2021年高考真题及答案解析《数学》（新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷共2套）.pdf

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1、第 1 页 共 4 9 页机密 启用 前2 0 2 1 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（新 高 考 I 卷）数 学(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试 卷共 4 页，22 小题，满 分 150 分.考试 用时 120 分钟.注意 事项：1.答卷 前，考生 务必 将自己 的姓 名 考生 号 考场 号和 座位号 填写 在答题 卡上.用 2B 铅笔 将试 卷类型(A)填涂 在答 题卡相 应位 置上.将条 形码 横贴在 答题 卡右上 角“条形 码粘 贴处”.2.作答 选择 题时，选出 每小 题答案 后，用 2B 铅笔 在答 题卡上 对应 题目选 项的答

2、 案信 息点涂 黑：如需 改动，用橡 皮擦 干净后，再选 涂其 他答案.答案 不能 答在试 卷上.3.非选 择题 必须用 黑色 字迹的 钢笔或 签字 笔作答，答案 必须 写在答 题卡 各题目 指定区 域内 相应位置 上；如需改 动，先划掉 原来的 答案，然后 再写 上新答 案；不准使 用铅笔 和涂 改液.不按 以上要 求作 答无效.4.考生 必须 保持答 题卡 的整洁.考试 结束 后，将 试卷 和答题 卡一并 交回.一 选择 题：本题共 8 小题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项 是符合 题目 要求的.1.设 集 合 2 4 A x x，2,3,4,

3、5 B，则 A B（）A.2B.2,3C.3,4D.2,3,42.已 知2 i z，则 i z z（）A.6 2 i B.4 2 i C.6 2 i D.4 2 i 3.已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为2，其 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆，则 该 圆 锥 的 母 线 长 为（）A.2 B.2 2C.4 D.4 24.下 列 区 间 中，函 数 7 s i n6f x x 单 调 递 增 的 区 间 是（）A.0,2 B.,2 C.3,2 D.3,22 5.已 知1F，2F 是 椭 圆 C：2 219 4x y 的 两 个 焦 点，点 M 在 C 上，则1 2M F M F 的

4、最 大 值 为（）第 2 页 共 4 9 页A.1 3 B.1 2 C.9 D.66.若 t a n 2，则 s i n 1 s i n 2s i n c o s（）A.65 B.25 C.25D.657.若 过 点,a b 可 以 作 曲 线 exy 的 两 条 切 线，则（）A.eba B.eab C.0 eba D.0 eab 8.有 6 个 相 同 的 球，分 别 标 有 数 字 1，2，3，4，5，6，从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次，每 次 取 1 个 球，甲 表 示事 件“第 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1”，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球

5、的 数 字 是 2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的数 字 之 和 是 8”，丁 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 7”，则（）A.甲 与 丙 相 互 独 立 B.甲 与 丁 相 互 独 立C.乙 与 丙 相 互 独 立 D.丙 与 丁 相 互 独 立二 选择 题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 给出的 选项 中，有 多项符 合题 目要求.全部 选对 的得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有选 错的得 0 分.9.有 一 组 样 本 数 据1x，2x，nx，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据1y，2y，n

6、y，其 中i iy x c(1,2,),i n c 为 非 零 常 数，则（）A.两 组 样 本 数 据 的 样 本 平 均 数 相 同B.两 组 样 本 数 据 的 样 本 中 位 数 相 同C.两 组 样 本 数 据 的 样 本 标 准 差 相 同D.两 组 样 数 据 的 样 本 极 差 相 同1 0.已 知 O 为 坐 标 原 点，点 1c o s,s i n P，2c o s,s i n P，3c o s,s i n P，()1,0 A，则（）A.1 2O P O P B.1 2A P A P C.31 2O A O P O P O P D.1 2 3O A O P O P O P

