2021年高考真题及答案解析《数学》（上海市春季卷、夏季卷共2套）.pdf

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1、第 1 页 共 2 6 页机密 启用 前2 0 2 1 年上海市春季高考数学试卷一、填 空 题（本 大 题 共 1 2 题，满 分 5 4 分，第 1 6 题 每 题 4 分，第 7 1 2 题 每 题 5 分）1 已 知 等 差 数 列 na 的 首 项 为 3，公 差 为 2，则1 0a 2 已 知 1 3 z i，则|z i 3 已 知 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1，高 为 2，则 圆 柱 的 侧 面 积 为 4 不 等 式2 512xx的 解 集 为 5 直 线 2 x 与 直 线 3 1 0 x y 的 夹 角 为 6 若 方 程 组1 1 12 2 2a x b y ca x

2、 b y c 无 解，则1 12 2a ba b 7 已 知(1)nx 的 展 开 式 中，唯 有3x 的 系 数 最 大，则(1)nx 的 系 数 和 为 8 已 知 函 数()3(0)3 1xxaf x a 的 最 小 值 为 5，则 a 9 在 无 穷 等 比 数 列 na 中，1l i m()4nna a，则2a 的 取 值 范 围 是 1 0 某 人 某 天 需 要 运 动 总 时 长 大 于 等 于 6 0 分 钟，现 有 五 项 运 动 可 以 选 择，如 表 所 示，问 有几 种 运 动 方 式 组 合.A 运 动 B 运 动 C 运 动 D 运 动 E 运 动7 点 8 点

3、8 点 9 点 9 点 1 0 点 1 0 点 1 1 点 1 1 点 1 2 点3 0 分 钟 2 0 分 钟 4 0 分 钟 3 0 分 钟 3 0 分 钟1 1 已 知 椭 圆2221(0 1)yx bb 的 左、右 焦 点 为1F、2F，以 O 为 顶 点，2F 为 焦 点 作 抛 物线 交 椭 圆 于 P，且1 24 5 P F F，则 抛 物 线 的 准 线 方 程 是 1 2 已 知 0，存 在 实 数，使 得 对 任 意*n N，3c os()2n，则 的 最 小 值 是 二、选 择 题（本 大 题 共 4 题，每 题 5 分，共 2 0 分)1 3 下 列 函 数 中，在 定

4、 义 域 内 存 在 反 函 数 的 是()A 2()f x x B()s i n f x x C()2xf x D()1 f x 1 4 已 知 集 合|1 A x x，x R，2|2 0 B x x x，x R，则 下 列 关 系 中，正 确的 是()A A B B R RA B 痧 C A B D A B R 1 5 已 知 函 数()y f x 的 定 义 域 为 R，下 列 是()f x 无 最 大 值 的 充 分 条 件 是()A()f x 为 偶 函 数 且 关 于 点(1,1)对 称B()f x 为 偶 函 数 且 关 于 直 线 1 x 对 称C()f x 为 奇 函 数 且

5、 关 于 点(1,1)对 称D()f x 为 奇 函 数 且 关 于 直 线 1 x 对 称1 6 在 A B C 中，D 为 B C 中 点，E 为 A D 中 点，则 以 下 结 论：存 在 A B C，使 得 0 A B C E；存 在 三 角 形 A B C，使 得/()C E C B C A；它 们 的 成 立 情 况 是()A 成 立，成 立 B 成 立，不 成 立第 2 页 共 2 6 页C 不 成 立，成 立 D 不 成 立，不 成 立三、解 答 题（本 大 题 共 5 题，共 1 4+1 4+1 4+1 6+1 8 7 6 分）1 7（1 4 分）四 棱 锥 P A B C

6、D，底 面 为 正 方 形 A B C D，边 长 为 4，E 为 A B 中 点，P E 平面 A B C D（1）若 P A B 为 等 边 三 角 形，求 四 棱 锥 P A B C D 的 体 积；（2）若 C D 的 中 点 为 F，P F 与 平 面 A B C D 所 成 角 为 4 5，求 P C 与 A D 所 成 角 的 大 小 1 8（1 4 分）已 知 A、B、C 为 A B C 的 三 个 内 角，a、b、c 是 其 三 条 边，2 a，1c o s4C（1）若 s i n 2 s i n A B，求 b、c；（2）若4c o s()4 5A，求 c 1 9（1 4

