBF所以，异面直线CE与PA所成的角等于BF与PA所成的角即AFB（或其补角）为异面直线CE与PA所成的角在DBAF中，AB=AF=1，BAF=90，所以AFB=45所以，异面直线CE与PA所成的角是4520.（本小题满分 12 分）解：（1）可知从 5 人中选出 2 人的样本空间为W=甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，9 分12 分共 10 个基本事件，3 分4

13、分记事件A=“甲和乙都通过选拔”，则A=甲乙，由古典概型公式知P(A)=n(A)1=.n(W)105 分（2）记B=“男生甲通过选拔”，C=“女生丁通过选拔”，D=“男生甲和女生丁至少有一人通过选拔”.易知 B、C 是相互独立事件，又可知D=BC+BC+BC，11P(B)=,P(C)=由古典概型知,326 分8 分9 分所以P(D)=P(BC+BC+BC)=P(BC)+P(BC)+P(BC)11211142=+=.11 分32323263即男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是2.312 分永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 2页（共 5 页）21.（本小题满分 12

14、 分）解：（1）连结BC1，交CB1于点O,连结AO.因为四边形CBB1C1为菱形，所以BC1CB1,O是CB1的中点又因为AC=AB1所以AO CB13 分所以CB1面ABO，又AB 面ABO4 分所以AB B1C5分（2）因为ABA1B1，所以直线A1B1与面ACB1所成角等于直线AB与面ACB1所成角.6 分2 分因为AC AB1，所以AO=CO，7 分又因为AB BC，BO为公共边所以BOC BOA，所以COB=AOB=90，即AO BO，9 分所以BO 面ACB1,所以BAO是直线AB与面ACB1所成角.10 分因为CBB1 60所以BAO=BCO=60，所以直线AB与面ACB1所成

15、角等于60 所以直线A1B1与面ACB1所成角等于60.12 分22.（本小题满分 12 分）解：（1）化为b+c=3asinC+acosC，由正弦定理得，sinB+sinC=3sin AsinC+sin AcosC，又sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC，所以cosAsinC+sinC=3sin AsinC，2 分即1+cosA=3sin A，3 分AAA亦即2cos2=2 3sincos，4 分222A3AAp显然，cos0，所以，tan=，由于(0,)23222App所以，=A=.5 分263 a3OA=OB=OC=1，6 分（2）由正弦定理，=2=2R，则

16、sin Asin60p2p这说明，DABC的三个顶点均在单位圆上，且BC=3,A=,BOC=，固定BC,33（不包括端点）上，记=a,=b,如图则动点A在优弧BC 永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 3页（共 5 页）（不包括点C）上时,a=b+当点A在CD此时a2p,3p.34p4p上时,a+b=,即a=-b，当点A在DE33pp,p,b,p.此时a332p4p)=cos(-b)=cosa.以上两种情形，cos(b+33 2|OA+2OB+3OC|=1+4+9+12OBOC+4OAOB+6OAOC，7 分=8+4cosa+6cosb2p=8+4cos(+b)+6cos

17、b3=8+4cosb-2 3sinb0,=8+2 7(cosb27-sinb37)2p,p,b3=8+2 7cos(b+j)这里sinj=37,cosj=27.9 分此时，当cosb=-27,sinb=37时，|OA+2OB+3OC|取得最小值为8-2 7=7-1.10 分p2p2p（不包括点B）上时，a=b-0,b,p当点A在EB此时a333 2|OA+2OB+3OC|=1+4+9+12OBOC+4OAOB+6OAOC2p=8+4cosa+6cosb=8+4cos(-+b)+6cosb=8+4cosb+2 3sinb323=8+2 7(cosb+sinb)=8+2 7sin(b+q)，11

18、分77若sin(b+q)=-1，则cosb=-277 2所以|OA+2OB+3OC|8-2 7 综上，OA+2OB+3OC的最小值8-2 7=7-1.12 分解法二：（坐标化）,sinb=-3与b2p,p矛盾，3 a3=2=2R，则OA=OB=OC=1，sin Asin60这说明，DABC的三个顶点均在单位圆上，p2p且BC=3,A=,BOC=，33由正弦定理，6 分永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 4页（共 5 页）3131,-),C(,-),2222（不包括端点）上,建系如图，动点A在优弧BC固定BC,不妨设B(-设A(cosa,sina),a-p7p,，66 3

19、 33则OA+2OB+3OC=(cosa,sina)+(-3,-1)+(,-)22358 分=(cosa+,sina-)22 325所以|OA+2OB+3OC|2=(cosa+)+(sina-)2=8+3cosa-5sina2235=8+2 7(cosa-sina)=8+2 7cos(a+q)10 分2 72 7这里，cosq=显然sinq32 7,sinq=,q(0,)22 75pp pp5p3p=sin，则q(,)，那么a+q(,)3 2632335,sina=可见，当a+q=p时，即cosa=-时2 72 7 OA+2OB+3OC取得最小值8-2 7=7-1.12 分 313135说明：若设C(-,-),B(,-)时，则OA+2OB+3OC=(cosa-,sina-)222222 2325OA+2OB+3OC=(cosa-)+(sina-)2=8-3cosa-5sina2253=8-3cosa-5sina=8-2 7(sina+cosa)=8-2 7sin(a+j)2 72 7 53OA+2OB+3OC取得最小值8-2 7=7-1,cosa=此时，当sina=时，2 72 7建系不同，式子的表达式也不同，根据具体情况酌情给分永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 5页（共 5 页）