7、1 1.已 知 点 P 在 圆 2 25 5 1 6 x y 上，点 4,0 A、0,2 B，则（）A.点 P 到 直 线 A B 的 距 离 小 于 10第 3 页 共 4 9 页B.点 P 到 直 线 A B 的 距 离 大 于 2C.当 P B A 最 小 时，3 2 P B D.当 P B A 最 大 时，3 2 P B 1 2.在 正 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中，11 A B A A，点 P 满 足1B P B C B B，其 中 0,1，0,1，则（）A.当 1 时，1A B P 的 周 长 为 定 值B.当 1 时，三 棱 锥1P A B C 的 体 积 为

8、定 值C.当12 时，有 且 仅 有 一 个 点 P，使 得1A P B P D.当12 时，有 且 仅 有 一 个 点 P，使 得1A B 平 面1A B P三 填空 题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.已 知 函 数 32 2x xx a f x 是 偶 函 数，则a _ _ _ _ _ _.1 4.已 知 O 为 坐 标 原 点，抛 物 线 C：22 y px(0 p)的 焦 点 为 F，P 为 C 上 一 点，P F 与x轴 垂 直，Q为x轴 上 一 点，且 P Q O P，若 6 F Q，则 C 的 准 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _.1 5.函 数

9、 2 1 2 l n f x x x 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _.1 6.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时，发 现 剪 纸 时 经 常 会 沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折，规 格 为 2 0 d m 1 2 d m 的 长 方 形 纸，对 折 1 次 共 可 以 得 到 1 0 d m 1 2 d m，2 0 d m 6 d m 两 种 规 格 的 图 形，它 们 的 面 积 之 和212 4 0 d m S，对 折 2 次 共 可 以 得 到 5 d m 1 2 d m，1 0 d m 6 d m，2 0 d m 3 d m 三 种 规

10、格 的 图 形，它 们 的面 积 之 和221 8 0 d m S，以 此 类 推，则 对 折 4 次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为 _ _ _ _ _ _；如 果 对 折n次，那 么1nkkS_ _ _ _ _ _2d m.四 解答 题：本题共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文字 说明 证明 过程 或演算 步骤.1 7.已 知 数 列 na 满 足11 a，11,2,.nnna naa n 为 奇 数为 偶 数（1）记2 n nb a，写 出1b，2b，并 求 数 列 nb 的 通 项 公 式；（2）求 na 的 前 2 0 项 和.第 4 页 共 4

11、9 页1 8.某 学 校 组 织“一 带 一 路”知 识 竞 赛，有 A，B 两 类 问 题，每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选 择 一 类 并从 中 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束：若 回 答 正 确 则 从 另 一 类 问 题 中 再 随 机 抽 取 一个 问 题 回 答，无 论 回 答 正 确 与 否，该 同 学 比 赛 结 束.A 类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 2 0 分，否 则 得 0 分：B 类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 8 0 分，否 则

12、 得 0 分，己 知 小 明 能 正 确 回 答 A 类 问 题 的 概 率 为 0.8，能 正确 回 答 B 类 问 题 的 概 率 为 0.6，且 能 正 确 回 答 问 题 的 概 率 与 回 答 次 序 无 关.（1）若 小 明 先 回 答 A 类 问 题，记 X 为 小 明 的 累 计 得 分，求 X 的 分 布 列；（2）为 使 累 计 得 分 的 期 望 最 大，小 明 应 选 择 先 回 答 哪 类 问 题？并 说 明 理 由.1 9.记 A B C 是 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为a，b，c.已 知2b a c，点 D 在 边 A C 上，s i n s i n

13、 B D A B C a C.（1）证 明：B D b；（2）若 2 A D D C，求 c o s A B C.2 0.如 图，在 三 棱 锥 A B C D 中，平 面 A B D 平 面 B C D，A B A D，O 为 B D 的 中 点.（1）证 明：O A C D；（2）若 O C D 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形，点 E 在 棱 A D 上，2 D E E A，且 二 面 角 E B C D 的 大 小 为45，求 三 棱 锥 A B C D 的 体 积.2 1.在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 点 11 7,0 F、2 1 217,0 2