7、分）（1）团 队 在 O 点 西 侧、东 侧 2 0 千 米 处 设 有 A、B 两 站 点，测 量 距 离 发 现 一点 P 满 足|20 P A P B 千 米，可 知 P 在 A、B 为 焦 点 的 双 曲 线 上，以 O 点 为 原 点，东 侧为 x 轴 正 半 轴，北 侧 为 y 轴 正 半 轴，建 立 平 面 直 角 坐 标 系，P 在 北 偏 东 6 0 处，求 双 曲 线 标准 方 程 和 P 点 坐 标（2）团 队 又 在 南 侧、北 侧 1 5 千 米 处 设 有 C、D 两 站 点，测 量 距 离 发 现|30 Q A Q B 千米，|10 Q C Q D 千 米，求|O

8、 Q（精 确 到 1 米）和 Q 点 位 置（精 确 到 1 米，1)2 0（1 6 分）已 知 函 数()|f x x a a x（1）若 1 a，求 函 数 的 定 义 域；（2）若 0 a，若()f ax a 有 2 个 不 同 实 数 根，求 a 的 取 值 范 围；（3）是 否 存 在 实 数 a，使 得 函 数()f x 在 定 义 域 内 具 有 单 调 性？若 存 在，求 出 a 的 取 值 范 围 2 1（1 8 分）已 知 数 列 na 满 足 0na，对 任 意 2 n，na 和1 na中 存 在 一 项 使 其 为 另 一 项 与1 na的 等 差 中 项（1）已 知1

9、5 a，23 a，42 a，求3a 的 所 有 可 能 取 值；（2）已 知1 4 70 a a a，2a、5a、8a 为 正 数，求 证：2a、5a、8a 成 等 比 数 列，并 求 出 公比 q；（3）已 知 数 列 中 恰 有 3 项 为 0，即 0r s ta a a，2 r s t，且11 a，22 a，求1 1 1 r s ta a a 的 最 大 值 第 3 页 共 2 6 页2 0 2 1 年上海市春季高考数学试卷参 考 答 案 与 试 题 解 析一、填 空 题（本 大 题 共 1 2 题，满 分 5 4 分，第 1 6 题 每 题 4 分，第 7 1 2 题 每 题 5 分）

10、1 已 知 等 差 数 列 na 的 首 项 为 3，公 差 为 2，则1 0a 2 1【思 路 分 析】由 已 知 结 合 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可 直 接 求 解【解 析】：因 为 等 差 数 列 na 的 首 项 为 3，公 差 为 2，则1 0 19 3 9 2 2 1 a a d 故 答 案 为：2 1【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 了 等 差 数 列 的 通 项 公 式，属 于 基 础 题 2 已 知 1 3 z i，则|z i 5【思 路 分 析】由 已 知 求 得 z i，再 由 复 数 模 的 计 算 公 式 求 解【解 析】：1 3 z i，1

11、3 1 2 z i i i i，则2 2|1 2|1 2 5 z i i 故 答 案 为：5【归 纳 总 结】本 题 考 查 复 数 的 加 减 运 算，考 查 复 数 的 基 本 概 念，考 查 复 数 模 的 求 法，是 基 础题 3 已 知 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1，高 为 2，则 圆 柱 的 侧 面 积 为 4【思 路 分 析】根 据 圆 柱 的 侧 面 积 公 式 计 算 即 可【解 析】：圆 柱 的 底 面 半 径 为 1 r，高 为 2 h，所 以 圆 柱 的 侧 面 积 为 2 2 1 2 4 S r h 侧 故 答 案 为：4【归 纳 总 结】本 题 考 查 了 圆

12、 柱 的 侧 面 积 公 式 应 用 问 题，是 基 础 题 4 不 等 式2 512xx的 解 集 为(7,2)【思 路 分 析】由 已 知 进 行 转 化702xx，进 行 可 求【解 析】：2 5 2 5 71 1 0 02 2 2x x xx x x，解 得，7 2 x 故 答 案 为：(7,2)【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 了 分 式 不 等 式 的 求 解，属 于 基 础 题 5 直 线 2 x 与 直 线 3 1 0 x y 的 夹 角 为6【思 路 分 析】先 求 出 直 线 的 斜 率，可 得 它 们 的 倾 斜 角，从 而 求 出 两 条 直 线 的 夹 角【解

