博弈论11级习题３.docx

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1、习题（11 级）l 博弈树的转化（1）将第 1 讲中的囚徒困境博弈用扩展式博弈树表示出来（2）将讲义中图 3 中的博弈 ANB 用决策顺序为 NAB 和 NBA 的博弈树表示出来。l 用策略式表示下图的扩展式博弈参与人 1w1参与人 2a29, 5b22/3x10, 35, 6N1/39, 0a2参与人 1y1 z1参与人 22, 6b20, 3l 考虑一个师生博弈出于职业道德和声誉的考虑，老师 一般会根据学生考试答题的情况给出公平的分数，如及格及不及格。但无论实际考得如何，学生都希望老师能给个好分数，至少及格，因为考试成绩关系到学生的利益，包括能不能顺利毕业及找到满意的工作。现假定有一个学生

2、平时没有好好学习，期末考试不及格，他去找老师希望老师能够让他及格。老师先行动，他的策略是判卷时给学生及格或不及格；学生后行动，他的策略是依据老师所给他的成绩来决定自己是欣然接受这一成绩还是要报复老师。所谓报复老师是指对老师采取一些人身或名誉伤害的行为。双方的收益情况是：如果老师违心给了学生及格，学生没有报复他，他的收益为-1，学生收益为 1；如果他违心给了学生及格，但学生还是报复了他，则他的收益为-10，此时学生也因为报复老师被学校处分，收益也为-10；如果老师给了学生不及格，学生报复，老师收益为-10，学生也为-10；如果老师给不及格，学生接受，老师收益为 1，学生为-1。（1） 画出该动态

3、博弈的博弈树（2） 写出学生和老师各自策略（3） 将该博弈树用静态博弈的策略式支付矩阵表述出来，求解纯策略纳什均衡。哪一（几）个均衡隐含着威胁？该威胁是可信的吗？找出该博弈的 SPNEl 下面的左图表示一个完全且完美信息博弈，右图表示一个完全但不完美信息博弈。试用逆向归纳法求两博弈的 SPNE11LRLR2222ABCDABCD1, 00, 1111, 00, 1E2, 2F3, 0E0, 3F1, 1E2, 2F3, 0E0, 3F1, 1l 设一四阶段两博弈方之间的动态博弈如下图所示。试找出全部子博弈，讨论该博弈中的可信性问题，求子博弈精炼纳什均衡策略组合和博弈的结果参与人 1ab参与人

4、2参与人 1cd(2, 4)(5, 3)ef参与人 2(4, 3)gh(8, 5)(3, 6)l 求下列支付矩阵表示的对称博弈的颤抖手均衡参与人 1参与人 2ABCA0， 00， 00， 0B0， 01， 12， 0C0， 00， 22， 2l1LR2(2,0)M1(0, 2)S(0, 1)T(1, 3)将该扩展式博弈用静态博弈的支付矩阵型表示出来，找出其中的纯策略纳什均衡，其中哪一个是 SPNE？证明该 SPNE 是一个颤抖手均衡l1LR2将该扩展式博弈表述用同(2,1)时博弈的支付矩阵型表述M出来，找出其中的纯策略纳(1, 2)S1T什均衡，其中哪一个是SPNE？证明该 SPNE 是一(1

5、, 1)2 个颤抖手均衡(0, 0)(3, 3)l 有两个参与人，A 和 B，他们轮流选择一个介于 2 和 10 之间的整数（可以重复）。A 先选。随着博弈的进行，不断将两人所选的数字合起来累加。当累计总和达到 100 的时候，博弈结束。这时候判所选数字恰好使累计总和达到 100 的参与人为胜者。请问：（1） 谁将赢得这场博弈？（2） 每个参与人的最优策略（完整的行动计划）是什么？l 两位投资者各自将D存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。本博弈的规则如下：在第一期，两位投资者同时决定是否收回资金。如果任何投资者收回资金，则项目被迫清算，项目收益为2r。此时抽取资金投资者收益为D，而未抽回

6、资金投资者收益为2rD；如果两位投资者都抽回资金，则投资者收益都为r；如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。第二期项目成熟且项目收益为2R。此时如果两投资者都抽回资金则收益为R；如果只有一位抽取资金，抽回资金投资者收益为2R-D，未抽回为D；如果两者都不抽回资金则收益为R，假定RDrD/2，求解子博弈精炼纳什均衡。l 考虑如下的双寡头市场策略性投资模型：企业1和企业2目前的单位生产成本都c2。企业可以引进一项新技术使单位生产成本降至c1，而该项技术需要的投资为f，企业2可以观察到企业1的投资决策，在企业1做出是否投资的决策之后，两个企业同时选择产量。在以上两阶段博弈中市场逆需求为p14-Q，问