14、F M F M F，点 M 的 轨 迹 为 C.（1）求 C 的 方 程；（2）设 点 T 在 直 线12x 上，过 T的 两 条 直 线 分 别 交 C 于 A、B 两 点 和 P，Q 两 点，且 T A T B T P T Q，求 直 线 A B 的 斜 率 与 直 线 P Q 的 斜 率 之 和.2 2.已 知 函 数 1 l n f x x x.第 5 页 共 4 9 页（1）讨 论 f x 的 单 调 性；（2）设a，b 为 两 个 不 相 等 的 正 数，且 l n l n b a a b a b，证 明：1 12 ea b.第 6 页 共 4 9 页机密 启用 前2 0 2 1

15、年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（新 高 考 I 卷）数 学（答 案 解 析）(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试 卷共 4 页，22 小题，满 分 150 分.考试 用时 120 分钟.注意 事项：1.答卷 前，考生 务必 将自己 的姓 名 考生 号 考场 号和 座位号 填写 在答题 卡上.用 2B 铅笔 将试 卷类型(A)填涂 在答 题卡相 应位 置上.将条 形码 横贴在 答题 卡右上 角“条形 码粘 贴处”.2.作答 选择 题时，选出 每小 题答案 后，用 2B 铅笔 在答 题卡上 对应 题目选 项的答 案信 息点涂 黑：如需 改动，用橡

16、皮擦 干净后，再选 涂其 他答案.答案 不能 答在试 卷上.3.非选 择题 必须用 黑色 字迹的 钢笔或 签字 笔作答，答案 必须 写在答 题卡 各题目 指定区 域内 相应位置 上；如需改 动，先划掉 原来的 答案，然后 再写 上新答 案；不准使 用铅笔 和涂 改液.不按 以上要 求作 答无效.4.考生 必须 保持答 题卡 的整洁.考试 结束 后，将 试卷 和答题 卡一并 交回.一 选择 题：本题共 8 小题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项 是符合 题目 要求的.1.设 集 合 2 4 A x x，2,3,4,5 B，则 A B（）A.2B.2,3

17、C.3,4D.2,3,4【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 交 集 的 定 义 可 求 A B.【详 解】由 题 设 有 2,3 A B，故 选：B.2.已 知2 i z，则 i z z（）A.6 2 i B.4 2 i C.6 2 i D.4 2 i【答 案】C【解 析】【分 析】利 用 复 数 的 乘 法 和 共 轭 复 数 的 定 义 可 求 得 结 果.第 7 页 共 4 9 页【详 解】因 为 2 z i，故2 z i，故 2 2 2 6 2 z z i i i i 故 选：C.3.已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为2，其 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆，则 该 圆

18、锥 的 母 线 长 为（）A.2 B.2 2C.4 D.4 2【答 案】B【解 析】【分 析】设 圆 锥 的 母 线 长 为 l，根 据 圆 锥 底 面 圆 的 周 长 等 于 扇 形 的 弧 长 可 求 得 l 的 值，即 为 所 求.【详 解】设 圆 锥 的 母 线 长 为 l，由 于 圆 锥 底 面 圆 的 周 长 等 于 扇 形 的 弧 长，则2 2 l，解 得2 2 l.故 选：B.4.下 列 区 间 中，函 数 7 s i n6f x x 单 调 递 增 的 区 间 是（）A.0,2 B.,2 C.3,2 D.3,22【答 案】A【解 析】【分 析】解 不 等 式 2 22 6 2

19、k x k k Z，利 用 赋 值 法 可 得 出 结 论.【详 解】因 为 函 数 s i n y x 的 单 调 递 增 区 间 为 22,22k k k Z，对 于 函 数 7 s i n6f x x，由 2 22 6 2k x k k Z，解 得 22 23 3k x k k Z，取 0 k，可 得 函 数 f x 的 一 个 单 调 递 增 区 间 为2,3 3，则20,2 3 3，2,2 3 3，A 选 项 满 足 条 件，B 不 满 足 条 件；取 1 k，可 得 函 数 f x 的 一 个 单 调 递 增 区 间 为5 8,3 3，第 8 页 共 4 9 页3 2,2 3 3