13、 析】：直 线 2 x 的 斜 率 不 存 在，倾 斜 角 为2，直 线 3 1 0 x y 的 斜 率 为 3，倾 斜 角 为3，故 直 线 2 x 与 直 线 3 1 0 x y 的 夹 角 为2 3 6 故 答 案 为：6【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 直 线 的 斜 率 和 倾 斜 角，两 条 直 线 的 夹 角，属 于 基 础 题 6 若 方 程 组1 1 12 2 2a x b y ca x b y c 无 解，则1 12 2a ba b 0【思 路 分 析】利 用 二 元 一 次 方 程 组 的 解 的 行 列 式 表 示 进 行 分 析 即 可 得 到 答 案 第 4

14、 页 共 2 6 页【解 析】：对 于 方 程 组1 1 12 2 2a x b y ca x b y c，有1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2,x ya b c b a cD D Da b c b a c，当 0 D 时，方 程 组 的 解 为xyDxDDyD，根 据 题 意，方 程 组1 1 12 2 2a x b y ca x b y c 无 解，所 以 0 D，即1 12 20a bDa b，故 答 案 为：0【归 纳 总 结】本 题 考 查 的 是 二 元 一 次 方 程 组 的 解 行 列 式 表 示 法，这 种 方 法 可 以 使 得 方 程 组 的解 与 对 应 系

15、数 之 间 的 关 系 表 示 的 更 为 清 晰，解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 二 元 一 次 方 程 组 的 解 行 列式 表 示 法 中 对 应 的 公 式 7 已 知(1)nx 的 展 开 式 中，唯 有3x 的 系 数 最 大，则(1)nx 的 系 数 和 为 6 4【思 路 分 析】由 已 知 可 得 6 n，令 1 x，即 可 求 得 系 数 和【解 析】：由 题 意，3 2n nC C，且3 4n nC C，所 以 6 n，所 以 令 1 x，6(1)x 的 系 数 和 为62 6 4 故 答 案 为：6 4【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 二 项 式 定 理

16、 考 查 二 项 式 系 数 的 性 质，属 于 基 础 题 8 已 知 函 数()3(0)3 1xxaf x a 的 最 小 值 为 5，则 a 9【思 路 分 析】利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 需 要 满 足“一 正、二 定、三 相 等”，该 题 只 需 将 函 数 解析 式 变 形 成()3 1 13 1xxaf x，然 后 利 用 基 本 不 等 式 求 解 即 可，注 意 等 号 成 立 的 条 件【解 析】：()3 3 1 1 2 1 53 1 3 1x xx xa af x a，所 以 9 a，经 检 验，3 2x 时 等 号 成 立 故 答 案 为：9【归 纳 总 结

17、】本 题 主 要 考 查 了 基 本 不 等 式 的 应 用，以 及 整 体 的 思 想，解 题 的 关 键 是 构 造 积 为定 值，属 于 基 础 题 9 在 无 穷 等 比 数 列 na 中，1l i m()4nna a，则2a 的 取 值 范 围 是(4，0)(0，4)【思 路 分 析】由 无 穷 等 比 数 列 的 概 念 可 得 公 比 q 的 取 值 范 围，再 由 极 限 的 运 算 知14 a，从而 得 解【解 析】：无 穷 等 比 数 列 na，公 比(1 q，0)(0，1)，l i m 0nna，1 1l i m()4nna a a，2 14(4 a a q q，0)(0

18、，4)故 答 案 为：(4，0)(0，4)【归 纳 总 结】本 题 考 查 无 穷 等 比 数 列 的 概 念 与 性 质，极 限 的 运 算，考 查 学 生 的 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题 1 0 某 人 某 天 需 要 运 动 总 时 长 大 于 等 于 6 0 分 钟，现 有 五 项 运 动 可 以 选 择，如 表 所 示，问 有几 种 运 动 方 式 组 合 2 3 种.A 运 动 B 运 动 C 运 动 D 运 动 E 运 动7 点 8 点 8 点 9 点 9 点 1 0 点 1 0 点 1 1 点 1 1 点 1 2 点第 5 页 共 2 6 页3 0 分 钟 2