7、f取什么值时，企业1将投资引进新技术？l 在三寡头的市场中，市场的逆需求函数 p = a Q ，Q 为三家产量之和。每家企业的不变边际成本为 c，固定成本为 0。如果企业 1 首先选择产量，企业 2 和企业 3 观察到企业 1 的产量后同时选择产量，问他们各自的产量是多少？l 在 Hotelling 价格竞争模型中，两个厂商的生产边际成本都是 c，交通成本参数为 t。博弈进行两期，在第一阶段两个厂商同时在线性城市上选择自己的位置；第二阶段在观察到两者位置后选择自己的价格。（1）如果交通成本为线性函数，证明以上博弈不存在纯策略精炼纳什均衡（2）如果交通成本为二次型函数（交通成本为 tx2），证明

8、以上博弈的精炼纳什均衡的结果是两个厂商位于城市两端l 考虑一个圆形城市模型pipi-1pi+1ppp消费者均匀地分布在周长为 1 的圆形城市上（可以想象该城市围绕着一个圆湖），人口密度为 1。消费者希望购买 1 单位商品，单位交通成本为 t（交通成本为线性函数 tx），消费1 单位商品的盈余为 ，消费者愿意以最小成本（假定该最小成本不超过 ）购买 1 单位商品。企业进入市场需要耗费固定成本 ，而提供 1 单位商品的边际成本为 c 。企业i 进入市场，其利润为(pic)Dif，（ Di 是i 的需求）；若不进入则利润为 0。博弈分两阶段进行。在第一阶段，潜在的相同企业同时选择是否进入市场。假定有

9、 n个相同企业进入市场，这些进入的企业不会选择地点，而是在圆形城市上自动地等距离相互间隔（如上图）。第二阶段，地点已固定的所有进入企业进行价格竞争。假定市场可以自由进出入（即存在着大量相同的企业），因此每个进入企业的均衡利润都为 0。（1）给定第一阶段已有 n 个相同企业进入市场，求解第二阶段进入市场企业的均衡定价（2）求解进入市场的企业的均衡数量和均衡市场价格（3）假定该圆形城市中的总企业数量将由一位最大化社会福利的计划者规定，社会福利定义为总消费者净盈余与总企业利润之和，那么，这位社会计划者所确定的进入市场的企业总数量是多少？比较该社会最优企业数量和（2）中自由进出入市场条件下的均衡数量的

10、大小并简要解释出现差异的原因l 考虑一个商店店主和店员之间的委托代理问题。R 是商店的利润，e 是店员的努力水平。由于利润不仅取决于店员的努力，还取决于市场情况，因此 R 是 e 的随机函数，假定=( ) = 4 + ，其中 是均值为零的随机扰动项。店员的负效用函数为 ( ) = 2，店员接受该工作机会的机会成本 = 1。假定店主无法监督店员的实际努力情况（即努力不可观测），因此只能根据利润水平支付店员的报酬。假定店主采用的报酬机制为=+ ( ) =+4 + ，其中 A，B 都是常数。店主的效用函数为利润减去支出的报酬，（风险中性的）店员的效用函数为所得报酬减去努力的负效用。问：符合店主期望效

11、用最大化的努力水平是多少？请求出能够实施该努力水平的最优报酬机制（即确定 A，B 的值）。l 某人正准备打一场官司，不请律师肯定要输掉这场官司，请律师官司的结果与律师的努力程度有关。假定当律师努力工作（100 个小时），官司就有 0.5 的概率能赢；而当律师不努力工作（10 小时），官司只有 0.15 的概率能赢。如果诉讼获胜可得到 250 万元赔偿，失败则没有任何赔偿。由于委托方无法监督律师工作，因此，双方签订付费标准：赢官司时律师可获得赔偿金的 10%，输官司时律师只能得到 2 万元固定律师费。设律师的效用函数为m 0.05e ，其中 m 是报酬，e 是工作小时数，且律师有机会成本 5 万元。（1） 使用扩展式表示（博弈树）描述这一动态博弈（2） 求此博弈的子博弈精炼纳什均衡