20、且3 5 8,2 3 3，3 5 8,2,2 3 3，C D 选 项 均 不 满 足 条 件.故 选：A.【点 睛】方 法 点 睛：求 较 为 复 杂 的 三 角 函 数 的 单 调 区 间 时，首 先 化 简 成 s i n y A x 形 式，再 求 s i n y A x 的 单 调 区 间，只 需 把x 看 作 一 个 整 体 代 入 s i n y x 的 相 应 单 调 区 间 内 即 可，注 意要 先 把化 为 正 数 5.已 知1F，2F 是 椭 圆 C：2 219 4x y 的 两 个 焦 点，点 M 在 C 上，则1 2M F M F 的 最 大 值 为（）A.1 3 B.

21、1 2 C.9 D.6【答 案】C【解 析】【分 析】本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到1 22 6 M F M F a，借 助 基 本 不 等 式21 21 22M F M FM F M F 即 可 得 到 答 案【详 解】由 题，2 29,4 a b，则1 22 6 M F M F a，所 以21 21 292M F M FM F M F（当 且 仅 当1 23 M F M F 时，等 号 成 立）故 选：C【点 睛】本 题 关 键 在 于 正 确 理 解 能 够 想 到 求 最 值 的 方 法，即 通 过 基 本 不 等 式 放 缩 得 到 6.若 t a n 2，则 s i

22、 n 1 s i n 2s i n c o s（）A.65 B.25 C.25D.65【答 案】C【解 析】【分 析】将 式 子 进 行 齐 次 化 处 理，代 入 t a n 2 即 可 得 到 结 果【详 解】将 式 子 进 行 齐 次 化 处 理 得：2 2s i n s i n c o s 2 s i n c o ss i n 1 s i n 2s i n s i n c o ss i n c o s s i n c o s 第 9 页 共 4 9 页 22 2 2s i n s i n c o st a n t a n 4 2 2s i n c o s 1 t a n 1 4 5 故

23、 选：C【点 睛】易 错 点 睛：本 题 如 果 利 用 t a n 2，求 出 s i n,c o s 的 值，可 能 还 需 要 分 象 限 讨 论 其 正 负，通过 齐 次 化 处 理，可 以 避 开 了 这 一 讨 论 7.若 过 点,a b 可 以 作 曲 线 exy 的 两 条 切 线，则（）A.eba B.eab C.0 eba D.0 eab【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 导 数 几 何 意 义 求 得 切 线 方 程，再 构 造 函 数，利 用 导 数 研 究 函 数 图 象，结 合 图 形 确 定 结 果【详 解】在 曲 线xy e 上 任 取 一 点,tP t e

24、，对 函 数xy e 求 导 得 exy，所 以，曲 线xy e 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 t ty e e x t，即 1t ty e x t e，由 题 意 可 知，点,a b 在 直 线 1t ty e x t e 上，可 得 1 1t t tb a e t e a t e，令 1tf t a t e，则 tf t a t e.当 t a 时，0 f t，此 时 函 数 f t 单 调 递 增，当 t a 时，0 f t，此 时 函 数 f t 单 调 递 减，所 以，m a xaf t f a e，由 题 意 可 知，直 线 y b 与 曲 线 y f t 的 图 象 有

25、 两 个 交 点，则 m a xab f t e，当 1 t a 时，0 f t，当 1 t a 时，0 f t，作 出 函 数 f t 的 图 象 如 下 图 所 示：第 1 0 页 共 4 9 页由 图 可 知，当0ab e 时，直 线 y b 与 曲 线 y f t 的 图 象 有 两 个 交 点.故 选：D.【点 睛】数 形 结 合 是 解 决 数 学 问 题 常 用 且 有 效 的 方 法8.有 6 个 相 同 的 球，分 别 标 有 数 字 1，2，3，4，5，6，从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次，每 次 取 1 个 球，甲 表 示事 件“第 一 次 取 出 的 球 的