19、0 分 钟 4 0 分 钟 3 0 分 钟 3 0 分 钟【思 路 分 析】由 题 意 知 至 少 要 选 2 种 运 动，并 且 选 2 种 运 动 的 情 况 中，A B、D B、E B 的组 合 不 符 合 题 意，由 此 求 出 结 果【解 析】：由 题 意 知，至 少 要 选 2 种 运 动，并 且 选 2 种 运 动 的 情 况 中，A B、D B、E B 的 组合 不 符 合 题 意；所 以 满 足 条 件 的 运 动 组 合 方 式 为：2 3 4 55 5 5 53 1 0 1 0 5 1 3 2 3 C C C C（种)故 答 案 为：2 3 种【归 纳 总 结】本 题 考

20、 查 了 组 合 数 公 式 的 应 用 问 题，也 考 查 了 统 筹 问 题 的 思 想 应 用 问 题，是 基础 题 1 1 已 知 椭 圆2221(0 1)yx bb 的 左、右 焦 点 为1F、2F，以 O 为 顶 点，2F 为 焦 点 作 抛 物线 交 椭 圆 于 P，且1 24 5 P F F，则 抛 物 线 的 准 线 方 程 是 1 2 x【思 路 分 析】先 设 出 椭 圆 的 左 右 焦 点 坐 标，进 而 可 得 抛 物 线 的 方 程，设 出 直 线1P F 的 方 程 并与 抛 物 线 联 立，求 出 点 P 的 坐 标，由 此 可 得2 1 2P F F F，进

21、而 可 以 求 出1P F，2P F 的 长 度，再 由 椭 圆 的 定 义 即 可 求 解【解 析】：设1(,0)F c，2(,0)F c，则 抛 物 线24 y c x，直 线1:P F y x c，联 立 方 程 组24 y c xy x c，解 得 x c，2 y c，所 以 点 P 的 坐 标 为(,2)c c，所 以2 1 2P F F F，又2 2 1 12,2 2 P F F F c P F c 所 以所 以12 2 P F c，所 以1 2(2 2 2)2 2 P F P F c a，则 2 1 c，所 以 抛 物 线 的 准 线 方 程 为：1 2 x c，故 答 案 为：

22、1 2 x【归 纳 总 结】本 题 考 查 了 抛 物 线 的 定 义 以 及 椭 圆 的 定 义 和 性 质，考 查 了 学 生 的 运 算 推 理 能 力，属 于 中 档 题 1 2 已 知 0，存 在 实 数，使 得 对 任 意*n N，3c os()2n，则 的 最 小 值 是25【思 路 分 析】在 单 位 圆 中 分 析 可 得3，由2*N，即2k，*k N，即 可 求 得 的最 小 值【解 析】：在 单 位 圆 中 分 析，由 题 意 可 得 n 的 终 边 要 落 在 图 中 阴 影 部 分 区 域（其 中)6A O x B O x，所 以3A O B，因 为 对 任 意*n

23、N 都 成 立，所 以2*N，即2k，*k N，同 时3，所 以 的 最 小 值 为25第 6 页 共 2 6 页故 答 案 为：25【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 最 值，考 查 数 形 结 合 思 想，属 于 中 档 题 二、选 择 题（本 大 题 共 4 题，每 题 5 分，共 2 0 分)1 3 下 列 函 数 中，在 定 义 域 内 存 在 反 函 数 的 是()A 2()f x x B()s i n f x x C()2xf x D()1 f x【思 路 分 析】根 据 函 数 的 定 义 以 及 映 射 的 定 义 即 可 判 断 选 项 是 否 正

24、 确【解 析】：选 项 A：因 为 函 数 是 二 次 函 数，属 于 二 对 一 的 映 射，根 据 函 数 的 定 义 可 得 函 数 不 存 在 反 函 数，A 错 误，选 项 B：因 为 函 数 是 三 角 函 数，有 周 期 性 和 对 称 性，属 于 多 对 一 的 映 射，根 据 函 数 的 定 义 可 得 函 数 不 存 在 反 函 数，B 错 误，选 项 C：因 为 函 数 的 单 调 递 增 的 指 数 函 数，属 于 一 一 映 射，所 以 函 数 存 在 反 函 数，C 正 确，选 项 D：因 为 函 数 是 常 数 函 数，属 于 多 对 一 的 映 射，所 以 函