26、数 字 是 1”，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是 2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的数 字 之 和 是 8”，丁 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 7”，则（）A.甲 与 丙 相 互 独 立 B.甲 与 丁 相 互 独 立C.乙 与 丙 相 互 独 立 D.丙 与 丁 相 互 独 立【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 独 立 事 件 概 率 关 系 逐 一 判 断【详 解】1 1 5 6 1()()()()6 6 3 6 3 6 6P P P P 甲，乙，丙，丁，1()0()()()()()3 6P P P P

27、 P P 甲 丙 甲 丙，甲 丁 甲 丁，1()()()()0()()3 6P P P P P P 乙 丙 乙 丙，丙 丁 丁 丙，故 选：B【点 睛】判 断 事 件,A B 是 否 独 立，先 计 算 对 应 概 率，再 判 断()()()P A P B P A B 是 否 成 立第 1 1 页 共 4 9 页二 选择 题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 给出的 选项 中，有 多项符 合题 目要求.全部 选对 的得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有选 错的得 0 分.9.有 一 组 样 本 数 据1x，2x，nx，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数

28、据1y，2y，ny，其 中i iy x c(1,2,),i n c 为 非 零 常 数，则（）A.两 组 样 本 数 据 的 样 本 平 均 数 相 同B.两 组 样 本 数 据 的 样 本 中 位 数 相 同C.两 组 样 本 数 据 的 样 本 标 准 差 相 同D.两 组 样 数 据 的 样 本 极 差 相 同【答 案】C D【解 析】【分 析】A、C 利 用 两 组 数 据 的 线 性 关 系 有()()E y E x c、()()D y D x，即 可 判 断 正 误；根 据 中 位 数、极 差 的 定 义，结 合 已 知 线 性 关 系 可 判 断 B、D 的 正 误.【详 解】A

29、：()()()E y E x c E x c 且 0 c，故 平 均 数 不 相 同，错 误；B：若 第 一 组 中 位 数 为ix，则 第 二 组 的 中 位 数 为i iy x c，显 然 不 相 同，错 误；C：()()()()D y D x D c D x，故 方 差 相 同，正 确；D：由 极 差 的 定 义 知：若 第 一 组 的 极 差 为m a x m i nx x，则 第 二 组 的 极 差 为m a x m i n m a x m i n m a x m i n()()y y x c x c x x，故 极 差 相 同，正 确；故 选：C D1 0.已 知 O 为 坐 标

30、原 点，点 1c o s,s i n P，2c o s,s i n P，3c o s,s i n P，()1,0 A，则（）A.1 2O P O P B.1 2A P A P C.31 2O A O P O P O P D.1 2 3O A O P O P O P【答 案】A C【解 析】【分 析】A、B 写 出1O P，2O P、1A Pu u u r，2A Pu u u r的 坐 标，利 用 坐 标 公 式 求 模，即 可 判 断 正 误；C、D 根 据 向 量的 坐 标，应 用 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 及 两 角 和 差 公 式 化 简，即 可 判 断 正 误.第 1 2

31、 页 共 4 9 页【详 解】A：1(c o s,s i n)O P，2(c o s,s i n)O P，所 以2 21|c o s s i n 1 O P，2 22|(c o s)(s i n)1 O P，故1 2|O P O P，正 确；B：1(c o s 1,s i n)A P，2(c o s 1,s i n)A P，所 以2 2 2 2 21|(c o s 1)s i n c o s 2 c o s 1 s i n 2(1 c o s)4 s i n 2|s i n|2 2A P，同 理2 22|(c os 1)s i n 2|s i n|2A P，故1 2|,|A P A P 不 一

32、 定 相 等，错 误；C：由 题 意 得：31 c o s()0 s i n()c o s()O A O P，1 2c o s c o s s i n(s i n)c o s()O P O P，正 确；D：由 题 意 得：11 c o s 0 s i n c o s O A O P，2 3c o s c o s()(s i n)s i n()O P O P 2 2c os c os s i n s i n c os s i n s i n c os c os s i n c o s c o s 2 s i n s i n 2 c o s(2)，错 误；故 选：A C1 1.已 知 点 P 在

33、圆 2 25 5 1 6 x y 上，点 4,0 A、0,2 B，则（）A.点 P 到 直 线 A B 的 距 离 小 于 10B.点 P 到 直 线 A B 的 距 离 大 于 2C.当 P B A 最 小 时，3 2 P B D.当 P B A 最 大 时，3 2 P B【答 案】A C D【解 析】【分 析】计 算 出 圆 心 到 直 线 A B 的 距 离，可 得 出 点 P 到 直 线 A B 的 距 离 的 取 值 范 围，可 判 断 A B 选 项 的 正 误；分 析 可 知，当 P B A 最 大 或 最 小 时，P B 与 圆 M 相 切，利 用 勾 股 定 理 可 判 断

34、C D 选 项 的 正 误.【详 解】圆 2 25 5 1 6 x y 的 圆 心 为 5,5 M，半 径 为 4，直 线 A B 的 方 程 为 14 2x y，即 2 4 0 x y，第 1 3 页 共 4 9 页圆 心 M 到 直 线 A B 的 距 离 为2 25 2 5 41 1 1 1 545 51 2，所 以，点 P 到 直 线 A B 的 距 离 的 最 小 值 为11 54 25，最 大 值 为1 1 54 1 05，A 选 项 正 确，B 选 项 错误；如 下 图 所 示：当 P B A 最 大 或 最 小 时，P B 与 圆 M 相 切，连 接 M P、B M，可 知 P

35、 M P B，2 20 5 2 5 34 B M，4 M P，由 勾 股 定 理 可 得2 23 2 B P B M M P，C D 选 项正 确.故 选：A C D.【点 睛】结 论 点 睛：若 直 线 l 与 半 径 为 r 的 圆 C 相 离，圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 为 d，则 圆 C 上 一 点 P 到 直 线l 的 距 离 的 取 值 范 围 是,d r d r.1 2.在 正 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中，11 A B A A，点 P 满 足1B P B C B B，其 中 0,1，0,1，则（）A.当 1 时，1A B P 的 周 长 为 定 值

36、B.当 1 时，三 棱 锥1P A B C 的 体 积 为 定 值C.当12 时，有 且 仅 有 一 个 点 P，使 得1A P B P D.当12 时，有 且 仅 有 一 个 点 P，使 得1A B 平 面1A B P【答 案】B D【解 析】第 1 4 页 共 4 9 页【分 析】对 于 A，由 于 等 价 向 量 关 系，联 系 到 一 个 三 角 形 内，进 而 确 定 点 的 坐 标；对 于 B，将 P 点 的 运 动 轨 迹 考 虑 到 一 个 三 角 形 内，确 定 路 线，进 而 考 虑 体 积 是 否 为 定 值；对 于 C，考 虑 借 助 向 量 的 平 移 将 P 点 轨

37、 迹 确 定，进 而 考 虑 建 立 合 适 的 直 角 坐 标 系 来 求 解 P 点 的 个 数；对 于 D，考 虑 借 助 向 量 的 平 移 将 P 点 轨 迹 确 定，进 而 考 虑 建 立 合 适 的 直 角 坐 标 系 来 求 解 P 点 的 个 数【详 解】易 知，点 P 在 矩 形1 1B C C B 内 部（含 边 界）对 于 A，当 1 时，1 1=B P B C B B B C C C，即 此 时 P 线 段1C C，1A B P 周 长 不 是 定 值，故 A错 误；对 于 B，当 1 时，1 1 1 1=B P B C B B B B B C，故 此 时 P 点 轨

38、 迹 为 线 段1 1B C，而1 1/B C B C，1 1/B C平 面1A B C，则 有 P 到 平 面1A B C 的 距 离 为 定 值，所 以 其 体 积 为 定 值，故 B 正 确 对 于 C，当12 时，112B P B C B B，取 B C，1 1B C 中 点 分 别 为 Q，H，则B P B Q Q H，所以 P 点 轨 迹 为 线 段 Q H，不 妨 建 系 解 决，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图，13,0,12A，0,0 P,，10,02B，则13,0,12A P，10,2B P，1 0，所 以 0 或 1 故,H Q 均 满 足，故C 错 误；对 于