25、数 不 存 在 反 函 数，D 错 误，故 选：C【归 纳 总 结】本 题 考 查 了 函 数 的 定 义 以 及 映 射 的 定 义，考 查 了 学 生 对 函 数 以 及 映 射 概 念 的 理解，属 于 基 础 题 1 4 已 知 集 合|1 A x x，x R，2|2 0 B x x x，x R，则 下 列 关 系 中，正 确的 是()A A B B R RA B 痧 C A B D A B R【思 路 分 析】根 据 集 合 的 基 本 运 算 对 每 一 选 项 判 断 即 可【解 析】：已 知 集 合|1 A x x，x R，2|2 0 B x x x，x R，解 得|2 B x

26、 x 或 1 x，x R，|1RA x x，x R，|1 2 RB x x；则 A B R，|2 A B x x，故 选：D【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 集 合 的 基 本 运 算，比 较 基 础 第 7 页 共 2 6 页1 5 已 知 函 数()y f x 的 定 义 域 为 R，下 列 是()f x 无 最 大 值 的 充 分 条 件 是()A()f x 为 偶 函 数 且 关 于 点(1,1)对 称B()f x 为 偶 函 数 且 关 于 直 线 1 x 对 称C()f x 为 奇 函 数 且 关 于 点(1,1)对 称D()f x 为 奇 函 数 且 关 于 直 线 1

27、x 对 称【思 路 分 析】根 据 题 意，依 次 判 断 选 项：对 于 A B D，举 出 反 例 可 得 三 个 选 项 错 误，对 于 C，利 用 反 证 法 可 得 其 正 确【解 析】：根 据 题 意，依 次 判 断 选 项：对 于 A，()c o s 12xf x，()f x 为 偶 函 数，且 关 于 点(1,1)对 称，存 在 最 大 值，A 错 误，对 于 B，()c os()f x x，()f x 为 偶 函 数 且 关 于 直 线 1 x 对 称，存 在 最 大 值，B 错 误，对 于 C，假 设()f x 有 最 大 值，设 其 最 大 值 为 M，其 最 高 点 的

28、 坐 标 为(,)a M，()f x 为 奇 函 数，其 图 象 关 于 原 点 对 称，则()f x 的 图 象 存 在 最 低 点(,)a M，又 由()f x 的 图 象 关 于 点(1,1)对 称，则(,)a M 关 于 点(1,1)对 称 的 点 为(2,2)a M，与 最 大 值 为 M 相 矛 盾，则 此 时()f x 无 最 大 值，C 正 确，对 于 D，()s i n2xf x，()f x 为 奇 函 数 且 关 于 直 线 1 x 对 称，D 错 误，故 选：C【归 纳 总 结】本 题 考 查 了 充 分 条 件 和 反 证 法，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能

29、 力，属 于 基 础 题 1 6 在 A B C 中，D 为 B C 中 点，E 为 A D 中 点，则 以 下 结 论：存 在 A B C，使 得 0 A B C E；存 在 三 角 形 A B C，使 得/()C E C B C A；它 们 的 成 立 情 况 是()A 成 立，成 立 B 成 立，不 成 立C 不 成 立，成 立 D 不 成 立，不 成 立【思 路 分 析】设(2,2)A x y，(1,0)B，(1,0)C，(0,0)D，(,)E x y，由 向 量 数 量 的 坐 标 运 算 即可 判 断；F 为 A B 中 点，可 得()2 C B C A C F，由 D 为 B C

30、 中 点，可 得 C F 与 A D 的 交 点即 为 重 心 G，从 而 可 判 断【解 析】：不 妨 设(2,2)A x y，(1,0)B，(1,0)C，(0,0)D，(,)E x y，(1 2,2)A B x y，(1,)C E x y，若 0 A B C E，则2(1 2)(1)2 0 x x y，即2(1 2)(1)2 x x y，满 足 条 件 的(,)x y 存 在，例 如2(0,)2，满 足 上 式，所 以 成 立；F 为 A B 中 点，()2 C B C A C F，C F 与 A D 的 交 点 即 为 重 心 G，因 为 G 为 A D 的 三 等 分 点，E 为 A

31、D 中 点，所 以 C E 与 C G 不 共 线，即 不 成 立 故 选：B 第 8 页 共 2 6 页【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算，共 线 向 量 的 判 断，属 于 中 档 题 三、解 答 题（本 大 题 共 5 题，共 1 4+1 4+1 4+1 6+1 8 7 6 分）1 7（1 4 分）四 棱 锥 P A B C D，底 面 为 正 方 形 A B C D，边 长 为 4，E 为 A B 中 点，P E 平面 A B C D（1）若 P A B 为 等 边 三 角 形，求 四 棱 锥 P A B C D 的 体 积；（2）若 C

32、D 的 中 点 为 F，P F 与 平 面 A B C D 所 成 角 为 4 5，求 P C 与 A D 所 成 角 的 大 小【思 路 分 析】（1）由13A B C DV P E S 正 方 形，代 入 相 应 数 据，进 行 运 算，即 可；（2）由 P E 平 面 A B C D，知 4 5 P F E，进 而 有 4 P E F E，2 5 P B，由/A D B C，知 P C B 或 其 补 角 即 为 所 求，可 证 B C 平 面 P A B，从 而 有 B C P B，最 后 在 R t P B C 中，由 t a nP BP C BB C，得 解【解 析】：（1）P A

33、 B 为 等 边 三 角 形，且 E 为 A B 中 点，4 A B，2 3 P E，又 P E 平 面 A B C D，四 棱 锥 P A B C D 的 体 积23 2 3 1 12 3 43 3 3A B C DV P E S 正 方 形（2）P E 平 面 A B C D，P F E 为 P F 与 平 面 A B C D 所 成 角 为 4 5，即 4 5 P F E，P E F 为 等 腰 直 角 三 角 形，E，F 分 别 为 A B，C D 的 中 点，4 P E F E，2 22 5 P B P E B E，/A D B C，第 9 页 共 2 6 页P C B 或 其 补

34、角 即 为 P C 与 A D 所 成 角，P E 平 面 A B C D，P E B C，又 B C A B，P E A B E，P E、A B 平 面 P A B，B C 平 面 P A B，B C P B，在 R t P B C 中，2 5 5t a n4 2P BP C BB C，故 P C 与 A D 所 成 角 的 大 小 为5a r c t a n2【归 纳 总 结】本 题 考 查 棱 锥 的 体 积、线 面 角 和 异 面 直 线 夹 角 的 求 法，理 解 线 面 角 的 定 义，以及 利 用 平 移 法 找 到 异 面 直 线 所 成 角 是 解 题 的 关 键，考 查 学

35、 生 的 空 间 立 体 感、逻 辑 推 理 能 力 和运 算 能 力，属 于 基 础 题 1 8（1 4 分）已 知 A、B、C 为 A B C 的 三 个 内 角，a、b、c 是 其 三 条 边，2 a，1c o s4C（1）若 s i n 2 s i n A B，求 b、c；（2）若4c o s()4 5A，求 c【思 路 分 析】（1）由 已 知 利 用 正 弦 定 理 即 可 求 解 b 的 值；利 用 余 弦 定 理 即 可 求 解 c 的 值（2）根 据 已 知 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式，同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 可 求 得 c o s A，s i

36、 n A，s i n C的 值，进 而 根 据 正 弦 定 理 可 得 c 的 值【解 析】：（1）因 为 s i n 2 s i n A B，可 得 2 a b，又 2 a，可 得 1 b，由 于2 2 2 2 2 22 1 1c o s2 2 2 1 4a b c cCa b，可 得 6 c（2）因 为2 4c os()(c os s i n)4 2 5A A A，可 得4 2c os s i n5A A，又2 2c os s i n 1 A A，可 解 得7 2c os10A，2s i n1 0A，或7 2s i n1 0A，2c os10A，因 为1c o s4C，可 得15s i n

37、4C，t a n 1 5 C，若7 2s i n10A，2c os10A，可 得 t a n 7 A，可 得t a n t a n 7 15t a n t a n()0t a n t a n 1 7(15)1A CB A CA C，可 得 B 为 钝 角，这 与 C 为 钝 角 矛 盾，舍 去，所 以2s i n1 0A，由 正 弦 定 理2s i n s i ncA C，可 得5 3 02c【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 了 正 弦 定 理，余 弦 定 理，两 角 差 的 余 弦 公 式，同 角 三 角 函 数 基 本关 系 式 在 解 三 角 形 中 的 应 用，考 查 了 计