39、 D，当12 时，112B P B C B B，取1B B，1C C 中 点 为,M N B P B M M N，所 以 P 点轨 迹 为 线 段 M N 设010,2P y，因 为30,02A，所 以03 1,2 2A P y，13 1,12 2A B，第 1 5 页 共 4 9 页所 以0 03 1 1 104 2 2 2y y，此 时 P 与 N 重 合，故 D 正 确 故 选：B D【点 睛】本 题 主 要 考 查 向 量 的 等 价 替 换，关 键 之 处 在 于 所 求 点 的 坐 标 放 在 三 角 形 内 三 填空 题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.

40、已 知 函 数 32 2x xx a f x 是 偶 函 数，则a _ _ _ _ _ _.【答 案】1【解 析】【分 析】利 用 偶 函 数 的 定 义 可 求 参 数a的 值.【详 解】因 为 32 2x xx a f x，故 32 2x xf x x a，因 为 f x 为 偶 函 数，故 f x f x，时 3 32 2 2 2x x x xx a x a，整 理 得 到 1 2+2=0 x xa，故 1 a，故 答 案 为：11 4.已 知 O 为 坐 标 原 点，抛 物 线 C：22 y px(0 p)的 焦 点 为 F，P 为 C 上 一 点，P F 与x轴 垂 直，Q为x轴 上

41、 一 点，且 P Q O P，若 6 F Q，则 C 的 准 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _.【答 案】32x【解 析】【分 析】先 用 坐 标 表 示 P Q，再 根 据 向 量 垂 直 坐 标 表 示 列 方 程，解 得p，即 得 结 果.【详 解】不 妨 设(,)(6,0),(6,)2 2p pP p Q P Q p u u u r因 为 P Q O P，所 以26 0 0 32pp p p Q C 的 准 线 方 程 为32x 故 答 案 为：32x【点 睛】利 用 向 量 数 量 积 处 理 垂 直 关 系 是 本 题 关 键.1 5.函 数 2 1 2 l n f x x

42、x 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _.【答 案】1【解 析】第 1 6 页 共 4 9 页【分 析】由 解 析 式 知()f x定 义 域 为(0,)，讨 论102x、112x、1 x，并 结 合 导 数 研 究 的 单 调性，即 可 求()f x最 小 值.【详 解】由 题 设 知：()|2 1|2 l n f x x x 定 义 域 为(0,)，当102x 时，()1 2 2 l n f x x x，此 时()f x单 调 递 减；当112x 时，()2 1 2 l n f x x x，有2()2 0 f xx，此 时()f x单 调 递 减；当 1 x 时，()2 1 2 l

43、n f x x x，有2()2 0 f xx，此 时()f x单 调 递 增；又()f x在 各 分 段 的 界 点 处 连 续，综 上 有：0 1 x 时，()f x单 调 递 减，1 x 时，()f x单 调 递 增；()(1)1 f x f 故 答 案 为：1.1 6.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时，发 现 剪 纸 时 经 常 会 沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折，规 格 为 2 0 d m 1 2 d m 的 长 方 形 纸，对 折 1 次 共 可 以 得 到 1 0 d m 1 2 d m，2 0 d m 6 d m 两 种 规 格 的 图 形，

44、它 们 的 面 积 之 和212 4 0 d m S，对 折 2 次 共 可 以 得 到 5 d m 1 2 d m，1 0 d m 6 d m，2 0 d m 3 d m 三 种 规 格 的 图 形，它 们 的面 积 之 和221 8 0 d m S，以 此 类 推，则 对 折 4 次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为 _ _ _ _ _ _；如 果 对 折n次，那 么1nkkS_ _ _ _ _ _2d m.【答 案】(1).5(2).415 37202nn【解 析】【分 析】（1）按 对 折 列 举 即 可；（2）根 据 规 律 可 得nS，再 根 据 错 位