38、算 能 力 和 转 化 思 想，属 于 中 档 题 1 9（1 4 分）（1）团 队 在 O 点 西 侧、东 侧 2 0 千 米 处 设 有 A、B 两 站 点，测 量 距 离 发 现 一第 1 0 页 共 2 6 页点 P 满 足|20 P A P B 千 米，可 知 P 在 A、B 为 焦 点 的 双 曲 线 上，以 O 点 为 原 点，东 侧为 x 轴 正 半 轴，北 侧 为 y 轴 正 半 轴，建 立 平 面 直 角 坐 标 系，P 在 北 偏 东 6 0 处，求 双 曲 线 标准 方 程 和 P 点 坐 标（2）团 队 又 在 南 侧、北 侧 1 5 千 米 处 设 有 C、D 两

39、站 点，测 量 距 离 发 现|30 Q A Q B 千米，|10 Q C Q D 千 米，求|O Q（精 确 到 1 米）和 Q 点 位 置（精 确 到 1 米，1)【思 路 分 析】（1）求 出 a，c，b 的 值 即 可 求 得 双 曲 线 方 程，求 出 直 线 O P 的 方 程，与 双 曲线 方 程 联 立，即 可 求 得 P 点 坐 标；（2）分 别 求 出 以 A、B 为 焦 点，以 C，D 为 焦 点 的 双 曲 线 方 程，联 立 即 可 求 得 点 Q 的 坐 标，从 而 求 得|O Q，及 Q 点 位 置【解 析】：（1）由 题 意 可 得 1 0 a，2 0 c，所

40、以23 0 0 b，所 以 双 曲 线 的 标 准 方 程 为2 211 0 0 3 0 0 x y，直 线3:3O P y x，联 立 双 曲 线 方 程，可 得1 5 22x，5 62y，即 点 P 的 坐 标 为1 5 2(2，5 6)2（2）|30 Q A Q B，则 1 5 a，2 0 c，所 以2175 b，双 曲 线 方 程 为2 212 2 5 1 7 5x y；|10 Q C Q D，则 5 a，1 5 c，所 以22 0 0 b，所 以 双 曲 线 方 程 为2 212 5 2 0 0y x，两 双 曲 线 方 程 联 立，得1 4 4 0 0(4 7Q，2 9 7 5)4

41、 7，所 以|1 9 O Q 米，Q 点 位 置 北 偏 东 6 6【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 双 曲 线 方 程 在 实 际 中 的 应 用，属 于 中 档 题 2 0（1 6 分）已 知 函 数()|f x x a a x（1）若 1 a，求 函 数 的 定 义 域；（2）若 0 a，若()f ax a 有 2 个 不 同 实 数 根，求 a 的 取 值 范 围；（3）是 否 存 在 实 数 a，使 得 函 数()f x 在 定 义 域 内 具 有 单 调 性？若 存 在，求 出 a 的 取 值 范 围【思 路 分 析】（1）把 1 a 代 入 函 数 解 析 式，由 根 式

42、 内 部 的 代 数 式 大 于 等 于 0 求 解 绝 对 值 的不 等 式 得 答 案；（2）()|f ax a ax a a ax a，设 0 a x a t，得2a t t，0 t，求 得 等 式 右 边关 于 t 的 函 数 的 值 域 可 得 a 的 取 值 范 围；（3）分 x a 与 x a 两 类 变 形，结 合 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 使 得 函 数()f x 在 定 义 域 内 具有 单 调 性 的 a 的 范 围【解 析】：（1）当 1 a 时，()|1|1 f x x x，由|1|1 0 x，得|1|1 x，解 得 2 x 或 0 x 函 数 的 定

43、义 域 为(，2 0，)；（2）()|f ax ax a a ax，第 1 1 页 共 2 6 页()|f ax a ax a a ax a，设 0 a x a t，t a t 有 两 个 不 同 实 数 根，整 理 得2a t t，0 t，21 1()2 4a t，0 t，当 且 仅 当104a 时，方 程 有 2 个 不 同 实 数 根，又 0 a，a 的 取 值 范 围 是1(0,)4；（3）当 x a 时，21 1()|()2 4f x x a a x x x x，在14，)上 单 调 递减，此 时 需 要 满 足14a，即14a，函 数()f x 在 a，)上 递 减；当 x a 时

44、，()|2 f x x a a x x a x，在(，2 a 上 递 减，104a，2 0 a a，即 当14a 时，函 数()f x 在(,)a 上 递 减 综 上，当(a，14 时，函 数()f x 在 定 义 域 R 上 连 续，且 单 调 递 减【归 纳 总 结】本 题 考 查 函 数 定 义 域 的 求 法，考 查 函 数 零 点 与 方 程 根 的 关 系，考 查 函 数 单 调 性的 判 定 及 其 应 用，考 查 逻 辑 思 维 能 力 与 推 理 论 证 能 力，属 难 题 2 1（1 8 分）已 知 数 列 na 满 足 0na，对 任 意 2 n，na 和1 na中 存

45、在 一 项 使 其 为 另 一 项 与1 na的 等 差 中 项（1）已 知15 a，23 a，42 a，求3a 的 所 有 可 能 取 值；（2）已 知1 4 70 a a a，2a、5a、8a 为 正 数，求 证：2a、5a、8a 成 等 比 数 列，并 求 出 公比 q；（3）已 知 数 列 中 恰 有 3 项 为 0，即 0r s ta a a，2 r s t，且11 a，22 a，求1 1 1 r s ta a a 的 最 大 值【思 路 分 析】（1）根 据na 和1 na中 存 在 一 项 使 其 为 另 一 项 与1 na的 等 差 中 项 建 立 等 式，然 后将1a，2a，

46、4a 的 值 代 入 即 可；（2）根 据 递 推 关 系 求 出5a、8a，然 后 根 据 等 比 数 列 的 定 义 进 行 判 定 即 可；（3）分 别 求 出1 ra，1 sa，1 ta的 通 项 公 式，从 而 可 求 出 各 自 的 最 大 值，从 而 可 求 出 所 求【解 析】：（1）由 题 意，1 12n n na a a 或1 12n n na a a，2 3 12 a a a 解 得31 a，3 2 12 a a a 解 得34 a，经 检 验，31 a，（2）证 明：1 4 70 a a a，3 22 a a，或232aa，经 检 验，232aa；3 252 4a aa

47、，或25 12aa a（舍)，254aa；5 262 8a aa，或26 54aa a（舍)，268aa；6 282 1 6a aa，或28 68aa a（舍)，281 6aa；综 上，2a、5a、8a 成 等 比 数 列，公 比 为14；（3）由1 12n n na a a 或1 12n n na a a，可 知2 111n nn na aa a 或2 1112n nn na aa a，第 1 2 页 共 2 6 页由 第（2）问 可 知，0ra，则2 12r ra a，即1 2 1 r r ra a a，0ra，则31 1 1 2 2 11 1 1 1 1 1()()1()(),*2 2

48、2 2 2 2i r i ir r r ra a a a a a i N，11()4r m a xa，同 理，2*1 11 1 1 1 1()1()(),2 2 2 2 4j s r j js r ra a a j N，11()1 6s m a xa，同 理，11()6 4t m a xa，1 1 1 r s ta a a 的 最 大 值2 16 4【归 纳 总 结】本 题 主 要 考 查 了 数 列 的 综 合 应 用，等 比 数 列 的 判 定 以 及 通 项 公 式 的 求 解，同 时考 查 了 学 生 计 算 能 力，属 于 难 题 第 1 3 页 共 2 6 页机密 启用 前2 0

49、2 1 年上海市夏季高考数学试卷一、填 空 题（本 大 题 共 1 2 题，满 分 5 4 分，第 1 6 题 每 题 4 分，第 7 1 2 题 每 题 5 分）1、已 知1 21 i,2 3 i z z（其 中 i 为 虚 数 单 位），则1 2z z 2、已 知 2 1,1,0,1,A x x B 则 I A B 3、若2 22 4 0 x y x y,则 圆 心 坐 标 为4、如 图 边 长 为 3 的 正 方 形,A B C D 则u u u r u u u rA B A C 5、已 知3()2,f xx 则1(1)f6.已 知 二 项 式 5x a 的 展 开 式 中，2x 的 系

50、 数 为 8 0，则 a _ _ _ _ _ _ _ _ 7、已 知 0 8 30 2 23y xy xx,目 标 函 数 y x z，则z的 最 大 值 为8、已 知 无 穷 递 缩 等 比 数 列1 23,n na b a na 的 各 项 和 为 9,则 数 列 nb 的 各 项 和 为9、在 圆 柱 底 面 半 径 为 1,高 为 2,A B 为 上 底 底 面 的 直 径,点 C 是 下 底 底 面 圆 弧 上 的 一 个 动 点，点 C 绕 着 下 底 底 面 旋 转 一 周，则 A B C 面 积 的 范 围1 0.甲、乙 两 人 在 花 博 会 的 A、B、C、D 不 同 展