45、相 减 法 得 结 果.【详 解】（1）对 折 4 次 可 得 到 如 下 规 格：5124dm dm，562d m d m，5 3 dm dm，3102dm dm，32 04d m d m，共 5 种；（2）由 题 意 可 得12 120 S，23 60 S，34 30 S，45 15 S，1120 12n nnS，设 0 1 2 11 2 0 11 2 0 2 1 2 0 3 1 2 0 42 2 2 2nnS L，第 1 7 页 共 4 9 页则 1 2 11 2 0 11 1 2 0 2 1 2 0 3 1 2 02 2 2 2 2n nnnS，两 式 作 差 得 12 1160 11

46、20 1 120 11 1 1 1 2240 120 24012 2 2 2 2 212nn n nn nS 11 2 0 1 1 2 0 31 2 03 6 0 3 6 02 2 2n n nn n，因 此，42 4 0 3 1 5 37 2 0 7 2 02 2n nn nS.故 答 案 为：5；41 5 37 2 02nn.【点 睛】方 法 点 睛：数 列 求 和 的 常 用 方 法：（1）对 于 等 差 等 比 数 列，利 用 公 式 法 可 直 接 求 解；（2）对 于 n na b 结 构，其 中 na 是 等 差 数 列，nb 是 等 比 数 列，用 错 位 相 减 法 求 和；

47、（3）对 于 n na b 结 构，利 用 分 组 求 和 法；（4）对 于11n na a 结 构，其 中 na 是 等 差 数 列，公 差 为 0 d d，则1 11 1 1 1n n n na a d a a，利 用 裂项 相 消 法 求 和.四 解答 题：本题共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文字 说明 证明 过程 或演算 步骤.1 7.已 知 数 列 na 满 足11 a，11,2,.nnna naa n 为 奇 数为 偶 数（1）记2 n nb a，写 出1b，2b，并 求 数 列 nb 的 通 项 公 式；（2）求 na 的 前 2 0 项 和.【答 案】（1）1 22,

48、5 b b；（2）300.【解 析】【分 析】（1）根 据 题 设 中 的 递 推 关 系 可 得13n nb b，从 而 可 求 nb 的 通 项.（2）根 据 题 设 中 的 递 推 关 系 可 得 na 的 前 2 0 项 和 为2 0S 可 化 为 2 0 1 2 9 1 02 1 0 S b b b b，利 用（1）的 结 果 可 求2 0S.第 1 8 页 共 4 9 页【详 解】（1）由 题 设 可 得1 2 1 2 4 3 21 2,1 2 1 5 b a a b a a a 又2 2 2 11k ka a，2 1 22k ka a，故2 2 23k ka a 即13n nb

49、b 即13n nb b 所 以 nb 为 等 差 数 列，故 2 1 3 3 1nb n n.（2）设 na 的 前 2 0 项 和 为2 0S，则20 1 2 3 20S a a a a，因 为1 2 3 4 19 201,1,1 a a a a a a，所 以 2 0 2 4 1 8 2 02 1 0 S a a a a 1 2 9 1 09 1 02 1 0 2 1 0 2 3 1 0 3 0 02b b b b.【点 睛】方 法 点 睛：对 于 数 列 的 交 叉 递 推 关 系，我 们 一 般 利 用 已 知 的 关 系 得 到 奇 数 项 的 递 推 关 系 或 偶 数 项的 递

50、推 关 系，再 结 合 已 知 数 列 的 通 项 公 式、求 和 公 式 等 来 求 解 问 题.1 8.某 学 校 组 织“一 带 一 路”知 识 竞 赛，有 A，B 两 类 问 题，每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选 择 一 类 并从 中 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束：若 回 答 正 确 则 从 另 一 类 问 题 中 再 随 机 抽 取 一个 问 题 回 答，无 论 回 答 正 确 与 否，该 同 学 比 赛 结 束.A 类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 2 0 分，否